ECUACIONESDIFERENCIALES

LINEALES

Las condiciones para que una ecuación diferencial fuese lineal son :

a) la variable dependiente y y todas sus derivadas son deprimer grado,

b) cada coeficiente depende solamente de la variable independientex (o constante).

Definición

La forma general de una ecuación lineal de 1er orden es:y' + f(x)y = r(x). Si l'(x) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación se llama lineal homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino como el nombre que da el álgebra lineal a las ecuaciones igualadas acero);si r(x) =1=- O, entonces es lineal no homogénea.

Métodos de solución:

Si l'(x) = O ~ Es de variables separables.Si r(x) =1=- a) Método Del factor integrante. b) Método de variación de parámetros.

y la forma de la solución es:

Vamos a obtener la solución para r(x) =1=- O, usando el método del factor integrante y el de variación de parámetros.a) Método del factor integrante. Buscaremos un factor que nos convierta la ecuación diferencial y' + f(x)y = r(x) en exacta y la resolveremos por el métodode las exactas.

El hecho de que la solución general de la ecuación diferencial homogéneacorrespondiente es , sugiere la posibilidad de que un factor para la no homogénea sea de la forma

Vamos a probarlo. Multiplicando la ecuación por este factor, tenemos:

Observando el primer miembro de la ecuación, vemos que está y en un término, su derivada y' en otro y la exponencial que acompaña a la y es la derivada de la exponencial que acompaña a y', realmente Se puede expresar como la derivada de un producto de funciones:

Integrando con respecto a x:

Despejando y que es la solución general ya indicada y satisface a la ecuación lineal.Como nos llevó a la solución propuesta, es el factor de integración que convierte en exacta a la ecuación diferencial lineal no homogénea. Por ello, no es necesario memorizar la fórmula de la solución, basta buscar el factor, multiplicar la ecuación por él y resolver por exactas.

Referencia

Isabel Carmona Joverlibro: Ecuaciones Diferenciales