Ecuaciones Diferenciales Exactas

Se dice que una expresión diferencial

 Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función f(x,y) una ecuación

se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta. 

Veamos el siguiente ejemplo: 

Es una ecuación diferencial exacta ya que la ecuación se puede expresar como

 

la expresión

es una ecuación diferencial exacta ya que

Sin embargo, para obtener la solución no siempre es fácil obtener la expresión que se pueda expresar como una expresión diferencial total, más sin embargo mediante el teorema que a continuación se enuncia encontrar dicha expresión no resulta tan complicado.

Teorema

Sea M(x,y) y N(x,y) funciones continuas, así como sus

derivadas de primer orden. Entonces una condición necesaria y

suficiente para que

sea una diferencial exacta es que

Considerando la ecuación

resulta conveniente analizar si la ecuación diferencial es una ecuación exacta, una de las restricciones que debemos de imponer, dado el teorema mencionado sobre las condiciones de las implicaciones necesarias y suficientes: 

por otro lado, considérese que  y su integración nos conduce a

donde g(y) es una constante de integración que es función de y ya que la integración fue realizada con respecto a x.

A fin de determinar el valor de dicha constante derivemos la función obtenida de la integración, con respecto a y.

consideremos  que la expresión obtenida  es independiente de la variable x , por lo que

por otro lado recordemos de la definición de diferencial total que

por lo que podemos obtener  

despejando la derivada de la función g(x) tenemos: 

partiendo de esta ecuación, con la intención de encontrar la constante de integración g(y) podemos obtener  

  

 

recordemos que el teorema nos asegura que

es independiente de la variable x , por lo que

sin embargo, para seguir con nuestro tratamiento teórico, consideremos  que la expresión obtenida

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferential/exact_solu.htm

Referencias