Ecuaciones Diferenciales

de Bernoulli

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente.

La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

donde:•V = velocidad del fluido en la sección considerada.•g = aceleración gravitatoria•z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.•P = presión a lo largo de la línea de corriente.•ρ = densidad del fluido.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:•Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.•Caudal constante•Flujo incompresible, donde ρ es constante.•La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo irrotacional

La ecuación de Bernoulli, formulada por James Bernoulli1 y resuelta por su hermano JohannBernoulli, se caracterizan por tener la forma:

Es fácil darse cuenta de que la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación con variablesseparadas cuando n = 0 y cuando n = 1 se trata de una ecuación de la forma:

la cual también es de variables separables. Entonces, es la presencia del termino y a la n potencia lo que hace que la ecuación no sea lineal

Leibniz, en 1696, indico que el cambio de variable convierte la ecuación (1) en una ecuación lineal.

Consideremos entonces, si multiplicamos ambos lados de (1) por resulta

si se hace el cambio de variable se tiene

Ejemplo

Sea la ecuación:

esta ecuación es de la forma (1) con . Si multiplicamos por se tiene:

con el cambio de variable , resulta

Por lo tanto, la solución vendrá dada por

la cual es una ecuación diferencial lineal con factor integrador

Referencias

http://www.lawebdefisica.com/dicc/bernoulli/

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node11.html