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descripcion del procesod de Markov
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> Conceptos para desarrollar cadenas de Markov
El proceso Markov
Adriana Inés ÁvilaGeovany Guatibonza
Conceptos
> ¿Qué es un vector?Definición de vectores. Representación de vectores. Representación de un vector en MATLAB.
> ¿Qué es una matriz?Definición de Matriz. Representación de Matrices. Representación de matrices en MATLAB. Multiplicación de Matrices. Multiplicación de matrices en MATLAB.
> Cadenas de MarkovVector de Probabilidad. Vectores únicos de probabilidad. Matriz Estocástica. Matriz estocástica regular. Vector de probabilidad fijo (t). Matriz de transición.
¿Qué es un vector?
> Definición y representación
• Un vector a lista de números independientes cuyos valores son relacionados de manera sistémica.
• En matemáticas los vectores son representados así:
V1= [0, 0, ½, ½,]
V = [a1, a2, a3… an]
¿Qué es un vector?
> Representación de un vector en MATLAB
• Tomando el ejemplo de la diapositiva anterior, en el siguiente video observaremos la forma en que se representa un vector utilizando el programa MATLAB.
V1= [0, 0, ½, ½,]
¿Qué es una matriz?
> Definición y representación
• Es una tabla cuadrada o rectangular de números, ordenados por filas y columnas. En algunos casos se pueden realizar sumas y multiplicaciones de matrices.
• Una matriz se representa así:
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
¿Qué es una matriz?
> Representación en MATLAB
• Tomando el ejemplo de la diapositiva anterior, en el siguiente video observaremos la forma en que se representa una matriz utilizando el programa MATLAB.
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
¿Qué es una matriz?
> Multiplicación de matrices• Antes de proceder a multiplicar matrices se ha de tener en cuenta una condición fundamental: la cantidad de columnas de la primera matriz debe ser igual a la cantidad de filas de la segunda.
El proceso de multiplicación se realiza así:El proceso de multiplicación se realiza así:
La primera fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda matriz.
La primera fila de la primera matriz por la segunda columna de la segunda matriz (y así hasta completar el número de columnas)
Luego se pasa a la segunda fila y se repite la multiplicación de las columnas. El resultado es una nueva matriz.
¿Qué es una matriz?
> Ejemplo de multiplicación de matrices
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
0 0 ½ ½
¼ ½ ¼ 0
½ 0 ½ 0
0 ½ 0 ½
X =
¼ ¼ ¼ ¼
½ 0 ½ 0
¼ 0 ½ ¼
½ 0 ½ 0
Ejemplo de la primera fila por columna:
A11= 0*0+ 0*1/4+ 1/2*1/2+1/2*0= 1/4
A12= 0*0+ 0*1/2+ 1/2*0+ 1/2*1/2=1/4
A13= 0*1/2+ 0*1/4+ 1/2*1/2+ 1/2*0=1/4
A14= 0*1/2+ 0*0+ 1/2*0+ 1/2*1/2=1/4
Así obtenemos la primera fila de la nueva matriz.
¿Qué es una matriz?
> Multiplicación de matrices en MATLAB
• Tomando el ejemplo de la diapositiva anterior, en el siguiente video observaremos la forma en que se multiplican matrices utilizando el programa MATLAB.
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
0 0 ½ ½
¼ ½ ¼ 0
½ 0 ½ 0
0 ½ 0 ½
X =
¼ ¼ ¼ ¼
½ 0 ½ 0
¼ 0 ½ ¼
½ 0 ½ 0
VER VIDEO
Cadenas de Markov
> Elementos importantes
• Las cadenas de Markov pueden ser representadas a a través de matrices. Es importante que el estudiante tenga en cuenta que las cadenas de Markov obedecen a un tipo de matrices específicas, las características de las matrices que obedecen a las cadenas de Markov son expuestas a continuación:
Cadenas de Markov
> Vector de probabilidad
• La primera característica es que tenga vectores de probabilidad, estos son aquellos que sus elementos son números positivos y al sumarlos el resultado es uno. A continuación algunos ejemplos:
V1= [0, 0, ½, ½,] Es un vector de probabilidad
V2= [1, 0, ½, ½,] NO es un vector de probabilidad
Cadenas de Markov
> Vector único de probabilidadLos vectores que no son de probabilidad, (la suma de sus componentes es mayor que 1) pero que cumplen con la condición de que todos sus componentes son positivos, tienen algo llamado vector único de probabilidad, el cual corresponde a un escalar múltiplo de si mismo. El vector único de probabilidad (qv) se obtiene de la siguiente manera:
1. Se calcula la suma todos los componentes del vector
2. El vector se multiplica por ese resultado
Ejemplo:
Tengo la matriz: V2= [1, 0, ½, ½,]
Observo que no es un vector de probabilidad, pero que todos sus elementos son positivos
Calculo la suma de sus elementos: 1+0+1/2+1/2 = 2
qv = 1/2 V2 = [1/2, 0, 1/4, 1/4]
Cadenas de Markov
> Matriz estocástica
• Es una matriz en la cual todos sus vectores son de probabilidad. Cuando se multiplican dos matrices estocásticas o una matriz estocástica por si misma, el resultado siempre es una matriz estocástica. Una matriz estocástica, se considera regular, cuando todos los elementos de alguna potencia de dicha matriz, son positivos.
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
0 1 ½ ½
1 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 4 1 0
Estocástica NO Estocástica
Cadenas de Markov
> Matriz estocástica regular
Una matriz estocástica es regular, cuando todos los elementos de una potencia son positivos. Como ejemplo, tomaremos nuestra matriz estocástica de la diapositiva anterior la elevamos al cuadrado:
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
A²= X
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
¼ 0 ¾ 0
½ 0 ½ 0
¼ 0 ½ ¼
½ 0 ½ 0
=
Cadenas de Markov
> Matriz estocástica regular
Las características de una matriz estocástica regular son:
La matriz (P) tiene un vector de probabilidad fijo (t) cuyos componentes son todos positivos.
La sucesión de potencias de la matriz: P, P2, P3, se aproxima a la matriz T cuyas filas son cada punto fijo (t).
Si p es un vector de probabilidad, entonces la sucesión de vectores: pP, pP2, pP3, se aproxima al punto fijo t.
X
Cadenas de Markov
> Hallar el vector de probabilidad fijo (t)El vector de probabilidad fijo es una característica de las matrices estocásticas regulares. Para hallarlo se requiere multiplicar cualquier matriz por incógnitas con la finalidad de que estas puedan ser despejadas. Tomaremos como ejemplo una matriz trabajada con anterioridad:
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
[w, x, y, z] X
Se realiza la multiplicación de las matrices y luego se despeja cada una de las incógnitas para hallar el vector de probabilidad fijo (t). Si este no es un vector de probabilidad, puede convertirse utilizando lo aprendido en diapositivas anteriores
Cadenas de Markov
> Matriz de transición
Para calcular lo que sucederá en un tiempo determinado, el proceso es el siguiente:
Tomo el vector que representa el estado inicial del problema, este se llamará q0
Si multiplico q0 por la Matriz me dará el estado 1, entonces para hallar un estado n la fórmula es:
q0 Mn = qn
Cadenas de Markov
> Matriz de transición
Ejemplo: Si queremos hallar lo que sucederá en la transición 150, entonces:
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
V1= [0, 0, ½, ½,]
Estado inicial
X =
150
V150= [23/100, 3/20, 19/50, 23/100]
Cadenas de Markov
> Matriz de transición en MATLAB
Ejemplo: Si queremos hallar lo que sucederá en la transición 150 en MATLAB revisa el siguiente video:
0 0 ½ ½
0 0 1 0
½ 0 ½ 0
0 0 1 0
V1= [0, 0, ½, ½,]
Estado inicial
X =
150
V150= [23/100, 3/20, 19/50, 23/100]
VER VIDEO
Fin de la presentación
