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Ecuaciones Diferenciales Exactas
Se dice que una expresión diferencial
Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función f(x,y) una ecuación
se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta.
Veamos el siguiente ejemplo:
Es una ecuación diferencial exacta ya que la ecuación se puede expresar como
la expresión
es una ecuación diferencial exacta ya que
Sin embargo, para obtener la solución no siempre es fácil obtener la expresión que se pueda expresar como una expresión diferencial total, más sin embargo mediante el teorema que a continuación se enuncia encontrar dicha expresión no resulta tan complicado.
Teorema
Sea M(x,y) y N(x,y) funciones continuas, así como sus
derivadas de primer orden. Entonces una condición necesaria y
suficiente para que
sea una diferencial exacta es que
Considerando la ecuación
resulta conveniente analizar si la ecuación diferencial es una ecuación exacta, una de las restricciones que debemos de imponer, dado el teorema mencionado sobre las condiciones de las implicaciones necesarias y suficientes:
por otro lado, considérese que y su integración nos conduce a
donde g(y) es una constante de integración que es función de y ya que la integración fue realizada con respecto a x.
A fin de determinar el valor de dicha constante derivemos la función obtenida de la integración, con respecto a y.
consideremos que la expresión obtenida es independiente de la variable x , por lo que
por otro lado recordemos de la definición de diferencial total que
por lo que podemos obtener
despejando la derivada de la función g(x) tenemos:
partiendo de esta ecuación, con la intención de encontrar la constante de integración g(y) podemos obtener
recordemos que el teorema nos asegura que
es independiente de la variable x , por lo que
sin embargo, para seguir con nuestro tratamiento teórico, consideremos que la expresión obtenida
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferential/exact_solu.htm
Referencias