BASE ORTONORMAL

EJERCICIOS RESUELTOS

Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base B del espacio euclidiano R3 en una base ortonormal. Aplicar el producto interno usual en R3.

1.- B= {(1 ,0 ,1 ) , (0 ,0 ,1 ) , (−1 ,1 ,0 ) }

v1= (1,0,1)

v2= (0,0,1)

v3= (-1,1,0)

v1/v2 = (1,0,1)/(0,0,1) = 1

v1/ v3 = (1,0,1)/(-1,1,0) = -1

v2/ v3 = (0,0,1)/(-1,1,0) = 0

B= {(0,0,1 ) , (−1,1,0 ) ,(1,0,1)}

w1 = (0,0,1)

w2 = (-1,1,0)

w3 = (1,0,1) - ((1,0,1)/(0,0,1)(0,0,1)/(0,0,1) )(0,01) - ( (1,0,1)/(−1,1,0)

(−1,1,0)/ (−1,1,0))(-1,1,0)

w3 = (1,0,1) - ( 11 )(0,0,1) + (−1

2,

12,0)

w3 = ( 12,12,0)

B'={(0,0,1)(−1,1,0)( 12,12,0)}

2.- A={(1 ,0 ,1 ) , (0 ,1 ,−1 ) , (1 ,0 ,0 ) }

v1= (1,0,1)

v2= (0,1,-1)

v3= (1,0,0)

v1/v2 = (1,0,1)/ (0,1,-1) = -1

v1/ v3 = (1,0,1)/ (1,0,0) = 1

v2/ v3 = (0,1,-1)/ (1,0,0) = 0

B= {(0,1,−1 ) , (1,0,0 ) ,(1,0,1)}

w1 = (0,1,-1)

w2 = (1,0,0)

w3 = (1,0,1) - ( (1,0,1)/(0,1 ,−1)(0,1,−1) /(0,1 ,−1))(0,1 ,−1) - ((1,0,1)/(1,0,0)

(1,0,0)/(1,0,0) )(1,0,0)

w3 = (1,0,1) - (−12 )(0,0,1) + ( 1

1 ) (1,0,0 )

w3 = (1,0 ,32 )

B'={(0,1 ,−1 ) , (1,0,0 ) , (1,0 ,32 )}

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Sea W = {(a,b,c) є R3/ a+b+c = 0} un s.e.v. del espacio vectorial (R3,R,+,*).

i) Calcular una base B ortonormal para W.

ii) Dar una base ortonormal B’ para R3, tal que B c B’.

2.- i) Demostrar W = {(a ,b , c)/|a 0b 1|=0}c R3 es un s.e.v del e.v (R3,R,+,*)

ii) Calcular una base ortonormal para W.

EVALUACIÓN

1.- Explique brevemente con sus propias palabras que es base ortonormal.

2.- ¿Qué condición los vectores en este tipo de bases?

3.- Establezca una diferencia entre base ortogonal y base ortonormal.