1. Clculo de varias variables 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 26/11/10
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2. Marlene Aguilar balo Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Ciudad de Mxico Fidel
Castro Lpez Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica
(ESIME), Instituto Politcnico Nacional, Mxico Roco Cerecero Lpez
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM),
Campus Cuernavaca, Mxico Jos Job Flores Godoy Universidad
Iberoamericana, Ciudad de Mxico Enrique Arturo Galvn Flores Escuela
Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica (ESIME), Instituto
Politcnico Nacional, Mxico Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnolgico
de Toluca, Toluca, Mxico Linda Margarita Medina Herrera Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus
Ciudad de Mxico Carlos Enrique Peralta Santa Cruz Universidad
Continental de Ciencias e Ingeniera, Huancayo, Per John Alexander
Prez Seplveda Universidad Nacional de Colombia, Medelln, Colombia
Jorge Augusto Prez Alczar Escuela Colombiana de Ingeniera, Bogot,
Colombia Petr Zhevandrov Facultad de Ingeniera, Universidad de la
Sabana, Bogot, Colombia MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA
MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN
MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY
TORONTO Revisin tcnica: Dennis G. Zill Loyola Marymount University
Warren S.Wright Loyola Marymount University Clculo de varias
variablesCuarta edicin 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 7/12/10 11:49 Pgina
iii Ramiro Saldaa Acosta Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Laguna, Mxico
3. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial:
Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga
Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traductores:
Gabriel Nagore Czares CLCULO DE VARIAS VARIABLES Cuarta edicin
Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por
cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. DERECHOS
RESERVADOS 2011 respecto a la primera edicin en espaol por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of
The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma
1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin
lvaro Obregn, C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional
de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN 13:
978-607-15-0500-2 Translated from the 4th edition of: Calculus.
Early transcendentals by Dennis G. Zill and Warren S. Wright.
Copyright 2011 by Jones and Bartlett Learning, 40 Tall Pine Drive,
Sudbury, MA 01776. All rights reserved. 978-0-7637-5995-7
1234567890 1098765432101 Impreso en China Printed in China Educacin
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4. Para el instructor Filosofa La cuarta edicin de Clculo:
trascendentes tempranas constituye una revisin sustancial de la
ltima edicin. Aunque en esta edicin hay mucho material nuevo, he
intentado preservar intac- to mi objetivo original de compilar un
texto de clculo que no sea slo una coleccin de defini- ciones y
teoremas, habilidades y frmulas para memorizar, as como problemas
para resolver, sino un libro que se comunique con sus lectores ms
importantes: los estudiantes. Deseo que estos cambios hagan ms
relevante e interesante el texto tanto para el estudiante como para
el profesor. Caractersticas de esta edicin Secciones y ejercicios
La mayor parte del material se ha actualizado y, en algunos casos,
reor- ganizado. Muchas secciones y conjuntos de ejercicios se han
reescrito por completo; asimismo, se les han agregado muchos
problemas nuevos, en especial aplicaciones, problemas que requie-
ren el uso de calculadora y computadora, problemas conceptuales y
problemas de proyectos. En su mayora, las aplicaciones agregadas
pertenecen al mbito de la vida real en el sentido de que se han
investigado exhaustivamente usando fuentes originales. Tambin se
han agregado problemas relacionados con la interpretacin de
grficas. Adems, se ha hecho nfasis en las fun- ciones
trigonomtricas tanto en los ejemplos como en los conjuntos de
ejercicios a lo largo del texto. En esta edicin hay ms de 7 300
problemas. Como ayuda en la asignacin de problemas, cada conjunto
de ejercicios est dividido clara- mente en grupos de problemas
identificados con ttulos como Fundamentos, Aplicaciones, Mode- los
matemticos, Proyectos, Problemas con calculadora/SAC, etctera. Creo
que la mayora de los ttulos son autosuficientes, de modo que los
problemas que aparecen bajo el encabezado Pien- se en ello tratan
aspectos conceptuales del material cubierto en esa seccin y son
idneos como tareas o para discutir en clase. En el texto no se
proporciona respuesta alguna para estos proble- mas. Algunos estn
identificados como Clsicos matemticos y reflejan el hecho de que
han existido durante largo tiempo, aparecen en la mayor parte de
los textos o presentan algn deta- lle interesante, mientras que
otros problemas identificados como Un poco de historia muestran
algn aspecto histrico. En este texto las ecuaciones diferenciales
aparecen en dos captulos: 8 (el cual se incluye en el libro Clculo
de una variable) y 16. Las ecuaciones de primer orden se consideran
en el cap- tulo 8 del libro Clculo de una variable para beneficio
de aquellos estudiantes que encuentren sus aplicaciones en cursos
de fsica e ingeniera. En el captulo 16 se consideran la solucin y
las aplicaciones de ecuaciones diferenciales de orden superior. Por
supuesto, los captulos 8 y 16 pueden combinarse y cubrirse como una
unidad en cualquier punto del curso, una vez que se haya concluido
el captulo 4 del libro Clculo de una variable. En el apndice se
proporcionan demostraciones de algunos de los teoremas ms largos.
Al final de las secciones correspondien- Prefacio v
00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina v
5. tes aparecen esbozos biogrficos de algunos matemticos que
han impactado de manera impor- tante el desarrollo del clculo bajo
la rbrica de Posdata: Un poco de historia. Caractersticas
especiales Cada captulo empieza con su propia tabla de contenido y
una intro- duccin al material referido en ese captulo. En la parte
final del libro, despus del apndice, el lector encontrar la seccin
Frmulas matemticas, que constituye una revisin compacta de
conceptos bsicos de lgebra, geometra, trigonometra y clculo: las
leyes de los exponentes, frmulas de factorizacin, desarrollos
binomiales, tringulo de Pascal, frmulas de geometra, grficas y
funciones, funciones trigonomtricas, funciones exponenciales y
logartmicas, y fr- mulas de diferenciacin e integracin. La seccin
denominada Autoevaluacin, que fue introducida en la ltima edicin,
consta de 56 reactivos sobre cuatro amplias reas de preclculo en
matemticas. Esta evaluacin intenta alentar a los estudiantes a
revisar por s mismos algunos de los temas de prerrequisito
esenciales, como valores absolutos, plano cartesiano, ecuaciones de
rectas, crculos, etc., que se aplican a lo largo del texto. En la
seccin de respuestas se proporcionan las soluciones a todos estos
reactivos. Los usuarios de las tres ediciones previas han sido muy
receptivos a las Observaciones con las que a menudo termina una
seccin. En consecuencia, el nmero de stas ha aumentado y se les ha
denominado Notas desde el aula. Se pretende que estas notas sean
anlisis informales diri- gidos directamente al estudiante. Estos
anlisis varan desde advertencias sobre errores algebrai- cos, de
procedimiento y de notacin comunes, pasando por la interpretacin
errnea de teoremas y consejos, hasta preguntas que piden al
estudiante pensar en el tema y ampliar las ideas recin presentadas.
Tambin, a solicitud de los usuarios, se ha incrementado el nmero de
notas al margen y anotaciones de orientacin en los ejemplos.
Figuras, definiciones, teoremas Debido a la gran cantidad de
figuras, definiciones y teoremas que hay en este texto, he cambiado
a un sistema de numeracin doble decimal. Por ejemplo, la
interpretacin de figura 10.2.3 es Considero que este tipo de
numeracin facilita encontrar, por ejemplo, un teorema o una figura
a la que se hace referencia en una seccin o en un captulo
posterior. Adems, para relacionar mejor una figura con el texto, la
primera referencia textual a cada figura aparece con el mismo
estilo y color de letra que el nmero de la figura. Por ejemplo, la
primera referencia a la prime- ra figura en la seccin 11.5 se
proporciona como FIGURA 11.5.1, y todas las referencias subsecuen-
tes se escriben en el estilo tradicional de la figura 11.5.1.
Tambin, en esta edicin cada figura en el texto presenta un breve
subttulo explicatorio. Materiales de apoyo Esta obra cuenta con
interesantes complementos para fortalecer los procesos de
enseanza-apren- dizaje y su evaluacin, y se otorgan a profesores
que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin
respecto de estos materiales, contacte a su representante
McGraw-Hill. Para el estudiante Usted se ha matriculado en uno de
los cursos ms interesantes de matemticas. Hace muchos aos, cuando
yo era estudiante de Clculo I, me sorprendieron el poder y la
belleza del material. Era distinto de cualquier tipo de matemticas
que hubiera estudiado hasta ese momento. Era divertido, emocionante
y constitua un desafo. Despus de ensear matemticas universitarias
por muchos aos, he conocido infinidad de tipos de estudiante, desde
el genio incipiente que invent su propio clculo hasta estudiantes
que luchaban por dominar la mecnica ms elemen- tal del tema. A lo
largo de estos aos tambin he sido testigo de un fenmeno triste:
algunos estu- diantes fracasan en clculo no porque encuentren que
el tema es imposible, sino porque tienen habilidades deficientes de
lgebra y un conocimiento inadecuado del trabajo en trigonometra. El
clculo construye de inmediato sobre su conocimiento y habilidades
previos, donde hay Captulo Seccin del captulo 10 T T 10.2.3 d
Tercera figura de la seccin 10.2 vi Prefacio
00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina vi
6. mucho terreno nuevo por cubrir. En consecuencia, hay muy
poco tiempo para repasar las bases en el planteamiento formal del
aula. As, quienes enseamos clculo debemos asumir que usted puede
factorizar, simplificar y resolver ecuaciones, resolver
desigualdades, manejar valores absolutos, usar una calculadora,
aplicar las leyes de los exponentes, encontrar ecuaciones de rec-
tas, graficar puntos, trazar grficas elementales y aplicar
importantes identidades logartmicas y trigonomtricas, la habilidad
de hacer lgebra y trigonometra, trabajar con exponentes y loga-
ritmos, as como trazar a mano, con rapidez y precisin, grficas
bsicas que son claves para tener xito en un curso de clculo. En la
pgina xiii encontrar la seccin Autoevaluacin, que contiene 56
preguntas. Esta prueba es una oportunidad para que usted verifique
sus conocimientos acerca de algunos temas que se tratan en este
texto. Reljese, tome su tiempo, lea y trabaje cada pregunta, y
luego compa- re sus respuestas con las que se proporcionan en la
pgina RES-1. Sin tomar en cuenta su califi- cacin, lo alentamos a
que revise material de preclculo en algn texto acerca de la
materia. Unas palabras para los estudiantes que han cursado clculo
en preparatoria: por favor, no asuman que pueden lograrlo con un
esfuerzo mnimo porque identifican algunos de los temas en clculo
diferencial e integral. Un sentimiento de familiaridad con el tema
combinado con una actitud de complacencia a menudo es la razn del
fracaso de algunos estudiantes. Aprender matemticas no es como
aprender a andar en bicicleta: en que una vez que se aprende, la
habilidad permanece para siempre. Las matemticas son ms como
aprender otro idioma o tocar un instrumento musical: requiere
tiempo, esfuerzo y mucha prctica para desarro- llar y mantener la
habilidad. Aun los msicos experimentados continan practicando
escalas fun- damentales. Por lo anterior, usted, el estudiante, slo
puede aprender matemticas (es decir, hacer que se le pegue)
mediante el trabajo arduo de hacer matemticas. Aunque he intentado
hacer ms claros para el lector la mayora de los detalles en la
solucin de un ejemplo, inevita- blemente usted tiene que completar
los pasos faltantes. No puede leer un texto de este tipo como si
fuese una novela; debe abrirse camino a lo largo de l con lpiz y
papel en mano. En conclusin, le deseo la mejor de las suertes en
este curso. Agradecimientos Compilar un libro de texto de esta
complejidad es una tarea monumental. Adems de los auto- res, mucha
gente invirti tiempo y energa en el proyecto. En primer lugar, me
gustara expresar mi aprecio para los equipos editorial, de
produccin y mercadotecnia de Jones y Bartlett, y a los siguientes
revisores de esta edicin y las ediciones previas, quienes
contribuyeron con numero- sas sugerencias, crticas vlidas e incluso
ocasionalmente con algunas palabras de apoyo: Prefacio vii Scott
Wilde, Baylor University Salvatore Anastasio, SUNY, New Paltz
Thomas Bengston, Penn State University, Delaware County Steven
Blasberg, West Valley College Robert Brooks, University of Utah
Dietrich Burbulla, University of Toronto David Burton, Chabot
College Maurice Chabot, University of Southern Maine H. Edward
Donley, Indiana University of Pennsylvania John W. Dulin, GMI
Engineering & Management Institute Arthur Dull, Diablo Valley
College Hugh Easler, College of William and Mary Jane Edgar,
Brevard Community College Joseph Egar, Cleveland State University
Patrick J. Enright, Arapahoe Community College Peter Frisk, Rock
Valley College Shirley Goldman, University of California at Davis
Joan Golliday, Santa Fe Community College David Green, Jr., GMI
Engineering & Management Institute Harvey Greenwald, California
Polytechnic State University Walter Gruber, Mercy College of
Detroit Dave Hallenbeck, University of Delaware Noel Harbetson,
California State University at Fresno Bernard Harvey, California
State University, Long Beach Christopher E. Hee, Eastern Michigan
University Jean Holton, Tidewater Community College Rahim G.
Karimpour, Southern Illinois University Martin Kotler, Pace
University Carlon A. Krantz, Kean College of New Jersey George
Kung, University of Wisconsin at Stevens Point John C. Lawlor,
University of Vermont Timothy Loughlin, New York Institute of
Technology Antonio Magliaro, Southern Connecticut Slate University
Walter Fred Martens, University of Alabama at Birmingham William E.
Mastrocola, Colgate University Jill McKenney, Lane Community
College Edward T. Migliore, Monterey Peninsula College Carolyn
Narasimhan, DePaul University Harold Olson, Diablo Valley College
Gene Ortner, Michigan Technological University Aubrey Owen,
Community College of Denver 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43
Pgina vii
7. viii Prefacio Marvin C. Papenfuss, Loras College Don
Poulson, Mesa Community College Susan Prazak, College of Charleston
James J. Reynolds, Pennsylvania State University, Beaver Campus
Susan Richman, Penn State University, Harrisburg Rodd Ross,
University of Toronto Donald E. Rossi, De Anza College Lillian
Seese, St. Louis Community College at Meramec Donald Sherbert,
University of Illinois Nedra Shunk, Santa Clara University Phil R.
Smith, American River College Joseph Stemple, CUNY Queens College
Margaret Suchow, Adirondack Community College John Suvak, Memorial
University of Newfoundland George Szoke, University of Akron Hubert
Walczak, College of St. Thomas Richard Werner, Santa Rosa Junior
College Loyd V. Wilcox, Golden West College Jack Wilson, University
of North Carolina, Asheville Tambin me gustara extender un
agradecimiento extraespecial para las siguientes personas: Jeff
Dodd, Jacksonville State University, por el proyecto del problema
37 de los ejerci- cios 8.3. John David Dionisio, Loyola Marymount
University, y Brian y Melanie Fulton, High Point University, por
proporcionar las soluciones de problemas y ejercicios. Roger Cooke,
University of Vermont, y Fred S. Roberts, Rutgers University, por
haber dedicado tiempo de sus ocupados programas y contribuido con
los excelentes ensayos de clculo. Carol Wright, por su ayuda en las
etapas finales de preparacin del manuscrito de ste y otros textos.
David Pallai, distribuidor, y Tim Anderson, editor, por soportar
toda la liberacin verbal de mis frustraciones. Jennifer Bagdigian,
gerente de produccin, por coordinar amablemente las fases de pro-
duccin y por su paciencia para aguantar mis cambios de carcter sin
fin, y a Irving Drooyan y Charles Carico, por iniciar todo. Incluso
con toda la ayuda mencionada, la precisin de cada letra, palabra,
smbolo, ecuacin y figura contenidos en este producto final es
responsabilidad del autor. Estar muy agradecido de contar con el
aviso de cualquier error o errores tipogrficos que llamen la
atencin. Las correc- ciones pueden enviarse a
[email protected] En conclusin, doy la bienvenida a Warren
Scott Wright, mi colega desde hace mucho tiempo en Loyola Marymount
University, y autor de muchos de los suplementos que acompaan mis
tex- tos, como coautor de este texto. Dennis G. Zill Warren S.
Wright 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina viii
8. Contenido ix Prefacio v Autoevaluacin xiii Ensayo: La
historia del clculo xvii 10 Cnicas y coordenadas polares 547 10.1
Secciones cnicas 548 10.2 Ecuaciones paramtricas 560 10.3 Clculo y
ecuaciones paramtricas 568 10.4 Sistema de coordenadas polares 573
10.5 Grficas de ecuaciones polares 576 10.6 Clculo en coordenadas
polares 585 10.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 592
Revisin del captulo 10 597 11 Vectores y espacio tridimensional 601
11.1 Vectores en el espacio bidimensional 602 11.2 Espacio
tridimensional y vectores 608 11.3 Producto punto 614 11.4 Producto
cruz 622 11.5 Rectas en el espacio tridimensional 629 11.6 Planos
634 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina ix
9. x Contenido 11.7 Cilindros y esferas 640 11.8 Superficies
cudricas 643 Revisin del captulo 11 650 12 Funciones de valores
vectoriales 655 12.1 Funciones vectoriales 656 12.2 Clculo de
funciones vectoriales 661 12.3 Movimiento sobre una curva 668 12.4
Curvatura y aceleracin 673 Revisin del captulo 12 679 13 Derivadas
parciales 681 13.1 Funciones de varias variables 682 13.2 Lmites y
continuidad 688 13.3 Derivadas parciales 695 13.4 Linealizacin y
diferenciales 703 13.5 Regla de la cadena 711 13.6 Derivada
direccional 718 13.7 Planos tangentes y rectas normales 724 13.8
Extremos de funciones multivariables 728 13.9 Mtodo de mnimos
cuadrados 735 13.10 Multiplicadores de Lagrange 737 Revisin del
captulo 13 744 14 Integrales mltiples 749 14.1 La integral doble
750 14.2 Integrales iteradas 753 14.3 Evaluacin de integrales
dobles 757 14.4 Centro de masa y momentos 764 14.5 Integrales
dobles en coordenadas polares 768 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10
09:43 Pgina x
10. 14.6 rea de la superficie 773 14.7 La integral triple 776
14.8 Integrales triples en otros sistemas de coordenadas 783 14.9
Cambio de variables en integrales mltiples 790 Revisin del captulo
14 796 15 Clculo integral vectorial 801 15.1 Integrales de lnea 802
15.2 Integrales de lnea de campos vectoriales 808 15.3
Independencia de la trayectoria 815 15.4 Teorema de Green 824 15.5
Superficies paramtricas y reas 830 15.6 Integrales de superficie
839 15.7 Rotacional y divergencia 845 15.8 Teorema de Stokes 851
15.9 Teorema de la divergencia 856 Revisin del captulo 15 863 16
Ecuaciones diferenciales de orden superior 867 16.1 Ecuaciones
exactas de primer orden 868 16.2 Ecuaciones lineales homogneas 872
16.3 Ecuaciones lineales no homogneas 878 16.4 Modelos matemticos
883 16.5 Soluciones en series de potencias 891 Revisin del captulo
16 895 Apndice AP-1 Demostraciones de teoremas seleccionados AP-1
Frmulas matemticas FM-1 Repaso de lgebra FM-1 Frmulas de geometra
FM-2 Grficas y funciones FM-4 Contenido xi 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd
29/10/10 09:44 Pgina xi
11. Revisin de trigonometra FM-5 Funciones exponencial y
logartmica FM-7 Diferenciacin FM-8 Frmulas de integracin FM-9
Respuestas de la autoevaluacin RES-1 Respuestas de los problemas
impares seleccionados RES-2 ndice analtico ND-1 Crditos de
fotografas C-1 xii Contenido 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10
09:44 Pgina xii
12. Autoevaluacin Las respuestas a todas las preguntas estn en
la pgina RES-29. Como preparacin para el clculo Matemticas bsicas
1. (Falso/verdadero) __________ 2. (Falso/verdadero) Para
__________ 3. (Falso/verdadero) Para __________ 4.
(Falso/verdadero) __________ 5. (Llene el espacio en blanco) En el
desarrollo de (1 - 2x)3 , el coeficiente de x2 es __________. 6.
Sin usar calculadora, evale 7. Escriba lo siguiente como una
expresin sin exponentes negativos: . 8. Complete el trinomio
cuadrado: 2x2 + 6x + 5. 9. Resuelva las ecuaciones: a) b) c) d) 10.
Factorice completamente: a) b) c) d) Nmeros reales 11.
(Falso/verdadero) Si a 6 b, entonces __________ 12.
(Falso/verdadero) __________ 13. (Falso/verdadero) Si a 6 0,
entonces __________ 14. (Llene el espacio en blanco) Si entonces x
= __________ o x = _______. 15. (Llene el espacio en blanco) Si a 5
es un nmero negativo, entonces __________. 16. Cules de los
siguientes nmeros son racionales? a) 0.25 b) c) d) e) f) g) 0 h) i)
j) k) l) 17. Relacione el intervalo dado con la desigualdad idnea.
i) (2, 4] ii) [2, 4) iii) (2, 4) iv) [2, 4] a) b) c) d) 18. Exprese
el intervalo (-2, 2) como a) una desigualdad y b) una desigualdad
que implique valores absolutos. 19. Trace la grfica de en la recta
numrica.(q, 1] [3, q) 1 6 x 1 30 x 2 6 20x 3 0 10x 30 6 1 2 11 13 2
15 12 1 1 2 9 12116 22 7 p8.131313 p a 5 03x0 18, a a 6 0. 2(9)2 9.
a2 6 b2 . x4 16 x3 27 x4 2x3 15x2 10x2 13x 3 x 1x 1 1 1 2x 1 1 x
0x2 2x 5x2 7x x21 2 (x2 4)1>2 2x 2x2x2 4 (27)5>3 . 2n 4n 1
2n. x 0, x3>2 1 x2>3 . a 7 0, (a4>3 )3>4 a. 2a2 b2 a b.
xiii 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xiii
13. 20. Encuentre todos los nmeros reales x que satisfacen la
desigualdad Escriba su solucin usando notacin de intervalos. 21.
Resuelva la desigualdad y escriba su solucin usando notacin de
intervalos. 22. Resuelva la desigualdad y escriba su solucin usando
notacin de intervalos. Plano cartesiano 23. (Llene el espacio en
blanco) Si (a, b) es un punto en el tercer cuadrante, entonces (-a,
b) es un punto en el __________ cuadrante. 24. (Llene el espacio en
blanco) El punto medio del segmento de recta desde P1(2, -5) hasta
P2(8, -9) es __________. 25. (Llene el espacio en blanco) Si (-2,
6) es el punto medio del segmento de recta desde P1(x1, 3) hasta
P2(8, y2), entonces x1 =__________ y y2 = __________. 26. (Llene
los espacios en blanco) El punto (1, 5) est en una grfica.
Proporcione las coorde- nadas de otro punto de la grfica si la
grfica es: a) simtrica con respecto al eje x. __________ b)
simtrica con respecto al eje y. __________ c) simtrica con respecto
al origen. __________ 27. (Llene los espacios en blanco) Las
intersecciones x y y de la grfica de son, respectivamente,
__________ y __________. 28. En cules cuadrantes del plano
cartesiano es negativo el cociente xy? 29. La coordenada y de un
punto es 2. Encuentre la coordenada x del punto si la distancia del
punto a (1, 3) es 30. Encuentre una ecuacin del crculo para el cual
(-3, -4) y (3, 4) son los puntos extremos de un dimetro. 31. Si los
puntos P1, P2 y P3 son colineales como se muestra en la FIGURA A.1,
encuentre una ecuacin que relacione las distancias d(P1, P2), d(P2,
P3), y d(P1, P3). 32. Cul de las siguientes ecuaciones describe
mejor el crculo de la FIGURA A.2? Los smbolos a, b, c, d y e
representan constantes diferentes de cero. a) b) c) d) e) Rectas
33. (Falso/verdadero) Las rectas 2x + 3y = 5 y -2x + 3y = 1 son
perpendiculares. __________ 34. (Llene el espacio en blanco) Las
rectas 6x + 2y = 1 y kx 9y = 5 son paralelas si k = __________. 35.
(Llene el espacio en blanco) Una recta con intercepcin x (-4, 0) e
interseccin y (0, 32) tiene pendiente __________. 36. (Llene los
espacios en blanco) La pendiente y las intersecciones x y y de la
recta 2x - 3y + 18 = 0 son, respectivamente, __________,
__________, y __________. 37. (Llene el espacio en blanco) Una
ecuacin de la recta con pendiente -5 e interseccin y (0, 3) es
__________. 38. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por (3,
-8) y es paralela a la recta 2x - y = -7. ax2 ay2 cx e 0 ax2 ay2 c
0 ax2 ay2 cx dy 0 ax2 ay2 cx dy e 0 ax2 by2 cx dy e 0 FIGURA A.1
Grfica para el problema 31 P3 P2 P1 126. 0y0 2x 4 x 3 6 x 2 x2 2x
15 03x 10 7 7. xiv Autoevaluacin FIGURA A.2 Grfica para el problema
32 x y 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xiv
14. 39. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los
puntos (-3, 4) y (6, 1). 40. Encuentre la ecuacin de la recta que
pasa por el origen y por el punto de interseccin de las grficas de
x + y = 1 y 2x - y = 7. 41. Una recta tangente a un crculo en un
punto P del crculo es una recta que pasa por P y es perpendicular a
la recta que pasa por P y el centro del crculo. Encuentre la
ecuacin de la recta tangente L indicada en la FIGURA A.3. 42.
Relacione la ecuacin dada con la grfica idnea en la FIGURA A.4. i)
ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) a) b) c) d) e) f) g) h) FIGURA A.4
Grficas para el problema 42 Trigonometra 43. (Falso/verdadero)
__________ 44. (Falso/verdadero) sen(2t) = 2 sen t. __________ 45.
(Llene el espacio en blanco) El ngulo 240 grados es equivalente a
___________ radianes. 46. (Llene el espacio en blanco) El ngulo
radianes es equivalente a ___________ grados. 47. (Llene el espacio
en blanco) Si tan t = 0.23, __________. 48. Encuentre cos t si sen
t = y el lado terminal del ngulo t est en el segundo cuadrante. 49.
Encuentre los valores de las seis funciones trigonomtricas del
ngulo u dado en la FIGURA A.5. 5 4 3 FIGURA A.5 Tringulo para el
problema 49 1 3 tan(t p) p>12 1 sec2 u tan2 u. 2 2 y x 2 2 y x 2
2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x x 10y 10 0x 10y 10 0
10x y 10 010x y 10 0y 1 0 x 1 0x y 0x y 1 0 FIGURA A.3 Grfica para
el problema 41 (x 3)2 (y 4)2 4 y x P L 4 Autoevaluacin xv
00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xv
15. 50. Exprese las longitudes b y c de la FIGURA A.6 en
trminos del ngulo u. Logaritmos 51. Exprese el smbolo k en la
declaracin exponencial como un logaritmo. 52. Exprese la declaracin
logartmica log64 4 = como una declaracin exponencial equivalente.
53. Exprese como un logaritmo simple. 54. Use una calculadora para
evaluar . 55. (Llene el espacio en blanco) __________. 56.
(Falso/verdadero) __________(logb x)(logb y) logb(ylogb x ).
b3logb10 log10 13 log10 3 logb 5 3logb10 logb40 1 3 e(0.1)k 5 c b
10 FIGURA A.6 Tringulo para el problema 50 xvi Autoevaluacin
00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xvi
16. Ensayo xvii La historia del clculo Por Roger Cooke
University of Vermont Suele considerarse que el clculo es una
creacin de los matemticos europeos del siglo XVII, cuyo trabajo ms
importante fue realizado por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1711). Esta percepcin tradicional en general
es correcta. No obstante, cualquier teora a gran escala es un
mosaico cuyas baldosas fueron colocadas a lo largo de mucho tiempo;
y en cualquier teora viviente las baldosas continan colocndose de
manera continua. La decla- racin ms poderosa que los historiadores
se arriesgan a hacer es que un patrn se hizo eviden- te en cierto
momento y lugar. Es el caso del clculo. Podemos afirmar con cierta
confianza que los primeros trabajos del tema aparecieron en el
siglo XVII y que el patrn se aclar mucho ms gracias al trabajo de
Newton y Leibniz. Sin embargo, muchos de los principios esenciales
del clculo se descubrieron desde mucho antes, en la poca de
Arqumedes (287-211 a.C.), y algu- nos de esos mismos
descubrimientos se lograron de manera independiente en China y en
Japn. Adems, si se escudria con ms profundidad en los problemas y
mtodos del clculo, uno pron- to se encuentra en la persecucin de
problemas que conducen a las reas modernas de la teora de funciones
analticas, geometra diferencial y funciones de una variable real.
Para cambiar la metfora del arte al transporte, podemos pensar que
el clculo es una gran estacin de ferroca- rril, donde los pasajeros
que llegan de muchos sitios diferentes estn juntos durante un
tiempo breve antes de embarcarse hacia destinos diversos. En este
ensayo tratamos de mirar en ambas direcciones desde esta estacin,
hacia los puntos de origen y los destinos. Empecemos con la
descripcin de la estacin. Qu es el clculo? El clculo suele
dividirse en dos partes, denominadas clculo diferencial y clculo
integral. El clculo diferencial investiga las propiedades de las
razones de cambio com- parativas de variables que estn vinculadas
por medio de ecuaciones. Por ejemplo, un resultado fundamental del
clculo diferencial es que si y = xn , entonces la razn de cambio de
y con res- pecto a x es nxn-1 . Resulta que cuando se usa la
intuicin para pensar en ciertos fenmenos movimiento de los cuerpos,
cambios en la temperatura, crecimiento de poblaciones y muchos
otros, se llega a postular ciertas relaciones entre estas variables
y sus razones de cambio. Estas relaciones se escriben en una forma
conocida como ecuaciones diferenciales. As, el objetivo principal
de estudiar clculo diferencial consiste en comprender qu son las
razones de cambio y cmo escribir ecuaciones diferenciales. El
clculo integral proporciona mtodos para recupe- rar las variables
originales conociendo sus razones de cambio. La tcnica para hacer
esto se denomina integracin, y el objetivo fundamental del estudio
del clculo integral es aprender a resolver las ecuaciones
diferenciales proporcionadas por el clculo diferencial. A menudo
estos objetivos estn encubiertos en libros de clculo, donde el
clculo diferen- cial se utiliza para encontrar los valores mximo y
mnimo de ciertas variables, y el clculo inte- gral se usa para
calcular longitudes, reas y volmenes. Hay dos razones para recalcar
estas apli- caciones en un libro de texto. Primero, la utilizacin
completa del clculo usando ecuaciones diferenciales implica una
teora ms bien complicada que debe presentarse de manera gradual;
entre tanto, al estudiante debe ensersele algn uso de las tcnicas
que se proponen. Segundo, Isaac Newton Gottfried Leibniz
00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xvii
17. estos problemas fueron la fuente de las ideas que
condujeron al clculo; los usos que ahora hace- mos del tema slo se
presentaron despus del descubrimiento de aqul. Al describir los
problemas que llevaron al clculo y los problemas que pueden
resolverse usando clculo, an no se han indicado las tcnicas
fundamentales que hacen de esta disciplina una herramienta de
anlisis mucho ms poderosa que el lgebra y la geometra. Estas
tcnicas implican el uso de lo que alguna vez se denomin anlisis
infinitesimal. Todas las construcciones y las frmulas de la
geometra y el lgebra de preparatoria poseen un carcter finito. Por
ejemplo, para construir la tangente de un crculo o para bisecar un
ngulo se realiza un nmero finito de operaciones con regla y comps.
Aunque Euclides saba considerablemente ms geometra que la que se
ensea en cursos actuales modernos de preparatoria, l tambin se
autoconfin esencial- mente a procesos finitos. Slo en el contexto
limitado de la teora de las proporciones permiti la presencia de lo
infinito en su geometra, y aun as est rodeado por tanto cuidado
lgico que las demostraciones implicadas son extraordinariamente
pesadas y difciles de leer. Lo mismo ocurre en lgebra: para
resolver una ecuacin polinomial se lleva a cabo un nmero finito de
operacio- nes de suma, resta, multiplicacin, divisin y extraccin de
raz. Cuando las ecuaciones pueden resolverse, la solucin se expresa
como una frmula finita que implica coeficientes. Sin embargo, estas
tcnicas finitas cuentan con un rango limitado de aplicabilidad. No
es posible encontrar las reas de la mayora de las figuras curvas
mediante un nmero finito de ope- raciones con regla y comps, y
tampoco resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que
cinco usando un nmero finito de operaciones algebraicas. Lo que se
quera era escapar de las limitaciones de los mtodos finitos, y esto
condujo a la creacin del clculo. Ahora considera- remos algunos de
los primeros intentos por desarrollar tcnicas para manipular los
problemas ms difciles de la geometra, luego de lo cual trataremos
de resumir el proceso mediante el que se tra- baj el clculo, y
finalmente exhibiremos algo de los frutos que ha producido. Las
fuentes geomtricas del clculo Uno de los problemas ms antiguos en
matemticas es la cuadratura del crculo; es decir, construir un
cuadrado de rea igual a la de un crculo dado. Como se sabe, este
problema no puede resolverse con regla y comps. Sin embargo,
Arqumedes descubri que si es posible trazar una espiral, empezando
en el centro de un crculo que hace exactamente una revolucin antes
de llegar al crculo, entonces la tangente a esa espiral, en su
punto de interseccin con el crculo, forma la hipotenusa de un
tringulo rectngulo cuya rea es exactamente igual al crculo (vea la
figura 1). Entonces, si es posible trazar esta espiral y su tan-
gente, tambin lo es cuadrar el crculo. Arqumedes, no obstante,
guard silencio sobre cmo podra trazarse esta tangente. Observamos
que uno de los problemas clsicos en matemticas puede resolverse slo
si es posible trazar cierta curva y su tangente. Este problema, y
otros parecidos, originaron que el pro- blema puramente matemtico
de encontrar la tangente a una curva se volviera importante. Este
problema constituye la fuente ms importante del clculo diferencial.
El truco infinitesimal xviii Ensayo Crculo Espiral Tangente FIGURA
1 La espiral de Arqumedes. La tangente al final de la primera
vuelta de la espiral y los dos ejes forman un tringulo con rea
igual a la del crculo centrado en el origen y que pasa por el punto
de la tangente 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina
xviii
18. que permite la solucin del problema es considerar la
tangente como la recta determinada por dos puntos en la curva
infinitamente prximos entre s. Otra forma de decir lo mismo es que
una pieza infinitamente corta de la curva es recta. El problema es
que resulta difcil ser preci- so sobre los significados de las
frases infinitamente prximos e infinitamente cortos. Poco avance se
logr en este problema hasta la invencin de la geometra analtica en
el siglo XVII por Pierre de Fermat (1601-1665) y Ren Descartes
(1596-1650). Una vez que se pudo representar una curva por medio de
una ecuacin, fue posible afirmar con ms confianza lo que se entenda
por puntos infinitamente prximos, al menos para ecuaciones
polinomiales como y = x2 . Con simbolismo algebraico para
representar puntos en la curva, era posible considerar dos puntos
sobre la curva con coordenadas x0 y x1, de modo que x1 x0 es la
distancia entre las coordenadas x. Cuando la ecuacin de la curva se
escriba en cada uno de estos puntos y una de las dos ecuaciones se
restaba de la otra, un lado de la ecuacin resultante contena el
factor x1 x0, que entonces poda eliminarse por divisin. Por lo
tanto, si y entonces y1 - y0 = x1 2 - x0 2 = (x1 - x0) = (x1 + x0),
de modo que Cuando (x1 = x0), se concluye que (y1 = y0), y la
expresin carece de sentido. Sin embargo, la expresin x1 + x0 tiene
el valor perfectamente definido 2x0. Entonces, es posible
considerar a 2x0 como la razn de la diferencia infinitamente pequea
en y; es decir, y1 - y0 a la diferencia infinitamente pequea en x;
es decir, x1 - x0, cuando el punto (x1, y1) est infinitamente cerca
del punto (y1, y0) sobre la curva y = x2 . Como aprender al
estudiar clculo, esta razn proporciona suficiente informacin para
trazar la recta tangente a la curva y = x2 . Excepto por pequeos
cambios en la notacin, el razonamiento anterior es exactamente la
forma en que Fermat encontr la tangente a una parbola. Sin embargo,
estaba abierta a una objecin lgica: en un momento, ambos lados de
la ecuacin se dividen entre x1 - x0, entonces en un paso posterior
decidimos que x1 - x0 = 0. Puesto que la divisin entre cero es una
opera- cin ilegal, parece que estamos tratando de comernos nuestro
pastel y no hacerlo; es decir, no se pueden hacer ambas cosas. Tuvo
que pasar algn tiempo para responder de manera convincente a esta
objecin. Hemos visto que Arqumedes no pudo resolver el problema
fundamental del clculo dife- rencial: trazar la tangente a una
curva. Sin embargo, Arqumedes pudo resolver algunos de los
problemas fundamentales del clculo integral. De hecho, encontr el
volumen de una esfera mediante un sistema extremadamente ingenioso:
consider un cilindro que contena un cono y una esfera e imagin
cortar esta figura en una infinidad de rebanadas delgadas. Al
suponer las reas de estas secciones del cono, la esfera y el
cilindro, pudo demostrar cmo el cilindro equi- librara al cono y a
la esfera si las figuras se colocan en los platos opuestos de una
balanza. Este equilibrio proporcion una relacin entre las figuras,
y como Arqumedes ya conoca los vol- menes del cono y del cilindro,
entonces pudo calcular el volumen de la esfera. Este razonamiento
ilustra la segunda tcnica infinitesimal que se encuentra en los
funda- mentos del clculo: un volumen puede considerarse como una
pila de figuras planas, y un rea puede considerarse como una pila
de segmentos de rectas, en el sentido de que si cada seccin
horizontal de una regin es igual a la misma seccin horizontal de
otra regin, entonces las dos regiones son iguales. Durante el
Renacimiento europeo este principio se volvi de uso muy comn bajo
el nombre de mtodo de los indivisibles para encontrar las reas y
los volmenes de muchas figuras. Hoy en da se denomina principio de
Cavalieri en honor de Bonaventura Cavalieri (1598-1647), quien lo
us para demostrar muchas de las frmulas elementales que ahora
forman parte del clculo integral. El principio de Cavalieri tambin
fue descubierto en otras tierras donde jams lleg la obra de
Euclides. Por ejemplo, los matemticos chinos del siglo V Zu
Chongzhi y su hijo Zu Geng hallaron el volumen de una esfera usando
una tcnica bastante parecida al mtodo de Arqumedes. As, encontramos
matemticos que anticiparon el clculo integral usando mtodos
infinite- simales para encontrar reas y volmenes en una etapa muy
temprana de la geometra, tanto en la Grecia como la China antiguas.
As ocurre con el mtodo infinitesimal para trazar tangentes; no
obstante, este mtodo para encontrar reas y volmenes estaba sujeto a
objeciones. Por ejem- plo, el volumen de cada seccin plana de una
figura es cero; cmo es posible reunir una colec- cin de ceros para
obtener algo que no es cero? Adems, por qu el mtodo no funciona en
una dimensin? Considere las secciones de un tringulo rectngulo
paralelas a uno de sus catetos. y1 y0 x1 x0 y1 y0 x1 x0 x1 x0. y1
x2 1,y0 x2 0 Ensayo xix 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44
Pgina xix
19. Cada seccin corta a la hipotenusa y al otro cateto en
figuras congruentes; a saber, en un punto a cada uno. Sin embargo,
la hipotenusa y el otro cateto no miden lo mismo. Objeciones como
sta eran preocupantes. Los resultados obtenidos con estos mtodos
fueron espectaculares. No obstante, los matemticos prefirieron
aceptarlos como un acto de fe, seguir usndolos e intentar construir
sus fundamentos ms tarde, justo como en un rbol cuando la raz y las
ramas crecen al mismo tiempo. La invencin del clculo A mediados del
siglo XVII se conocan muchas de las tcnicas y hechos elementales
del clculo, incluso mtodos para encontrar las tangentes de curvas
simples y frmulas de reas acotadas por estas curvas. En otras
palabras, muchas de las frmulas que usted encontrar en los primeros
captulos de cualquier libro de texto de clculo ya eran conoci- das
antes de que Newton y Leibniz iniciaran su obra. Lo que faltaba
hasta fines del siglo XVII era tomar conciencia de que estos dos
tipos de problemas estn relacionados entre s. Para ver cmo se
descubri la relacin, es necesario abundar ms en las tangentes. Ya
men- cionamos que para trazar una tangente a una curva en un punto
dado se requiere saber cmo encontrar un segundo punto en la recta.
En la etapa inicial de la geometra analtica este segun- do punto
sola tomarse como el punto en que la tangente corta al eje x. La
proyeccin sobre el eje x de la porcin de la tangente entre el punto
de tangencia y la interseccin con el eje x se denominaba
subtangente. En el estudio de las tangentes surgi un problema muy
natural: recons- truir una curva, dada la longitud de su
subtangente en cualquier punto. Por medio del estudio de este
problema fue posible percibir que las ordenadas de cualquier curva
son proporcionales al rea bajo una segunda curva cuyas ordenadas
son las longitudes de las subtangentes a la curva original. El
resultado es el teorema fundamental del clculo. El honor de haber
reconocido de manera explcita esta relacin pertenece a Isaac Barrow
(1630-1677), quien lo indic en un libro denominado Lectiones
Geometricae en 1670. Barrow plante varios teoremas semejantes al
teo- rema fundamental del clculo. Uno de ellos es el siguiente: Si
se traza una curva de modo que la razn de su ordenada a su
subtangente [esta razn es precisamente lo que ahora se denomi- na
derivada] es proporcional a la ordenada de una segunda curva,
entonces el rea bajo la segunda curva es proporcional a la ordenada
de la primera. Estas relaciones proporcionaron un principio
unificado para el gran nmero de resultados particulares sobre
tangentes y reas que se haban encontrado con el mtodo de
indivisibles a principios del siglo XVII: para encontrar el rea
bajo una curva haba que hallar una segunda curva para la cual la
razn de la ordenada a la subtangente sea igual a la ordenada de la
curva dada. As, la ordenada de esa segunda curva proporciona el rea
bajo la primera curva. En este punto el clculo estaba preparado
para surgir. Slo requera de alguien que pro- porcionara mtodos
sistemticos para el clculo de tangentes (en realidad, subtangentes)
e in- vertiera ese proceso para encontrar reas. Es el trabajo
realizado por Newton y Leibniz. Estos dos gigantes de la
creatividad matemtica siguieron senderos bastante distintos en sus
descubri- mientos. El mtodo de Newton era algebraico y desarroll el
problema de encontrar un mtodo efi- ciente para extraer las races
de un nmero. Aunque apenas empez a estudiar lgebra en 1662, ya
alrededor de 1665 las reflexiones de Newton sobre el problema de
extraer races lo conduje- ron al descubrimiento de la serie
infinita que actualmente se denomina teorema del binomio; es decir,
la relacin Al combinar el teorema del binomio con tcnicas
infinitesimales, Newton pudo deducir las frmulas bsicas del clculo
diferencial e integral. Crucial en el enfoque de Newton fue el uso
de series infinitas para expresar las variables en cuestin, y el
problema fundamental que Newton no resolvi fue establecer que tales
series podan manipularse justo como sumas finitas. Por tanto, en un
sentido Newton llev al infinito desde una entrada a su madriguera
slo para encon- trar que una cara estaba frente a la otra. A partir
de la consideracin de las variables como cantidades fsicas que
cambian su valor con el tiempo, Newton invent nombres para las
variables y sus razones de cambio que refleja- ban esta intuicin.
Segn Newton, un fluent (x) es una cantidad en movimiento o que
fluye; su fluxin (x) es su razn de flujo, lo que ahora se denomina
velocidad o derivada. Newton expuso (1 x)r 1 rx r(r 1) 2 x2 r(r
1)(r 2) 1 . 2 . 3 r3 p xx Ensayo 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10
09:44 Pgina xx
20. sus resultados en 1671 en un tratado denominado Fluxions
escrito en latn, pero su obra no fue publicada sino hasta que
apareci una versin en ingls en 1736. (La versin original en latn
fue publicada por primera vez en 1742.) A pesar de la notacin y de
sus razonamientos que parecen insuficientes y rudimentarios hoy en
da, el tremendo poder del clculo brilla a travs del mtodo de las
fluxiones de Newton en la solucin de problemas tan difciles como
encontrar la longitud de arco de una curva. Se pensa- ba que esta
rectificacin de una curva era imposible, pero Newton demostr que
era posible encontrar un nmero finito de curvas cuya longitud poda
expresarse en trminos finitos. El mtodo de Newton para el clculo
era algebraico, como hemos visto, y hered el teore- ma fundamental
de Barrow. Por otro lado, Leibniz trabaj el resultado fundamental
desde 1670, y su enfoque era diferente al de Newton. Se considera a
Leibniz como el pionero de la lgica simblica, y su opinin acerca de
la importancia de la buena notacin simblica era mucho mejor que la
de Newton. Invent la notacin dx y dy que sigue en uso. Para l, dx
era una abre- viacin de diferencia en x, y representaba la
diferencia entre dos valores infinitamente prxi- mos de x. En otras
palabras, expresaba exactamente lo que tenamos en mente hace poco
cuan- do consideramos el cambio infinitamente pequeo x1 x0. Leibniz
consideraba que dx era un nmero infinitesimal, diferente de cero,
pero tan pequeo que ninguno de sus mltiplos poda exceder cualquier
nmero ordinario. Al ser diferente de cero, poda servir como
denominador en una fraccin, y as dy/dx era el cociente de dos
cantidades infinitamente pequeas. De esta forma esperaba superar
las objeciones al nuevo mtodo establecido para encontrar tangentes.
Leibniz tambin realiz una aportacin fundamental en la tcnica
controvertida de encon- trar reas al sumar secciones. En lugar de
considerar el rea [por ejemplo, el rea bajo una curva y = f(x)]
como una coleccin de segmentos de recta, la consideraba como la
suma de las reas de rectngulos infinitamente delgados de altura y =
f(x) y base infinitesimal dx. Por tanto, la diferencia entre el rea
hasta el punto x + dx y el rea hasta el punto x era la diferencia
infinite- simal en rea dA = f(x) dx, y el rea total se encontraba
sumando estas diferencias infinitesima- les en rea. Leibniz invent
la S alargada (el signo integral ) que hoy en da se usa universal-
mente para expresar este proceso de suma. As expresaba el rea bajo
la curva y = f(x) como A = dA = f(x) dx, y cada parte de este
smbolo expresaba una idea geomtrica simple y clara. Con la notacin
de Leibniz, el teorema fundamental del clculo de Barrow simplemente
indica que el par de ecuaciones son equivalentes. Debido a lo que
acaba de plantearse, esta equivalencia es casi evidente. Tanto
Newton como Leibniz lograron grandes avances en matemticas, y cada
uno posee bastante crdito por ello. Resulta lamentable que la
estrecha coincidencia de su obra haya con- ducido a una enconada
discusin sobre la prioridad entre sus seguidores. Algunas partes
del clculo, que implican series infinitas, fueron inventadas en
India duran- te los siglos XIV y XV. Jyesthadeva, matemtico indio
de fines del siglo XV, proporcion la serie para la longitud de un
arco de crculo, demostr este resultado y de manera explcita plante
que esta serie converge slo si u no es mayor que 45. Si se escribe
u = arctan x y se usa el hecho de que = tan u = x, esta serie se
convierte en la serie normal para arctan x. De modo independiente,
otras series fueron desarrolladas en Japn casi al mismo tiempo que
en Europa. El matemtico japons Katahiro Takebe (1664-1739) encontr
un desarrollo en serie equivalente a la serie para el cuadrado de
la funcin arcsen. l consider el cuadrado de la mitad de arco a la
altura h en un crculo de dimetro d; esto result ser la funcin f(h)
= . Takebe careca de notacin para el trmino general de una serie,
aunque descubri patrones en los coeficientes al calcular
geomtricamente la funcin en el valor particular de h = 0.000001, d
= 10 hasta un valor muy grande de cifras decimales ms de 50, y
luego al usar esta pre- cisin extraordinaria para refinar la
aproximacin al sumar sucesivamente trminos correctivos. Q d 2
arcsen h d R 2 sen u cos u A f(x)dx, dA f(x)dx Ensayo xxi u r Q sen
u cos u sen3 u 3cos3 u sen5 u 5cos5 u p R 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd
29/10/10 09:44 Pgina xxi
21. Al proceder de esta manera pudo discernir un patrn en las
aproximaciones sucesivas, a partir de lo cual, por extrapolacin,
pudo plantear el trmino general de la serie: Despus de Newton y de
Leibniz quedaba el problema de dar contenido al esqueleto inven-
tado por estos dos genios. La mayor parte de su obra fue completada
por matemticos de la Europa continental, en especial por el crculo
creado por los matemticos suizos James Bernoulli (1655-1705) y John
Bernoulli (1667-1748), as como el estudiante de este ltimo, el
marqus de LHpital (1661-1704). stos y otros matemticos trabajaron
las conocidas frmulas para las derivadas e integrales de funciones
elementales que an se encuentran en libros de texto actua- les. Las
tcnicas esenciales de clculo eran conocidas a principios del siglo
XVIII, y un libro de texto del siglo XVIII como la Introduccin al
anlisis del infinito, de Euler (1748), en caso de haber estado
traducida al espaol se vera bastante como un libro de texto
moderno. El legado del clculo Una vez que hemos abordado las
fuentes del clculo y el procedimiento con el que fue elaborado, a
continuacin analizaremos brevemente los resultados que produjo. El
clculo obtuvo una cantidad impresionante de triunfos en sus dos
primeros siglos. Result que docenas de fenmenos fsicos previamente
oscuros que implican calor, fluidez, mecnica celeste, elasticidad,
luz, electricidad y magnetismo posean propiedades mensurables cuyas
relaciones podan describirse como ecuaciones diferenciales. La
fsica se comprometi para siempre en hablar el lenguaje del clculo.
Sin embargo, de ninguna manera fueron resueltos todos los problemas
surgidos de la fsica. Por ejemplo, no era posible encontrar, en
trminos de funciones elementales conocidas, el rea bajo una curva
cuya ecuacin implicaba la raz cuadrada de un polinomio cbico. Estas
integra- les surgieron a menudo tanto en geometra como en fsica, y
llegaron a conocerse como integra- les elpticas porque el problema
de encontrar la longitud slo poda comprenderse cuando la variable
real x se sustituye por una variable compleja z = x + iy. El
replanteamiento del clculo en trminos de variables complejas
condujo a mucho descubrimientos fascinantes, que termina- ron por
ser codificados como una nueva rama de las matemticas denominada
teora de funcio- nes analticas. La definicin idnea de integracin
sigui siendo un problema durante algn tiempo. Como consecuencia del
uso de procesos infinitesimales para encontrar reas y volmenes
surgieron las integrales. Deba la integral definirse como una suma
de diferencias infinitesimales o como la inversa de la
diferenciacin? Qu funciones podan integrarse? En el siglo XIX se
propusie- ron muchas definiciones de la integral, y la elaboracin
de estas ideas llev al tema conocido actualmente como anlisis real.
Mientras las aplicaciones del clculo han continuado cosechando cada
vez ms triunfos en un flujo interminable durante los ltimos
trescientos aos, sus fundamentos permanecieron en un estado
insatisfactorio durante la primera mitad de este periodo. El origen
de la dificultad era el significado que haba de asociarse a la dx
de Leibniz. Qu era esta cantidad? Cmo poda no ser positiva ni cero?
De ser cero, no poda usarse como denominador; de ser positiva,
entonces las ecuaciones en que apareca no eran realmente
ecuaciones. Leibniz consideraba que los infi- nitesimales eran
entes verdaderos, que las reas y los volmenes podan sintetizarse al
sumar sus secciones, como haban hecho Zu Chongzhi, Arqumedes y
otros. Newton tena menos con- fianza acerca de la validez de los
mtodos infinitesimales, e intent justificar sus razonamientos en
formas que pudiesen cumplir las normas del rigor euclideano. En su
Principia Mathematica escribi: Estos lemas tienen el cometido de
evitar el tedio de deducir ad absurdum demostraciones impl- citas,
segn el mtodo de los gemetras de la antigedad. Las demostraciones
son ms breves segn el mtodo de indivisibles, pero debido a que la
hiptesis de indivisibles parece ser algo ms dura y, en
consecuencia, ese mtodo se acepta como menos geomtrico, en lugar de
ello elijo reducir las demostraciones de las siguientes
proposiciones a las sumas y razones primera y lti- ma de cantidades
que desaparecen; es decir, a los lmites de estas sumas y razones...
En conse- cuencia, si en lo sucesivo debo considerar que las
cantidades estn formadas de partculas, o debo usar pocas lneas
curvas por las [rectas] idneas, no debe interpretarse que estoy
queriendo decir cantidades indivisibles, sino cantidades divisibles
que desaparecen. . . f(h) dhc1 a q n1 22n1 (n!)2 (2n 2)! Q h d R n
d xxii Ensayo 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina
xxii
22. . . . En cuanto a estas ltimas razones con las que
desaparecen las cantidades, no son en verdad las razones de
cantidades ltimas, sino lmites hacia los cuales las razones de
cantidades decre- cientes sin lmite siempre convergen; y a los que
tienden de manera ms prxima que con cual- quier diferencia dada,
aunque nunca van ms all, ni en el efecto alcanzado, hasta que las
canti- dades disminuyen in infinitum. En este pasaje Newton afirma
que la falta de rigor implicado en el uso de razonamientos
infinitesimales puede compensarse con el uso de lmites. Sin
embargo, su planteamiento de este concepto en el pasaje citado no
es tan claro como uno deseara. Esta falta de claridad condujo al
filsofo Berkeley a referirse desdeosamente a los fluxiones como
fantasmas de cantidades. Sin embargo, los avances alcanzados en
fsica usando clculo fueron tan sobresalientes que durante ms de un
siglo nadie se preocup en proporcionar el rigor al que aluda Newton
(y los fsicos siguen sin preocuparse al respecto!). Una presentacin
completamente rigurosa y siste- mtica del clculo lleg slo hasta el
siglo XIX. Segn la obra de Augustin-Louis Cauchy (1789-1856) y Karl
Weierstrass (1815-1896), la percepcin era que los infinitesimales
eran meramente de naturaleza heurstica y que los estu- diantes
estaban sujetos a un riguroso enfoque epsilon-delta de los lmites.
De manera sorpren- dente, en el siglo XX Abraham Robinson
(1918-1974) demostr que es posible desarrollar un modelo lgicamente
consistente de los nmeros reales en el que hay infinitesimales
verdaderos, como crea Leibniz. Sin embargo, parece que este nuevo
enfoque, denominado anlisis no estndar, no ha sustituido a la
presentacin tradicional actual del clculo. Ejercicios 1. El tipo de
espiral considerada por Arqumedes ahora se denomina as en su honor.
Una espi- ral de Arqumedes es el lugar geomtrico de un punto que se
mueve a velocidad constante a lo largo de un rayo que gira con
velocidad angular constante alrededor de un punto fijo. Si la
velocidad lineal a lo largo del rayo (la componente radial de su
velocidad) es y, el punto est a una distancia yt del centro de
rotacin (suponiendo que es donde empieza) en el instante t. Suponga
que la velocidad angular de rotacin del rayo es v (radianes por
uni- dad de tiempo). Dados un crculo de radio R y una velocidad
radial de y, cul debe ser v para que la espiral llegue al crculo al
final de su primera vuelta? Res. El punto tendr una velocidad
circunferencial rv = yt v. Segn un principio enunciado en la
Mecnica de Aristteles, la velocidad real de la partcula est
dirigida a lo largo de la diagonal de un paralelogramo (en este
caso un rectngulo) cuyos lados son las componen- tes. Use este
principio para mostrar cmo construir la tangente a la espiral (que
es la recta que contiene a la diagonal de este rectngulo).
Compruebe que los lados de este rectngulo guardan la relacin 1 :
2p. Observe la figura 1. 2. La figura 2 ilustra cmo Arqumedes
encontr la relacin entre los volmenes de la esfera, el cono y el
cilindro. El dimetro AB est duplicado, haciendo BC = AB. Cuando
esta figu- ra se hace girar alrededor de esta recta, el crculo
genera una esfera, el tringulo DBG gene- ra un cono y el rectngulo
DEFG genera un cilindro. Demuestre los hechos siguientes: a) Si B
se usa como fulcro, el cilindro tiene como centro de gravedad el
centro K del crcu- lo y, en consecuencia, todo puede concentrarse
ah sin cambiar la torsin alrededor de B. b) Cada seccin del
cilindro perpendicular a la recta AB, permaneciendo en su posicin
actual, equilibrara exactamente la misma seccin del cono ms la
seccin de la esfera si stos dos se desplazaran al punto C. c) Por
tanto, el cilindro concentrado en K equilibrara al cono y a la
esfera que se concen- tran en C. d) En consecuencia, el cilindro es
igual al doble de la suma del cono y la esfera. e) Puesto que se
sabe que el cono es un tercio del cilindro, se concluye que la
esfera debe ser un sexto de ste. f) Que el volumen del cilindro es
8pr2 . A2py R B Ensayo xxiii 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10
09:44 Pgina xxiii
23. 3. El mtodo con el que Zu Chongzhi y Zu Geng encontraron el
volumen de la esfera es el siguiente: imagine que la esfera es una
pelota fuertemente adherida dentro de la interseccin de dos
cilindros que forma ngulos rectos entre s. Luego, el slido formado
por la intersec- cin de los dos cilindros (denominado paraguas
doble en chino) y que contiene la pelota se ajusta perfectamente
dentro de un cubo cuya arista es igual al dimetro de la esfera. A
partir de esta descripcin, trace una seccin de la esfera dentro del
paraguas doble formado por los ejes de los dos cilindros y a una
distancia h debajo de este pleno. Comprue- be los hechos
siguientes: a) Si el radio de la esfera es r, el dimetro de su
seccin circular es b) Por tanto, el rea del cuadrado formado por
esta seccin del paraguas doble es 4(r2 h2 ), de modo que el rea
entre la seccin del cubo y la seccin del paraguas doble es c) La
seccin correspondiente de una pirmide cuya base es la parte
inferior de un cubo y cuyo vrtice est en el centro de la esfera (o
del cubo) tambin tiene un rea de 4h2 . Por tanto, el volumen entre
el paraguas doble y el cubo es exactamente el volumen de esta
pirmide ms su imagen especular arriba del plano central. Concluya
que la regin entre el paraguas doble y el cubo es un tercio del
cubo. d) En consecuencia, el paraguas doble ocupa dos tercios del
volumen del cubo; es decir, su volumen es e) Cada seccin circular
de la esfera est inscrita en la seccin cuadrada correspondiente del
paraguas doble. Por tanto, la seccin circular es de la seccin del
paraguas doble. f) En consecuencia, el volumen de la esfera es del
volumen del paraguas doble; es decir, . 4. Proporcione un
razonamiento infinitesimal de que el rea de la esfera es tres veces
su volumen dividido entre su radio, al suponer que la esfera es una
coleccin de pirmides infinitamente delgadas donde todos los vrtices
se encuentren adheridos al origen. [Suge- rencia: parta del hecho
de que el volumen de una pirmide es un tercio del rea de su base
multiplicada por su altura. Arqumedes afirmaba que ste es el
razonamiento que lo condu- jo al descubrimiento del rea de la
esfera.] 4 3pr3 p 4 p 4 16 3 r3 . 4r2 4(r2 h2 ) 4h2 . 22r2 h2 .
xxiv Ensayo FIGURA 2 Seccin de la esfera, el cono y el cilindro de
Arqumedes B K A C D E FG 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44
Pgina xxiv
24. Cnicas y coordenadas polares En este captulo Una ecuacin
rectangular o cartesiana no es la nica manera, y a menudo tampoco
la ms conveniente, de describir una curva en el plano. En este
captulo consideraremos dos medios adicionales mediante los cuales
puede representarse una curva. Uno de los dos enfoques utiliza un
tipo de sistema de coordenadas completamente nuevo. Empezamos este
captulo con la revisin de la nocin de una seccin cnica. 547 10.1
Secciones cnicas 10.2 Ecuaciones paramtricas 10.3 Clculo y
ecuaciones paramtricas 10.4 Sistema de coordenadas polares 10.5
Grficas de ecuaciones polares 10.6 Clculo en coordenadas polares
10.7 Secciones cnicas en coordenadas polares Revisin del captulo 10
Captulo 10 r Satlite AfelioPerihelio rp ra 10Zill547-568.qxd
18/9/10 13:00 Pgina 547
25. 10.1 Secciones cnicas Introduccin Hipatia es la primera
mujer en la historia de las matemticas sobre la que se tiene un
considerable conocimiento. Nacida en 370 d.C., en Alejandra, fue
una matemtica y filsofa renombrada. Entre sus escritos est Sobre
las cnicas de Apolonio, el cual populariz el trabajo de Apolonio
(200 a.C.) sobre las curvas que se obtienen al intersecar un doble
cono con un plano: el crculo, la parbola, la elipse y la hiprbola.
Vea la FIGURA 10.1.1. Al finalizar el perio- do griego se desvaneci
el inters en las secciones cnicas; despus de Hipatia el estudio de
estas curvas fue ignorado durante 1 000 aos. En el siglo XVII,
Galileo demostr que ante la ausencia de resistencia del aire, la
trayectoria de un proyectil sigue un arco parablico. Casi al mismo
tiempo Johannes Kepler propuso la hip- tesis de que las rbitas de
los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol en un foco.
Esto fue verificado despus por Isaac Newton, utilizando los mtodos
del recin desarrollado clcu- lo. Kepler experiment tambin con las
propiedades de reflexin de los espejos parablicos. Estas
investigaciones aceleraron el desarrollo del telescopio reflector.
Los griegos supieron poco de estas aplicaciones prcticas: haban
estudiado las cnicas por su belleza y propiedades fasci- nantes. En
lugar de utilizar un cono, veremos en esta seccin cmo la parbola,
la elipse y la hiprbola se definen mediante la distancia. Con el
empleo de un sistema de coordenadas rectan- gular y la frmula de la
distancia, obtendremos ecuaciones para las cnicas. Cada una de
estas ecuaciones estar en la forma de una ecuacin cuadrtica en las
variables x y y: (1) donde A, B, C, D, E y F son constantes. La
forma estndar de un crculo con centro (h, k) y radio r, (2) es un
caso especial de (1). La ecuacin (2) es un resultado directo de la
definicin de un crculo: Un crculo se define como el conjunto de
todos los puntos P(x, y) en el plano de coorde- nadas que se
encuentran a una distancia fija r dada, denominada radio, a partir
de un punto fijo dado (h, k), llamado centro. De manera similar,
utilizamos la frmula de la distancia para obtener ecuaciones
correspondien- tes a la parbola, la elipse y la hiprbola. La grfica
de una funcin cuadrtica es una parbola. Sin embar- go, no toda
parbola es la grfica de una funcin de x. En general, una parbola se
define de la siguiente manera: y ax2 bx c, a 0, (x h)2 (y k)2 r2 ,
Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0, crculo elipse parbola hiprbola FIGURA 10.1.1
Cuatro secciones cnicas 548 CAPTULO 10 Cnicas y coordenadas polares
Hipatia Cuando el plano pasa por el vr- tice del cono obtenemos una
cnica degenerada: un punto, un par de rectas o una sola recta.
Definicin 10.1.1 Parbola Una parbola es el conjunto de todos los
puntos P(x, y) en el plano que son equidistantes de una lnea fija
L, llamada directriz, y un punto fijo F, llamado foco. La lnea a
travs del foco perpendicular a la directriz se denomina eje de la
parbola. El punto de interseccin de la parbola y el eje se conoce
como vrtice de la parbola. 10Zill547-568.qxd 26/10/10 12:03 Pgina
548
26. Ecuacin de una parbola Para describir una parbola
analticamente, supondremos en aras de la discusin que la directriz
L es la recta horizontal y -p y que el foco es F(0, p). Utilizando
la definicin 10.1.1 y la FIGURA 10.1.2, observamos que es la misma
que Al elevar al cuadrado ambos lados y simplificar se llega a (3)
Afirmamos que (3) es la forma estndar de la ecuacin de una parbola
con foco F(0, p) y directriz y -p. De la misma manera, si la
directriz y el foco son, respectivamente, x -p y F(p, 0),
encontramos que la forma estndar para la ecuacin de la parbola es
(4) Aunque asumimos que en la figura 10.1.2, esto, desde luego, no
necesariamente es el caso. La FIGURA 10.1.3 resume la informacin
acerca de las ecuaciones (3) y (4). p 7 0 2x2 (y p)2 y p. d(F, P)
d(P, Q) 10.1 Secciones cnicas 549 FIGURA 10.1.2 Parbola con vr-
tice (0, 0) y foco en el eje y y x F(0, p) Q(x, p)yp P(x, y)
Sugerencia de graficacin para las ecuaciones (3) y (4). y x yx2
foco directrizy 0, 1 4 1 4( ) FIGURA 10.1.4 Grfica de la ecuacin
del ejemplo 1 y foco vrtice eje a) x2 4py, p 0 directrizyp F(0, p)
x y foco vrtice b) x2 4py, p 0 directrizy p F(0, p) x eje y
focovrtice eje c) y2 4px, p0 directriz xp F( p, 0) x y foco vrtice
d) y2 4px, p0 directriz xp F( p, 0) eje x FIGURA 10.1.3 Resumen
grfico de las ecuaciones (3) y (4). y (2, 0) 2 2 x x2 FIGURA 10.1.5
Directriz y foco del ejemplo 2 EJEMPLO 1 Foco y directriz Determine
el foco y la directriz de la parbola cuya ecuacin es y x2 . Solucin
Al comparar la ecuacin y x2 con (3) es factible identificar los
coeficientes de y, 4p 1 y por ello En consecuencia, el foco de la
parbola es y su directriz es la recta horizontal La familiar
grfica, junto con el foco y la directriz, se presentan en la FIGURA
10.1.4. Al conocer la forma parablica bsica, lo nico que
necesitamos saber para dibujar una gr- fica aproximada de la
ecuacin (3) o (4) es el hecho de que la grfica pasa por su vrtice
(0, 0) y la direccin en la cual se abre la parbola. Para agregar ms
exactitud a la grfica es conve- niente utilizar el nmero p
determinado por la ecuacin en forma estndar para dibujar dos pun-
tos adicionales. Advierta que si se elige y p en (3), entonces
implica De tal modo, (2p, p) y (-2p, p) yacen sobre la grfica de x2
= 4py. De manera similar, la eleccin x = p en (2) produce los
puntos (p, 2p) y (p, - 2p) sobre la grfica de y2 = 4px. El segmento
de recta a travs del foco con puntos frontera (2p, p), (- 2p, p)
para las ecuaciones con forma estn- dar (3), y (p, 2p), (p, -2p)
para ecuaciones con la forma estndar (4) recibe el nombre de cuer-
da focal. Por ejemplo, en la figura 10.1.4, si elegimos entonces
implica Los puntos frontera de la cuerda focal horizontal para y =
x2 son A- , B y A , B. EJEMPLO 2 Determinacin de la ecuacin de una
parbola Determine la ecuacin en forma estndar de la parbola con
directriz x 2 y foco (-2, 0). Grafique. Solucin En la FIGURA 10.1.5
hemos graficado la directriz y el foco, y nos hemos dado cuenta,
por su ubicacin, que la ecuacin que buscamos es de la forma y2 4px.
Puesto que p -2, la parbola se abre hacia la izquierda y por ello
Como mencionamos en la discusin precedente a este ejemplo, si
sustituye en la ecuacin y2 -8x es posible que encontremos dos
puntos sobre su grfica. De y2 8(2) 16 x p 2 1 4 1 2 1 4 1 2 x 1
2.x2 1 4y 1 4, x 2p.x2 4p2 y 1 4. A0, 1 4Bp 1 4. x2 4py. y2 4px. y2
4( 2)x o y2 8x. 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 549
27. se obtiene Como se muestra en la FIGURA 10.1.6, la grfica
pasa por (0, 0) as como a tra- vs de los puntos frontera (-2, -4) y
(-2, 4) de la cuerda focal. Vrtice trasladado a (h, k) En general,
la forma estndar de la ecuacin de una parbola con vrtice (h, k) est
dada por (5) o (6) Las parbolas definidas por estas ecuaciones son
idnticas en forma a las parbolas definidas por las ecuaciones (3) y
(4) debido a que las ecuaciones (5) y (6) representan
transformaciones rgi- das (desplazamientos hacia arriba, abajo, a
la izquierda y a la derecha) de las grficas de (3) y (4). Por
ejemplo, la parbola tiene vrtice (-1, 5). Su grfica es la de x2 =
8y desplazada horizontalmente una unidad hacia la izquierda seguida
de un desplazamiento ver- tical hacia arriba de cinco unidades. En
cada una de las ecuaciones, (3) y (4) o (5) y (6), la distancia del
vrtice al foco, as como la distancia del vrtice a la directriz, es
EJEMPLO 3 Determinacin completa Encuentre el vrtice, foco, eje,
directriz y grfica de la parbola (7) Solucin Con el fin de escribir
la ecuacin en una de las formas estndares, completamos el cuadrado
en y: Al comparar la ltima ecuacin con (6) concluimos que el vrtice
es (-4, 2) y que 4p 8 o p 2. De acuerdo con la parbola se abre
hacia la derecha y el foco est a 2 unidades a la derecha del vrtice
en (-2, 2). La directriz es la recta vertical a 2 unidades a la
izquierda del vrtice x -6. Una vez que sabemos que la parbola se
abre hacia la derecha desde el punto (-4, 2), eso nos indica que la
grfica tiene intersecciones. Para encontrar la interseccin con el
eje x se deja y 0 en (7) y se determina de inmediato que La
interseccin con x es Para determinar la interseccin con y dejamos x
= 0 en (7) y se encuentra a partir de la frmula cuadrtica que o y
Las intersecciones con y son y Al juntar toda esta informacin
obtenemos la grfica de la FIGU- RA 10.1.7. La elipse se define como
sigue: (0, 2 412).(0, 2 412) y 3.66.y 7.66y 2 412 A7 2, 0B. x 7 2.
p 2 7 0, y2 4y 8x 28 0. 0 p0. (x 1)2 8(y 5) y 4. 550 CAPTULO 10
Cnicas y coordenadas polares Definicin 10.1.2 Elipse Una elipse es
un conjunto de puntos P(x, y) en el plano tal que la suma de las
distancias entre P y dos puntos fijos F1 y F2 es una constante. Los
puntos fijos F1 y F2 se llaman focos. El punto medio del segmento
de recta que une a F1 y F2 se denomina centro de la elipse. y x y2
8x (2, 4) (2, 4) FIGURA 10.1.6 Grfica de la parbola del ejemplo 2 y
x (2, 2) (y2)2 8(x 4) x6 (4, 2) FIGURA 10.1.7 Grfica de la ecuacin
del ejemplo 3 foco foco FIGURA 10.1.8 Una manera de dibujar una
elipse FIGURA 10.1.9 Elipse con centro (0, 0) y focos en el eje x y
x P(x, y) F2(c, 0)F1(c, 0) d1 d2 Si P es un punto de la elipse y
son las distancias desde los focos hasta P, entonces la definicin
10.1.2 afirma que (8) donde es una constante. En un nivel prctico
(8) puede utilizarse para dibujar una elipse. La FIGURA 10.1.8
muestra que si una cuerda de longitud k se une a un papel por medio
de dos tachuelas, entonces puede trazar- se una elipse insertando
un lpiz contra la cuerda y movindolo de tal manera que la cuerda
per- manezca tirante. Ecuacin de una elipse Por conveniencia
elegiremos k 2a y pondremos los focos sobre el eje x con
coordenadas y Vea la FIGURA 10.1.9. De (8) se concluye que (9)2(x
c)2 y2 2(x c)2 y2 2a. F2(c, 0).F1(c, 0) k 7 0 d1 d2 k, d2 d(F2,
P)d1 d(F1, P), (y k)2 4p(x h). (x h)2 4p(y k) (y 2)2 8(x 4). d sume
4 a ambos ladosy2 4y 4 8x 28 4 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00
Pgina 550
28. Al elevar al cuadrado (9), simplificar y elevar al cuadrado
otra vez obtenemos (10) En la figura 10.1.9 advertimos que los
puntos F1, F2 y P forman un tringulo. Como la suma de las
longitudes de cualesquiera dos lados de un tringulo es mayor que el
lado restante, tenemos o En consecuencia, Cuando dejamos entonces
(8) se convierte en Al dividir esta ltima ecuacin entre a2 b2 se
llega a (11) La ecuacin (11) se denomina la forma estndar de la
ecuacin de una elipse centrada en (0, 0) con focos (- c, 0) y (c,
0), donde c est definida por b2 = a2 - c2 y Si los focos se ubican
sobre el eje y, entonces la repeticin del anlisis anterior conduce
a (12) La ecuacin (12) se llama la forma estndar de la ecuacin de
una elipse centrada en (0, 0) con focos (0, - c) y (0, c), donde c
est definida por b2 = a2 - c2 y Ejes mayor y menor El eje mayor de
una elipse es el segmento de recta que pasa por su cen- tro,
contiene a los focos y con puntos frontera sobre la elipse. Para
una elipse con ecuacin estn- dar (11), el eje mayor es horizontal
mientras que para (12) el eje mayor es vertical. El segmen- to de
recta que pasa por el centro, perpendicular al eje mayor, y con
puntos frontera sobre la elipse recibe el nombre de eje menor. Los
dos puntos frontera del eje mayor se denominan vr- tices de la
elipse. Para (11) los vrtices son las intersecciones con el eje x.
Si dejamos y 0 en (11) da Los vrtices son entonces (-a, 0) y (a,
0). Para (12) los vrtices son las inter- secciones con el eje y (0,
- a) y (0, a). Para la ecuacin (11), los puntos frontera del eje
menor son (0, -b) y (0, b); para (12) los puntos frontera son (-b,
0) y (b, 0). Para (11) o (12), la lon- gitud del eje mayor es la
longitud del eje menor corresponde a 2b. Puesto que el eje mayor de
una elipse es siempre mayor que el eje menor. Un resumen de esta
informacin para las ecuaciones (11) y (12) aparece en la FIGURA
10.1.10. EJEMPLO 4 Vrtices, focos, grfica Determine los vrtices y
focos de la elipse cuya ecuacin es Grafique. Solucin Si divide
ambos lados de la igualdad entre 27, la forma estndar de la ecuacin
es Advierta que y por ello se identifica la ecuacin con (12). De y
b2 = 3 obtenemos y El eje mayor es vertical con puntos frontera o
vrtices (0, -3) y (0, 3). El ejeb 13.a 3 a2 99 7 3 x2 3 y2 9 1. 9x2
3y2 27. FIGURA 10.1.10 Resumen grfico de las ecuaciones (11) y (12)
interseccin con el eje y (0, b) (0, b) interseccin con el eje y eje
menor eje mayor focofoco centro (c, 0) (c, 0) vrtice (a, 0) vrtice
(a, 0) y x a) 1, a b x2 a2 y2 b2 interseccin con el eje x (b, 0) y
x interseccin con el eje x (b, 0) vrtice (0, a) (0, a) vrtice foco
foco centro eje mayor eje menor (0, c) (0, c) b) 1, a b x2 b2 y2 a2
a 7 b, a (a) 2a; x a. a 7 b 7 0. a 7 b 7 0. b2 x2 a2 y2 a2 b2 . b2
a2 c2 ,a2 c2 7 0.a 7 c.2a 7 2c (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ). 10.1
Secciones cnicas 551 x2 a2 y2 b2 1. x2 b2 y2 a2 1.
10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 551
29. menor es horizontal con puntos frontera (- , 0) y ( , 0).
Desde luego, los vrtices tambin se encuentran en las intersecciones
con el eje y y los puntos frontera del eje menor son las inter-
secciones con el eje x. En este caso, para encontrar los focos
recurrimos a o para escribir Con obtenemos En conse- cuencia, los
focos estn sobre el eje y en y La grfica se presenta en la FIGU- RA
10.1.11. Centro trasladado a (h, k) Cuando el centro est en (h, k),
la forma estndar de la ecuacin de una elipse es (13) o (14) Las
elipses definidas por estas ecuaciones son idnticas en forma a las
elipses definidas por las ecuaciones (11) y (12) puesto que las
ecuaciones (13) y (14) representan transformaciones rgi- das de las
grficas (11) y (12). Por ejemplo, la grfica de la elipse con centro
(1, -3) es la grfica de desplazada horizontalmente 1 unidad hacia
la derecha seguida por un desplazamiento vertical hacia abajo de 3
unidades. No es una buena idea memorizar frmulas para los vrtices y
focos de una elipse con cen- tro (h, k). Todo es lo mismo que
antes, a, b y c son positivos, a 7 b, a 7 c y c2 = a2 - b2 . Usted
puede ubicar los vrtices, focos y puntos frontera del eje menor
utilizando el hecho de que a es la distancia del centro al vrtice,
b es la distancia del centro a un punto extremo sobre el eje menor
y c es la distancia del centro a un foco. EJEMPLO 5 Determinacin
completa Encuentre los vrtices y focos de la elipse Grafique.
Solucin Para escribir la ecuacin dada en una de las formas
estndares (13) o (14) se comple- ta el cuadrado en x y en y. Para
hacerlo, recuerde que se desean los coeficientes de los trminos
cuadrticos x2 y y2 iguales a 1. Si factoriza 4 de los trminos x y
16 de los trminos y, obtiene o La ltima ecuacin produce la forma
estndar (15) En (15) identificamos o o y o El eje mayor es
horizontal y yace sobre la recta horizontal y = 3 que pasa por el
centro (1, 3). Corresponde al segmento de recta horizontal punteado
con rojo de la FIGURA 10.1.12. Al medir a = 4 unidades a la
izquierda y luego a la derecha del centro a lo largo de la recta y
= 3, llegamos a los vrtices (-3, 3) y (5, 3). Al medir b 2 unidades
tanto arriba como abajo de la recta verti- cal x 1 a travs del
centro llegamos a los puntos frontera (1, 1) y (1, 5) del eje
menor. El eje menor es el segmento de recta vertical punteada en
negro de la figura 10.1.12. Por ltimo, al medir unidades a la
izquierda y a la derecha del centro a lo largo de y 3 obtenemos los
focos y La definicin de una hiprbola es bsicamente la misma que la
definicin de la elipse con slo una excepcin: la palabra suma se
sustituye por la palabra diferencia. (1 213, 3).(1 213, 3) c 213 c
213.c2 a2 b2 12,b 2,b2 4a 4,a2 16 (x 1)2 16 (y 3)2 4 1. 4(x 1)2
16(y 3)2 64. 4x2 16y2 8x 96y 84 0. x2 >9 y2 >16 1 (x 1)2 9 (y
3)2 16 1 (0, 16).(0, 16) c 16.b 13,a 3,c 2a2 b2 .c2 a2 b2 b2 a2 c2
1313 552 CAPTULO 10 Cnicas y coordenadas polares FIGURA 10.1.11
Elipse del ejemplo 4 (0, 6) y x (0, 3) (0, 3) (0, 6) ( 3, 0) ( 3,
0) (1, 1) (1, 5) y x (5, 3) (1, 3) (3, 3) 1 (x1)2 16 4 (y3)2 FIGURA
10.1.12 Elipse del ejemplo 5 (x h)2 b2 (y k)2 a2 1. (x h)2 a2 (y
k)2 b2 1 4(x2 2x 1) 16(y2 6y 9) 84 4 . 1 16 . 9 10Zill547-568.qxd
18/9/10 13:00 Pgina 552
30. Si P es un punto sobre la hiprbola, entonces (16) donde d1
= d(F1, P) y d2 = d(F2, P). Al proceder como para la elipse,
ubicamos los focos sobre el eje x en y como se muestra en la FIGURA
10.1.13 y se elige la constante k igual a 2a por conveniencia
algebraica. Como se ilustra en la figura, la grfica de una hiprbola
cons- ta de dos ramas. Hiprbola con centro (0, 0) Si aplica la
frmula de la distancia y el lgebra usuales a (16) se obtie- ne la
forma estndar de la ecuacin de una hiprbola centrada en (0, 0) con
focos (-c, 0) y (c, 0), (17) Cuando los focos yacen sobre el eje x,
la forma estndar de la ecuacin de una hiprbola cen- trada en (0, 0)
con focos (0, -c) y (0, c) es (18) Tanto en (17) como en (18), c
est definida por b2 = c2 - a2 y Para la hiprbola (a diferencia de
la elipse) tenga en mente que en (17) y (18) no hay rela- cin entre
los tamaos relativos de a y b; en vez de eso, a2 siempre es el
denominador del tr- mino positivo y la ordenada al origen siempre
tiene como una coordenada. Ejes transversal y conjugado El segmento
de recta con puntos frontera sobre la hiprbola y que yace sobre la
recta que pasa por los focos se denomina eje transversal; sus
puntos frontera reciben el nombre de vrtices de la hiprbola. Para
la hiprbola descrita por la ecuacin (17), el eje transversal yace
sobre el eje x. Por tanto, las coordenadas de los vrtices son las
interseccio- nes con el eje x. Si deja y 0 obtiene o De tal manera,
como se muestra en la FIGURA 10.1.14, los vrtices son (-a, 0) y (a,
0); la longitud del eje transversal es 2a. Advierta que dejando y =
0 en (18) obtenemos -y2 b2 = 1 o y2 = -b2 , la cual no tiene
soluciones reales. En consecuencia, la grafica de cualquier ecuacin
en esa forma no tiene intersecciones con el eje y. De cualquier
modo, los nmeros son importantes. El segmento de recta que pasa por
el centro de la hiprbola perpendicular al eje transversal y con
puntos frontera (0, -b) y (0, b) se llama eje conjugado. De manera
similar, la grfica de una ecuacin en forma estndar (18) no tiene
intersecciones con el eje x. El eje conjugado (18) es el segmento
de recta con puntos fron- tera (-b, 0) y (b, 0). Esta informacin
para las ecuaciones (17) y (18) se resume en la figura 10.1.14.
Asntotas Toda hiprbola posee un par de asntotas inclinadas que
pasan por su centro. Estas asntotas son indicativas del
comportamiento final, y como tales son una ayuda invaluable en el
tra- zado de la grfica de una hiprbola. Al resolver (17) con
respecto a y en trminos de x obtenemos Cuando o cuando entonces Por
tanto, para valo- res grandes de los puntos sobre la grfica de la
hiprbola son cercanos a los puntos sobre estas rectas (19) Por un
anlisis similar encontramos que las asntotas inclinadas para (18)
son (20) 0x0, 21 a2 >x2 S 1.a2 >x2 S 0,x S q,x S q y b a x A
1 a2 x2 . b x a.x2 >a2 1, a c 7 a. F2(c, 0)F1(c, 0) 0d1 d2 0 k,
10.1 Secciones cnicas 553 Definicin 10.1.3 Hiprbola Una hiprbola es
un conjunto de puntos P(x, y) en el plano tal que la diferencia de
las distan- cias entre P y los puntos fijos F1 y F2 es constante.
Los puntos fijos F1 y F2 reciben el nom- bre de focos. El punto
medio del segmento de recta que une los puntos F1 y F2 se denomina
centro de la hiprbola. FIGURA 10.1.13 Hiprbola con centro (0, 0) y
focos en el eje x y F1(c, 0) F2(c, 0) P(x, y) d2 d1 x FIGURA
10.1.14 Resumen grfico de las ecuaciones (17) y (18) y x eje
conjugado eje transversal centro foco vrtice vrtice foco (c, 0) (a,
0) (a, 0) (c, 0) (0, b) (0, b) a) 1 x2 a2 y2 b2 y x eje conjugado
eje transversal centro (0, c) foco (0, a) vrtice (b, 0) (b, 0) (0,
a) vrtice (0, c) foco b) 1 y2 a2 x2 b2 x2 a2 y2 b2 1 y2 a2 x2 b2 1.
y b a x y y b a x. y a b x y y a b x. 10Zill547-568.qxd 18/9/10
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31. Cada par de asntotas se interseca en el origen, que es el
centro de la hiprbola. Advierta, tam- bin, en la FIGURA 10.1.15a)
que las asntotas son simplemente las diagonales extendidas de un
rec- tngulo de ancho 2a (la longitud del eje transversal) y altura
2b (la longitud del eje conjugado) en la figura 10.1.15b) las
asntotas son las diagonales extendidas de un rectngulo de ancho 2b
y altura 2a. Recomendamos al lector que no memorice las ecuaciones
(19) y (20). Hay un mtodo sen- cillo para obtener las asntotas de
una hiprbola. Por ejemplo, puesto que es equiva- lente a (21) Note
que la ltima ecuacin en (21) se factoriza como la diferencia de dos
cuadrados: Al igualar a cero cada factor y resolver para y
obtenemos una ecuacin de una asntota. La ecua- cin (21) es
simplemente el lado izquierdo de la forma estndar de la ecuacin de
una hiprbo- la dada en (17). De manera similar, para obtener la
asntota de (18) slo se sustituye 1 por 0 en la forma estndar, se
factoriza y se resuelve para y. EJEMPLO 6 Vrtices, focos, asntotas,
grficas Determine los vrtices, focos y asntotas de la hiprbola
Grafique. Solucin Primero escribimos la ecuacin en forma estndar al
dividir ambos lados de la igual- dad entre 225: (22) A partir de
esta ecuacin se advierte que y y por ello y Por tanto, los vrtices
son (-5, 0) y (5, 0). Puesto que implica tenemos c2 = 34 y por ello
los focos son (- , 0) y ( , 0). Para determinar las asntotas
inclinadas se re- curre a la forma estndar (22) con 1 sustituido
por 0: Al igualar a 0 cada factor y resolver para y obtenemos las
asntotas Trazamos los vrtices y la grfica de las dos rectas que
pasan por el origen. Ambas ramas de la hiprbola deben volverse
arbitrariamente cercanas a las asntotas cuando Vea la FIGURA
10.1.16. Centro trasladado a (h, k) Cuando el centro de la hiprbola
es (h, k), los anlogos de la forma estndar de las ecuaciones (17) y
(18) son, a su vez, x S q. y 3x>5. 134134 c2 a2 b2 ,b2 c2 a2 b
3.a 5b2 9,a2 25 x2 25 y2 9 1. 9x2 25y2 225. y2 >a2 x2 >b2 0,
Q x a y b R Q x a y b R 0. y b a x y x a) 1 (0, b) (a, 0)(a, 0) (0,
b) x2 y b a x y b a x a2 y2 b2 y x (0, a) (b, 0)(b, 0) (0, a) y a b
x y a b x b) 1 y2 a2 x2 b2 FIGURA 10.1.15 Hiprbolas (17) y (18) con
asntotas inclinadas 554 CAPTULO 10 Cnicas y coordenadas polares ste
es un dispositivo mnem- nico o de memoria. No tiene importancia
geomtrica. y x y x 3 5 y x 3 5 x2 y2 25 9 1 FIGURA 10.1.16 Hiprbola
del ejemplo 6 x2 a2 y2 b2 o x2 a2 y2 b2 0. x2 25 y2 9 0 se
factoriza como Q x 5 y 3 R Q x 5 y 3 R 0. 10Zill547-568.qxd 18/9/10
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32. (23) y (24) Como en (17) y (18), los nmeros a2 , b2 y c2
estn relacionados mediante El lector puede localizar los vrtices y
focos utilizando el hecho de que a es la distancia del centro a un
vrtice y c es la distancia del centro a un foco. Es posible obtener
las asntotas incli- nadas de (23) factorizando De manera similar,
las asntotas de (24) se obtienen al factorizar al igualar cada
factor a cero y resolver para y en trminos de x. Como una
verificacin de su traba- jo, recuerde que (h, k) debe ser un punto
que yace en cada asntota. EJEMPLO 7 Determinacin completa Encuentre
el centro, vrtices, focos y asntotas de la hiprbola Grafique.
Solucin Antes de completar el cuadrado en x y y, factorizamos el 4
de los dos trminos en x y -1 de los dos trminos en y de manera que
el coeficiente en cada expresin es 1. Entonces tenemos Ahora vemos
que el centro es (1, -2). Puesto que el trmino en la forma estndar
que implica a x tiene el coeficiente positivo, el eje transversal
es horizontal a lo largo de la recta y -2 e iden- tificamos a 1 y b
2. Los vrtices estn a una unidad a la izquierda y a la derecha del
cen- tro en (0, -2) y (2, -2), respectivamente. De resulta por lo
que En consecuencia, los focos estn a unidades a la izquierda y a
la derecha del cen- tro (1, -2) en y Para encontrar las asntotas,
resolvemos para y. De encontramos que las asntotas son y Observe
que al sustituir x = 1, ambas ecuaciones producen y = -2, lo que
muestra que ambas rectas pasan por el centro. Ahora ubicamos el
centro, trazamos los vrtices y graficamos las asn- totas. Como se
muestra en la FIGURA 10.1.17, la grfica de la hiprbola pasa por los
vrtices y se vuelve cada vez ms cercana a las asntotas conforme
Excentricidad A cada seccin cnica se asocia un nmero e llamado
excentricidad. x S q. y 2x 4.y 2xy 2 2(x 1) (1 15, 2).(1 15, 2) 15c
15. c2 a2 b2 5,b2 c2 a2 4x2 y2 8x 4y 4 0. (y k)2 a2 (x h)2 b2 0, b2
c2 a2 . 10.1 Secciones cnicas 555 FIGURA 10.1.17 Hiprbola del
ejemplo 7 y y 2x y2x4 (1, 2) (2, 2)(0, 2) 4x2 y2 8x4y40 x Definicin
10.1.4 Excentricidad La excentricidad de una elipse y una hiprbola
es Desde luego, debe tener en mente que para una elipse y para una
hiprbola A partir de las desigualdades y observamos, a su vez, que
0 6 a 6 2a2 b2 ,0 6 2a2 b2 6 ac 2a2 b2 . c 2a2 b2 (y k)2 a2 (x h)2
b2 1. (x h)2 a2 (y k)2 b2 1 (x h)2 a2 (y k)2 b2 0 como Q x h a y k
b R Q x h a y k b R 0. (x 1)2 1 (y 2)2 4 0 o Qx 1 y 2 2 R Qx 1 y 2
2 R 0 e c a . (x 1)2 1 (y 2)2 4 1. (4 x 1)2 (y 2)2 4 (4 x2 2x 1)
(y2 4y 4) 4 4 . 1 ( 1) . 4 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina
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33. la excentricidad de una elipse satisface 0 6 e 6 1, y la
excentricidad de una hiprbola satisface La excentricidad de una
parbola se discutir en la seccin 10.7. EJEMPLO 8 Excentricidad
Determine la excentricidad de a) la elipse en el ejemplo 5, b) la
hiprbola en el ejemplo 7. Solucin a) En la solucin de ejemplo 5
encontramos que a 4 y En consecuencia, la excentricidad de una
elipse es b) En el ejemplo 7 encontramos que a = 1 y Por
consiguiente, la excentricidad de la hiprbola es La excentricidad
es un indicador de la forma de una elipse o una hiprbola. Si ,
enton- ces y en consecuencia Esto significa que la elipse es casi
circular. Por otro lado, si entonces y por ello Esto quiere decir
que cada foco es cercano a un vrtice y debido a ello la elipse es
elongada. Vea la FIGURA 10.1.18. Las formas de una hiprbola en los
dos casos extremos y e mucho mayor que 1 se ilustran en la FIGURA
10.1.19. e 1 b 0.c 2a2 b2 ae 1, a b.c 2a2 b2 0 e 0 e 15>1 2.23.
c 15. e A213B>4 13>2 0.87. c 213. e 7 1. 556 CAPTULO 10
Cnicas y coordenadas polares Disco de satlite de TV superficie
reflectora foco rayos salientes de luz a) Los rayos emitidos en el
foco se reflejan como rayos paralelos rayos entrantes de luz b) Los
rayos entrantes se reflejan en el foco foco superficie reflectora
FIGURA 10.1.20 Superficie reflectora parablica Telescopio reflector
de 200 pulg en Monte Palomar F1 F2 FIGURA 10.1.21 Propiedad de
reflexin de una elipse y x x y FIGURA 10.1.18 Efecto de
excentricidad en la forma de una elipse a) e cercana a 1 FIGURA
10.1.19 Efecto de excentricidad sobre la forma de una hiprbola b) e
cercana a 1 y x b) e mucho mayor que 1 y x a) e cercana a cero
Aplicaciones La parbola tiene muchas propiedades que la hacen
apropiada en ciertas apli- caciones. Las superficies reflectoras se
disean para aprovechar la propiedad de reflexin de las parbolas.
Estas superficies, llamadas paraboloides, son tridimensionales y se
forman rotando una parbola alrededor de su eje. Como se ilustra en
la FIGURA 10.1.20, los rayos de luz (o seales electrnicas)
provenientes de una fuente puntual ubicada en el foco de una
superficie reflectora parablica se reflejarn a lo largo de lneas
paralelas al eje. sta es la idea detrs del diseo de reflectores de
bsqueda, algunas luces de destellos y los platos satelitales de
ubicacin. En sen- tido inverso, si los rayos de luz entrantes son
paralelos al eje de una parbola, se reflejarn en la superficie a lo
largo de lneas que pasan por el foco. Los haces de luz de un objeto
distante tal como una galaxia son esencialmente paralelos, y por
eso cuando estos haces entran a un teles- copio reflector son
reflejados por un espejo parablico hacia el foco, donde suele
ubicarse una cmara para capturar la imagen a lo largo del tiempo.
Un disco parablico satelital domstico opera bajo el mismo principio
que el telescopio reflector; la seal digital de un satlite de tele-
visin es capturada en el foco del disco por un receptor. Las
elipses tienen una propiedad de reflexin anloga a la parbola. Es
posible demostrar que si una fuente luminosa o sonora se ubica en
uno de los focos de una elipse, entonces todos los rayos u ondas se
reflejarn desde la elipse hacia el otro foco. Vea la FIGURA
10.1.21. Por ejem- plo, si un techo es elptico con dos focos sobre
(o cerca) del piso, pero con una considerable dis- tancia entre
ellos, entonces cualquier susurro en uno de los focos se escuchar
en el otro. Algunas 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 556
34. famosas galeras de los susurros son el Statuary Hall en el
Capitolio en Washington, D.C., el Mormon Tabernacle en Salt Lake
City y la Catedral de San Pablo en Londres. Mediante su ley de la
gravitacin universal, Isaac Newton fue el primero en demostrar la
pri- mera ley del movimiento planetario de Kepler. La rbita de cada
planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de los
focos. EJEMPLO 9 Excentricidad de la rbita terrestre La distancia
del perihelio de la Tierra (la distancia mnima entre la Tierra y el
Sol) es aproxima- damente de mi, y su distancia del afelio (la
distancia ms grande entre la Tierra y el Sol) es casi de mi. Cul es
la excentricidad de la rbita elptica de la Tierra? Solucin Asumimos
que la rbita de la Tierra es como se ilustra en la FIGURA 10.1.22.
De acuer- do con la figura advertimos que La solucin