TEOREMA

DE

PITÁGORAS

Pitágoras• Filósofo y matemático griego. Hacia el año 530 se instaló en Crotona (Italia),

donde fundó la escuela pitagórica, que llegó a convertirse en una asociación parcialmente religiosa, científica y filosófica, apoyada en la creencia de la inmortalidad del alma y la doctrina de la reencarnación, la práctica de la alimentación vegetariana y un sistema educativo basado en la gimnasia, las matemáticas y la música. Las ideas y descubrimientos científicos de la escuela pitagórica han sido atribuidos tradicionalmente al fundador, por lo que no sabemos exactamente cuáles fueron suyos y cuáles de sus discípulos. Se les debe el teorema de Pitágoras, que afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este teorema aparece enunciado por primera vez en los "Elementos de Euclides", pero ya se conocía desde mucho antes.

Pitágoras había viajado a la antigua Babilonia y a Egipto donde posiblemente conoció la propiedad que verifican los lados de un triángulo rectángulo.

En una tablilla de arcilla procedente de Babilonia conocida por PLIMPTON 322 y fechada en el 1900 a.C. aparecen, colocadas en columnas, ternas de números que verifican el teorema de Pitágoras son las llamadas "TERNAS PITAGÓRICAS".

• Otro descubrimiento pitagórico fue la observación de que, cuando dos cuerdas de un instrumento musical vibran con sonidos armónicos, sus longitudes forman una relación expresada por números sencillos (como 1:2, 1:3, 2:3, etc.).

c

a

a

b

b c

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

222 cba

5

4

4

3

3 5

2525

25169

543 222

EjemploEn el triángulo rectánguloCalcular la medida de la hipotenusa

x

x

x

x

5

25

169

43

2

2

222

x

4

3

Ejemplo 2

En el triángulo rectánguloCalcular la medida del cateto que falta

10

x

6

8

64

36100

10036

106

2

2

2

222

x

x

x

x

x

TRÍOS PITAGÓRICOS

CATETO CATETO HIPOTENUSA

3 4 5

6 8 10

9 12 15

5 12 13

Los tríos más usados en ejercicios son:

Verifícalos

Ahora a trabajar ¡¡apliquemos lo aprendido

I.- Calcular la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos.

II.- Calcula el cateto que falta en cada triángulo rectángulo

III.- Calcula en cada triángulo rectángulo el lado que falta.

IV.- Resuelve los siguientes problemas de aplicación:

Calcula la diagonal de un cuadrado de 9 cm de lado

Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8 cm y la base 6 cm

Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm.

Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm de la pared.

¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en

la pared?

¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de esta misma escalera para que la parte superior se apoye en la pared a una altura

de 52 dm?

Calcula los centímetros de cuerda que se necesita para formar las letras N, Z y X de las siguientes dimensiones.

Se quiere construir una plaza de juegos, en forma de triángulo rectángulo, rodeada por árboles. Con los datos de la figura, calcula cuántos árboles podrán plantar en

cada lado de la plaza, si entre uno y otro árbol debe haber una distancia de 5 metros.

Un terreno rectangular de 120 metros de ancho y 160 de largo debe dividirse en dos partes iguales con una cerca, como lo muestra la

figura. A partir de esta situación, responde:¿Cuán será la longitud de la cerca que divide ambos terrenos?

Si se cercan los dos terrenos, incluyendo su división, ¿cuál sería la longitud total de la cerca?