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INSTITUCIÓN EDUCATIVA “JULIO CÉSAR GARCIA”INSTITUCIÓN EDUCATIVA “JULIO CÉSAR GARCIA”ÁREA: CIENCIAS NATURALES Y EDUCACIÓN AMBIENTALÁREA: CIENCIAS NATURALES Y EDUCACIÓN AMBIENTAL
PROFESOR: EDUARDO JAIME VANEGAS LONDOÑOPROFESOR: EDUARDO JAIME VANEGAS LONDOÑO
PROBLEMAS DE CINEMÁTICAPROBLEMAS DE CINEMÁTICA
2
CINEMÁTICA Problema 1 (1)
Desde lo alto de una torre cuya altura es h0 = 12 m se lanza hacia arriba una piedra formando un ángulo = 60º con la horizontal. La velocidad inicial de la piedra es 36 km/h, y el lanzador está a una distancia d = 3 m del pretil de la torre. (Véase figura). Se quiere saber:A) ¿Cuál es la trayectoria de la piedra?B) Su altura máxima sobre el suelo.C) A qué distancia del pie de la torre chocará contra el suelo.D) Su velocidad cuando se estrelle contra el suelo.
h0
d
v0
h0
d
v0v0y
vxLa velocidad en el eje X se mantiene constante
X
YLa velocidad en el eje Y cambia...
... debido a la aceleración de la gravedad
JCG
Aplicada
Física
3
h0
d
X
Y
x
y
CINEMÁTICA Problema 1 (2)
tvx x vx
20 2
1tgtvy y v0y
-g
v0v0y
vx
cos0 vvx
222
0 cos2tg x
v
gxy
Ecuación trayectoria:(apartado A)
222 60cos10·2
8.960tg xxy 2196.0732.1 xx
Se trata de una parábola JCG
Aplicada
Física
4
CINEMÁTICA Problema 1 (3)
Posición del máximo (apartado B)
h0
d
X
Y
En el máximo la tangente es horizontal
222
0 cos2tg x
v
gxy
xv
g
dx
dy
22
0 costg 0 Max
xMax
yMax
g
vxMax
cossen20
g
v
2
2sen20
m 12.4Maxx m 83.3Maxy
Altura desde el suelo: m 83.1583.3120 maxyh
JCG
Aplicada
Física
5
h0
d
CINEMÁTICA Problema 1 (4)
Lugar en que se estrella contra el suelo (apartado C)
X
Y 222
0 cos2tg x
v
gxy
xsuelo
xsuelo-d
0hy
0cos2 0
222
0
hxtgxv
gsuelosuelo
012732.1196.0 2 suelosuelo xx
m 40.13suelox m 57.4suelox
Distancia desde el pie de la torre: m 40.10340.13 dxsuelo
JCG
Aplicada
Física
6
CINEMÁTICA Problema 1 (5)
Cálculo de velocidad cuando se estrella contra el suelo (apartado D)
Razonamiento: Calculemos el tiempo tsuelo que tarda en llegar al suelo...
y a partir de ahí la velocidad
x
suelosuelo v
xt
º60cos10
40.13
s 68.2
Tiempo tmax que tarda en llegar al punto más altox
maxmax v
xt
º60cos10
12.4
s 88.0
Desde el punto más alto cae sin ninguna velocidad inicial en el eje Y, por lo que la componente vertical de la velocidad es:
)( maxsuelosueloy ttgv m/s 61.17
Velocidad en el punto en que choca con el suelo:
10·cos 60º
17.61
2suelo
2yxsuelo vvv
vsuelo = 18.31 m/s
suelo
1tgy
x
v
v = 15.85ºJCG
Aplicada
Física
7
xv
g
dx
dy
22
0 costg x
v
g
dx
dt
dt
dy
220 cos
tg
dt
dxx
v
g
dt
dy
22
0 costg xvx
v
g
dt
dy
22
0 costg
xv
gv
dt
dyvy
cossen
00
CINEMÁTICA Problema 2 (1)
Considérese un tiro parabólico en ausencia de rozamiento. Determinar la velocidad vertical, la velocidad total y el ángulo que forma la velocidad total con la horizontal en función de la posición x. Háganse gráficas de estas tres magnitudes en función de la posición en el intervalo 0-14 m empleando los datos numéricos del problema anterior (velocidad inicial de la piedra 36 km/h, ángulo de lanzamiento 60º).
222
0 cos2tg x
v
gxy
Ecuación de la trayectoria:
yv
JCG
Aplicada
Física
8
CINEMÁTICA Problema 2 (2)
cos0vvx
xv
gvvy
cossen
00
2
00
220
22
coscoscos
x
v
gvvvvv yx
v
yv
xv
x
y
v
vtg
0,00 8,660,50 7,681,00 6,701,50 5,722,00 4,742,50 3,763,00 2,783,50 1,804,00 0,824,42 0,004,50 -0,165,00 -1,145,50 -2,126,00 -3,107,00 -5,068,00 -7,029,00 -8,98
10,00 -10,9411,00 -12,9012,00 -14,8613,00 -16,8213,40 -17,60
x (m) vy (m/s)
cos0vvx
m/s 560cos10
v (m/s)10,009,168,367,606,896,265,725,315,075,005,005,135,435,887,118,62
10,2812,0313,8315,6817,5518,30
(º)
60,056,953,348,843,536,929,119,89,30,0
-1,8-12,8-23,0-31,8-45,3-54,5-60,9-65,4-68,8-71,4-73,4-74,1
JCG
Aplicada
Física
9
CINEMÁTICA Problema 2 (3)
0 2 4 6 8 10 12 14-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20V
elo
cid
ad
es
(m/s
)
Posición x (m)
0 2 4 6 8 10 12 14-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20V
elo
cid
ad
es
(m/s
)
Posición x (m)
vvy
JCG
Aplicada
Física
10
0 2 4 6 8 10 12 14
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80Á
ng
ulo
co
n la
ho
rizo
nta
l (º)
Posición x (m)
CINEMÁTICA Problema 2 (4)
JCG
Aplicada
Física
11
Por el pozo de una mina caen desde la superficie gotas de agua a razón de una gota por segundo. Un montacargas que sube por el pozo a 10 m/s es alcanzado por una gota de agua cuando está a 100 m por debajo del suelo. ¿A qué profundidad y cuánto tiempo después alcanzará la siguiente gota de agua al montacargas? (tómese g = 10 m/s2). Pueden despreciarse los efectos del rozamiento sobre las gotas.
CINEMÁTICA Problema 3 (1)
Superficie
100 m h0
vm
10 m/s
Origen de tiempos: el instante en que se estrella la gota a 100 m de profundidad
En t = 0, ¿dónde se encuentra y qué velocidad lleva la gota que se estrellará próximamente?
Razonamiento: la diferencia de velocidad entre dos gotas consecutivas es constante ...
vg
y
h0-y... porque cada gota vuela desde 1 s antes que la siguiente, incrementando su velocidad a ritmo uniforme.
JCG
Aplicada
Física
12
CINEMÁTICA Problema 3 (2)
En el instante en que una gota cae desde arriba, la que la precede lleva 1 s cayendo, habiendo partido del reposo, y por lo tanto su diferencia de velocidades es:
tgv s 1s
m 10
2
s
m 10
Si consideramos pares consecutivos de gotas, la diferencia de velocidades entre las dos componentes del par es siempre la misma pues ambas están sometidas a la misma aceleración.
La velocidad de la gota que se estrella sobre el montacargas cuando éste se encuentra a 100 m de profundidad (t = 0) puede calcularse fácilmente:
02100 2 hgv m/s 72.4420002 0100 hgv
Por lo tanto la velocidad de la gota siguiente, en t = 0, es:
1072.44100 gg vvvv m/s 72.3472.44 vvgJCG
Aplicada
Físic
13
CINEMÁTICA Problema 3 (3)
La posición en que se encuentra esta gota en t = 0 es:
Superficie
100 m h0
vm
10 m/s
vg
y
h0-y
ygvg 22 m 28.6020
72.34
2
22
g
vy g
Por lo tanto su distancia al montacargas en t = 0 es:
m 72.3928.6010000 zyhm/s 72.34gv
Ahora el problema se reduce a calcular dónde se encontrarán dos cuerpos que viajan en sentidos opuestos, uno con M.U.A y otro con velocidad constante, cuyas velocidades iniciales y separación inicial son conocidos.
JCG
Aplicada
Física
14
CINEMÁTICA Problema 3 (4)
Situamos el origen para el cálculo final a la profundidad de 100 m
vm
10 m/s
vg
z0
m/s 72.34
zEcuación de movimiento del montacargas:
tvz mm
100 m
Ecuación de movimiento de la gota:
20 2
1tgtvzz gg
La gota se estrella cuando zm = zg
20 2
1tgtvztv gm
0)(2
10
2 ztvvtg mg 072.3972.445 2 tt
s 814.0ts 758.9t
SoluciónProfundidad:
m 86.91814.0101000 mzhy
JCG
Aplicada
Física