1. Sistemas Numéricos

1.1. Números.

Son usados en la cotidianidad para representar cantidades conocidas y

determinadas. El símbolo de un número es llamado comúnmente cifra o

numeral, y expresan una determinada cantidad. Los números se pueden

clasificar debido a sus características como se mostrará a continuación.

1.1.1. Números Cardinales.

Indican la cantidad de elementos que contiene un determinado

conjunto. Por ejemplo los conjuntos {A, B, C, D} y {1, 2,3, 4} no son

iguales pero tiene el mismo valor de número cardinal llamado cuatro.

1.1.2. Números Primos.

Un número primo es aquel que solo es divisible por él mismo y por la

unidad (1). Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. El único número

que cumple con la propiedad de ser par y primo es el número dos.

1.1.3. Números Compuestos.

Un número compuesto es todo número natural no primo. Es decir

aquel número que tiene uno o más divisores, diferentes de sí mismo

y de la unidad. Por ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. De igual forma

tiene otra característica relevante y es que se pueden escribir como

el producto de dos enteros menores que el. De ésta forma el número

4 es compuesto ya que se puede expresar como 2 x 2; el número 10

es compuesto debido a que se puede expresar como 2 x 5, entre

otros.

1.1.4. Teorema Fundamental de la Aritmética

El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número

entero n mayor que uno, se puede representar de forma única,

sin importar el orden, como un producto de números primos.

Ejemplo 1.1

Representar en factores primos el número 240.

Solución: Se empieza buscando el divisor primo más pequeño del

número 240 como:

240= 2 x 120

El divisor más pequeño es el 2. Se efectúa el mismo procedimiento

de manera sistemática así:

120= 2 x 60

60= 2 x 30

30= 2 x 15

15 = 3 x 5

5 = 1 x 5

De ésta forma, solo restaría sustituir el valor de cada igualdad:

240= 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 ó expresado en términos de cocientes:

240= 24 𝑥 3 𝑥 5

Comúnmente estos cálculos se expresan de la siguiente forma:

240 2

120 2

60 2

30 2

15 3

5 5

1

Visto de éste modo podemos decir que no existe otra forma para

simplificar en términos de números primos el ejemplo anterior. Como

la multiplicación es conmutativa podemos afirmar que el orden es

irrelevante y el enunciado del teorema se cumple a cabalidad.

Ejemplo 1.2

Representar en factores primos el número 680.

Solución: ejecutamos los mismos pasos del ejemplo 1.1. Se empieza

buscando el divisor primo más pequeño del número 680 como:

680= 2 x 340

El divisor más pequeño es el 2. Se efectúa el mismo procedimiento

de manera sistemática así:

340= 2 x 170

170= 2 x 85

85= 5 x 17

17 = 1 x 17

De ésta forma, solo restaría sustituir el valor de cada igualdad:

680= 2 x 2 x 2 x 5 x 17 ó expresado en términos de cocientes:

680= 23 𝑥 5 𝑥 17

Expresando los cálculos de forma tradicional tendríamos:

680 2

340 2

170 2

85 5

17 17

1

1.2. Números Naturales.

Los números naturales se denotan con la letra N, son los que normalmente

usamos para contar. No poseen parte decimal y son aquellos que poseen la

propiedad de ser positivos, es decir:

N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…}

Adicionalmente su estructura algebraica la representan dos operaciones,

puesto que al realizar las operaciones suma y multiplicación con dos o más

números N, el resultado será otro número N. Para dos números cualquiera

a, b, su suma se representa como a + b y su multiplicación o producto como

a x b, a.b o ab.

1.2.1. Propiedades de los Números Naturales

A continuación se describirán las propiedades fundamentales de los

números naturales, teniendo en cuenta que a, b, c, son números N.

Propiedad Asociativa de la suma:

(a + b)+ c= a + (b + c)

Propiedad Conmutativa de la Suma:

a + b = b+ a

Propiedad Asociativa del producto:

(a.b).c =a.(b.c)

Propiedad Conmutativa del Producto:

a.b = b.a

Elemento Neutro o Identidad en el Producto:

1.a = a.1 = a

Propiedad Distributiva del producto con respeto a la Suma:

a.(b + c) = a.b + a.c

1.2.2. Orden de los Números Naturales

En los números N se puede comparar el tamaño de dos o más

números cualquiera que éstos sean. Es decir si a≠b indica que a es

diferente de b. Lo que nos podría indicar que a<b o a>b, que se lee a

es menor que b o a es mayor que b respectivamente o bien: a≤b o

a≥b que se leería a es menor o igual que b y a es mayor o igual a b

respectivamente. Es decir el orden de los números se puede

expresar mediante el uso de los siguientes símbolos:

< menor que

> mayor que

≤ menor o igual que

≥ mayor o igual que

De éstas relaciones de orden y teniendo en cuenta que a, b, c son

números N, podemos establecer las siguientes propiedades:

Propiedad Reflexiva:

a ≤ a

Propiedad Antisimétrica:

Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b

Propiedad Transitiva:

Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c

Propiedad de orden Total:

Siempre a ≤ b o b ≤ a.

El orden de los números N no es ajeno a la suma y al producto, por

lo tanto: a>b si y solo si a= b + c.

1.3. Números Enteros.

Si agregamos a los números N sus inversos aditivos y el cero, obtendremos

de esta manera los números enteros. Se denotan por la letra Z.

Z= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

1.3.1. Propiedades de los Números Enteros

Los números Z también cumplen con las propiedades de la suma y la

multiplicación de los números N, y además:

Elemento Neutro para la suma:

Existe un número entero, que se denota por 0, tal que: 0 + a =

a + 0= a para cualquier entero a.

Elemento opuesto para la Suma:

Para cada número entero a existe otro número entero (Solo

uno), que denotamos por –a tal que:

-a + a = a + (-a) = 0

1.3.2. Orden de los Números Enteros

Para las relaciones de orden y teniendo en cuenta que a, b, c son

números Z, podemos establecer las siguientes propiedades:

Relación de orden con la Suma:

Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + a

Relación del orden con el producto por números positivos:

Si a ≤ b y c ≥ 0, entonces a.c ≤ b.c

Para clarificar un poco los conceptos veremos un par de ejemplos

ilustrativos de los números enteros, aplicando sus operaciones más

básicas.

Ejemplo 1.3.

Sumar: 1 + (-4) + 8

Solución: antes de proceder a ejecutar la suma primero

desarrollamos los valores de los signos, de esta manera:

+ . + = +

+ . - = -

En consecuencia: 1 – 4 + 8= 5

Ejemplo 1.4.

Realizar la siguiente operación entre números Z.

7. (8 + 5) + (-9)

Solución: 7.8 + 7.5 -9

=56 + 35 – 9 = 91 – 9= 82

De otra forma seria:

7. 13 – 9

= 91- 9 = 82

1.4. Números Racionales

Son los números que se pueden representar como el cociente de dos

números Z, con denominador diferente de 0, es decir, 𝑎

𝑏 con b≠0. Los

números racionales se denotan por la letra Q.

Q= {1

2,

4

4,

−10

5,

20

10, … }

1.4.1. Propiedades de los Números Racionales

Conmutativa de la suma:

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑐

𝑑+

𝑎

𝑏

Asociativa de la suma:

𝑎

𝑏+ (

𝑐

𝑑+

𝑒

𝑓) = (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) +

𝑒

𝑓= (

𝑎

𝑏+

𝑒

𝑓) +

𝑐

𝑑

Asociativa en la Multiplicación:

𝑎

𝑏𝑥 (

𝑐

𝑑𝑥

𝑒

𝑓) = (

𝑎

𝑏𝑥

𝑐

𝑑) 𝑥

𝑒

𝑓

Distributiva de la Multiplicación respecto a la suma:

𝑎

𝑏𝑥 (

𝑐

𝑑𝑥

𝑒

𝑓) = (

𝑎

𝑏𝑥

𝑐

𝑑) + (

𝑎

𝑏𝑥

𝑒

𝑓)

Ejemplo 1.5.

Sumar: (2

3+

12

3)

Solución: Podemos observar que el denominador es común para las

dos fracciones, por tanto se procede sumando los numeradores y

dejando el denominador común.

=(14

3)

Ejemplo 1.6.

Sumar: (5

7+

12

3)

Solución: Se sigue la siguiente indicación: (𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) = (

𝑎.𝑑+𝑏.𝑐

𝑏.𝑑) , por lo

tanto:

(5

7+

12

3) = (

5.3 + 7.12

7.3)

(15 + 84

21) = (

99

21)

Ejemplo 1.7.

Realizar la siguiente resta:

(5

7−

12

3)

Solución: Se multiplica la primera fracción por 3 y la segunda fracción

por 7 con el fin de obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m), en éste

caso 21.

(5

7−

12

3) = (

5.3 − 12.7

7.3)

(15 − 84

21) = (

−69

21)

La fracción −69

21 es una fracción que se puede simplificar, dividiendo

tanto numerador como denominador por un determinado valor, en

este caso seria 3:

Es decir −69

3= −23 y

21

3= 7. Constatamos que no se pueda simplificar

más y consignamos la respuesta:

(−69

21) =

−23

7

1.5. Números Irracionales

Las magnitudes que no pueden ser medidas por ningún número

entero o ningún número fraccionario, son llamadas

Inconmensurables y los números que se originan para medir dichas

cantidades son los llamados Irracionales.

Por ejemplo, la razón del perímetro de una circunferencia a su

diámetro es un número irracional es decir, 𝜋=3,142592…Otro

ejemplo seria, √2=1,414213…

A su vez los números irracionales se pueden clasificar como:

1.5.1. Números Algebraicos

Son aquellos números producto de una ecuación algebraica

representados por radicales finitos libres o anidados. Por

ejemplo: √2,√3+√3

4, entre otros. Es decir cualquier radical no

exacto de cualquier orden es un número irracional algebraico.

1.5.2. Números Trascendentes

Son aquellos números que no pueden representarse mediante

radicales libres o anidados, provienen de las funciones

llamadas trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y

exponenciales. De ésta forma el número pi y e, son

irracionales trascendentes ya que no se pueden expresar

mediante radicales. Los irracionales trascendentes también

surgen de consignar números decimales no periódicos sin un

patrón definido, por ejemplo: 3,1234560259310… o

0,10100110010111…

1.6. Números Reales

A su vez los números conformados por el conjunto de los números

Irracionales y el conjunto de los números racionales se denominan

números Reales, como se muestra a continuación:

Se denotan con la letra R, y satisfacen las siguientes leyes para la

suma y la multiplicación:

Ley Conmutativa

a + b = b + a

a.b = b.a

Ley Asociativa

a + (b + c) = (a + b) + c

a.(b.c) = (b.c).a

Ley Distributiva

a.(b + c) = a.b + a.c

Elemento Neutro

a + 0 = a

a.1 = a

Inverso

a + (-a) =0

a.𝑎−1=1

1.6.1 Propiedades de Orden

Tricotomía

Si a y b son dos números R, se cumple una y sólo una de las

siguientes propiedades:

a<b o a = b o a>b

Transitividad

a<b y b<c → a<c

Aditiva

a<b ↔ a + c < b + c

Multiplicativa

Cuando c es positivo: a<b ↔ a.c < b.c

Cuando c es negativo: a<b ↔ a.c > b.c

No obstante vale la pena puntualizar acerca de los símbolos

anteriormente expuestos:

↔ Equivalencia, puede leerse como “es equivalente a” o “si y

solo si”

→ Implicación.

1.7. Expresiones Decimales

Los números racionales e irracionales se pueden representar

mediante expresiones decimales. Los racionales mediante

expresiones decimales periódicas, es decir, en las que hay una

determinada combinación de dígitos que se repiten indefinidamente.

Además los números irracionales se representan mediante

expresiones decimales infinitos no periódicos.

De igual forma existen varios tipos de expresiones decimales como:

1.7.1. Expresión Decimal Exacta

Son aquellos que poseen una cantidad exacta de dígitos

después de la coma decimal o dicho de otra forma, un número

finito de cifras decimales. Por ejemplo:

5

2= 2,5

1.7.2. Expresión Decimal Periódica

Son aquellos cuyas cifras decimales se repiten, reciben el

nombre de periodo y se denota con un arco que abarca dicho

periodo (^). Pueden existir expresiones periódicas de dos

tipos: Expresiones Decimales Periódicas Puras y Expresiones

Decimales Periódicas Mixtas.

Expresiones Periódicas Puras

El periodo comienza inmediatamente después de la coma

decimal, como se muestra a continuación:

50

22= 2,272727 …

Como podemos observar el periodo 27, inicia inmediatamente

después de la coma por lo tanto representa una expresión

periódica pura y se representa como: 2,27̂

Expresiones Periódicas Mixtas

Si el periodo no comienza inmediatamente después de la

coma decimal, es una expresión periódica mixta como se

muestra a continuación.

23

12= 1,91666 …

De lo anterior vemos que el periodo es 16 pero no inicia

después de la coma sino después de una cifra llamada ante

periodo denotada para el ejemplo como 91. De ésta forma la

expresión periódica mixta se representaría así: 1,916̂