TA

1.‐

Ejerc

Con mínimc.a.. L

Cuad

LLER: COEL DIS

Métod

cicio de apli

los datos prmos de nuesLa velocidad

ro 01. Datos

ONSTRUSEÑO D

do conve

cación.‐

roporcionadostra norma. mínima 0.6

s para diseño

LÍNEA

#

0-1

1-2

2-3

3-4

4-5

1-6

3-7

3-8

UCCIÓNE REDES

encional.‐

os a continuPresión mínm/s, y la má

o

NUDOS

#

0

1

2

3

4

5

6

7

8

N DE HOJS (nudo

‐ (pérdidas

uación, dimeima disponi

áxima 2 m/s.

L. tubería

(m)

50

30

100

100

100

70

100

100

JAS ELEo de altu

por D‐W, C

ensione la rble por nudo

Z(m) Cota

1880

0 1858

0 1856

0 1853

0 1847

0 1844

0 1860

0 1857

0 1848

CTRÓNura cono

‐W por tant

red según loo 10 m c.a.,

a Q (L/s)

ICAS PAocido)

teos)

os requerimimáxima de

)

1.8

2.4

1.6

1.2

1.2

1.6

1.8

ARA

ientos 50 m

Figura 01. Esquema de red

Cuadro 02. Datos complementarios

Visc. Cinem. = 1.18E-06 m2/s

ε = 0.0015 m

Cuadro 03. Tuberías de mercado (hipotético)

D Nominal Espesor D Interior Precio / m

(mm) (mm) (mm) ($)

40 2.0 36.0 27.0

50 1.9 46.2 34.7

63 2.0 59.0 44.3

75 1.9 71.2 53.4

90 2.2 85.6 64.2

110 2.7 104.6 78.5

160 3.9 152.2 114.2

200 4.9 190.2 142.7

250 6.1 237.8 178.4

315 7.7 299.6 224.7

355 8.7 337.6 253.2

D Nominal Espesor D Interior Precio / m

(mm) (mm) (mm) ($)

400 9.8 380.4 285.3

450 17.3 415.4 311.6

500 19.2 461.6 346.2

630 24.2 581.6 436.2

DESARROLLO:

a. Encontramos los caudales que circulan por cada línea. La primera ley de Kirchoff:

LÍNEA NUDO L. tubería Z(m) Cota

Q

(L/s)q en líneas

(L/s)

# (m)

0 1880

0-1 1 50 1858 11.61-2 2 30 1856 1.8 10.42-3 3 100 1853 2.4 8.6

3-4 4 100 1847 1.6 2.84-5 5 100 1844 1.2 1.21-6 6 70 1860 1.2 1.2

3-7 7 100 1857 1.6 1.63-8 8 100 1848 1.8 1.8

b. Identificamos el nudo crítico:

LÍNEA NUDO L. tubería Z(m) Cota q (L/s)q en

líneas J disponible

(m) m/m

0 1880

0-1 1 50 1858 11.6 0.240

1-2 2 30 1856 1.8 10.4 0.175

2-3 3 100 1853 2.4 8.6 0.094

3-4 4 100 1847 1.6 2.8 0.082

4-5 5 100 1844 1.2 1.2 0.068

1-6 6 70 1860 1.2 1.2 0.083

3-7 7 100 1857 1.6 1.6 0.046

3-8 8 100 1848 1.8 1.8 0.079 Mín: 0.046

N....,,iQqQq iAj

ijiAj

ijii

3210 =∀

===>

=− ∑∑

∈∈

∑∑

+−

=∆

=j

ic

j

idisponible L

pZH

LHJ γ

min

Seleccionamos un J* = 0.045

c. Calculamos los diámetros teóricos:

Para este cálculo nos imponemos un coeficiente de fricción ( f ) de 0.02 (conservador).

Luego seleccionamos el diámetro interno y su nominal.

LÍNEA NUDO L. tubería Z(m) Cota q (L/s) q en líneas J disponible D teóricos D interno D nominal

(m) m/m mm mm mm

0 1880

0-1 1 50 1858 11.6 0.240 86.85 104.6 110.0

1-2 2 30 1856 1.8 10.4 0.175 83.14 85.6 90.0

2-3 3 100 1853 2.4 8.6 0.094 77.05 85.6 90.0

3-4 4 100 1847 1.6 2.8 0.082 49.19 59.0 63.0

4-5 5 100 1844 1.2 1.2 0.068 35.05 36.0 40.0

1-6 6 70 1860 1.2 1.2 0.083 35.05 36.0 40.0

3-7 7 100 1857 1.6 1.6 0.046 39.32 46.2 50.0

3-8 8 100 1848 1.8 1.8 0.079 41.22 46.2 50.0

d. Ahora calculamos el factor de fricción para cada línea, por C‐W, método de los tanteos. (construcción de función insertada)

Como se observa en la expresión implícita de C‐W, es preciso contar (además de los datos físicos de la tubería) con el número de Reynolds.

Algoritmo simplificado con las tres expresiones siguientes:

Algoritmo para insertar función de cálculo iterativo en Excel:

Public Function friccion(Ks, Re, d) As Double Pi = 3.14159265359 f = 0.015 Do x = 1 / f ^ 0.5 f1 = ‐2 * (Log((Ks / (3.7 * (d / 1000))) + (2.51 * x / Re)) / Log(10)) f2 = (1 / f1) ^ 2 If Abs(f2 ‐ f) <= 0.00001 Then

+−=

fDf Re51.2

7.3log21

10ε

fx 1=

+−=

fDxg

Re51.2

7.3log2)( 10

ε21

1)x(g

fi =+

( )5

*2

28JgQfD ii

i teorico ⋅⋅⋅⋅

=π

Exit Do End If f = f2 Loop friccion = f2 End Function

e. Cálculo de pérdidas: i) Menores

Supongamos en este caso hipotético que existen pérdidas menores (k=0.1) por uniones entre tubos (6 m). K = 0.1 (L/6 ‐ 1)

LÍNEA NUDO V Re f K hm

m/s C-W para hm m c.a.

0

0-1 1 1.3499 120109.4 0.043383 0.73 0.068110

1-2 2 1.8072 131586.1 0.046586 0.40 0.066581

2-3 3 1.4944 108811.6 0.046653 1.57 0.178320

3-4 4 1.0242 51399.2 0.054089 1.57 0.083754

4-5 5 1.1789 36101.8 0.066553 1.57 0.110981

1-6 6 1.1789 36101.8 0.066553 1.07 0.075562

3-7 7 0.9544 37508.4 0.059872 1.57 0.072739

3-8 8 1.0737 42197.0 0.059787 1.57 0.092061

i) Por longitud

LÍNEA V Re f K hm hf Hf

m/s C-W para hm m c.a. m c.a. m c.a.

0-1 1.3499 120109.4 0.043383 0.73 0.068110 1.92606 1.99417

1-2 1.8072 131586.1 0.046586 0.40 0.066581 2.71766 2.78424

2-3 1.4944 108811.6 0.046653 1.57 0.178320 6.20333 6.38165

3-4 1.0242 51399.2 0.054089 1.57 0.083754 4.90100 4.98476

4-5 1.1789 36101.8 0.066553 1.57 0.110981 13.09605 13.20703

1-6 1.1789 36101.8 0.066553 1.07 0.075562 9.16723 9.24279

3-7 0.9544 37508.4 0.059872 1.57 0.072739 6.01693 6.08967

3-8 1.0737 42197.0 0.059787 1.57 0.092061 7.60436 7.69642

La pérdida total en cada línea Hf = hm + hf

252

8 QDgLfh f

=

π

242

8 QDgKhm

=

π

f. La carga al nudo la calculamos con la expresión:

LÍNEA V Re f K hm hf Hf p / γ cumple

m/s C-W para hm m c.a. m c.a. m c.a. m c.a. carga mín

0-1 1.3499 120109.4 0.043383 0.73 0.068110 1.92606 1.99417 20.01 SI

1-2 1.8072 131586.1 0.046586 0.40 0.066581 2.71766 2.78424 19.22 SI

2-3 1.4944 108811.6 0.046653 1.57 0.178320 6.20333 6.38165 15.84 SI

3-4 1.0242 51399.2 0.054089 1.57 0.083754 4.90100 4.98476 16.86 SI

4-5 1.1532 35705.1 0.066242 1.57 0.106183 12.33417 12.44036 7.41 no

1-6 1.1532 35705.1 0.066242 1.07 0.072295 8.63392 8.70622 9.30 no

3-7 0.9544 37508.4 0.059872 1.57 0.072739 6.01693 6.08967 5.75 no

3-8 1.0737 42197.0 0.059787 1.57 0.092061 7.60436 7.69642 13.14 SI

Para que todos los nudos y las líneas cumplan los requerimientos de carga y velocidad, respectivamente, modificamos diámetros y calculamos su costo.

LÍNEA L. tubería D interno D nominal P.UNIT. P. TOTAL p / γ V

(m) mm mm $ $ m c.a. m/s

0-1 50 104.6 110.0 78.5 3922.5 20.01 1.35

1-2 30 104.6 110.0 78.5 2353.5 21.05 1.21

2-3 100 85.6 90.0 64.2 6420.0 17.66 1.49

3-4 100 59.0 63.0 44.3 4425.0 18.68 1.02

4-5 100 46.2 50.0 34.7 3465.0 18.24 0.72

1-6 70 46.2 50.0 34.7 2425.5 15.60 0.72

3-7 100 59.0 63.0 44.3 4425.0 12.02 0.59

3-8 100 46.2 50.0 34.7 3465.0 14.97 1.07

30901.5 12.02 0.59

)HfZ(Hcpii

i+−=

γ

2.‐ Método económico (simplex).‐

a) Configuramos nuestra matriz de optimización según corresponde a la búsqueda de longitudes para reducir el costo total, cumpliendo con los parámetros de carga mínima al nudo. (iguales longitudes que en el método convencional).

DN (mm) 40 50 63 75 90 110 160 200 250 315 355 400 450 500 630

D (mm) 36.4 46.2 59 71.2 85.6 104.6 152.2 190.2 237.8 299.6 337.6 380.4 415.4 461.6 581.6

c ($/m) 27.3 34.65 44.25 53.4 64.2 78.45 114.15 142.65 178.35 224.7 253.2 285.3 311.55 346.2 436.2

Nudo/Linea Cota (m) Long (m) caudal (l/s)

1880 LONGITUDES SUMA

0-1 1858 50 334.6 50 50

1-2 1856 30 333.4 30 30

2-3 1853 100 303.4 100 100

3-4 1847 100 200 100 100

4-5 1844 100 100 100 100

1-6 1860 70 1.2 70 70

3-7 1857 100 1.6 100 100

3-8 1848 100 1.8 100 100

0.0 9355.5 8850.0 0.0 6420.0 6276.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 30902

b) Agregamos la matriz de pérdidas, (recomiendo tomar el mismo factor de fricción obtenido en el m. convencional). Calculamos la carga al nudo.

p / γ cumple

PÉRDIDAS (m/m) pérdida (m c.a.) m c.a. carga mín

f = 0.04338316 7.55 2.29 0.67 0.26 0.10 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.9261 20.07 SI f = 0.04342861 6.07 1.84 0.54 0.21 0.08 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.9299 21.14 SI f = 0.04665258 4.46 1.35 0.40 0.16 0.06 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6.2033 17.94 SI f = 0.05408884 0.55 0.17 0.05 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4.9010 19.04 SI f = 0.06012576 0.11 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3.3989 18.64 SI f = 0.06012576 0.11 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.3792 15.69 SI f = 0.05456776 0.18 0.05 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.6145 12.33 SI

f = 0.05978691 0.25 0.08 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7.6044 15.34 SI

c) Ayudados del solver, optimización la función objetivo, s.a. las restricciones correspondientes al presente caso.

d) Analizamos resultados de longitud y comprobamos cumplimiento de velocidades y cargas.

=

5

2

28

DQ

gfJ

π

DN (mm) 40 50 63 75 90 110 160 200 250 315 355 400 450 500 630

D (mm) 36.4 46.2 59 71.2 85.6 104.6 152.2 190.2 237.8 299.6 337.6 380.4 415.4 461.6 581.6

c ($/m) 27.3 34.65 44.25 53.4 64.2 78.45 114.15 142.65 178.35 224.7 253.2 285.3 311.55 346.2 436.2

Nudo/Linea Cota (m) Long (m) caudal (l/s)

1880 LONGITUDES SUMA

0-1 1858 50 11.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 50.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 50

1-2 1856 30 10.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 30.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 30

2-3 1853 100 8.6 0.0 0.0 0.0 0.0 60.7 39.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 100

3-4 1847 100 2.8 0.0 20.3 79.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 100

4-5 1844 100 1.2 100.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 100

1-6 1860 70 1.2 70.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 70

3-7 1857 100 1.6 0.0 100.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 100

3-8 1848 100 1.8 39.4 60.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 100

5717.7 6267.7 3525.6 0.0 3896.9 9359.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 28767

p / γ

PÉRDIDAS (m/m) pérdida (m c.a.) m c.a.

f = 0.04338316 7.55 2.29 0.67 0.26 0.10 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.9261 20.07

f = 0.04342861 6.07 1.84 0.54 0.21 0.08 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.9299 21.14

f = 0.04665258 4.46 1.35 0.40 0.16 0.06 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4.6602 19.48

f = 0.05408884 0.55 0.17 0.05 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7.2885 18.20

f = 0.06012576 0.11 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 11.1953 10.00

f = 0.06012576 0.11 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7.8367 10.24

f = 0.05456776 0.18 0.05 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5.4839 10.00

f = 0.05978691 0.25 0.08 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.4839 10.00

Conclusión: Para el ejemplo propuesto, el ahorro por aplicación m. simpx. es 7 % ($ 2134.0 de $ 30901). ¿V (m/s)? (¿constructivo?)