Presentación 1 uta 28 05-2011

1

Módulo de Ecuaciones Diferenciales

MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

0y

u

x

u

0yyy3y

0dy)xy(dx)yx(

0yxdx

dy

2

2

2

2

2


http://lc.fie.umich.mx/


Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Una de las más importantes y fascinaste ramas de las matemáticas que permiten modelar diversos fenómenos físicos que surgen en la naturaleza son las Ecuaciones Diferenciales, las mismas que junto con el Cálculo Integral y Diferencial dan respuestas a los

mismos.




Definiciones básicas

y notación




4

¿Qué es una ecuación diferencial?

21.0)( xexy 21.02.0 xex

dx

dy

yxdx

dy 2.0

Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación. Intentaremos contestar preguntas del tipo: ¿Qué función representa y(x)? ¿Cómo se resuelve semejante ecuación?

Ejemplo de ecuacióndiferencial

Función diferenciable en (-, ). Su derivada es:




5

DEFINICIONES

1) Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.

yxdx

dy 2.0

variable dependiente

variable independiente




6

2) Es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas.

3)Es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una función incógnita.

lesdiferencia tiene 0x)dy-(y-y)dx(x

parciales derivadas tiene 0yx

u

y

u

x

u

derivadastiene 1x5dx

dy

2

2

2

2

2




Notación

7

La notación a utilizarse en la escritura de ecuaciones diferenciales es en base a las derivadas y diferenciales, pueden ser de acuerdo a:

Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...

Notación Prima: y', y'', y'''… y(n),...

Notación de Newton:

Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …

...,,,......

xxx




8

En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente:

5 ey dx

dy x


xydx

dy

dx

yd

2

2



9

Por el tipo:i) Ecuación diferencial ordinaria (EDO): Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente.

Ejemplo de EDO:

Una EDO puede contener más de una variable dependiente:

Clasificación

5 ey dx

dy x

yx dt

dy

dt

dx 2

Las EDs se clasifican por tipo, orden y linealidad.




10

t

u

t

u

x

u

y

u

x

u

2 02

2

2

2

2

2

2

2

ii) Ecuación diferencial parcial (EDP):

Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.

Ejemplos:




11

xeydx

dy

dx

yd

45

3

2

2

Clasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación.

Ejemplo: Término Segundo orden Término Primer orden

Luego, es una EDO de segundo ordenY las EDO pueden ser de primero, segundo, …, n-ésimo orden.




12

Grado:

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos da el orden de la ecuación diferencial.Ejemplo:

La siguiente ecuación diferencial:

es de primer grado, dado que la segunda derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada a uno.

xeydxdy

dxyd

45

3

2

2




13

Clasificación según la Linealidad

Se dice que una EDO de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

0)()()()()( 011

1

1

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

O bien:


Nótese que las derivadas n-ésimas y el término en y están elevados a la potencia 1, de ahí que la ecuación es lineal.




FORMAS DE ESCRIBIR UNA EDO

Forma general de orden n de una EDO:

Forma normal de orden n de una EDO:

0) , ,' , ,(variables2

)(

n

nyyyxF

) , ,' , ,(variables1

)1(

n

nn

n

yyyxfdx

yd



Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye


FORMAS DE ESCRIBIR UNA EDO

Por ejemplo de la Ecuación Diferencial:

Su forma general es:

y su forma normal es:

f(x, y)x (x – y)/y’

x y)/ y’ - (x –)F(x, y, y’

4

04

x, y xy’ 4



16

También la podemos escribir en forma diferencial

0),(),( dyyxNdxyxM

Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente y x la independiente en la EDO en forma diferencial:

0'4

'

04)(

xyxydx

dyy

xdydxxy




17

Ejercicios y tallerDeterminar el grado y orden de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

2 grado4,orden 735 25

2

22

4

4

x

dx

dy

dx

yd

dx

yd

3 grado2,orden 73

2

22

6

2

2

dx

ydx

dx

dyx

dx

yd

NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.

1 grado 1,orden 17 2 xdx

dy3 grado2,orden 3

2

2

dx

dyx

dx

yd




18

Ejercicios

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)

b)

c)

d)

32533

3

y

dx

dyx

dx

yd

5

3

33

3

3

818

dx

ydx

dx

yd

dx

dy

dx

dyx

dx

yd85

3

3

53

3

2

2

3dx

ydx

dx

yd





Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n



20

Una EDO lineal de orden n, debe cumplir con dos condiciones:i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, es decir:y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado.

ii) Los Coeficientes a0, a1, …,an dependen solo de la variable independiente x.


xy4 yx 0y2 yy xydx

dyx

dx

yde53

3

3




21

xeyyy 2')1( 0siny2

2

dx

yd

024

4

ydx

yd

Función no lineal de y.

Una EDO no lineal es simplemente una Ecuación que no es lineal.Ejemplo:


El coeficiente depende de y.



22

Determinar si las EDOS son ¿Lineales o no lineales?

1)

2)

3)

4)

5)

orden tercer lineal,2)cos()( yysen


orden segundo lineal,cos54)1( xyyxyx

orden cuarto lineal,06345 yytyt

orden segundo lineal, No12

2

2

dx

dy

dx

yd

orden segundo lineal,cos54)1( xyyxyx



23

Estas ecuaciones de acuerdo a g(x) y a los coeficientes pueden ser:

Lineal homogénea:

El término independiente g(x) es nulo.

Lineal con coeficientes constantes:

Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.

Lineal con coeficientes variables:

Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n


Forma general:




Solución de una

Ecuación Diferencial Ordinaria




La solución de una EDO es una función, es decir la relación existente entre la variable independiente y la variable dependiente.

Sea la función

Y f una función definida en el intervalo I, tal que sea derivable ( sea continua y admita n-ésimas derivadas). f es solución de la ecuación F en el intervalo I, si cumple dos condiciones:

Solución de una EDO

0) , ,' , ,( )( nyyyxF





i) La debe estar definida

ii) Que al sustituirse en la EDO las n derivadas y la función y, reducen la ecuación a la identidad:

Si i) y ii) son verdaderas entonces f es la solución explícita de F.

Siempre hemos de considerar una solución junto a su intervalo I,

de definición, también llamado intervalo de existencia de validez

o dominio de definición.

Condiciones para que f sea Solución de una EDO F

) , ,' , ,( )(nyyyxF Ix

0) , ,' , ,( )( nyyyxF



27

Una EDO puede tener:

Infinitas soluciones:Nótese que C puede tomar infinitos valores

Una única solución: y(x) es un valor ya establecido (0).

Ninguna solución:

tCexyxyy sin)(;cos'

0)(;0)'( 22 xyyy

0)'( 22 xy




28

Comprobar que la función y = x4/16 , es la solución de la EDO dy/dx = xy1/2 en el intervalo (-, ):

Método 1Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ).

(a) Lado izquierdo :

Lado derecho: 416

433 xx

dxdy

4416

322/142/1 xx

xx

xxy

Ejemplo: comprobación de una solución.

Y la igualdad se cumple para todo x de (-, ).




29

Método 2

Expresamos la ecuación diferencial en su forma general:

Reemplazamos en la ecuación general la

y el valor de 16

4xy

4

3x

dx

dy

Ejemplo: comprobación de una solución.

se cumple la identidad 0 = 0, para todo x de (-, )

02

1

xydx

dy




30

Solución:

Derivando la solución dos veces:

y' = xex + ex

y'' = xex + 2ex

Nótese que y(x) = 0 también es solución tanto de este ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ).

A y(x) = 0 se la conoce como solución trivial.

xxeyyyy ;02

0)(2)2(2 xxxxx xeexeexeyyy




31

Comprobar que la y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial:

xdx

dy

xdx

dy2

Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos:

Por lo tanto y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial

12

2

xx

xdx

dy

Solución:Derivando y = x2 + C tenemos




32

Ejercicios Determine si cada Función es solución o no de la ecuación diferencial dada:

yxdx

dyxCxxy

22 ;

025);5cos()5(2

2

ydx

ydxBxAseny

084; 23

2

y

dx

dyxy

dx

dyCxCy

2412 ''; yxxyyCxCy

senxysenxdx

dysenyCye x

cos;cos1cos

32

225 1606;38 x

dx

ydCxxy





33

Familia de Curvas y su Ecuación Diferencial

Si se tiene una ecuación de una familia de curvas, se puede obtener la ecuación diferencial, mediante la eliminación de las constantes o parámetros y esto se obtiene aislando la constante en un miembro de la ecuación y derivando.

También se puede eliminar la constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes arbitrarias tenga, y se resuelve el sistema formado con la ecuación original.




34

Ejemplo:

Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + C.

Solución

Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = x2 + C. Así

Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general propuesta.

xdx

dy2




35

EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y = C x2.

Cxdx

dy2

xx

y

dx

dy

222x

yC

Por lo tanto:

es la ED de la solución general, puesto que ya no aparecen constantes de integración.

x

y

dx

dy 2

SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = C x2. Así

Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED.





36

EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y =Asenx+Bcosx

Por lo tanto, la ecuación buscada es:es la ED de la solución general, puesto que ya no aparecen constantes de integración.

SoluciónObservemos que aparecen dos constantes de integración, de manera que derivamos dos veces:

Formamos un sistema entre y e y´´ y obtenemos:


xBAsenxy

BsenxxAy

cos

cos

0cos

cos

yyxBAsenxy

xBAsenxy

0 yy



(a) y = 1/x considerada como una función, tiene dominio de definición (-, 0) U (0, ). Es discontinua y no diferenciable en x = 0.

(b) y = 1/x es también solución de xy’ + y = 0. Se entiende que es solución en algún intervalo I en el que es diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo, en (0, ).

37

La gráfica de una solución de una EDO se llama curva solución. Como es una función diferenciable, es continua en su intervalo de definición I. Puede, entonces, haber diferencias entre la gráfica de la función y la solución. Veamos un ejemplo:

Función vs solución ¿y=1/x es solución de xy´+y=0?




Solución explícita de una EDO:

La variable dependiente está expresada solamente en términos de variables independientes y constantes.

Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es

y = (x) = 1/x.

Solución implícita de una EDO

Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una EDO sobre un intervalo I, siempre que exista al menos una función y = (x) que satisface tanto la relación como la ED en I.

38MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga



39

x2 + y2 = 25 es una solución implícita de dy/dx = − x/y en el intervalo -5 < x < 5; puesto que al derivar de forma implícita respecto a x:dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25), 2x + 2y(dy/dx) = 0;

obtenemos la EDO: dy/dx = -x/y.Despejando y de la solución implícita podemos encontrar dos soluciones explícitas:

Ejemplo: Comprobación de una solución implícita.



Familia de soluciones o solución general:

Al resolver una EDO de primer orden F(x, y, y') = 0, en general, se obtiene una solución que contiene una constante arbitraria o parámetro c. Una solución así,

G(x, y, c) = 0 representa en realidad a un conjunto de soluciones, llamado familia uniparamétrica de soluciones.

Cuando se resuelve una ED de orden n, se busca una familia n-paramétrica de soluciones

G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.

40

Observemos que el número de constantes arbitrarias en la solución general estádeterminado por el orden de la EDO.





es una solución libre de parámetros arbitrarios y tiene la forma: G(x, y) = 0.

Por ejemplo : y = cx – x cos x es la solución general de

xy’ – y = x2 sin x ; en (-, ).Una familia uniparamétrica de soluciones, se obtiene si

Tomamos c = 0, c > 0, c < 0tenemos: y = x cos x, una solución particular.

Solución Particular



Ejemplo: Sin explicitarlo, hemos visto que las variables independientes y dependientes pueden usar símbolos distintos a x e y. Por ejemplo:

x = c1cos(4t)

x = c2 sen(4t)

con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios, son ambas soluciones de la EDO:

x + 16x = 0.

Podemos comprobar fácilmente que la suma

x = c1cos 4t + c2 sin 4t

es también una solución. taller




Problemas con valores iniciales

PVI y Contorno


1000

2

2

)(;)( yxyyxy

xdx

yd

1100

2

2

)(;)( yxyyxy

xdx

yd



Problemas de valores iniciales (PVI)

Sea la solución general de la Ecuación Diferencial F(x,y,y´,…,yn)=0 el PVI, consiste en encontrar el valor de la constante C, para un y(x0) = y0, de manera que con éste se pueda determinar una solución particular de la ED.

Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo , el problema de

Resolver :

con condiciones:

Se le llama problema de valor inicial.Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales. 44

) , ,' , ,( )1( nn

n

yyyxfdx

yd

10)1(

1000 )( , ,)(' ,)( n

n yxyyxyyxy


Cxy



Resolver:

sujeta a:

Resolver:

sujeta a:

45

00)( :

) ,( :

yxytosubject

yxfdxdy

solve

1000

2

2

)(' ,)( :

)' , ,( :

yxyyxytosubject

yyxfdx

ydsolve

PVIs de primer y segundo orden:

son problemas de valor inicial de primer y segundo orden, respectivamente. Fácilmente interpretables de manera geométrica, como vemos en las figuras.




Ejemplo:

Sabemos que y = cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la EDO:

y’ = y en (-, ).

Si y(0) = 3, entonces

3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una

solución de este problema de valor inicial.

Si queremos una solución que pase por (1, -2), entonces la condición es: y(1) = -2. De modo que -2 = ce,

c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex. 46

y = 3ex

y = -(2/e)ex




47

Ejemplo: x = c1cos(4t) + c2sen(4t) es una solución de

x + 16x = 0.Hallar una solución del siguiente PVI:

x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1.

Solución: Sustituimos: x( /2) = − 2 en x = c1cos(4t) + c2sen(4t),

y obtenemos c1 = −2.

De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos c2 = ¼. La solución pedida es:

x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t taller




48

Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si asignamos y(0) = -1, obtenemos c = -1.

Considérense las siguientes distinciones:1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1.

2) Como una solución: los intervalos de definición mayores posibles son (-, 1), (-1, 1) y (1, ).

3) Como un problema de valor inicial, cony(0) = -1. El intervalo de definición mayor es (-1, 1).




Teorema de existencia de una solución única

49

Sea R la región rectangular en el plano xy definida por

a x b, c y d que contiene el punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y) y f/y son continuas en R, entonces existe algún intervalo Io:

xo- h < x < xo + h, h > 0, contenido en a x b y una función única y(x) definida en Io que es una solución del PVI .

Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias...

),(' yxfy





ED Lineales de 1er orden

Las ED de la forma

Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple con el Principio de Superposición respecto al término independiente q(x).

Métodos para resolver una ED de Primer Orden:

i) Análisis Caulitativo (gráfico)

ii) Técnicas Analíticas

iii) Aproximaciones Numéricas.

(no se estudiará en este curso)

xqy)x(pdxdy




Análisis CualitativoIsóclinas


Para este análisis consideraremos EDOs Autónomas y NO Autónomas



Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden autónoma tiene la forma de

es decir si la derivada es función solamente de la variable dependiente.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden NO autónoma tiene la forma de Es decir si su derivada es una función tanto de la variable dependiente como de la independiente.

yxfy ,

yfy

)1( yyy

yxy 2




53

Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer orden analizando una EDO cualitativamente.

(a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y).(b) Elementos lineales: Suponemos que dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la pendiente de una recta, o un segmento de recta que llamaremos elemento lineal.

Curvas solución "sin una función solución"

dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)




54

Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes.

Campo de direcciones




55

Ejemplo: El campo de direcciones de EDO No Autónoma

dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a). Compárese con la figura (b) donde se han representado unas curvas de la familia de soluciones.



56

Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada de la ecuación autónoma dy/dx = sen y, con y(0) = −3/2.

Solución:

Apelando a la continuidad de f(x, y) = sen y y f/y = cos y, el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en una malla rectangular. Calculamos el elemento lineal de cada nodo para obtener la siguiente figura:




57

EDO autónomas y campos de direcciones

La figura muestra el campo de direcciones de dy/dx = 2y – 2.Podemos observar que los elementos lineales que pasan por los puntos de cualquier recta horizontal mantienen la pendiente.

Recordemos que una EDO autónoma es de la forma dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y.




Método de las Isoclinas

El procedimiento para dibujar el campo direccional puede ser simplificado construyendo primero las isóclinas.Una Isóclina es una curva en el plano xy sobre la cual la derivada de las soluciones de la ED es constante. Es decir:

podemos encontrar las curvas f(x,y)= c, en donde las soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación.

cdx

dyy




i) Construimos las isóclinas, éstas son curvas de la forma:

Donde c es una constante para varios valores de C.ii) Dibujar el campo de direcciones o de pendientes. Sobre la isóclina correspondiente a la constante C, la derivada de la solución de la ecuación diferencial tiene pendiente c. Dibujar rectas tangentes con pendiente ciii) Construir soluciones.iV) Recordar que las soluciones no se intersecan.

Procedimiento para realizar el análisis cualitativo de una EDO

autónomaNocyxf

autónomacyfy

),(

)(




Construya un campo direccional para la ecuación diferencial: 122 yxy

Las isóclinas está definidas estableciendo calculamos para c=0, c=4 y c=1Claramente se puede notar que es un círculo centrado en el origen.En cada punto de éstas isóclinas trazamos los campos direccionales.

cy

Mostramos las posibles curvas de solución,La superior pasa por (0,1)La de en medio pasa por (0,0)La inferior pasa a través de (0,-1)Obsérvese que cada curva de la solución sigue el flujo de los elementos de línea en el campo direccional y que no se cortan.




Método de las Isoclinas

a) Encontrar la ecuación de las isóclinas para la ecuación diferencial:

b) ¿Qué tipo de curvas son estas isóclinas?

c) Dibujar las isóclinas y con ayuda de éstas dibujar el campo de direcciones y algunas curvas solución.


2

xy



Técnicas Analíticas




Métodos de Solución Analítica

NO existe un método general para resolver Ecuaciones Diferenciales, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento general para hallar su solución analítica.

Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.





El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de Ecuación Diferencial que se quiere resolver.

Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente.

Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido.





Si no funciona lo anterior, algunas alternativas consisten en buscar soluciones:

Basadas en Series

Numéricas

Geométricas




66

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Primer Orden y Primer Grado

EDO DE VARIABLE

SEPARABLE

EDO REDUCIBLE A

VARIABLE SEPARABLE

EDOS HOMOGÉNEAS

EDOS LINEALES

HOMOGÉNEAS

EDOS REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS

SUSTITUCIÓN LINEAL

SUSTITUCIÓN RACIONAL

SUSTITUCIONES DIVERSAS

EDOS REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS

IMPLÍCITAS

EDO EXACTAS

EDO REDUCIBLES

A EXACTAS




67

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO

Se las representa de la siguiente forma:

Si despejamos la derivada tenemos:

Si a ésta ecuación la podemos expresar en forma:

Se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable Separable y la solución general se obtiene por integración directa.

0),,( dx

dyyxF

),( yxgdx

dy

0)()( dyyNdxxM




Separación de variables

La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas:

Donde M(x) es una función exclusivamente de x y N(y) es una función exclusivamente de y.

Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:

Siendo c una constante de integración.

0)()( dyyNdxxM

cdyyNdxxM )()(




Ecuación de variables separadas

• Ejemplo: Resolver la ecuación

• Integramos

• Se obtiene:

• La solución es una

familia de circunferencias

concéntricas con c>0


122

22

22cyxc

xy

0 ydyxdx

xdxydy




La ED de la forma:

Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:

dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211

dxxg

xgdy

yf

yf

)(

)(

)(

)(

2

1

1

2





Ejemplo: Resolver la ecuación

Solución: Separando variables tenemos:

Integrando:

Obtenemos:


0)1()1( 22 dyxydxyx

0)1()1(

22

dyy

ydx

x

x

dxx

xdy

y

y

)1()1(

22

Cyxyx )1)(1ln(2)1()1( 22




Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a variables separables, por ejemplo:

Haciendo el cambio z=ax+by+c, se obtiene una ecuación de variables separadas:

tesconssoncbadondecbyaxfdx

dytan,,),(

cdxzbfa

dzzbfa

dx

dz

)()(





Ejemplo: La ecuación

Se puede reescribir como

Donde:

Integrando se obtiene

Regresando a las variables originales:

taller

1dxdy

)yx( 2

2z1

1dxdz

cx)z(tanz 1

1dx

dz

dx

dyxzyyxz


)cytan(yx



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Presentación 1 uta 28 05-2011