Aplicación al cálculo de longitudes y distancias

Acosta Muñoz FabiolaEscárcega Rivera Maria Elena

TEOREMA DE PITAGORAS

En un triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al opuesto al ángulo recto hipotenusa.

La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide

al triángulo en dos triángulos semejantes entre sí y también semejantes al original. El teorema de Pitágoras señala: La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Dicho de otra manera: En un triángulo rectángulo, el área del

cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de

los cuadrados construidos sobre cada uno de los catetos. c2 = a2 + b2

APLICACIÓN AL CÁLCULO DE LONGITUDES

Se aplicará la relación pitagórica –c2 = a2 + b2–, para resolver algunosproblemas en los que aparecen triángulos rectángulos y se pretendecalcular alguno de los catetos o la longitud de la hipotenusa.1. Calcular la longitud d de la diagonal de un cuadrado cuyos ladosmiden 8 m.

Si se considera una parte del cuadrado, se tiene untriángulo rectángulo en el que c = d, a = 8 y b = 8.Al utilizar la relación pitagórica c2 = a2 + b2, se sustituyenlos datos:d2 = 82 + 82 = 64 + 64 = 128

2. Calcular el área de un hexágono regular conociendo que la longitudde cada uno de sus lados es de 4 m.

El perímetro es igual que P = 6 x lP = 6 x 4 = 24 mPara calcular la longitud del apotema, obsérvese que el triánguloABC es equilátero, se utiliza una parte de uno de los triángulosequiláteros. Para saber que la longitud de los lados del triángulorectángulo:Sustituir estos datos en la relación:c2 = a2 + b242 = a2 + 2216 = a2 + 4

Se resuelve la ecuación de segundo grado:

Ejercicio de aplicación a la vida diaria

3. Una escalera se apoya en la fachada. Vamos a considerar que se pone a 10 metros. Como se sabe esta se puede alargar. Calcula las medias en que debe alargarse para alcanzar un edificio de 20 m, 25 m, 30 m, 35 m, 40 m, 45 m y 50 m.

Escalera

22.3 41.23

Altura

20 25 30 35 40 45 50

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO CARTESIANOPara obtener la distancia entre dos puntos del plano cartesiano:

Si se calcula la distancia entre P y Q; contando los segmentos unitarios que separan a P y Q, se encuentra que d = 9 para el

primer caso, d = 7 para el segundo caso, y d = 8 para el tercero. Se

resolverá con este método el problema de P(-101) y Q(30). Recuérdese que la diferencia entre números con signo permite resolver este tipo de problemas: Primer caso: Segundo caso: Tercer caso: Cuarto caso: d = 4 – (–5) = 9 d = 8 – 1 = 7 d = –2 – (–10) = 8 d = 30 – (–101) = 131

El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la distancia entredos puntos P y Q en un plano cartesiano.Dados dos puntos en el plano, se pueden trazar un triángulorectángulo de la siguiente manera.1. Por el punto Q se traza una paralelaal eje Y.2. Por el punto P se traza una paralelaal eje X.3. Las paralelas trazadas se intersectanen el punto R.4. Se traza el PQ y se completa eltriángulo PQR, que resulta serrectángulo en R. El segmento PQ esla hipotenusa y los segmentos PRY RQ son los catetos.5. Se calculan las longitudes de loscatetos mediante las fórmulas:

PR= | x2 - x1 | RQ= | y2 - y1 |

sta es la fórmula de la distancia entre dospuntos en el plano cartesiano.Ejemplo:Si P = (2, -1) y Q = (-3, -5), se tiene:x1 = 2, x2 = -3 x2 - x1 = -5 | x2 – x1 | = 5y1 = -1, y2 = -5 y2 – y1 = -4 | y2 – y1 | = 4

6. De la relación pitagórica c2 = a2 + b2, se despeja c: c=

7. Se sustituye c = PQ, a = PR, b =RQ y se obtiene:

PQ=

APLICACION EN EL AULA

Aplicación en la vida diaria. Se puede sacar a los alumnos fuera del aula, a ellos les

parecerá mucho mas interesante ver la aplicación real que simplemente verla plasmada en un pizarrón de clases o en su cuaderno de trabajo.

Algunas páginas en las que pueden encontrar material adicional.

http://www.aplicaciones.info/decimales/geoeli02.htm

http://www.youtube.com/watch?v=4Pu1nxLt41k&feature=fvw

http://www.youtube.com/watch?v=ght-xRcUFvQ