Numeros enteros

Material de Apoyo para las escuelas de reingreso.

1

5. Números, primer año Unidad 2

Primera parte de la Unidad de números enteros

2.1 Números enteros a partir de la resta de números naturales. Representación de númerosenteros en la recta numérica. Adición y sustracción en Z. Diferentes contextos como apoyo paraotorgar significación a las operaciones (juegos de cartas, temperaturas sobre cero y bajo cero,pérdidas y ganancias, etc.). La relación de orden entre dos números enteros a partir de suubicación en la recta. Multiplicación de números enteros: la conservación de la propiedaddistributiva en Z como punto de apoyo para la introducción de la “regla de los signos”. La rectacomo contexto de apoyo para estudiar las relaciones entre adición, multiplicación y orden(ubicación en la recta de -1.a respecto de a, y en general el “efecto en la recta” demultiplicar por números negativos, la conservación del orden a través de la suma, etc.).Resolución de cálculos combinados usando la calculadora. Análisis del funcionamientode los distintos tipos de calculadora: común, científica.

Comentarios y ejemplos de problemasLos números enteros se estudian por primera vez de manera sistemática en primer año y ensegundo quedan subsumidos en el estudio de los números racionales. Además de un trabajosobre las operaciones y el orden con números enteros se propone para primer año un trabajosobre divisibilidad. Este campo es especialmente propicio para la exploración, laformulación y la validación de conjeturas, y acá vuelve a aparecer el álgebra comoherramienta para producir conocimiento sobre este tema. Este sentido del álgebra comoherramienta comenzó a construirse en la primera unidad con la producción de fórmulas, elestudio de la equivalencia entre las fórmulas y la lectura de información sobre una situación apartir de la fórmula que la modeliza.

Para comenzar a trabajar con los números enteros, diferentes contextos pueden concebirsecomo punto de apoyo para otorgar una primera significación a algunas de las operaciones, queluego se irán formalizando. Sin embargo el trabajo en contexto tiene algunas limitaciones: porejemplo, en el juego de chin chón es difícil interpretar la resta entre dos negativos. En general loscontextos de afuera de la matemática no permiten buenas interpretaciones de la multiplicación.Adquieren entonces relevancia los contextos de dentro de la matemática. Por ejemplo, laconservación de la propiedad distributiva se propone como punto de apoyo para la introducciónde la regla de los signos.El trabajo de la relación de orden en Z incluye la comparación con lo que sucede en naturales:algunas propiedades se mantienen y otras se pierden. Por ejemplo, en naturales, los alumnossaben que un número a es mayor que otro número b si a se encuentra a la derecha de b ytambién si está más alejado del cero que b. Es importante analizar con los alumnos que una deestas propiedades sigue valiendo y otra deja de valer en el caso de los números enteros.Para estudiar las relaciones entre orden y operaciones se propone utilizar la recta: si a < bestudiar la ubicación en la recta de a + c y b + c y de a.c y b.c para valores positivos y negativosde c.A medida que se va trabajando con los números enteros y sus operaciones, interesa abordar demanera simultánea el trabajo algebraico ya iniciado en el campo de los números naturales.Respecto a los cálculos combinados, interesa centrar la atención en la jerarquización de lasoperaciones y el uso del paréntesis para resolver diferentes problemáticas (expresar unenunciado mediante un único cálculo, introducir un cálculo en una calculadora que no separa en


2

términos, etc.). No se trata de resolver ejercicios de “suprimir paréntesis”, desligados deproblemas que justifiquen dicha supresión.

Propuesta de problemas

Problema 1.Juego del Chin - chon1) Si los alumnos no conocen el juego, enseñarles a jugar al chin-chon1. Pedir cartas para que

puedan jugar en grupos de 3 o 4 alumnos varias vueltas, de manera que haya alguno quecorte y deba descontar 10 puntos.Luego de que todos los alumnos se familiaricen con el juego, se podrían plantear lossiguientes problemas, que simulan el juego:

a. Juan tenía anotado 8 punto y cortó sin que le sobre nada. ¿Qué puntaje tendráahora?

b. Silvana tenía –12. Se quedó con 9 puntos. ¿Qué puntaje tiene ahora?c. Completen la siguiente planilla que usan cuatro jugadores:

Jugador Tenía Obtuvo Le quedan

Jorge 9 -10 -1

Carla -7 9

Ruben -3 -1

Martina 4 -12

d. Un jugador cortó dos manos seguidas sin que le sobre nada. Tiene ahora –17. Antesde esas manos tenía más o menos que cero?

e. Clarisa se quedó con un ocho de copas sin que forme juego, y por eso le anotaron –3. ¿Qué puntaje tenía antes de esta mano?

Los siguientes tres problemas ponen en juego la resta entre dos números naturales cuyoresultado puede ser negativo. También será necesario ordenar una colección de números queincluye positivos y negativos. Los contextos de campeonatos de fútbol y tabla de posicionesrequieren de esas tareas ya que a igualdad de puntaje la posición en la tabla se define por mayoro menor diferencia de goles.

1 Reglas del juego: del mazo de 52 barajas españolas se reparten 7 cartas a cada participante, se deja elmazo boca abajo en el medio de la mesa con una carta dada vuelta. Por turno, cada jugador deberá retiraruna carta del mazo y descartarse la que no le sirve. Siempre en su poder deben quedarle 7 cartas con lasque tiene que hacer juegos: chinchón (7 cartas en escalera del mismo palo) o bien escaleras de 3 o 4 cartas(del mismo palo) o piernas de 3 o 4 cartas (del mismo número). Al retirar una carta del mazo, se descartala que no sirve y la deposita al lado del mazo boca arriba. También los jugadores pueden retirar una cartade las que se van acumulando boca arriba, siempre respetando su turno. El jugador que completa sujuego, se descarta y corta, mostrando sus cartas. Si no le sobra nada se anota –10 (menos 10). Los otrosjugadores, si se quedaron con cartas que no arman juego, se acumulan los puntos que indica cada carta. Elque menos puntaje obtenga al cabo de una cierta cantidad de vueltas del juego es el ganador.


3

Problema 2Estos son los resultados de la primera fecha de un campeonato cuadrangular de fútbol:San Telmo 2 vs. Palermo 1 y Avellaneda 3 vs. Barracas 4Completá la siguiente tabla de posiciones :

Problema 3A continuación se presentan tablas de posiciones incompletas de tres torneos diferentes,

luego de jugada la primera fechaa) Completá cada tablab) En cada caso, ¿se puede saber quién jugó con quien?

CUADRO I

CUADRO II

CUADRO III

Problema 4.

Equipo Puntos Golesmetidos

Golesrecibidos

Diferenciade Goles

Posición

SAN TELMOAVELLANEDABARRACASPALERMO

Equipo Puntos Goles afavor

Golesrecibidos

Diferencia.de goles

Posición

SAN TELMO 2 4AVELLANEDA 0BARRACAS 2PALERMO 1 3


Golesrecibidos

Dif. degoles

Posición

SAN TELMO 3 -1AVELLANEDA 3BARRACAS 2PALERMO -2


Golesrecibidos

Dif. degoles

Posición

SAN TELMO 4 2AVELLANEDA 4 3BARRACAS 0 -2PALERMO 3


4

La siguiente tabla de posiciones corresponde a otro campeonato cuadrangular

de fútbol del barrio de San Telmo, luego de dos fechas jugadas.

a) Completá la tabla con los datos que faltanEn la última fecha se juegan los partidos: SAN TELMO vs. AVELLANEDA yBARRACAS vs. PALERMO.

b) Elegí un resultado posible para estos partidos, y escribí cómoquedaría la tabla con esos resultados de la tercera fecha.

En realidad se sabe que BARRACAS vapuleó a PALERMO por 5 a 0.c) ¿Cuál es la diferencia de goles de ambos equipos al finalizar eltorneo?d) ¿Puede BARRACAS ser campeón?e) ¿Qué resultados del partido SAN TELMO vs AVELLANEDA leconvienen a BARRACAS para ser campeón?f) Para cada uno de los resultados que respondiste en e) escribí cómoquedaría la tabla de posiciones al finalizar el torneo?

Problema 5.Cuando Pedro salió de su casa a la mañana hacía –3ºC y cuando volvió había aumentado 10º.¿Cuál era la temperatura cuando volvió?

Problema 6Un edificio muy moderno de la calle Bolívar, cuenta con dos ascensores que viajandesde el cuarto subsuelo hasta el piso ochenta.

a) ¿Cuántos pisos subió Martín, si viajó del piso 42 hasta el 78?b) Un tiempo después, Juan entró en el ascensor n°1 en el piso –2 (o segundo

subsuelo) y subió veintisiete pisos. ¿En qué piso salió del ascensor?c) Simultáneamente María entró en el ascensor n°2 en el piso 77 y salió en el

tercer subsuelo. ¿Cuántos pisos bajó?d) Después Rosa llamó al ascensor n°1, lo tomó, bajó 47 pisos y salió en el

piso -4. ¿En qué piso estaba rosa?e) Luego de estos viajes, ¿cuántos pisos separan el ascensor n°1 del n°2.?f) ¿ Si al comienzo de estos viajes el ascensor n°1 estaba en el piso 67 y el

n°2 en el –3. ¿Cuántos pisos había entre los ascensores? ¿Qué estrategiausaste para calcularlo en cada caso?

g) Realizá una “serie” de tres preguntas con el problema del ascensor yresolvelo.

Después de finalizar esta actividad, y tomando en cuenta las diversas estrategias utilizadas porlos chicos se puede introducir la noción de distancia entre números enteros, como extensión delo que ocurre con dos números naturales, donde restamos el mayor menos el menor. Esto obliga

Equipo Puntos G.M G.R. Diferencia de GolSAN TELMO 6 1 3AVELLANEDA 3 2 1BARRACAS 3 2 -1PALERMO 0 -3


5

a reflexionar sobre la comparación de dos números negativos que se recomienda hacerapoyados en la representación en la recta numéricaLos problemas 7 y 8 sirven para retrabajar la noción de distancia y los problemas 9 y10 parareflexionar sobre la ubicación en la recta.

Problema 7Completar la siguiente tabla:

Personaje Año en que nació Año en que Murió Años que vivióJulio César - 101 - 44Platón - 429 - 348Sócrates - 401 69Cicerón - 106 64

Problema 8Completar la siguiente tabla: (La amplitud térmica es la diferencia entre la temperatura máxima ymínima)

Temperatura máxima del día Temperatura mínima del día Amplitud térmica del día15ºC 2ºC10ºC - 4ºC

- 2ºC 16ºC8ºC 14ºC

1ºC 9ºC

Problema 9En la siguiente línea del tiempo dónde ubicarías nuestro siglo XXI

S V a.C.

Problema 10 Ubica los siguientes números en una misma recta numérica:

3 , 5 , -3 , -5 , 10 y -10

Problema 11¿Dónde ubicarías el número -a en la siguiente recta numérica?:

0 1 a¿Y dónde ubicarías estos números en la recta anterior?: a +1 ; -a +1 ; -a – 1 ; 2a ; -2ª

Problema 12Si sabes que “a” es un número entero negativo, ¿dónde puede estar ubicado “-a ” en la rectanumérica?

Problema 13Señalar en la recta numérica el lugar donde puede ubicarse un número “a” sabiendo que esnegativo. ¿Dónde ubicarías el número –a? ¿Y – a - 1? ¿Y a + 1?


6

Con este problema se busca que los alumnos reconozcan que si un número es negativo, seubica a la izquierda del cero, más allá de la manera elegida para representar al número.Asimismo, se trabaja con la idea de opuesto, su ubicación en la recta y la representación deotros números dependientes del número inicial. Los alumnos deberán aprender a aceptar que laescritura -a puede representar un número positivo.

Problema 14¿Dónde ubicarías el cero en las siguientes rectas numéricas?

a) - 17 34b) 14 42

c) - 22 28d) - 18 - 14

Problema 15Completa la siguiente tabla:

Número a Opuesto de a- a

Siguiente de aa + 1

Anterior de aa - 1

Siguiente delopuesto de a

Opuesto delsiguiente de a

- 15- 8

- 3 0

1- 9

6

Problema 16Completa utilizando el símbolo >, = ó < según corresponda en cada caso:

- 15 ....... – 20 - 24 ...... – 22 - 10 ...... 10 - 9 ...... 0- ( - 9 ) ....... 9 0 ....... 15 - 38 ....... – 48 0 ........- 45

Problema 17Si sabemos que a > b, entonces, ¿podemos afirmar algo respecto de la relación de orden entreel opuesto de a y el opuesto de b? Analizar para todos los casos posibles.

A partir de la noción de opuesto se puede definir la resta de enteros como. Un entero a menosotro entero b es igual a a más el opuesto de b

Problema 18Completa la siguiente tabla:

Número a Número b Opuesto de a Opuesto de b a -b - a+ ( - b ) - a -( - b)- 4 - 5 6 7- 3 - 8


7

- 2 - 5- 9 - 1023 25

-32 21

Problema 19Explica qué estrategia utilizas para hallar el resultado de las siguientes sumas de enteros: -2 + ( - 3 ) = 5 + ( - 2 ) = 8 + ( - 18 ) = 0 + 16 =

15 + 23 = - 15 + 2 = - 18 + 20 =

Problema 20Explica qué estrategia utilizas para hallar el resultado de las siguientes restas de enteros

- 5 – ( - 2 ) = 5 – ( - 2 ) = - 5 – 2 = 5 – 15 =

Problema 21Resuelve los siguientes cálculos: - 3 – ( - 4 ) = 45 – 57 = 46 – ( - 34 ) = 46 – 23 =

0 – 46 = 56 – ( - 56 ) = 64 – 64 = - 56 – ( - 56 ) =

Problema 22 a) Escribe 3 restas que den resultado – 27. b) Escribe 3 restas que den resultado 42. c) Escribe 3 sumas que den resultado – 28.

Problema 23 a) ¿Puede ser que la resta de dos números negativos de resultado positivo? b) ¿Puede ser que la resta de dos números negativos de resultado negativo? c) ¿Puede ser que la resta de dos números positivos de resultado negativo? d) ¿Puede ser que la resta de un número positivo menos un negativo de resultado negativo? Explica en todos los casos el por qué.

Problema 24Encontrar un número sabiendo que sumado a 27 de por resultado – 12.

Problema 25Encontrar un número sabiendo que sumado a 35 de por resultado – 100.

Problema 26Completar:

- 5 + ....... = 23 - 5 - ........ = 23- 5 + ........= - 23 - 5 - ........= - 23

En este momento se puede trabajar sobre las desigualdades con enteros

Problema 27


8

Encontrar un número m tal que al sumarle 3 el resultado sea negativo. ¿Habrá una solaposibilidad? ¿Cuáles son todos los números enteros m que cumplen esta condición?

No se pretende que los alumnos escriban una inecuación, sino que analicen diferentes casos,teniendo en cuenta la exhaustividad que se requiere para proponer todas las posibilidades. Larecta numérica puede ser un apoyo para el análisis y la resolución del problema.

Problema 28Encontrar a y b enteros tal que a+b<a. Hallar ejemplos en caso de ser posible o justificar en casode ser imposible.

En este caso, se espera que los alumnos resuelvan el problema sin necesidad de operaralgebraicamente sino mediante el conocimiento sobre las operaciones con naturales y conenteros. Será importante discutir con los alumnos, luego de la resolución, la posibilidad deencontrar todos los casos posibles y analizar las estrategias que garantizarían la exhaustividad.

Problema 29Hallar un número entero de modo tal que 4-(2a+5)=7

En este ejemplo, no se pretende “de entrada” que los alumnos recurran al “pasaje de términos”.Se busca que puedan pensar que 2a + 5 debe ser –3 (así 4 – (-3) = 7). Del mismo modo, poderimaginar que 2a tiene que ser igual a –8 (así –8 + 5 = -3). Finalmente, a deberá ser igual a –4.

Para justificar la multiplicación de un número positivo por un negativo se puede recurrir alsiguiente problema que se puede resolver poniendo en juego la multiplicación como sumareiterada:

Problema 30

Hace seis meses que debo la cuota del club que es de 5$ ¿cuánto debo?

Los problemas 31 y 32 intentan dar significado a la regla de los signos para la multiplicación.

Problema 31Completar las siguientes tablas de multiplicar:

2 x 5 102 x 4 82 x 32 x 22 x 12 x 0

2 x (-1)2 x (-2)

¿Qué ocurre con los resultados de la “tabla del 2”, a medida que descienden los valores por loscuales se multiplica al 2? ¿Y con la del (-4)?. ¿Cómo podrías explicar esta diferencia?

(-4) x 5 -20(-4) x 4 -16(-4) x 3(-4) x 2(-4) x 1(-4) x 0

(-4) x (-1)(-4) x (-2)


9

Problema 32Lee el siguiente texto:Estamos de acuerdo que por definición de multiplicación – 5 . 3 = (-5) + (-5) + (-5) = - 15 Sabemos que – 5 . ( - 3 + 3 ) = 0 entonces aplicando la propiedad distributiva

- 5 .(- 3) + (- 5). 3 = 0 entonces 15 + ( - 15 ) = 0¿Por qué se escribe allí que (-5) . (-3) = 15?

De aquí entonces la Regla de los Signos de la Multiplicación de enteros:+ . + = ++ . - = -- . + = -- . - = +

Problema 33¿Por qué número habrá que multiplicar a – 18 para que de mayor que 50?

Problema 34a) ¿Por qué número habrá que multiplicar – 25 para que dé menor que – 100?b) ¿Por qué número habrá que multiplicar a 25 para que el resultado sea menor que– 125? ¿y para que sea menor que – 15? ¿y para que de menor que – 30?

SURTIDO

Los problemas que siguen amplían el repertorio, pueden ser trabajados en clase o en la casa.

Problema 35¿Cuáles son los números que al sumarles 5 dan como resultado números menores que 8?

Problema 36Sabemos que un número entero “a” se halla comprendido entre – 10 y 8, ¿entre qué valoresestará comprendido entonces a+4? ¿y a – 5?

Problema 37Si un número entero está comprendido entre – 10 y 10 . ¿Entre qué valores está 50 – x?

Problema 38Sabiendo que - 243 . 135 = - 32.805 , resolver sin usar calculadora - 243. 270 =¿cómo lo pensaste?

Problema 39¿Cómo modificarías los siguientes cálculos para poder hacerlos mentalmente más fáciles? Temostramos un ejemplo: 728 – 299 = 728 – 300 + 1 = 429 )

a)1536 – 397 =b)842 – 504 =c)686 – 295 =d)735 – 210 =

Problema 40


10

Sabemos de los números enteros a y b que a – b = - 400 , ¿cuál es el valor de a – ( b – 200 )? ¿y de a – (b + 200 )?

Problema 41Propone varias multiplicaciones cuyo resultado sea siempre – 24.

Problema 42¿Cómo modificarías los siguientes cálculos para poder hacerlos más fáciles? Te mostramos unejemplo:

-108 . 45 = ( - 100 – 8 ). 45 = - 4500 – 360 = - 4860

-206 . 25 =

-308 . 22 =

Problema 43

Si el producto entre dos números enteros es 24, ¿qué puedes decir que va a suceder si seduplica uno de los factores y se triplica al otro?

Problema 44¿Cuántas soluciones enteras tengo para a y b, para que se cumpla que a + b < 50?

Problema 45¿Es posible encontrar a y b enteros de manera que a + b < a?

Problema 46

Encontrar todos los valores posibles de a y b para que:i) 0< a x b < 5 ii) a x b <5 iii) a x b + a <5.

A diferencia de los anteriores, este problema puede requerir además del análisis de lainformación que portan las expresiones, una transformación para la parte iii) de la expresiónalgebraica involucrada: a x b + a = a (b+1), para luego utilizar el análisis realizado para el casoi).

Problema 47

Encontrar, si es posible dos ejemplos distintos de números enteros a y b de manera que laexpresión (1+a) (1+b) resulte mayor que 1+a+b .Encontrar ahora, si es posible, dos ejemplos de manera que (1+a) (1+b) ‹ 1+a+b y dos ejemplosdonde sea igual.¿ Cuáles son todos los casos posible para que (1+a) (1+b) ‹ 1+a+b ?

Los alumnos deberán desarrollar la primera expresión para llegar a que la misma es equivalentea 1+a+b+ab. Luego para decidir si es menor mayor o igual que la otra, hay que estudiar elefecto que produce sumar ab. Probablemente algunos alumnos piensen que la primera


11

expresión es siempre mayor que la segunda, pues a parece algo de más sumando. Seránecesario aceptar el hecho de que, al trabajar en Z, se puede obtener un numero menor si unosuma un número negativo. En definitiva, es necesario estudiar el signo del producto ab.En este caso, la manipulación algebraica permite mostrar un aspecto de la expresión que no eravisible sin desarrollar la multiplicación.

Technology

Numeros enteros