Material L%F3gica Introducci%F3n Y Tema 1

Lógica FBMM02- Escuela de Matemática- UNIMET 1

Dij o uno d e e l l o s , su p rop i o p ro f e ta :

Los c r e t en s e s , s i empr e embus t e ro s , ma la s b e s t i a s , panzas ho l gazanas . Verdadero e s t a l t e s t imon io”

San Pab lo . Nuevo Tes tamento

INTRODUCCIÓN: Todos estamos familiarizados con la lógica y con la idea de que algunas personas poseen una “mentalidad lógica” mientras que otras no. Esta idea muy particular de lógica está seguramente ligada a la manera en como percibimos la manera de razonar y la validez de conclusiones que esas personas obtienen ¿Cómo llegar a ser lógicos?.... Esta pregunta fue la que probablemente se hizo el gran matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716) cuando a la edad de 14 años intentó reformar la lógica clásica3. Alos 20 años escribió que deseaba “crear un método general en el cual todas las verdades de la razón serían reducidas a una especie de cálculos.” ....”Sería muy difícil formar o inventar este lenguaje o característica, pero muy fácil de entenderlo sin necesidad de diccionarios”....”no habría ya mayor necesidad de discusión entre dos filósofos que entre dos contables. Les bastaría tomar sus lápices, sentarse en el tablero y decir: “calculemos”. Este sueño de Leibniz no se realizó hasta que el matemático George Boole (1815-1864) separó los símbolos de las operaciones matemáticas de los conceptos sobre los cuales operaban y estableció un sistema factible y sencillo de lógica simbólica. Estas ideas fueron expuestas en su obra An inv e s t i ga t i on o f t h e l aws o f t hough t , pero este trabajo no tuvo aceptación y es sólo hasta que Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred North Whitehead (1861- 1947) utilizaron la lógica simbólica en la obra Principia Mathematica , cuando el mundo de la matemática dio importancia a las ideas propuestas por Leibniz unos 250 años antes. Pudiésemos decir que la Lógica es el estudio de los métodos y principios usados para distinguir entre el buen (correcto) razonamiento del malo (incorrecto) o bien, que es “la ciencia que estudia estructuras del pensamiento”. Vale la pena aclarar que la lógica no estudia qué es el pensamiento, sino cómo es, qué formas o estructuras tiene. Para el estudio de las estructuras del pensamiento, se establece el un lenguaje simbólico que permitirá entre otras cosas:

1. Prescindir de la actividad psíquica que es necesaria para que los pensamientos se den 2. Prescindir de las palabras o frases que se utilizan para expresar el pensamiento (que

pudiesen haber sido otras en caso de expresarlas en otro idioma o con otros códigos) 3. Prescindir de lo que en cada caso se ha pensado 4. Prescindir de que es uno mismo el que lo ha pensado

De esta manera, sólo quedan “estructuras” y en ellas se podrán observar diferencias o similitudes y estudiar las relaciones entre sus elementos y el todo. El lenguaje consta de símbolos y el uso de estos símbolos está regido por reglas. En este curso, el lenguaje simbólico y sus reglas se utilizarán como herramientas para analizar argumentos también conoceremos algunas reglas que surgen de las estructuras del pensamiento, las cuales nos permitirán distinguir entre razonamientos correctos o incorrectos.

3 La lógica clásica , comenzó con los silogismos de Aristóteles de los cuales uno de los más famosos es: “Todos los hombres son mortales; todos los héroes son hombres; por tanto todos los héroes son mortales”. El filósofo griego propuso 14 silogismos de este tipo y pensó que constituían la mayor parte de las operaciones del razonamiento. Los teólogos medievales añadieron 5 silogismos a los 14 de Aristóteles y durante años estos 19 silogismos han sido el fundamento de la enseñanza de la lógica.


MAPA DEL CURSO

Este gráfico representa el trayecto que seguiremos para llegar a probar la validez o invalidez de un argumento

Distinguiremos en su estructura….

Con el objeto de…

Podremos…

Definiremos Argumento

lógico

Premisas Razonamiento Conclusión

IdentificaremosProposiciones

Proposiciones Simples, Compuestas Conectivos Cuantificadores

Simbolizar

Premisas y Conclusión con Conectivos Predicados Cuantificadores

Métodos: Diagramas de Venn Tablas de verdad Reglas de Inferencia

Validar Argumentos

con razonamiento

deductivo


“Aunque haga muchos expe r imen to s , mi h ipó t e s i s no queda c on f i rmada , p e ro ba s ta un so l o exp er imen to pa ra c on f i rmar m i e r ro r”

Albe r t Eins t e in (1879-1955)

1. EL RAZONAMIENTO. TIPOS DE RAZONAMIENTOS 1.1.Objetivos

Distinguir en un argumento premisas y conclusiones Reconocer y establecer diferencias entre razonamiento inductivo y deductivo Establecer conjeturas o inferencias a través del razonamiento inductivo. Ser capaces de elaborar un Argumento Lógico sencillo con cualquiera de los dos tipos

de razonamientos nombrados. Comenzaremos por observar la estructura de lo que llamaremos Argumento Lógico y cuyo esquema se presenta en el siguiente gráfico. Luego definiremos y analizaremos cada una de las partes de esta estructura.

En un contexto amplio podemos decir que un razonamiento es un proceso mental en el cual se realizan inferencias, o sea en el que se derivan conclusiones a partir de alguna (s) premisa(s). Esta definición amerita clarificar qué debe entenderse por inferir, conclusión y por premisa. Para ello veamos primero la siguiente definición de Proposición: Entenderemos por Proposición , un enunciado para el cual hay un criterio que permite establecer de manera única y no ambigua si es verdadero o falso. Debe distinguirse (es decir 'separarse' en el plano mental) lo que es una "oración" de lo que es una "proposición", aunque en la práctica cotidiana ésta diferencia es imperceptible. Una oración es una frase expresada en alguna lengua natural. Por ejemplo: Llueve (en español) Il pleut (en francés) Es regnet (en alemán)

PRO

CESO

Estructura de un ArgumentoLógico

Premisas

Conclusión

Razonamiento (intuitivo, inductivo o deductivo)


A pesar de ser palabras diferentes las tres oraciones tienen el mismo sentido, y por ello expresan la misma “proposición” (que cae agua de las nubes).

Al lógico no le interesa cómo se puede llegar a concebir, inventar o descubrir proposiciones (actividad psíquica que es necesaria para que los pensamientos se den); sólo le interesan las proposiciones que se obtienen y su estructura (independientemente de las palabras que se utilicen para hacerlo).

1.2. Premisas y conclusión. Tanto las 'premisas' como la 'conclusión' son proposiciones. La conclusión de un argumento es la proposición que se afirma sobre la base de las otras proposiciones del mismo; y a su vez, estas proposiciones de las que se afirma que brindan los elementos de juicio o las razones para aceptar la conclusión, son las premisas del argumento.

Resulta fácil de observar, aunque a veces podemos confundirnos, que los nombres "premisa" y "conclusión" son relativos. Es decir que dependiendo del razonamiento, una proposición funciona en uno como premisa y en otro como conclusión, o como información complementaria.

Por ejemplo en el siguiente argumento [De Leibnitz]:

"Todo lo que está predeterminado es necesario. Todo suceso está predeterminado. Por lo tanto, todo suceso es necesario”.

Aquí, la proposición “todo suceso es necesario” es la conclusión, y las otras dos proposiciones son las premisas. Pero la segunda premisa de este razonamiento, “todo suceso está predeterminado”, funciona como conclusión del siguiente argumento (diferente):

“Todo suceso causado por otros sucesos está predeterminado. Todo suceso está causado por otro suceso. Por lo tanto, todo suceso está predeterminado”.

¿Cómo se identifican premisa(s) y conclusión de un argumento?.

Existen indicadores de conclusión. Entre los más comunes (...) se cuentan:

"por lo tanto", "por ende", "así", "luego", "por consiguiente", "se sigue que", "podemos inferir" y "podemos concluir".

Otras palabras o frases sirven típicamente para destacar las premisas de un razonamiento. Entre las más comunes de estos 'indicadores de premisas' figuran :

"puesto que" "porque", "pues", "en tanto que" y "por la razón de qué".


Una vez que se ha reconocido un argumento, esas palabras y frases nos ayudan a identificar sus premisas y su conclusión.

Ejemplos:

Para los siguientes Argumentos, se pide identificar las premisas y la conclusión:

1. "Pero, sostienen, el hombre desea vivir en sociedad; por lo tanto, debe renunciar a una parte de su bien privado en pro del bien público."

MARQUÉS DE SADE, Juliette

Premisa : "El hombre desea vivir en sociedad" Conclusión: "El hombre debe renunciar a una parte su bien privado en pro del bien público". 2. "Se piensa que todo arte y toda indagación, así como toda acción y prosecución, tienden a algún bien, y por esta razón se ha declarado correctamente que el bien es aquello a lo cual tienden todas las cosas."

ARISTÓTELES, Ética a Nicómaco.

P: " Se piensa que todo arte y toda indagación, así como toda acción y prosecución tienden a algún bien" C: "El bien es aquello a lo cual tienden todas las cosas". 3. "Durante el período escolar, el estudiante ha estado mentalmente inclinado sobre su escritorio; en la universidad debe ponerse de pie y mirar a su alrededor. Por esa razón, sería fatal que el primer año en la universidad se desperdiciara volviendo a la vieja tarea en el viejo espíritu."

A. N. WHITEHEAD, Los objetivos de la educación.

P1: "Durante ... el estudiante ha estado mentalmente inclinado..." P2: "En la universidad debe ponerse de pie..." C: "Es fatal que el primer año en la universidad se desperdicie volviendo a la vieja tarea en el viejo espíritu". 4. “Puesto que la felicidad consiste en la paz del espíritu, y puesto que la paz durable del espíritu depende de la confianza que tengamos en el futuro, y puesto que la confianza se basa en la ciencia que debemos tener acerca de la naturaleza de Dios y el alma, se sigue que la ciencia es necesaria para la verdadera felicidad”.

GOTTFRIED LEIBNIZ, Prefacio a la ciencia general

P1: “La felicidad consiste en la paz del espíritu”. P2: “La paz durable del espíritu depende de la confianza que tengamos en el futuro”.

P3: “La confianza se basa en la ciencia que debemos tener acerca de la naturaleza de Dios y el

alma”.

C: “La ciencia es necesaria para la verdadera felicidad”. 1.3. La Inferencia , el Razonamiento y Argumentos Por inferencia se puede entender que es el proceso mental por el cual se llega a una conclusión partiendo de ciertas premisas. Aunque el proceso de inferencia no concierne a los lógicos, para cada inferencia posible hay un argumento correspondiente, y son estos argumentos los que caen dentro del ámbito de la lógica. En este sentido, un argumento es cualquier grupo de proposiciones tal que de una de ellas se afirma que deriva de las otras, las cuales son consideradas como elementos de juicio a favor de la verdad de la primera.


La palabra "razonamiento" se usa a menudo para indicar el proceso mismo y en este curso, ese será el sentido que le daremos. Por “argumento” en cambio, entenderemos la estructura completa. Al describir esta estructura, se emplean comúnmente los términos "premisa" y "conclusión" 1.4. Clases de razonamientos: Intuitivos, Deductivos e Inductivos Los razonamientos se dividen comúnmente en tres tipos diferentes: intuitivos, deductivos e inductivos. En los razonamientos deductivos las premisas deben ofrecer fundamentos suficientes para establecer su conclusión. Un ejemplo de razonamiento deductivo se da en el siguiente ejemplo: Un jardinero que cultiva su propio jardín con sus propias manos une en su persona los tres caracteres diferentes del terrateniente, el granjero y el labrador. Su producción, por lo tanto, debe brindarle la renta del primero, el beneficio del segundo y el salario del tercero.” ADAM SMITH, La riqueza de las naciones P: “Un jardinero que cultiva su propio jardín con sus propias manos une en su persona los tres caracteres diferentes del terrateniente, el granjero y el labrador.” C: “La producción de un jardinero que cultiva su propio jardín con sus propias manos debe brindarle la renta del terrateniente, el beneficio del granjero y el salario del labrador.” En los razonamientos inductivos, las premisas ofrecen sólo algún fundamento para la verdad de la conclusión. Se puede decir también que cuando se razona inductivamente, nuestras conclusiones son conjeturas. Entendiendo por conjetura, una suposición fundamentada generalmente en observaciones repetidas de un patrón o proceso particular o bien en observaciones, juicios o elementos “probables”. Un ejemplo de razonamiento inductivo es el siguiente: La gran mayoría de las familias que viven en zonas rurales tienen muchos hijos. La familia Pérez vive en una zona rural. Luego, seguramente la familia Pérez tiene muchos hijos. P1: La gran mayoría de las familias que viven en zonas rurales tienen muchos hijos. P2: La familia Pérez vive en una zona rural. C: Seguramente la familia Pérez tiene muchos hijos. El razonamiento intuitivo, no responde a la razón, ni a elementos o sucesos probables; pueden sustentarse en “algo que me dijeron en una oportunidad” o en “algo que me sucedió en una oportunidad” o …… Un ejemplo de razonamiento intuitivo es el siguiente : P1: Si alguien no te mira a los ojos cuando habla contigo, desconfía de esa persona P2: Augusto no me miró a los ojos cuando conversamos C: No se puede confiar en Augusto.


Ejercicios:

Identifique las premisas y la conclusión en los siguientes argumentos:

1. "El impugnador de conciencia ... no tiene cabida en una República como la nuestra y debe ser expulsado de ella, pues quien no hace su parte en el bote, no tiene derechos en él."

THEODORE ROOSEVELT

2. “Quien acepta protección, estipula obediencia. Siempre hemos protegido a los Americanos; por lo tanto, debemos someterlos al gobierno”.

SAMUEL JOHNSON, Alocución a los electores de la Gran Bretaña.

3. “La poesía es más sutil y más filosófica que la historia; pues la poesía expresa lo universal y la historia sólo lo particular”.

ARISTÓTELES, Poética.

4. “Toda censura existe para impedir a todos poner en tela de juicio las concepciones corrientes y las instituciones existentes. Todo progreso se inicia poniendo en tela de juicio las concepciones corrientes, y se lleva a cabo suplantando las instituciones existentes por otras. Por consiguiente, la primera condición del progreso es la supresión de la censura. En pocas palabras, hay toda clase de argumentos contra la censura”.

BERNARD SHAW, Prefacio a la profesión de la señora Warren.

5. “Ese libro no tiene las características de una obra seria, de allí que yo no haya conseguido leer más de tres páginas”.

6. “Todas las cosas baratas son imitaciones , puesto que todas las cosas caras son

difíciles de obtener y ningún original es fácil de obtener”.

7. “Si siguiera la campaña contra el sistema bancario, se ocasionará un colapso financiero. El caso es que la campaña ha cesado. Luego, no se producirá ningún colapso”.

8. “El que bebe se emborracha, el que se emborracha duerme, el que duerme no peca, el

que no peca va al cielo. Puesto que al cielo vamos, bebamos.” (Letrero colgado en un restaurant en la carretera del Páramo de Santo Domingo)


9. Por qué Michael Salgado usa las XAI?

En los siguientes casos (10 a 14) identificar si el razonamiento dado es inductivo o deductivo:

10. “ Puesto que las pruebas demuestran que se necesitan al menos 2.3 segundos para accionar el cerrojo del rifle de Oswald, obviamente éste no pudo haber disparado tres veces – hiriendo a Kennedy dos veces y una a Connally – en 5.6 segundos o menos.

“Autopsy the Warren Commission” Time 1966.

11. “Un jardinero que cultiva su propio jardín con sus propias manos une en su persona los tres caracteres diferentes del terrateniente, el granjero y el labrador. Su producción, por lo tanto, debe brindarle la renta del primero, el beneficio del segundo y el salario del tercero.”

ADAM SMITH, La riqueza de las naciones


12. “Y en verdad, puesto que los planetas se ven desde la Tierra a distancias variables, el centro de la Tierra seguramente no es el centro de sus órbitas.”

NICOLÁS COPÉRNICO, “Sobre las revoluciones de las esferas celestes”

13. “Ante todo, es dudoso lo que el filósofo realmente sostiene sobre este punto, pues habla de diferente manera en diferentes lugares y tiene diferentes principios, de algunos de los cuales parece inferirse una cosa, mientras que de otros puede inferirse lo opuesto. Por ende, es probable que siempre tuviera dudas acerca de esta conclusión, y en un momento parece inclinarse para un lado y en otros momentos hacia el otro lado, según que el tema que trate en el momento esté más de acuerdo con uno o con otro.”

DUNS ESCOTO, Comentario oxoniense sobre las sentencias de Pedro Lombardo

14. Las deudas se pueden ir haciendo mas pesadas, no porque aumente su volumen, sino porque la economía que la soporta se hace más pequeña. Así, por ejemplo, en 1999 la economía venezolana, tenía un tamaño equivalente a unos cien millardos de dólares. La deuda externa para ese entonces, de unos veintidós millardos, representaba veintidós por ciento de aquel tamaño. En el 2002, la deuda externa se mantenía más o menos igual, pero la economía se había reducido a unos ochenta y siete millardos de dólares, por lo cual, la misma deuda equivalía ahora al 25% del producto. Si la economía se contrae en 2003, a unos 74 millardos de dólares (15% de caída del producto) el peso de la deuda externa se elevará a treinta por ciento del producto. El peso de la deuda externa está creciendo pues, no porque aumente su monto, sino porque se reduce el tamaño de la economía que la soporta.

Tomado del artículo “El morral de la deuda” de Gever Torres (mayo 2003)

15. Construya dos argumentos sencillos en donde el razonamiento sea intuitivo, otros

dos en donde el razonamiento sea el inductivo y otros dos en donde el razonamiento sea deductivo.

16. Considere la expresión n2- n+11. Si n=1 se obtiene 11; para n=2 se obtiene 13 y para n=3 el valor 17. Los números 11, 13 y 17 son primos. ¿Se cumplirá siempre que al sustituir en la expresión n por un entero, el resultado será un número primo?

17. A continuación se presentan 5 circunferencias. Sobre la primera se toman dos puntos

y se traza un segmento que une esos dos puntos ; de esta manera se generan dos regiones en el círculo. En la segunda, se toman tres puntos y se generan 4 regiones……. ¿Cuál será el número de regiones que se generan si toman 6 puntos sobre la circunferencia ?

18. ¿Cuál será el número más probable de las siguientes listas? a) 1,5,12,22,35,?………. ¿Puede describir el proceso que siguió para dar la respuesta?


b) 1,4,9,16,25,?……… ¿Puede describir el proceso que siguió para dar la respuesta? c) 5,28,87,200,385, ?..... ¿Puede describir el proceso que siguió para dar la respuesta? d) 21,34,51,72,97, ?.... ¿Puede describir el proceso que siguió para dar la respuesta?

19. ¿Cuál será la siguiente ecuación ? a. 1 = 1 x 1

1+5 = 2 x 3 1+5+9 = 3 x 5 ¿Puede describir el proceso que siguió para dar la respuesta?

b. 32 -12 = 23

62 -32 = 33 102 -62 = 43 152 -102 = 53

20. ¿Quién será el equipo de fútbol ganador en el 2006?

a. Brasil ganó el mundial en 1970 y en 1994 (1970 +1994 =3964) b. Argentina lo gana en 1978 y 1986 (1978 +1986 =3964) c. Alemania gana en 1974 y 1990 (1974 +1990 =3964) d. ¿Cómo podíamos adivinar quién ganaría en el 2002? …Saquemos esta

cuenta: 3964-2002 =1962 ¿Quién ganó en 1962????? Brasil!!!! Siguiendo la regla…¿Podremos averiguar quien ganará en el 2006?

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