Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

32 44

Multiplicación de potencias de igual base

44444

54

Se conserva la base y se suman los exponentes.

Producto de potencias de la misma base

Los factores del producto

Ejemplos:

42 · 45 · 43

Puede hacerse de dos modos:

El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores.

2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3)3 · (–3)

son potencias que tienen la misma base.

Modo 1º Directamente, multiplicando: = 16 · 1024 · 64 = 1048576

Modo 2º Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después:

42 · 45 · 43

= (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) =42 · 45 · 43 42+5+3 = 410

Luego, 42 · 45 · 43 = 42+5+3

1. (–2)4 · (–2) · (–2)2 = (–2)4+1+2 = (–2)7 = –128, utilizando la propiedad vista.

Es un producto de potencias de la misma base

2, 5 y 3 factores

–2 = (–2)1 o 61 = 6

También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias.

= (–3)2 · (–3)3 · (–3) = (–3)6

Igualmente: (b) 16 · (–2)3 = (–2)4 · (–2)3 = (–2)7

División de potencias de igual base

37 44

444

4444444

44Se conserva la base y se restan los exponentes.

Cociente de potencias de la misma base

El dividendo y el divisor de

Ejercicio:

65 : 63

Puede hacerse de dos modos:

El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con exponente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.

son potencias de la misma base

Modo 1º Calculando las potencias y dividiendo:

Modo 2º Desarrollando las potencias y simplificando:

65 : 63

(a) 27 : 24 = 27–4 = 23

Es un cociente de potenciasde la misma base

36216

7776

6

63

5

2523

5

666·66·6·6

6·6·6·6·6

6

6 65 : 63 = 65–3

Caso: El cociente 54 : 54 = 1Pero si aplicamos la propiedad 54 : 54 = 54–4 = 50

Se admite que:50 = 1; (–7)0 = 1

Escribe en forma de potencia: (a) 27 : 24 (b) (–5)6 : (–5)3

(b) (–5)6 : (–5)3 = (–5)6-3 = (–5)3

Multiplicación de potencias de igual exponente

3333 84242

Se conserva el exponente y se multiplican las bases.

División de potencias de igual exponente

3333 42828

Se conserva el exponente y se dividen las bases.

Elevar una potencia a otra

342

Se conserva el exponente y se multiplican las bases.

444 222

12444 22

4*32

Potencia de una potencia

La expresión (52)4 es una potencia cuya base es otra potencia.

Ejercicios

Puede hacerse de dos modos:

La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes.

Modo 1º Directamente, haciendo la potencia de la potencia:

Modo 2º Escribiendo como producto de potencias y agrupar después:

(52)4 = 52 ·52 · 52 · 52 = 52+2+2+2 = 52 · 4 = 58 (52)4 = 52 · 4

1. Calcula: [(–2)4]2

Se llama potencia de una potencia

(52)4 = (25)4 = 390625

[(–2)4]2 = (–2)4·2 = (–2)8 = 64

2. Calcula: [(35)4]2 [(35)4]2 = 35·4·2 = 340

340 es un número enorme: tiene

20 cifras.

3. Calcula: {[(–1)3]9}7 {[(–1)3]9}7 = (–1)3·9·7 = (–1)189 = –1

Elevar una potencia a un número negativo

44

2

3

3

2

Se invierte la base y se eleva al inverso aditivo del exponente.