Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Antes que nada se debe entender que homo habla de similitud, en estos casos las ecuaciones diferenciales a

solucionar deben ser del mismo grado:

Esto que se muestra es el modelo de una EDH

Existen dos formas sencillas para conocer el grado de la ecuación

Por inspección

𝑀 (𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 )

𝑁 (𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 ) (1)

n = es el grado de la expresión

Ejemplo: 𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥−3√𝑥𝑦+5 𝑦

𝑓 (𝑡𝑥 ,𝑡𝑦 )=𝑡𝑥−3 √𝑡𝑥𝑡𝑦+5 𝑡𝑦Aplicamos (1):

𝑓 (𝑡𝑥 ,𝑡𝑦 )=𝑡𝑥−3 √𝑡 2(𝑥𝑦)+5 𝑡𝑦Factorizamos «t» de la raíz:

Factorizamos «t» de la ecuación:

«t» está elevado a la 1 por lo tanto es de primer grado

𝑓 (𝑡𝑥 ,𝑡𝑦 )=𝑡 (𝑥−3 √(𝑥𝑦 )+5 𝑦)

Lo que resulta al

final dentro del paréntesis debe ser igual a la función original

Por suma de los exponentes con literal

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=6 𝑥2𝑦+5 𝑦3

Se deben sumar las literales parcialmente

«x» esta elevado al cuadrado y «y» a la uno entonces se suman los exponentes: 2+1= 3

«y» está elevado al cubo que es lo mismo en la otra parte antes de la suma

Con esto podemos demostrar que es homogénea de 3er grado

Elementos claves para las EDH cambio de variables.

1. 𝑦=𝑢𝑥 𝑑𝑦=𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢

2. 𝑥=𝑢𝑦 𝑑𝑥=𝑢𝑑𝑦+ 𝑦 𝑑𝑢

3. 𝑢=𝑥+ 𝑦𝑑𝑦=𝑑𝑢−𝑑𝑥𝑦=𝑢−𝑥

Ejemplo:

(𝑥2+𝑥𝑦+3 𝑦 2 )𝑑𝑥− (𝑥2+2𝑥𝑦 )𝑑𝑦=0

2 1+1 2 2 1+1

Utilizando el primero elemento clave para solucionar sustituimos las y por ux y dy por udx+xdu

(𝑥2+𝑥 (𝑢𝑥)+3 (𝑢𝑥 )2 )𝑑𝑥− (𝑥2+2 𝑥 (𝑢𝑥 ) )(𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢)=0

(𝑥2+𝑥2𝑢+3𝑢2𝑥2 )𝑑𝑥− (𝑥2+2𝑥2𝑢 )(𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢)=0

𝑥2 (1+𝑢+3𝑢2 )𝑑𝑥−𝑥2 (1+2𝑢 )(𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢)=0

𝑑𝑥+𝑢𝑑𝑥+3𝑢2𝑑𝑥−𝑢𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑢−2𝑢2−2 𝑥𝑢𝑑𝑢=0

𝑑𝑥+𝑢2𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑢−2 𝑥𝑢𝑑𝑢=0

(𝑎+𝑢2 )𝑑𝑥− (1+2𝑢)𝑥𝑑𝑢=0

∫ 𝑑𝑥𝑥−∫ (1+2𝑢)

(1+𝑢2 )𝑑𝑢=0

∫ 𝑑𝑥𝑥−∫ 𝑑𝑢

(1+𝑢2)+∫ 2𝑢

1+𝑢2𝑑𝑢=0

𝑙𝑛│𝑥 │−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢− 𝑙𝑛│1+𝑢2│=c

𝑙𝑛│𝑥 │−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦𝑥−𝑙𝑛│1+ 𝑦

2

𝑥2│=c

Solución

Por: Esteban Reyes Aguayo

Profesor: Cesar Octavio Martínez Padilla

Centro de Enseñanza Técnica Industrial (CETI)

Materia: Ecuaciones Diferenciales