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4° Básico
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Ampliación y reducción de figuras
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Cuarto Año BásicoSEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA
Ampliación y reducción de figuras
Matemática
• • Autores • •
Joaquim Barbé F. • Lorena Espinoza S.
Enrique González L. • Dinko Mitrovich G.
I Presentación 6
II Esquema 10
III Orientaciones para el docente: estrategia didáctica 12
IV Planes de clases 26
V Prueba y Pauta 32
VI Espacio para la reflexión personal 37
VII Glosario 38
VIII Fichas y materiales para alumnas y alumnos 39
Índice
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segundA unidAd didácticAAmpliación y reducción de figuras
CuArto BásICo MAteMáticA
• Reconocen y llevan a cabo transformaciones de figuras geométricas, por rotación, ampliación y reducción y describen los efectos que cada una de ellas provoca. (Aprendizaje esperado 11, primer semestre)
Aprendizajes esperados del Programa
• Reconocen ampliaciones y reducciones de figuras geométricas y las distinguen de otras transformaciones que agrandan o achican una figura.
• Describen los cambios producidos por una ampliación o reducción en cuadriláteros, distinguiendo qué cambia y qué se conserva con respecto a la longitud, paralelismo y perpendicularidad de los la-dos.
• Dibujan la ampliación o reducción de cuadriláteros y triángulos.
Aprendizajes esperados para la unidad
Aprendizajes previos
• Reconocen lados, vértices y ángulos de un polígono de 3 y 4 lados.
• Miden longitudes en centímetros, utilizando una regla.• Verifican si dos lados de una figura son paralelos o per-
pendiculares, apoyándose en instrumentos como regla y escuadra.
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1.
presentAciónI
e n esta Unidad se estudia el tema de ampliación y reducción de figuras, a través de la ampliación y reducción de triángulos y cuadriláteros. Niños y niñas aprenderán a identificar figuras que corresponden a una ampliación o reducción de una figu-
ra dada. Conocerán los cambios que experimenta una figura cuando es ampliada o re-ducida, focalizando la mirada en propiedades de paralelismo, perpendicularidad y lados de la misma medida. Además, aprenderán algunos procedimientos que les permitirán verificar si una figura es una ampliación o una reducción, y también procedimientos para dibujar figuras ampliadas y reducidas. Para ello, utilizarán como instrumentos prin-cipales la regla y la escuadra. La unidad se desarrolla recurriendo a diversos contextos en los que ampliar o reducir una figura tenga sentido para los niños.
A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta Unidad.
tareas matemáticas
Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta Unidad son:
Determinan si una figura corresponde o no, a una ampliación o a una reducción de una figura dada.
Amplían una figura a través de la ampliación de cada una de las partes en que ha sido fragmentada.
Amplían o reducen cuadriláteros y triángulos, y dibujan la figura resultante.
Anticipan y posteriormente verifican, las características que cambian y las que se conservan al ampliar o reducir una figura.
Calculan la medida de los lados de dos figuras sabiendo que una es la amplia-ción o reducción de la otra.
Variables didácticas
Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las ta-reas matemáticas que niñas y niños realizan son:
Tipos de figura:
• Cuadriláteros: rectángulos, paralelógramos y otros.• Triángulos: rectángulos y no rectángulos.
2.
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La disponibilidad de las figuras: se encuentra(n) disponible y se permite su mani-pulación; se encuentra disponible, pero no se puede manipular, y no se encuen-tra disponible.
Recursos para dibujar: se utiliza papel cuadriculado de 1 cm y papel sin líneas, se utiliza solo regla, se utiliza regla y escuadra.
Procedimientos
Los procedimientos que los niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son:
Para identificar que una figura es la ampliación o reducción de otra, com-prueban que se cumplen dos condiciones: que la medida de los lados de la figura ampliada o reducida corresponde a la medida de los lados de la figura original multiplicado o dividido por un mismo número y que todos los ángulos de ambas figuras coinciden si se superponen. Esta segunda condición puede ser verificada utilizando la técnica irradiar fijando un vértice.
Para determinar la medida de los lados de dos figuras con la misma forma, sin medir, se identifica un lado de la figura original y un lado de la figura am-pliado o reducido, que están en la misma posición y se conoce su medida. A partir de ellos, se encuentra el número por el cual la medida de los lados de una figura se encuentran multiplicados o divididos. Se calculan la medida de los otros lados, multiplicando o dividiendo los lados conocidos que se encuentran en la misma posición.
Para dibujar una figura ampliada o reducida, en primer lugar se calcula la me-dida de los lados de la nueva figura, multiplicando o dividiendo por un mismo número la medida de los lados de la figura original, según se quiera ampliar o reducir. Posteriormente, se dibuja recurriendo a la técnica irradiar fijando un vértice. Para ello, se elige uno de los ángulos de la figura original y se extienden los lados que lo forman. En dichas prolongaciones se marcan dos de los vértices de la nueva figura, tomando la medida de los lados respectivos. Para determinar el cuarto vértice. Se traza la diagonal del cuadrilátero a partir del vértice común, y la medida de dicha diagonal se multiplica o divide por el mismo número que los lados. Al tomar la medida obtenida sobre la diagonal se obtiene el cuarto vértice del cuadrilátero, al unir todo los vértices, se consigue el cuadrilátero ampliado o reducido.
Fundamentos centrales
Cuando se aumentan las medidas de los lados de una figura, esta aumenta su tamaño; equivalentemente, cuando se disminuyen los lados de una figura esta disminuye su tamaño, sin embargo, sólo en algunos casos una nueva figura tie-ne la misma forma que la figura original.
3.
4.
presentación
8
La ampliación de una !gura es una nueva !gura, cuyos lados tienen la medida de los lados de la !gura original multiplicados todos por un mismo número. Además, ambas !guras tienen pares de ángulos correspondientes de la misma medida.
La reducción de una !gura, es una nueva !gura cuyos lados tiene por medida, la medida de los lados de la !gura original divididos todos por un mismo número. Además, ambas !guras tienen pares de ángulos de la misma medida.
La ampliación y reducción son transformaciones que mantienen la forma de la !gura original, esto signi!ca que si una !gura tiene lados paralelos, lados per-pendiculares o lados de la misma medida, su ampliación o reducción conserva-rán las mismas propiedades.
Solamente en los polígonos que son una ampliación o reducción de otro, se veri!ca que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambas !guras, las diagonales correspondientes al vértice que se ha hecho coincidir del polígono de menor tamaño, quedan sobrepuestas sobre las diagonales del otro polígo-no. Particularmente, en los triángulos que son una ampliación o reducción de otro, se cumple que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambos triángulos, los terceros lados son paralelos.
Descripción global del proceso
El proceso se genera en torno a la resolución de un problema genérico, que consiste en ampliar o reducir la parte que falta de una !gura para ampliarla o reducirla comple-tamente. El problema se retoma con diferentes condiciones en algunas de las clases. En la primera de ellas, los niños y niñas se encuentran con actividades que les llevará a preguntarse sobre que condiciones se deben tomar en cuenta para que al modi!car las medidas de los lados de rectángulos, estos conserven la forma.
En la segunda clase se retoma la problemática inicial, sistematizando los cambios producidos en una !gura cuando a sus lados se les suma una misma cantidad o cuan-do estos se multiplican o dividen por un mismo número. En las dos primeras clases se trabaja solamente con triángulos rectángulos y rectángulos y sobre un cuadriculado, de manera de concentrar a los niños, en la medida de los lados de la !gura original y su ampliación o reducción.
En la tercera clase se determina la medida de algunos lados de dos !guras, sabien-do que una es la ampliación de la otra. En esta actividad los niños veri!can la reversi-bilidad entre la multiplicación y la división. En el desarrollo de la clase los niños com-prueban que no es su!ciente veri!car que los lados de dos cuadriláteros se encuentren multiplicado o dividido por un mismo número, para concluir que tiene la misma forma. Es necesario comprobar, además, que las !guras tienen los mismos ángulos.
5.
Presentación
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En los cuadriláteros que cumplen con lo señalado anteriormente, se verifica que so-lamente en ellos se cumple, que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambas figuras, una de sus diagonales coinciden. En esta clase se introduce el procedimiento que denominamos irradiar fijando un vértice, que permite verificar si dos o más cuadrilá-teros tienen la misma forma, es decir, que corresponden a una ampliación o reducción de una figura dada.
En la cuarta clase, se amplía el estudio de la ampliación o reducción de figura, in-corporando la tarea de dibujar figuras ampliadas o reducidas. Los alumnos aprenden al-gunos procedimientos para dibujar figuras utilizando como apoyo hojas cuadriculadas e instrumentos, tales como regla y escuadra.
En la quinta clase se realiza una sistematización del trabajo matemático realiza-do en las clases anteriores, proponiendo a los niños actividades en las que usarán los procedimientos aprendidos para verificar si una figura es la ampliación o reducción de otra, así como para dibujar una figura ampliada o reducida. En esta clase se enfatiza la comparación de las propiedades que tiene la figura original y su transformación de ma-nera que los niños reconozcan que cuando se amplía o reduce una figura, ésta conserva las propiedades de paralelismo, perpendicularidad e igualdad de lados que la figura original.
Finalmente, en la sexta clase se propone una prueba de finalización de la unidad que permita conocer el nivel de logro de los aprendizajes esperados.
sugerencia para trabajar los aprendizajes previos
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad, es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes espera-dos en ella. El profesor(a) debe asegurarse de que todos los niños son capaces de:
Reconocen lados, vértices y ángulos en polígonos de 3 y 4 lados. Proponga a los niños que realicen actividades del texto escolar en las que tengan que describir triángulos o cuadriláteros, o actividades en las que tengan que cuantificar la cantidad de lados y vértices que tienen triángulos y cuadriláteros.
Miden longitudes, utilizando regla graduada en centímetros. Proponga la ac-tividad “reponiendo cerámicas” del momento inicial de la primera clase de la unidad de cuadriláteros o una variación de ella.
Verifican si dos lados de una figura son paralelos o perpendiculares. Proponga a los niños la Actividad: “Creando cuadriláteros con cintas” del momento inicial de la cuarta clase de la unidad de cuadriláteros o una variación de ella. Una vez que dibujen las figuras, pídales que verifiquen paralelismo y perpendicularidad de los lados.
6.
presentación
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12
orientAciones pArA el docente:estrAtegiA didácticA
III
Las actividades propuestas en esta Unidad permiten a niñas y niños vivir un conjun-to de experiencias significativas que son parte de un proceso en el cual se encontrarán con algunos hitos desde el punto de vista de los conocimientos involucrados que les permitirá aprender: los cambios producidos en las figuras cuando se aumentan o dis-minuyen la medida de sus lados; qué tipo de cambios en las medidas permite formar una nueva figura que conserve la forma; comprobar que no es suficiente que los lados de un cuadrilátero sean tantas veces la medida de los lados de otro para que una figura conserve la forma de una original, sino que es necesario, además, que las figuras tengan los ángulos iguales; y que los cuadriláteros y triángulos cuando se amplían o reducen conservan las propiedades de paralelismo, perpendicularidad e igualdad de lados que la figura original.
Las actividades y problemas están secuenciados de manera de posibilitar el estudio por parte de niños y niñas para que vayan profundizando en los conceptos de amplia-ción y reducción, y en los procedimientos que pueden utilizar para reconocer si una figura ha sido ampliada o reducida, así como en los procedimientos para dibujar la am-pliación o reducción de un triángulo o cuadrilátero.
A continuación aparecen descritas las clases de la Unidad, detallando las tareas ma-temáticas que se realizan en cada una y las actividades que se efectúan para ello; los conocimientos matemáticos que se ponen en juego al realizarlas; la intención didáctica que se persigue en cada caso; y algunas orientaciones para la gestión del docente. La descripción de cada clase está organizada en función de sus tres momentos: de inicio, desarrollo y cierre. Algunos aspectos importantes para una buena gestión del proceso de enseñanza aprendizaje, y que son comunes a cualquier clase, son:
Iniciar cada clase poniendo en juego los conocimientos de la(s) clase(s) anterior(es);
Dejar espacio para que niñas y niños propongan y experimenten sus propios procedimientos;
Mantener un diálogo permanente con los alumnos y propiciarlo entre ellos, sobre el trabajo que se está realizando, sin imponer formas de resolución;
Permitir que se apropien íntegramente de los procedimientos estudiados;
Promover una permanente evaluación del trabajo que se realiza;
Finalizar cada clase con una sistematización y justificación de lo trabajado.
13
Momento de inicio
La Actividad “Identificando las figuras deformadas” con que comienza la Unidad busca que niños y niñas se introduzcan en el contexto de la ampliación y reducción de figuras y lo relacionen con sus conocimientos previos. De ahí que es importante que al entregarles la Ficha 1, se invite a niños y niñas a observar los afiches, los comparen esta-bleciendo semejanzas y diferencias. En este sentido, entre las diferentes características que ellos puedan señalar, es importante sistematizar que se parecen en que todos los afiches tienen forma de rectángulos y tienen la misma figura dibujada y, se diferencian en que, en algunos afiches, la figura se encuentra deformada.
Al momento de definir en cuál de los afiches la figura está deformada, pueden surgir algunas discrepancias. Si esto ocurre, se recomienda dejar explicitado cuáles son los ar-gumentos que utilizan niños y niñas para tomar su decisión. Se espera que a medida que se avance en el estudio, ellos pasen de argumentos basados en la percepción y un tanto subjetivos, a argumentos comprobables, basados en conocimientos geométricos.
Momento de desarrollo
Con la actividad “Ampliando un rectángulo” planteada en la Ficha 2, se busca que los niños y niñas se encuentren con la tarea de aumentar la medida de los lados de una figura. Esto les llevará a hacerse algunas preguntas sobre ¿qué relaciones debe existir entre los lados de la figura original y la figura ampliada, para que al aumentar la medida de los lados se conserve la forma?
En esta actividad se enfrenta a los alumnos a decidir sobre el tipo de transformación, aditiva o multiplicativa, que realizaran a los lados de la figura para que ella conserve la forma.
Para que se logren los propósitos esperados, es necesario cautelar algunos aspectos en la gestión de la actividad, tales como:
Disponer para cada grupo de: la Ficha 2, tijeras y hojas cuadriculadas de 1 cen-tímetro (Material 1).
Formar grupos de 4 niños y niñas, de manera que cada uno tenga que ampliar una figura.
priMerA clAse
orientaciones
14
No dar pistas acerca de cómo ampliar cada figura, sino que promover que cada uno busque sus propias estrategias.
Promover que, en cada grupo, una vez que hayan ampliado las partes, intercam-bien sus procedimientos y lleguen a una conclusión sobre con cuál de ellos se logra ampliar las figuras.
Que sean los propios alumnos(as) los que evalúen el logro de la realización de la tarea, al comprobar si las partes coinciden y arman un rectángulo que sea una ampliación del rectángulo dado.
Tal cual está redactada la consigna en la actividad, pondrá en cuestionamiento si lo que hay que hacer es sumar 3 a cada lado o duplicarlos, es decir, se pueden dar los siguientes casos para determinar la medida de los lados de la figura que les tocaron a los niños:
Determinan la longitud de los lados de la figura ampliada, agregándole 3 a cada lado de la figura original, porque es la diferencia entre 3 y 6.
Determinan la longitud de los lados de la figura ampliada, multiplicando por 2 cada lado de la figura original, porque 6 es el doble de 3.
Solamente en el segundo caso se logra ampliar cada parte y, por lo tanto, conservar la forma de la figura original.
Una vez que los niños(as) hayan averiguado la medida de los lados de la figura am-pliada, tendrán que resolver el cómo dibujarla en la hoja cuadriculada.
Para dibujar los rectángulos no hay mayor problema, puesto que los lados coinciden con el cuadriculado, por lo tanto, para dibujarlos es necesario medir o contar la cantidad de cuadraditos que tiene cada lado.
En el caso de los triángulos rectángulos, se usa un procedimiento similar para los lados que coinciden con el cuadriculado, y para el lado que no, lo dibuja a partir de unir los extremos de los otros dos lados.
Momento de cierre
Se sistematiza relacionando las dos actividades que han realizado los niños, al poner en evidencia que una figura puede aumentar la medida de sus lados y, en conse-cuencia, aumentar su tamaño, sin embargo, solo en algunos casos la figura resultante tiene la misma forma que la figura original. Tal es el caso del único afiche de la actividad “Identificando las figuras deformadas” en que la figura no se deformó, pese a que todas habían aumentado de tamaño.
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En la segunda actividad “Ampliando un rectángulo”, tuvieron que decidir si para ampliar la figura que les tocó debían sumar 3 a cada lado o multiplicar por 2. Se espera que, como resultado del trabajo realizado, puedan descartar que sumar a los lados de una figura una misma cantidad no permite obtener una figura con la misma forma que la original.
Multiplicar los lados de un rectángulo o triángulo rectángulo por un mismo número permite obtener una nueva figura con la misma forma que la original. Cualquier otro tipo de cambio en la medida de los lados no preserva la forma de la figura, pese a que los ángulos siguen siendo rectos.
En esta clase se encuentran plasmados dos de los fundamentos centrales de la Unidad:
Momento de inicio
En este primer momento se aborda la problemática central de la clase anterior, ten-diente a definir qué tipo de transformación en la medida de los lados conserva la forma de una figura original.
En la actividad “¿Qué pasa con la medida de los lados cuando una figura se amplía?” de la Ficha 3, se confronta el procedimiento de sumar a todos los lados una misma cantidad con el procedimiento de multiplicar por dos todos los lados. Como una
segundA clAse
Cuando se aumentan las medidas de los lados de una figura, esta aumenta su tamaño;
equivalentemente, cuando se disminuyen los lados de una figura, esta disminuye su tamaño; sin embargo,
solo en algunos casos una nueva figura tiene la misma forma que la figura original.
La ampliación de una figura, es una nueva figura, cuyos lados tienen por medida la medida de los lados de la figura original,
multiplicados todos por un mismo número. Además, ambas figuras tienen pares de ángulos de la misma medida.
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forma preliminar de resolver este dilema, se propone comparar los rectángulos de la Ficha 3 con los rectángulos de los afiches de la Ficha 1. Se espera que los niños, basados en la deformación de la figura del afiche, descarten la alternativa de sumar un mismo número como procedimiento que permite conservar la forma de la figura original.
Momento de desarrollo
Se proponen tres actividades con la finalidad de que niñas y niños pongan a prueba los conocimientos adquiridos hasta el momento y los lleven a buscar una manera de justificar por qué una figura es o no la ampliación de otra.
En las dos primeras actividades propuestas en la Ficha 4 “¿Qué triángulos tienen la misma forma?” y Ficha 5 “¿Qué rectángulos tienen la misma forma?”, los niños tienen que seleccionar entre un conjunto de triángulos, en primer lugar, y luego entre un conjunto de rectángulos, aquellos que corresponden a una reducción o ampliación de una figura que se encuentra destacada. En ambas actividades, se promueve que los niños argumenten la selección así como el descarte de figuras. El argumento esperado es que señalen que los lados de una figura, multiplicados o divididos por un mismo nú-mero, resulta la medida de los lados de la figura ampliada o reducida.
En la Ficha 6, se plantean a los niños preguntas, para que las respondan indivi-dualmente o como máximo entre dos niños, para que, posteriormente, comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Esta información es necesaria recogerla para retomarla en el momento del cierre de la clase.
Es importante que los niños comprueben en la Ficha 4, que los triángulos sombreados D y C corresponden a una reducción del triángulo sombreado. Para ello verifican que al dividir por dos en un caso, y por cuatro en el otro, los lados del triángulo sombreado, resultan las medidas de los triángulos D y C respectivamente. Además, solo en estos triángulos se cumple que al comparar los ángulos, superponiéndolos, coinciden exactamente; por esta razón, los triángulos tienen la misma forma.
Análogamente, en los rectángulos de la Ficha 5, hay dos rectángulos cuyos lados corresponden a la medida de los lados del rectángulo sombreado multiplicado por 3 (rectángulo E), por 4 (rectángulo B).
Finalmente, pida a los niños que recorten las figuras y comprueben que en aquellos que sus lados se encuentran multiplicado o divididos por un mismo número, respecto a los lados de una figura original se cumple que:
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En los triángulos, en particular los triángulos rectángulos, al superponer dos o más triángulos de mayor a menor tamaño, teniendo como referencia uno de los ángulos, se cumple que los terceros lados de los triángulos son paralelos.
En los rectángulos al superponer dos o más rectángulos de mayor a menor ta-maño, teniendo como referencia uno de los ángulos, se cumple que las diago-nales trazadas desde el vértice común quedan sobrepuestas.
Pida que los niños y niñas verifiquen si estas propiedades no las cumplen los trián-gulos y rectángulos que descartaron.
Momento de cierre
En este momento el profesor(a) explicitará los principales conocimientos que han surgido en el trabajo realizado por niñas y niños.
Lo principal se encuentra expresado en las preguntas de la Ficha 6; por tal motivo se recomienda revisar dichas preguntas colectivamente y sistematizar:
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Momento de inicio
Como una forma de afianzar lo aprendido en la clase anterior y ponerlo en práctica, en la Ficha 7 “Anticipar la medida de los lados” que determinen la medida de los lados de pares de figuras donde una es la ampliación o reducción de la otra. En las instruccio-nes que dé a los niños(as) es importante enfatizar que la medida de los lados la deben obtener sin medir, es decir, calculando.
Las figuras se encuentran dibujadas con sus medidas reales con la intención de que los niños anticipen la medida de los lados que faltan, valiéndose de la relación multipli-cativa entre los lados de ambas figuras, y luego verifiquen si las medidas obtenidas por intermedio de un cálculo coinciden con las obtenidas a través de la medición.
En la resolución de cada ejercicio verifique que los niños identifiquen el número por el cual los lados de una figura se encuentran multiplicados o divididos para obtener los lados de la otra.
En el trabajo realizado es importante relevar la relación inversa entre la multiplica-ción y la división. Así, por ejemplo, si los lados de la figura A son el triple que los lados
tercerA clAse
orientaciones
La ampliación de una figura, es una nueva figura cuyos lados tienen por medida, la medida de los lados de la figura original
multiplicados todos por un mismo número. Además, ambas figuras tienen pares de ángulos de la misma medida. La reducción de una figura, es una nueva figura cuyos lados tienen por medida, la medida de los lados de la figura original
divididos todos por un mismo número. Además, ambas figuras tienen pares de ángulos de la misma medida.
En los triángulos, particularmente en los triángulos rectángulos, que son una ampliación o reducción de otro, se cumple que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambos triángulos los terceros lados son paralelos.
En rectángulos que son una ampliación o reducción de otro, se verifica que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambas figuras, la diagonal correspondiente al vértice del ángulo que se ha hecho coincidir, del rectángulo de menor tamaño queda sobrepuesta sobre la diagonal del otro rectángulo.
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de la figura B, los lados de la figura B son la tercera parte de los lados de la figura A. Dicho de otra manera, si un lado de la figura B se multiplica por 3, se obtiene uno de los lados de la figura A, y si este mismo lado se divide por 3, se obtiene el lado original de la figura B.
Momento de desarrollo
En esta parte de la clase se profundiza la noción de ampliación y reducción. Hasta el momento los niños han ampliado o reducido figuras con un predominio de ángulos rectos, lo cual en la práctica ha significado, enfatizar la relación multiplicativa entre los lados. Las actividades aquí propuestas les permitirá reconocer que no es suficiente que los lados de una figura se encuentren multiplicado o dividido por un mismo número para que conserve la forma.
Para introducir la actividad propuesta en la Ficha 8 “Ampliando parte de un ju-guete a escala” y Ficha 9 “reduciendo parte de un juguete a escala”, se sugiere contextualizar señalando que algunos autos o aviones de juguetes son construidos conservando la forma de los originales. Recuérdeles la ampliación del rectángulo reali-zada en la clase 1, señalando que cuando se amplió cada parte, se obtuvo el rectángulo ampliado, lo que equivale a reconocer que cuando una figura compuesta por varias partes, se amplía, también se amplía cada una de sus partes.
El auto dibujado en la Ficha 8, corresponde a una reducción de otro auto dibujado en la Ficha 8 A (esta ficha solo se encuentra en la unidad didáctica: material para el pro-fesor). Los niños tienen la tarea de seleccionar entre los paralelogramos aquel que calza exactamente en la puerta del auto ampliado en la Ficha 8 A.
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En la gestión de la actividad es importante:
Cautelar que la figura ampliada no se encuentre disponible para los niños, hasta el momento en que requieran verificar si su selección ha sido correcta.
Señalar que tienen solo una oportunidad para seleccionar una de las puertas y verificar si calza en el auto ampliado.
Que los niños trabajen en grupos pequeños para que todos participen en la elección de la figura.
Que los grupos tengan regla, hojas y tijera para medir los lados y verificar si los ángulos son iguales.
La actividad propuesta en la Ficha 9, es análoga a la actividad de la Ficha 8, en este sentido, es necesario conservar los mismos criterios para gestionar la actividad.
En ambas actividades los lados de los cuadriláteros tienen la misma medida, lo que seguramente desconcertará a algunos niños, puesto que hay más de una figura que cumple con tener la medida de los lados de la figura original multiplicado o dividido por un mismo número, sin embargo, tienen distinta forma.
En la Ficha 10, se estudian similitudes entre las figuras que se proponen, se debería generar un debate entre quienes opinen que una figura determinada es una reducción o no de otra, y quienes opinen lo contrario.
Es importante lograr que se produzca este tipo de debate, para que los alumnos(as) argumenten y así aparezcan los elementos geométricos que ellos perciben como deter-minantes para que una figura sea una ampliación o una reducción de otra. Sistematice que dos figuras que tienen la misma forma con tener ángulos de la misma medida.
Para seleccionar la puerta que calza en el auto ampliado o, el ala que calza en el avión reducido, los niños tendrán que verificar, en primer lugar, que los lados del cua-drilátero original se encuentran multiplicado o dividido por un mismo número, y luego podrán utilizar algunas de las dos opciones:
1. Comprobar que todos los ángulos de una figura coinciden con los ángulos de la otra figura cuando se superponen.
2. Utilizan el procedimiento “irradiar fijando un vértice” que consiste en:
Superponer adecuadamente la o las figuras, poniendo las de mayor tamaño abajo y haciendo coincidir un vértice y dos lados correspondientes.
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cuArtA clAse
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Trazar todas las rectas que pasan por el vértice común y por otro vértice, de una de las figuras. El vértice elegido es como un sol y las rectas son sus rayos (metáfora que explica el nombre del procedimiento).
Si todos los vértices quedan alineados respecto al vértice común, entonces las figuras tienen la misma forma. Por ejemplo, en la siguiente figura, el hexágono sombreado no es una reducción del otro, puesto que no todas las rectas formadas por el vértice fijado y los vértices del hexágono sombreado quedan alineadas con los vértices del hexágono grande.
Momento de cierre
En esta clase los niños han podido verificar que para que una figura sea la amplia-ción o reducción de otra figura, no basta fijarse en la medida de los lados o fijarse que tienen los mismos ángulos, sino que en ambos aspectos a la vez. Para ello, en el momen-to del cierre es importante sistematizar cuáles son las condiciones que debe cumplir una figura para que sea la ampliación o reducción de una figura dada. Se recomienda retomar los fundamentos centrales de la unidad vistos en el cierre de la clase anterior.
Momento de inicio
Con la intención de continuar profundizando el estudio de la ampliación y reduc-ción de polígonos, se propone a los niños seleccionar entre un conjunto de trapecios, Ficha 11 “¿Cuál de las figuras es una ampliación o una reducción?, aquellos que corresponden a una reducción o ampliación de una figura que se encuentra destacada.
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Se espera que en la identificación del o los trapecios que tienen la misma forma, los niños verifiquen que las figuras seleccionadas cumplen las dos condiciones que se estudiaron las clases anteriores. Para ello, tendrán que comprobar que los lados de un trapecio corresponden a los lados del trapecio original, multiplicados o divididos por un mismo número y, además, es posible comprobar que ambas figuras tienen pares de ángulos iguales. Al utilizar la técnica irradiar fijando un vértice cuando las diagonales trazadas desde el vértice común de dos o más cuadriláteros quedan sobrepuestas, tam-bién permite comprobar que las figuras tienen la misma forma.
Momento de desarrollo
En esta parte de la clase se propone a los alumnos un nuevo tipo de problema con-sistente en dibujar la reducción o ampliación de un triángulo o un cuadrilátero. Para resolverlos tendrán que ampliar los conocimientos aprendidos hasta el momento, así por ejemplo, el procedimiento irradiar fijando un vértice utilizado para verificar que un polígono tiene la misma forma que otro, puede ser utilizado para dibujar la ampliación o reducción de una figura.
Las actividades propuestas se contextualizan, al igual que en la clase anterior, en el tema de juguetes construidos a escala, es decir, juguetes que aumentan o reducen su tamaño manteniendo la forma del original.
En la primera actividad, Ficha 12 “reducir una lámpara”, los niños tendrán que dibujar la reducción de un cuadrilátero que corresponde a la pantalla de una lámpara. Para dibujar la figura, los niños podrán utilizar una hoja de papel cuadriculado, de ma-nera que las líneas le sirvan de referente para producir la figura. Una vez que la hayan dibujado, pedir que la recorten para que comprueben que calza en el dibujo de la Ficha 12 A.
El papel cuadriculado es un soporte que contribuirá a ubicar los vértices del cuadri-látero. El procedimiento que pueden utilizar los niños para reducir la figura, consiste en copiar el cuadrilátero en la hoja cuadriculada de manera que los lados paralelos coinci-dan con las líneas del cuadriculado. Calcular la medida de los lados de la figura reducida, dividiendo por dos los lados de la figura original. Tomar dichas medidas en los lados del cuadrilátero, de esta forma se determinan dos de los vértices de la figura reducida. El cuarto vértice se puede ubicar de dos formas. Una, trazando la línea paralela a la base del trapecio y midiendo la longitud del lado, que fue previamente calculado. Otra posi-bilidad, es trazar la diagonal a partir del vértice común y ubicar el punto medio. Como la medida de la diagonal puede ser una medida expresada en números decimales, se sugiere evitar trabajar sobre esta medida y en su lugar obtener el punto medio por un plegado del segmento.
En ambos casos, al unir los vértices se obtiene la figura reducida.
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De manera similar, en la Ficha 13 “Ampliando un juguete”, se propone otra activi-dad en que los niños tienen que dibujar una figura; en este caso, la ampliación de una parte de un dibujo, el cual debe calzar en una imagen ampliada del mismo juguete. Esta actividad es más compleja que la anterior, porque la figura original no se encuentra dibujada sobre papel cuadriculado y se les pide a los alumnos que dibujen un parale-logramo (parte de una cuna) ampliado, también sobre una hoja blanca, utilizando para ello regla y escuadra.
En ambas actividades los procedimientos para determinar la medida de los lados de las figuras son los mismos, ya que en las instrucciones se da a conocer que los lados de la figura corresponden a la mitad de la figura original en un caso, y en el otro corres-ponden al doble.
Para dibujar la figura ampliada, se puede utilizar la técnica irradiar fijando un vértice, previamente al cálculo de las medidas de las figuras.
Momento de cierre
En el cierre de esta clase es importante hacer preguntas a los niños que los lleven a expresar cuáles son las dos condiciones que tiene que cumplir una figura, para que sea una ampliación o reducción de otra.
La tarea matemática principal que se abordó en esta clase, correspondió a dibujar cuadriláteros ampliados o reducidos, en este sentido, es necesario sistematizar las técni-cas utilizadas, realizando al menos una ampliación o reducción de una figura, en la piza-rra o en un retroproyector. Para hacerlo en la pizarra se necesita disponer de escuadra y regla para pizarra y una figura de mayor tamaño para que la puedan ver claramente los niños desde sus asientos. Si se decide utilizar un retroproyector, se necesitan transpa-rencias y lápices para escribir en ellas.
Momento de inicio
En esta clase, se propone un trabajo de integración del trabajo matemático realiza-do en las clases anteriores, relativo a los diferentes tipos de problemas abordados.
En un primer momento, se propone a los niños una actividad similar a la realizada en la primera clase en la que tiene que ampliar una figura, a partir de ampliar cada una de las cuatro partes en que se encuentra fragmentada.
La actividad está propuesta en un momento del desarrollo de la Unidad, que puede contribuir a evaluar parte de los conocimientos adquiridos hasta el momento. Es así
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24
como podremos saber si los niños han descartado que sumar a los lados una misma cantidad permite obtener una figura ampliada, y si los procedimientos que utilizan para dibujar una figura ampliada son efectivos.
Tal cual se señaló en la actividad de la primera clase, es importante considerar al-gunos aspectos en la gestión de la actividad para que los niños pongan en juego sus conocimientos. Se necesita considerar que:
Cada grupo disponga de los siguientes materiales: una Ficha 14 “Ampliando el pez”, tijeras y hojas cuadriculadas de 1 centímetro (Material 1).
Los niños estén organizados en grupos de 4 niños y niñas, de manera que cada uno tenga que ampliar una figura.
Desde un punto de vista didáctico se necesita tener en cuenta los siguientes cri-terios:
No dar pistas acerca de cómo ampliar cada figura, sino que promover que cada uno busque sus propias estrategias.
Que sean los propios alumnos(as) los que evalúen el logro de la realización de la tarea, al comprobar si las partes coinciden y arman el pez ampliado.
Momento de desarrollo
En las actividades propuestas se busca que los niños pongan a prueba los conoci-mientos adquiridos en las clases anteriores. Es así como en las Fichas 15 y 16 los niños tendrán que resolver dos tipos de problemas. Por un lado, en la primera actividad debe-rán calcular la medida de los lados de dos cuadriláteros, sabiendo que uno es la amplia-ción del otro. Usted deberá preocuparse que los niños primero calculen la medida de los lados y luego validen sus resultados midiéndolos con una regla.
La otra actividad de la Ficha 15 y la propuesta en la ficha 16, ponen en juego lo aprendido por los niños para identificar entre un conjunto de figuras aquellas que tie-nen la misma forma que una original.
Finalmente, en la Ficha 17, tiene que dibujar la reducción de un paralelogramo y comparar si las características de la figura original, que son tener dos pares de lados paralelos y los lados opuestos de la misma medida, se conservan o no en la figura redu-cida.
Momento de cierre
En el cierre de esta clase se debe hacer una sistematización de los conocimientos utilizados para resolver cada uno de los problemas, enfatizando las dos condiciones que debe cumplir una figura para que sea la ampliación o reducción de otra y que las propie-dades de una figura se conservan, cuando esta se amplía o reduce.
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En la primera parte de la clase, se aplica la prueba de la unidad. En la aplicación se recomienda a profesoras y profesores leer las preguntas y cerciorarse de que todos los alumnos comprendan lo que se les solicita, sin entregar información adicional a la planteada en los problemas.
En la segunda parte de la clase, se sugiere que el docente realice una corrección de la prueba en la pizarra, preguntando a niños y niñas los procedimientos que utilizaron. Si hubo errores, averiguar por qué los cometieron.
Para finalizar, destaque y sistematice nuevamente los fundamentos centrales de la Unidad.
Incluimos, además de la prueba, una pauta de corrección, que permite organizar el trabajo del profesor en cuanto al logro de los aprendizajes esperados y se incorpora una tabla para verificar el dominio del curso de las tareas matemáticas estudiadas en esta unidad. Estos materiales se encuentran disponibles después del plan de la sexta clase.
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que
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ngul
o, p
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que
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ique
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cre
en q
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n.
distinguen entre un conjunto de figuras aquellas que están deformadas. Amplían una figura descompuesta, ampliando cada una de sus partes.
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emát
icas
.
2�
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que
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gunt
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¿qué
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Mo
Men
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ngul
os re
ctán
gulo
s los
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eros
lado
s son
par
alel
os.
distinguen entre un conjunto de rectángulos aquellos que están deformados de las que no lo están. Comprueban si una figura es una ampliación o una reducción de una figura dada.
planes de clases
2�
Plan
de
la t
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ra c
lase
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iale
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, 8, 9
, 10;
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enc
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dad
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e la
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que
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A).
Se b
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que
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rofe
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rega
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10
y pi
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ulos
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a y,
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ángu
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rilát
eros
que
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plia
ción
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ducc
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ros y
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lism
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idad
e ig
uald
ad d
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ra o
rigin
al.
Comprueban si una figura es una ampliación o una reducción de una figura dada.Calculan la medida de los lados de figuras sabiendo que son ampliación o reducción de otra.
t M
Activ
idad
esev
alua
ción
planes de clases
2�
Plan
de
la C
uart
a cl
ase
Mat
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Fic
has
11, 1
2 y
13; R
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ros
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inal
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ón
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expr
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s co
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ga a
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gru
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llos
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12
y un
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icul
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de 1
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iños
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que
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13,
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que
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que
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ta e
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ón.
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s co
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n an
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gulo
s y re
ctán
gulo
s. Pa
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uent
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ada
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en s
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ice
se d
eter
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a un
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los l
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, mid
iend
o en
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rres
pond
ient
e y
se u
nen
con
el v
értic
e co
nsec
utiv
o.En
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bos c
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, el p
roce
dim
ient
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ndo
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rtic
e se
pue
de u
tiliz
ar p
ara
dibu
jar u
na fi
gura
am
plia
da o
redu
cida
.
Comprueban si una figura es una ampliación o una reducción de una figura dada.dibujan la ampliación o reducción de triángulos y cuadriláteros.
t M
Activ
idad
esev
alua
ción
planes de clases
30
Plan
de
la Q
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ase
Mat
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has 1
4, 1
5, 1
6 y
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as c
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icul
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de
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A y
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ción
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que
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lado
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pond
e a
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ivid
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por
un
mism
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mer
o.•
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en lo
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ulos
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n
Los
niño
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niña
s sa
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écni
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o un
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gura
s qu
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nen
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can
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gr
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dim
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llo
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los n
iños
teng
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tiliz
ar lo
s con
ocim
ient
os a
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ridos
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las c
lase
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am
plia
ción
y
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idad
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rofe
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que
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idad
es d
e la
s Fic
has 1
5 y
16.
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que
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s pr
oced
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util
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os p
ara
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ipar
la m
edid
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ient
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mism
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rma
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inal
.
Activ
idad
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ujar
una
am
plia
ción
. El p
rofe
sor(a
) ent
rega
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s niñ
os(a
s) la
Fic
ha 1
7 y
les p
ide
que
ampl
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las fi
gura
s que
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n.
Mo
Men
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e CI
erre
: el p
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iza
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ha 1
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ar, e
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áng
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isma
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mpl
en, e
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, que
sus t
erce
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para
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s y, e
n el
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i-lá
tero
s, qu
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oinc
iden
.La
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ica
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ibuj
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un c
uadr
icul
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a en
bla
nco.
Comprueban si una figura es una ampliación o una reducción de una figura dada.dibujan la ampliación o reducción de triángulos y cuadriláteros.
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Activ
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planes de clases
31
Plan
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ños;
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ron.
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rueb
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iñas
y n
iños
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proc
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lice
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Uni
dad.
Activ
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ción
planes de clases
32
Nombre: Escuela:
Curso: Fecha: Puntaje:
Indicaciones para el profesor (a):Leer la prueba completa, pregunta por pregunta, señalando los espacios en que se debe responder y cuidando de no dar información adicional a la ya entregada en la pregunta.
1. Eltriánguloexteriordelaescuadra(figura1),esunaampliacióndeltriángulointerior.Sinmedir,completalasmedidasdelosladosquefaltan.
Nota
Prueba y PautaV
Prueba de la segunda unidad didácticamatemática • cuarto año básico
Explicacómocalculastelamedidadelosladosdesconocidos:
Respuesta
Figura 1: Escuadra
4cm 3cm
9cm
15cm
33
2. Reduceeltrapecioyescribelasmedidas. Los lados de la figurareducidadebenserlamitaddelosladosdeltrapeciooriginal.
Figura 2: Trapecio
3. Completalatablaenrelaciónalasfigurasdelapregunta2.
Figura original Figura reducida
Cuántosparesdeladosparalelostiene
Cuántosángulosrectostiene
Cuántosladosdelamismamedidatiene
Dibujaaquí.
34
4. Dibujaunaampliacióndelafigura3,demaneraqueunladoquemide2centímetrosdelargo,mida6centímetrosenlafiguraampliada.
5. anota la letra de la (s) figura (s) que son una ampliación o reducción del cuadrilátero som-breado.
Respuesta:
Figura 3
35
Recortalasfigurassiloestimasconveniente.
A
B
C
D
36
Evaluación de la unidad por el curso
Pauta de Corrección de Prueba de la Unidad
Si al corregir la prueba con la pauta sugerida, encuentra algunas respuestas ambiguas de losniños, se sugiere que los entreviste solicitando que frente a la pregunta en cuestión puedanexplicarsusrespuestas.
Puntaje máximo 13
% total de logro del curso
Pregunta Tareas matemáticasCantidad de alumnos que
respondió bien%
de logro
1 Calculanlamedidadelosladosdedosfigurassabiendoqueeslaampliaciónoreduccióndelaotra.
2 Dibujanlareduccióndeuncuadriláterosinapoyodecuadriculado.
3Comparanunafiguraconsuampliaciónseñalandoqueconservalaspropiedadesdeparalelismo,perpendicularidadeigualdaddelados.
4 Dibujanlaampliacióndeuncuadriláteroconapoyodecuadriculado.
5 Identificanentreunconjuntodefigurasaquellasquesonunaampliaciónounareducción.
Pregunta Respuesta Puntos
1
Escribe12cmenelladocorrespondientea4cm 1
3Escribe5cmenelladocorrespondientea15cm 1
Enlarespuestaexplicaquedeterminóelnúmeroporelcualestánampliadoslosladosdeltriángulo,dividiendo9por3.tambiénseñalaqueparacalcularlamedidadelosotrosdivideomultiplicapor3.
1
2Indicaquelosladosdeltrapecioreducidomiden:5,2,4y5cm. 1
2Dibujaeltrapecioreducido. 1
3
Completalaprimerafilacon:tieneunpardeladosparalelos. 1
3Completalasegundafilacon:tienedosángulosrectos. 1
Completacon:tienedosladosdelamismamedida. 1
4 Dibujauntrapecioampliadoenquelosladosdelafiguraoriginalseencuentrantriplicados. 3 3
5 EscribelasletrasayC 2 2
37
• Busqueenelmomentodecierredecadaunodelosplanesdeclase,elolosfundamen-toscentralesdelaunidadconelcualsecorresponde:
• Describa los principales aportes que le ha entregado esta Unidad y la forma en quepuedeutilizarlosenlaplanificacióndesusclases:
esPacio Para la reflexión PersonalVI
38
glosarioVII
Dosladossonparaleloscuandoalcortarlosporunarectalosánguloscorrespondientestienenlamismamedida.
Lados paralelos :
Ladosperpendiculares : Sonladosqueseintersectanformandounángulorecto.
Consiste en aumentar el tamaño de una figura conser-vando su forma.todos los lados de la figura aumentanproporcionalmente y todos los ángulos conservan sumedida.
Ampliar una figura :
Reducir una figura :
Consiste en disminuir el tamaño de una figura conser-vandosuforma.todoslosladosdelafiguradisminuyenproporcionalmente y todos los ángulos conservan sumedida.
M (α) M (β)
β
α
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fichas y materiales Para alumnas y alumnosVIII
41
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