2. compuertas lógicas y álgebra booleana

Circuitos Digitales

Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón www.electronic-digital.blogspot.com

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COMPUERTAS LÓGICAS Y ÁLGEBRA BOOLEANA Los circuitos digitales (lógicos) operan en el modo binario donde cada voltaje de entrada y salida es un 0 o un 1; las designaciones 0 y 1 representan rangos de voltaje predefinidos. � Constantes y variables Booleanas

En el álgebra booleana difiere de manera notable del álgebra común en que a las constantes y variables booleanas sólo se les permite tener dos valores posibles: 0 o 1

� Tablas de verdad

Una tabla de verdad es un medio para describir cómo la salida lógica de un circuito depende de los niveles lógicos presentes en las entradas de un circuito.

• Ejemplo de tablas de verdad Se representa en la figura de arriba una tabla de verdad para un tipo de circuito lógico de dos entradas. En la tabla se listan todas las combinaciones posibles de niveles lógicos presentes en las entradas A y B junto con el nivel de salida correspondiente

0 lógico 1 lógico falso verdadero desactivado activado bajo alto no si Interruptor abierto interruptor cerrado

ENTRADAS SALIDAS A B X

0 0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 0

CIRCUITO

A

B X

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� Operación OR con compuertas OR la operación OR es la primera de las tres operaciones booleanas básicas que se

debe aprender. La expresión booleana para la operación OR es:

X = A + B En esta expresión, el signo + no representa la adición común, sino la operación OR

(lógica), entonces tendríamos 1 + 1 = 1. � La expresión X = A + B se lee como “X es igual a A o B”, lo que significa que X

será 1 cuando A o B, o ambas, sean 1.

A B C X 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0

A B C D X 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

En estas figuras se muestran ejemplos de tablas de verdad para los circuitos de tres y cuatro entradas

A B X = A + B

0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 1

Tabla de verdad que Define la operación OR

Símbolo del circuito para una compuerta

OR de dos entradas

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• Ejemplo: determine la salida de la compuerta OR, las entradas a y b de la compuerta OR varían de acuerdo a los diagramas de temporización que se muestran en la figura de abajo.

� Operación AND con compuertas AND La operación AND es la segunda operación básica booleana, la expresión booleana para la operación AND es:

X = A . B

En esta expresión el signo (.) representa la operación booleana AND y no la multiplicación.

� La expresión X=A.B se lee “X es igual a A y B”, lo que significa que X será 1

cuando A y B sean 1.

A B X = A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Tabla de verdad que Define la operación AND

Símbolo del circuito para una compuerta

AND de dos entradas

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• Ejemplo: determine la salida de la compuerta AND, las entradas a y b de la compuerta AND varían de acuerdo a los diagramas de temporización que se muestran en la figura de abajo.

� Operación NOT La operación NOT difiere de las operaciones OR y AND en que se pueden realizar

en una sola variable de entrada. Por ejemplo, si la variable A se somete a la operación NOT, el resultado X se puede expresar como:

X= .A

Tabla de verdad

A X= A 0 1 1 0

Símbolo para el inversor

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� Descripción algebraica de circuitos lógicos Cualquier circuito lógico, sin importar qué tan complicado sea, puede ser

completamente descrito mediante el uso de las tres operaciones básicas booleanas, ya que la compuerta OR, la compuerta AND y el circuito NOT son los bloques de construcción básicos de los sistemas digitales.

• Ejemplo: determinar la salida para cada circuito

� Circuitos que contienen inversores Siempre que un inversor esté presente en un diagrama de un circuito lógico, su

expresión de salida será simplemente igual a la expresión de entrada con una barra sobre ella.

• Ejemplo:

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� Implementación de circuitos a partir de expresiones booleanas

• Dibujar el diagrama del circuito cuya salida sea Y= AC + BC’ + A’BC Solución:

• Dibujar el diagrama del circuito cuya salida sea Y= (A+B)(B’+C) Solución: � Compuertas NOR y compuertas NAND En los circuitos digitales se utilizan ampliamente dos tipos más de compuertas

lógicas: NOR y NAND. Estas compuertas en realidad combinan las operaciones básicas OR, AND y NOT, por lo que es relativamente simple escribir sus expresiones booleanas.

Denota inversión Símbolo NOR

Circuito equivalente

A B A+B (A+B)’ 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

Tabla de verdad

OR NOR

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• Ejemplo: determine la forma de onda en la salida de una compuerta NOR para las formas de onda de entrada que se muestran en la figura de abajo.

• Determine la expresión booleana para una compuerta NOR de tres entradas

seguidas de un inversor.

X= A+B+C

Solución: Tenemos: X= ((A+B+C)’)’

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� Compuerta NAND

• Ejemplo: Determine la forma de onda de salida de una compuerta NAND con las

entradas que se muestran en la figura de abajo.

Símbolo NAND

Denota inversión

Circuito equivalente

A B AB (AB)’ 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 AND NAND

Tabla de verdad

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• Implemente el circuito lógico que tiene la expresión X= (AB(C+D)’)’ utilizando únicamente compuertas NOR y NAND.

Solución:

� Teoremas booleanos

� Teoremas con una variable:

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� Teoremas con variables múltiples:

(9) x + y = y + x (10) x.y = y.x (11) x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z (12) x(y.z) = (x.y)z = xyz (13) x(y + z) = xy + xz (14) x + xy = x (15) x + x’y = x + y (16) x’ + xy = x’ + y

• Simplifique: Y = AB’D + AB’D’ Y= AB’(D+D’) = AB’

• Simplifique: Z = (A’ + B) (A + B)

Z = A’A + A’B + A.B +B.B Z = 0 + B(A’ + A) + B Z = B

• Simplifique: X = ACD + A’BCD

X = CD(A + A’B) X = CD(A + B) X = A.C.D + B.C.D

� Teoremas de Demorgan: Los teoremas de Demorgan son de mucha utilidad para simplificar expresiones en las que se invierte un producto o una suma de variables.

(17) (x+y)’= x’.y’ (18) (x.y)’ = x’ + y’

• Simplifique: Z = ((A’ + C) (B + D’))’

Z = (A’ +C)’ + (B + D’)’ Z = A’’.C’ + B’. D’’ Z = A.C’ + B’.D

• Simplifique: Z = (A + B’.C)’ Z = A’(B’.C)’ Z = A’(B’’+ C’) Z = A’(B + C’)

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� Los teoremas de Demorgan se aplican fácilmente a más de dos variables. Por ejemplo se puede probar que:

(X + Y + Z)’ = X’.Y’.Z’ (X.Y.Z)’= X’ + Y’ + Z’

� Universalidad de las compuertas NAND y NOR Todas las expresiones booleanas constan de varias formas de combinar las operaciones básicas OR, AND e INVERSOR. Por lo tanto, cualquier expresión se puede llevar a cabo usando combinaciones de compuertas OR, AND e INVERSOR. Sin embargo, es posible implementar cualquier expresión lógica usando únicamente NAND. Tenemos:

De manera similar podemos mostrar que las compuertas NOR pueden estar dispuestas para implementar cualquiera de las operaciones booleanas.

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