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Rosa María EscayolaRosa María EscayolaProf. en MatemáticaProf. en MatemáticaCurso: 5to. Año (Nivel medio)Curso: 5to. Año (Nivel medio)Contenidos: Crecimiento y Contenidos: Crecimiento y decrecimiento de funciones decrecimiento de funciones escalaresescalares

1. Función creciente1. Función creciente Diremos que una función es creciente Diremos que una función es creciente

en un intervalo (a;b) si para todo par de en un intervalo (a;b) si para todo par de puntos xpuntos x11,x,x22 de dicho intervalo tales que de dicho intervalo tales que

xx11<x<x22 resulta que f(x resulta que f(x11)<f(x)<f(x22))

2. Función decreciente2. Función decreciente Diremos que una función es decreciente Diremos que una función es decreciente

en un intervalo (a;b) si para todo par de en un intervalo (a;b) si para todo par de puntos xpuntos x11,x,x22 de dicho intervalo tales que de dicho intervalo tales que

xx11<x<x22 resulta que f(x resulta que f(x11)>f(x)>f(x22))

3. Función constante3. Función constante Diremos que una función es constante Diremos que una función es constante

en un intervalo (a;b) si para todo par de en un intervalo (a;b) si para todo par de puntos xpuntos x11,x,x22 de dicho intervalo tales que de dicho intervalo tales que

xx11<x<x22 resulta que f(x resulta que f(x11)=f(x)=f(x22))

4. Crecimiento y decrecimiento en 4. Crecimiento y decrecimiento en funciones derivablesfunciones derivables

Cuando la Cuando la funciónfunción es es crecientecreciente, la recta , la recta tangente a la curva tangente a la curva en un puntoen un punto forma con el forma con el eje de las x un ángulo menor que 90º.eje de las x un ángulo menor que 90º.

Como la tangente Como la tangente trigonométrica de trigonométrica de dicho ángulo es dicho ángulo es positiva, será positiva, será también el valor de también el valor de la la derivadaderivada en ese en ese punto punto positivapositiva. .

4. Crecimiento y decrecimiento en 4. Crecimiento y decrecimiento en funciones derivablesfunciones derivables

Cuando la Cuando la funciónfunción es es decrecientedecreciente, la recta , la recta tangente a la curva tangente a la curva en un puntoen un punto forma con el forma con el eje de las x un ángulo mayor que 90º.eje de las x un ángulo mayor que 90º.

Como la tangente Como la tangente trigonométrica de trigonométrica de dicho ángulo es dicho ángulo es negativa, será negativa, será también el valor de también el valor de la la derivadaderivada en ese en ese punto punto negativanegativa. .

Si f´(x)>0 para todo x que pertenezca al Si f´(x)>0 para todo x que pertenezca al intervalo (a;b) entonces f(x) es creciente intervalo (a;b) entonces f(x) es creciente en dicho intervalo.en dicho intervalo.

Si f´(x)<0 para todo x que pertenezca al Si f´(x)<0 para todo x que pertenezca al intervalo (a;b) entonces f(x) es decreciente intervalo (a;b) entonces f(x) es decreciente en dicho intervalo.en dicho intervalo.

4. Crecimiento y decrecimiento en 4. Crecimiento y decrecimiento en funciones derivablesfunciones derivables

5. Concavidad de las funciones5. Concavidad de las funciones

Observemos a continuación cómo el signo Observemos a continuación cómo el signo de la derivada segunda está relacionado de la derivada segunda está relacionado con la concavidad de la función. Para ello con la concavidad de la función. Para ello tomaremos un punto en el gráfico de una tomaremos un punto en el gráfico de una función , de tal forma que la recta función , de tal forma que la recta tangente no sea paralela al eje de las y tangente no sea paralela al eje de las y

5. Concavidad de las funciones5. Concavidad de las funciones

En el punto xEn el punto x00 la curva la curva es es cóncava hacia las cóncava hacia las y positivasy positivas o más o más brevemente, brevemente, cóncava cóncava hacia arribahacia arriba, si todos , si todos los puntos los puntos suficientemente suficientemente próximos a xpróximos a x00 están están situados por encima situados por encima de la recta tangente rde la recta tangente rtgtg..

En el punto xEn el punto x00 la curva la curva es es cóncava hacia las cóncava hacia las y negativasy negativas o más o más brevemente, brevemente, cóncava cóncava hacia abajohacia abajo, si todos , si todos los puntos los puntos suficientemente suficientemente próximos a xpróximos a x00 están están situados por debajo de situados por debajo de la recta tangente rla recta tangente rtgtg..

5. Concavidad de las funciones5. Concavidad de las funciones

5. Concavidad de las funciones5. Concavidad de las funciones

Se llama Se llama punto de inflexiónpunto de inflexión al punto en que la al punto en que la curva tiene recta tangente única y cambia la curva tiene recta tangente única y cambia la concavidad de la curva, en un sentido o en otro. concavidad de la curva, en un sentido o en otro. En ese punto debe ser f”(x)=0En ese punto debe ser f”(x)=0

5. Concavidad de las funciones5. Concavidad de las funciones

6. Extremos locales6. Extremos locales La función f(x) tiene un La función f(x) tiene un

máximo local máximo local en el en el punto xpunto x00 de su dominio si de su dominio si

f(xf(x00) ) ≥ ≥ f(x) para todo f(x) para todo

punto x perteneciente a punto x perteneciente a un entorno de xun entorno de x00. .

La función f(x) tiene un La función f(x) tiene un mínimo local mínimo local en el punto en el punto xx00 de su dominio si f(x de su dominio si f(x00) ) ≤ ≤

f(x) para todo punto x f(x) para todo punto x perteneciente a un perteneciente a un entorno de xentorno de x00. .

7. Criterios para la determinación 7. Criterios para la determinación de extremos localesde extremos locales

Si la función derivable f(x) tiene en Si la función derivable f(x) tiene en x=xx=x00 un máximo o un mínimo local, un máximo o un mínimo local,

debe verificarse que f´(xdebe verificarse que f´(x00)=0; )=0;

condición que significa condición que significa geométricamente que la recta geométricamente que la recta tangente a la curva es horizontal en tangente a la curva es horizontal en ese punto. ese punto.

Criterio de la derivada primeraCriterio de la derivada primera

7. Criterios para la determinación 7. Criterios para la determinación de extremos localesde extremos locales

Criterio de la derivada primeraCriterio de la derivada primera

La función presenta un La función presenta un máximo en (xmáximo en (x00;f(x;f(x00))))

La función presenta un La función presenta un mínimo en (xmínimo en (x00;f(x;f(x00))))

7. Criterios para la determinación 7. Criterios para la determinación de extremos localesde extremos locales

Si la derivada segunda de una función no Si la derivada segunda de una función no se anula en un punto xse anula en un punto x00 que anula la que anula la

derivada primera, resulta:derivada primera, resulta:

Criterio de la derivada segundaCriterio de la derivada segunda

• Si f”(xSi f”(x00)>0, f´(x) es creciente en x)>0, f´(x) es creciente en x00 y hay un y hay un

mínimo local en xmínimo local en x00..

• Si f”(xSi f”(x00)<0, f´(x) es decreciente en x)<0, f´(x) es decreciente en x00 y hay un y hay un

máximo local en xmáximo local en x00..

8. Síntesis8. Síntesis