RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Srta. Yanira Castro LizanaProfesora de Estado en Matemática

TEOREMA DE EUCLIDES

L

3

PROYECCIONES

Se llama proyección ortogonal de un punto sobre una recta, al pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta.

P

P´

P´ = Proyección de P sobre la recta L

L

4

PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO

La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento cuyos extremos son las proyecciones de los extremos de AB sobre L.

A

B

C D

E

F

H

A´ B´ C´ D´ E´ G H´

ALGO DE HISTORIA

Euclides (siglo III – II, A.C.)

Gran matemático griego, escribió una serie de libros donde sintetizaba todos los conocimientos matemáticos conocidos hasta entonces.

Los más notables son los “Elementos”, trece volúmenes que tratan de proporciones aritméticas, geometría plana y geometría del espacio. Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.

TRIANGULO RECTÁNGULO

C

D BA

Cat

eto

b Cateto a

Hipotenusa c

q p

Altura h

CBD ACDABC ~ ~

TEOREMA DE EUCLIDESEn todo triangulo rectángulo se cumple que:

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa:

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa:

p·qh2

p·ca2 q·cb2

DEMOSTRACION

A B

C

D

ab

c

q p

p·caa

c

p

a

CB

AB

BD

BCΔCBDΔABC 2 ~

DBCCBA

90ºCDBACB

DEMOSTRACION

A B

C

D

ab

c

q p

q·cbb

c

q

b

AC

AB

AD

ACΔACDΔABC 2

DACCAB

90ºADCACB

DEMOSTRACION

α

βA B

C

D

ab

c

q p

p·qhh

p

q

h

DC

DB

AD

CDΔACDΔCBD 2

BCDCAD

CBDACD

TEOREMA DE PITAGORAS

222

22

22

cba

q)c·(pba

q·cp·cba

q·cb

p·ca2

2

Resolver:

la altura respecto a la hipotenusa de un triangulo rectangulo divide a esta en dos segmentos cuyas longitudes son entre si como 1:9 si la longitud de la altura es 9 cm , entonces la longitud de la hipotenusa es :a) 10 b) 20 c) 30

la altura respecto a la hipotenusa de un triangulo rectángulo divide a la hipotenusa en dos segmentos cuyas longitudes son de 5cm y 45 cm ¿cual es la longitud de la altura?

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Los lados de un triangulo rectángulo miden 3, 4 y 5 cm. Calcula la altura relativa

a la hipotenusa las dos proyecciones de los catetos

2. ¿Cuánto deben medir las vigas de un techo si ambas deben ser iguales y formar 90º, además si el ancho del techo es de 4 m.? ¿Qué altura tienen el techo?

A B

C

D

3 cm.4 cm.

5 cm.

h