6
VERDADES NO DEMOSTRABLES: TEOREMAS DE GÓDEL Y SUS GENERALIZACIONES BALTASAR RODRÍGUEZ-SALINAS Real Academia de Ciencias Si se nos preguntase cuáles son las contribuciones más importantes a las matemáticas en el siglo XX, contestaría- mos que son la creación o descubrimiento de la teoría de conjuntos por G. Cantor y los teoremas de incompletitud de K. Godcl. La teoría de conjuntos con sus paradojas dio un gran im- pulso a los fundamentos de las matemáticas y a la noción de verdad. Las matemáticas se fundamentan en la verdad, pero no en una verdad cualquiera de carácter relativo, sino en una de carácter absoluto. Sin embargo, últimamente han sur- gido dudas de si existe esa verdad. Si no existe la verdad, la frase «no existe la verdad» se- ría verdadera en contra de la suposición de que no existe la verdad. Esta contradicción sería para muchos una de- mostración de que existe la verdad. Pero si reflexionamos podemos llegar más lejos, puesto que se debería admitir que si no existe la verdad tampoco existiría la mentira y estaríamos en un mundo caótico en contra de todo lo que percibimos y en donde la mentira sería la verdad. Si nos piden un ejemplo de verdad absoluta, daríamos como tal las proposiciones de la aritmética. Sus verdades las conocemos por la intuición razonable, de modo que me- diante la lógica podemos deducir los teoremas a partir de los axiomas. Antes de Gódel, incluido Hilbert, se creía que todas las verdades de la aritmética eran demostrables. Pero Gódel demostró en 1931 que existen verdades arit- méticas no demostrables, entre ellas la consistencia o no contradicción de la aritmética. La existencia de verdades no demostrables tiene una aplicación importantísima en la teología, puesto que Dios es una verdad no demostrable, como lo prueba la expe- riencia y el fracaso de demostraciones contundentes, ad- mitidas por todos, de la existencia de Dios. Para demos- trar la existencia de Dios tenemos que basarnos en una verdad lógicamente equivalente que no puede ser más que la misma Verdad porque Dios es la Verdad. Se han hecho intentos de demostrar la no existencia de Dios, pero si se identifica Dios con la verdad, ello es ra- dicalmente imposible. Porque si no existiese la verdad, la lógica caería en defecto por basarse en la verdad que se Georg Cantor. considera que no existe. Es más, el empleo de la lógica viene a ser un reconocimiento implícito de la existencia de la verdad. Nuestra mente capta las verdades mediante la intuición razonable y la lógica. La intuición razonable es un don que está muy dentro de nuestro ser y procede de fuera y que captamos mediante la reflexión. Y la lógica es un don que conocemos por la palabra y el lenguaje. Usualmente, las matemáticas se basan en los axiomas. De los axiomas se deducen los teoremas mediante las re- glas deductivas o de inferencia. Es claro que el conjunto de reglas deductivas debe ser no vacío y finito para que pue- 57

Verdades no demostrables

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Verdades no demostrables

VERDADES NO DEMOSTRABLES:TEOREMAS DE GÓDEL Y SUS GENERALIZACIONES

BALTASAR RODRÍGUEZ-SALINAS

Real Academia de Ciencias

Si se nos preguntase cuáles son las contribuciones másimportantes a las matemáticas en el siglo XX, contestaría-mos que son la creación o descubrimiento de la teoría deconjuntos por G. Cantor y los teoremas de incompletitudde K. Godcl.

La teoría de conjuntos con sus paradojas dio un gran im-pulso a los fundamentos de las matemáticas y a la nociónde verdad.

Las matemáticas se fundamentan en la verdad, pero noen una verdad cualquiera de carácter relativo, sino en unade carácter absoluto. Sin embargo, últimamente han sur-gido dudas de si existe esa verdad.

Si no existe la verdad, la frase «no existe la verdad» se-ría verdadera en contra de la suposición de que no existela verdad. Esta contradicción sería para muchos una de-mostración de que existe la verdad. Pero si reflexionamospodemos llegar más lejos, puesto que se debería admitirque si no existe la verdad tampoco existiría la mentira yestaríamos en un mundo caótico en contra de todo lo quepercibimos y en donde la mentira sería la verdad.

Si nos piden un ejemplo de verdad absoluta, daríamoscomo tal las proposiciones de la aritmética. Sus verdadeslas conocemos por la intuición razonable, de modo que me-diante la lógica podemos deducir los teoremas a partir delos axiomas. Antes de Gódel, incluido Hilbert, se creíaque todas las verdades de la aritmética eran demostrables.Pero Gódel demostró en 1931 que existen verdades arit-méticas no demostrables, entre ellas la consistencia o nocontradicción de la aritmética.

La existencia de verdades no demostrables tiene unaaplicación importantísima en la teología, puesto que Dioses una verdad no demostrable, como lo prueba la expe-riencia y el fracaso de demostraciones contundentes, ad-mitidas por todos, de la existencia de Dios. Para demos-trar la existencia de Dios tenemos que basarnos en unaverdad lógicamente equivalente que no puede ser más quela misma Verdad porque Dios es la Verdad.

Se han hecho intentos de demostrar la no existencia deDios, pero si se identifica Dios con la verdad, ello es ra-dicalmente imposible. Porque si no existiese la verdad, lalógica caería en defecto por basarse en la verdad que se

Georg Cantor.

considera que no existe. Es más, el empleo de la lógicaviene a ser un reconocimiento implícito de la existencia dela verdad.

Nuestra mente capta las verdades mediante la intuiciónrazonable y la lógica. La intuición razonable es un donque está muy dentro de nuestro ser y procede de fuera y quecaptamos mediante la reflexión. Y la lógica es un donque conocemos por la palabra y el lenguaje.

Usualmente, las matemáticas se basan en los axiomas.De los axiomas se deducen los teoremas mediante las re-glas deductivas o de inferencia. Es claro que el conjuntode reglas deductivas debe ser no vacío y finito para que pue-

57

Page 2: Verdades no demostrables

BALTASAR RODRÍGUEZ-SALINAS

K. Gódel (izquierda) junto a A. Einstein.

da ser manejable por el hombre. Dado un conjunto A deaxiomas y prefijadas las reglas deductivas, denotaremospor T {A) el conjunto de los teoremas de A. Este conjun-to, si A es finito, es numerable. Entonces T(A) es el sis-tema lógico o teoría generado por A.

Dos conjuntos finitos se dice que tienen el mismo nú-mero cardinal si se puede establecer una correspondenciabiyectiva (o uno a uno) entre ambos. De la misma manera,como se puede establecer una correspondencia biyectivaentre el conjunto M de los números naturales y el con-junto 2N formado por los números pares asignando acada número natural n el número par 2«, diremos que Ny 2N tienen el mismo cardinal. De manera general, unconjunto se dice numerable si tiene el mismo número car-dinal que el conjunto t̂ l y contable si es finito o numera-ble. Se puede probar que todo subconjunto de N es con-table. Los conjuntos infinitos están caracterizados por lapropiedad de no ser coordinables con ninguna de sus par-tes propias, por lo que en el sentido de la cardinalidadtodo conjunto finito es mayor que cualquiera de sus partespropias. Esto no pasa con N, que tiene el mismo cardinalque 2N, y en general con todos los subconjuntos infinitos.

Como se sabe, la diferencia de dos números naturales esun número entero y el cociente de dos números enteroses un número racional cuando el divisor es distinto decero. Los números reales surgen como una sucesión de nú-meros racionales, pero intuitivamente son números deci-males con infinitas cifras detrás de la coma. Esto si se uti-

liza la numeración usual con base 10, pero también sepuede utilizar cualquier otra base, como por ejemplo 2,como ocurre en la informática. Surge ahora la pregunta,si el cardinal del conjunto R de los números reales es igualque el del conjunto de los números naturales. Cantor pro-bó, utilizando la teoría de conjuntos, que ambos son dis-tintos, mientras que el conjunto de los números natura-les es numerable. Pero la pregunta vuelve a surgir si sólose admiten demostraciones dentro de la aritmética. Lacontestación es que dentro de la aritmética no se puede de-mostrar que el conjunto de los números reales no es con-table.

Un sistema de axiomas se dice que es consistente cuan-do en el sistema lógico T (A) de los teoremas de A no haycontradicción, esto es, si T (A) no contiene a la vez unteorema P y su negación -iP = no P.

El sistema lógico de la aritmética So admite un sistemade axiomas finito Ao tal que, según el primer teorema deincompletitud de Gódel existe una proposición indecidi-ble P; es decir, que no se puede demostrar P ni su nega-ción. Es claro que, si existe la verdad en las matemáticas,por el principio del tercio excluso, Po su negación es ver-dadera. Más adelante vamos a dar una idea de la demos-tración de este teorema de Gódel.

La existencia de la verdad en las matemáticas es unacuestión muy delicada que requiere una reflexión que va-mos a desarrollar a continuación.

En el análisis matemático se prueba utilizando la teoríade conjuntos que existe una medida, llamada de Lebesgue,con propiedades muy atrayentes y fecundas sobre una cla-se muy amplia de subconjuntos de la recta real IR, llama-dos medibles Lebesgue. Esta medida para un intervalocoincide con su longitud y es tal que la clase de los con-juntos medibles Lebesgue es cerrada por la unión e inter-

Henri-León Lebesgue.

58

Page 3: Verdades no demostrables

VERDADES NO DEMOSTRABLES: TEOREMAS DE GODEL Y SUS GENERALIZACIONES

sección contable de conjuntos y también por la diferen-cia. Pues bien, del axioma de elección se deduce que exis-te un conjunto A no medible Lebesgue de la recta real IRy, por otra parte, según el axioma de Solovay todo sub-conjunto A de IR es medible Lebesgue. Esto debe asom-brar a cualquiera. Pero además ocurre que el axioma de elec-ción es consistente con la axiomática de Zermelo-Fraenkely, por otra parte, el axioma de Solovay es también con-sistente con esta axiomática de la teoría de conjuntos másla existencia de un cardinal inaccesible. Entonces la unión,o mejor la conjunción, del axioma de elección, del axio-ma de Solovay y de la axiomática de Zermelo-Fraenkel esinconsistente por contener una contradicción. Esto noes posible si existe la verdad matemática y fueran verdade-ros el axioma de elección y el axioma de Solovay. Luego, siexiste la verdad en las matemáticas, existen sistemas con-sistentes de axiomas, que contienen axiomas no verdaderos.

Aunque no es necesario conocer en qué consiste el axio-ma de elección para comprender la parte esencial de loque hemos dicho, vamos a exponerlo. Dada una familiade conjuntos disjuntos y no vacíos, el axioma de elecciónexpresa que existe un conjunto formado por un elemen-to y sólo uno de cada uno de dichos conjuntos.

La existencia de conjuntos no medibles Lebesgue delespacio IR3 queda patente de manera muy sugestiva por laparadoja de Banach-Tarski, consecuencia del axioma deelección, que consiste en poder descomponer una bolacomo un guisante en un número finito de partes para re-componer una bola como el Sol. Aunque en el caso del pla-no IR2 existen igualmente conjuntos no medibles Lebes-gue, esta descomposición no es posible por existir unamedida finitamente aditiva sobre todos los conjuntos deR2, que es una extensión de la medida de Lebesgue, comose prueba mediante el teorema de Hahn-Banach.

Como hemos visto, existen sistemas de axiomas que sonconsistentes pero que contienen proposiciones no verda-deras. En concreto, una de dos, o el axioma de Solovay esfalso o el axioma de elección es falso. Por tanto, la consis-tencia de un sistema de axiomas es necesaria para que di-chos axiomas sean todos verdaderos, pero no es suficien-te. Esto justifica que como L. E. J. Brouver, aunque desdeotro punto de vista, digamos que «La certeza es más im-portante que la consistencia». Probablemente, el sistema deaxiomas ZF+noCH es consistente pero no verdadero.

Ahora vamos a dar una idea de la anunciada demostra-ción del primer teorema de incompletitud de Godel, si bienpara mayor sencillez en primer lugar desarrollaremos otra.

Sea A un sistema de axiomas finito o contable consis-tente y supongamos que la frase «el conjunto de los nú-meros reales no es contable» es una proposición verdade-ra. Entonces, si esta proposición P es un teorema de A,siendo T {A) contable, se sigue que existe un número realque es una proposición verdadera que no es un teoremade A (conviene tener en cuenta que todo número real ase identifica con la proposición a = a). Por otra parte, siP no es un teorema de A, resultaría que la misma P seríauna proposición verdadera que no es un teorema de A.

A. Tarski (izquierda) junto a K. Godel.

Conviene recordar que el primer teorema de incompleti-tud de Godel afirma que si A es un sistema lógico con-sistente con ciertas propiedades (en concreto, si es finita-mente axiomatizable) y, por tanto, contable, que contienelos axiomas de la aritmética, entonces existe una propo-sición verdadera que no es un teorema de A.

De otro modo, sea A un sistema de axiomas consisten-te y contable. Entonces, si la frase «la clase de las propo-siciones verdaderas no es un conjunto contable» es unaproposición verdadera P, se sigue de igual forma que an-teriormente que existe una proposición verdadera que noes un teorema de A, porque en el peor de los casos dichaproposición Tosería una proposición verdadera que no esun teorema de A. Esta proposición está casi dentro delsistema lógico T{A), generado por./!, porque sólo se uti-liza en ella la intuición de que la clase de las proposicio-nes verdaderas no es contable. Es claro que si esto fuese cier-to o no se aceptase, sólo existiría un solo número cardinalinfinito verdadero: el %)> Y se renegaría de la obra de Cantor.

Como se sabe, la proposición de que el conjunto de losnúmeros reales no es contable es una consecuencia de lacompleción del conjunto de los números racionales yde un razonamiento análogo al que establece el teorema deBaire. Por otra parte, si se admite que el conjunto de losnúmeros reales es contable, resulta que la medida de Le-besgue sobre IR como suma de las medidas de sus sub-conjuntos unitarios es nula, con lo cual quedaría destrui-da gran parte de las matemáticas. Por tanto, la lógicamatemática de primer orden de la teoría de la computabi-lidad es insuficiente para el desarrollo y estudio de las ma-temáticas. Por otra parte, la gran acogida filosófica que

59

Page 4: Verdades no demostrables

BALTASAR RODRÍGUEZ-SALINAS

ha tenido el teorema de Gódel en condiciones generalesque se salen de su marco primitivo, impulsa a estudiar sugeneralización dentro del análisis matemático.

Ahora vamos a dar, por fin, la idea de la anunciada de-mostración clásica del primer teorema de incompletitudde Gódel. La idea central es sencilla, bella y profunda. Laparte complicada consiste en codificar realmente las reglasde inferencia del sistema formal, y también el uso de susdiversos axiomas, en operaciones aritméticas. Considere-mos ahora las funciones proposicionales que dependende una sola variable. Sea Pn la «-ésima de estas funcionesproposicionales. Si P,,(w) es sintácticamente correcta seráalgún enunciado aritmético concreto perfectamente biendefinido que concierne a los dos números naturales ny w.Cuál sea exactamente este enunciado dependerá de losdetalles del sistema de numeración específico que hayamoselegido. Esto pertenece a la parte complicada del argu-mento y no nos interesa aquí. Las cadenas de proposicio-nes que constituyen una demostración de algún teoremaen el sistema pueden ser etiquetadas también mediantenúmeros naturales utilizando el esquema de ordenación ele-gido. Denotaremos por II,, la w-ésima demostración.

Consideremos ahora la siguiente función proposicio-nal que depende del número natural w:

-i 3 x[Ylt demuestra Pu¡ (w)]

El enunciado dentro del paréntesis cuadrado se da par-cialmente en palabras, pero es un enunciado perfecta y

John von Neumann.

exactamente bien definido. Afirma que la x-ésima de-mostración es realmente una demostración de la propo-sición que constituye Pu[.) aplicada al propio valor w. Elcuantificador existencial negado, fuera del paréntesis, sir-ve para eliminar una de las variables («no existe x talque...»), de modo que nos queda una función proposi-cional aritmética que sólo depende de una sola variable w.La expresión global afirma que no existe demostración de

Como hemos indicado, todas las funciones proposi-cionales que dependen de la variable w se pueden codifi-car, de modo que la que acabamos de escribir debe tenerasignado un número natural n. Por consiguiente:

-i 3 x[nv demuestra Pu. (w)}= Pn (w)

Examinemos ahora esta función para el valor particularw= n. Entonces:

-. 3 x[Uxdemuestra P,, («)]= P,, (n)

La función específica P,,(n) es un enunciado perfecta-mente bien definido en la aritmética (sintácticamente co-rrecto). Aunque P,,{n) es sólo una proposición aritmética,la hemos construido de modo que afirma lo que se haconstruido en el lado izquierdo: «no existe demostracióndentro del sistema, de la proposición Pn(n)». Entonces nopuede haber ninguna demostración de esta P,,(n) dentrodel sistema. En efecto, si hubiera tal demostración, el sig-nificado del enunciado que P,,{n) realmente afirma, a sa-ber, que no existe demostración, sería falso, de modo queP,,{n) tendría que ser falsa como proposición aritmética.Así hemos encontrado una proposición verdadera que notiene demostración dentro del sistema. Es claro que sien-do entonces -*Pn («) una proposición falsa no se puede de-mostrar tampoco dentro del sistema. Así, ni P,,(n) ni sunegación ^Pn («) son demostrables dentro del sistema.

El primer hecho descubierto por Gódel fue que el con-junto S de (los números de Gódel de) las proposiciones ver-daderas en N de la aritmética no era definible, dentro delmodelo estándar N, por una fórmula aritmética con unasola variable libre. El motivo estaba en la posibilidad deconstruir una proposición aritmética cuyo significado era«esta proposición es falsa en N», con lo que se caía en lamisma contradicción que en la antigua paradoja de Epi-ménides. Este resultado se conoce hoy como metateoremade Tarski de indefinibilidad de la verdad dentro de unlenguaje formal adecuado.

Un análisis de la demostración del primer teorema deincompletitud de Gódel condujo a éste y, de manera in-dependiente a Von Neumann, al llamado segundo teore-ma de incompletitud. En efecto, la formalización del pri-mer teorema muestra que la única hipótesis sobre el sistemalógico es su propia consistencia, de modo que, si la con-sistencia de una aritmética suficientemente fuerte o exi-gente fuera demostrable dentro de esa misma aritmética,entonces la proposición indecidible sería demostrable a

60

Page 5: Verdades no demostrables

VERDADES NO DEMOSTRABLES: TEOREMAS DE GODEL Y SUS GENERALIZACIONES

su vez. La consecuencia es inmediata: si la aritmética encuestión es consistente, entonces dentro de ella misma noes demostrable esa consistencia. Este profundo resultadovenía a resolver negativamente el problema planteado porHilbert de demostrar por métodos finitarios la consis-tencia de la aritmética, puesto que los métodos finitariosquedan incluidos dentro de la aritmética.

La veracidad dada a las proposiciones aritméticas varíadesde un carácter absoluto a un carácter relativo relacionadocon su consistencia, pero ya hemos visto que existen algu-nos sistemas lógicos consistentes que contienen proposi-ciones no verdaderas. Más aún, B. Russell interpretó la de-mostración del teorema de Godel como una prueba de lainconsistencia de la aritmética. En efecto, con las nota-ciones empleadas anteriormente, podríamos haber inter-pretado /*„(«) como una proposición falsa que se puededemostrar mediante una FIV. Pero esto nos lleva a un mun-do caótico en el que evidentemente no estamos. Es más,nuestra intuición matemática nos lleva a dar un carácterabsoluto a la veracidad de las proposiciones aritméticas.

Como Hilbert, pensamos que nadie puede expulsarnosdel paraíso que Cantor ha creado, mejor encontrado, paranosotros. Pero tampoco puede quitarnos las ideas que sugierenlos teoremas de incompletitud de Godel. Efectivamente, an-tes de Cantor, había el Homo sapiens, pero con los númerostransfinitos surge el Homo trans-sapiens. Por ello vamos adar una idea de los números ordinales transfinitos. Empe-cemos para ello poniendo a continuación de los números na-turales 1,2,..., n,... el elemento o número ordinal co y a con-tinuación to + 1,..., w + n,..., 2CÜ, ..., níú,..., cu", ...,demodoque si hemos construido un segmento S de ellos, pon-dríamos a continuación un nuevo ordinal a. De esta for-ma, el conjunto Si% de los números ordinales menores quea tiene la propiedad que todo subconjunto no vacío deSa tiene un primer elemento, propiedad que caracterizaa los conjuntos bien ordenados. Pues bien, la entrada aeste paraíso está prohibida al formalismo porque los nú-meros ordinales no se admiten en él como proposicionesverdaderas.

Es corriente identificar todo número ordinal a con elconjunto formado por todos sus anteriores. Veamos cómose pueden obtener dichos números dentro de las ideas deGodel.

Sea Sn el sistema lógico de la aritmética. Entonces, comotodas las proposiciones de Sn son verdaderas, se intuyeque el enunciado 7j de la consistencia de Sa es verdade-ro. Sea S¡ el sistema lógico definido por el sistema de axio-mas formado por las proposiciones de Sn y T¡. Proce-diendo por inducción, supuestos construidos 5,,, ..., £„_,y las proposiciones verdaderas 7",, ..., T^,, se define TH

como el enunciado de la consistencia de LJA<!, Sk, el cualtambién por la veracidad de la aritmética debe ser unaproposición verdadera, y se define S,, como el conjuntode los teoremas de UA<,, SK U {T}. Este proceso se puedeextender por inducción transfinita definiendo para cadaordinal a un sistema lógico Stí de modo que cada Ta es elenunciado de la consistencia de U|,<f< S{i y cada Sn es el con-

Bertrand Russell.

junto de los teoremas de LJ|i<rl 5|¡ U i Ta], tratado formal-mente Ta como si fuera una proposición. Entonces el sis-tema total S= U(, Sa, que por ser sugerido por Godel lla-maremos gódelización de la aritmética, debe existir y serconsistente por la veracidad de la aritmética, de modo quellamaremos proposición verdadera a toda PG S. La in-tuición gódeliana nos dice que ningún Sn debe ser un sis-tema lógico completo y, por tanto, la familia (5,,) debe serestrictamente creciente.

Se puede demostrar utilizando la codificación de Godely ordenaciones lexicográficas que 5se puede bien ordenarde modo que a cada proposición PE: Sse puede asignarinyectivamente un número ordinal o(P). Como conse-cuencia de ello se puede demostrar la siguiente generali-zación esperada del teorema de Godel:

El enunciado E(A) de la consistencia de un conjunto A C Sde axiomas es una proposición verdadera que no es un teo-rema de A.

Dicha demostración se basa en el principio de induccióntransfinita, pero se pueden dar otras demostraciones uti-lizando el lema de Zorn o bien sólo la axiomática de Zer-melo-Fraenkel.

El proceso anterior aplicado al sistema lógico Sn de la arit-mética se puede generalizar aplicándolo a un sistema ló-gico S'n no disjunto con 50, que sea un conjunto con talque se admita el anterior teorema generalizado de Godel.Enronces se obtiene un sistema lógico total S'. Pues bien,

61

Page 6: Verdades no demostrables

BALTASAR RODRÍGUEZ-SALINAS

el resultado más destacado es que 5"= S; en otras pala-bras, que sólo hay una verdad en las matemáticas, ya quelas proposiciones verdaderas de Sy S'son las mismas.

Vamos a dar una idea de la demostración de dicha uni-cidad. Si S"= Sf] S'es un conjunto, se sigue la contra-dicción de que el enunciado E(S") de la consistencia deS" = Sf] S'es una proposición verdadera en S y S'y, portanto, perteneciente a 5", que no es un teorema de S", locual no es posible por ser S"un sistema lógico. Entonces,5"= S f] S no es un conjunto, de donde teniendo encuenta que es 5"un sistema lógico tal que E(P) G 5"paratoda proposición P E S", se sigue del teorema generaliza-do de Gódel que S= S"= S'.

Así, si existe la verdad, la verdad es única. Pero la ver-dad se intuye y es un don: no se demuestra ni se puededemostrar. Es más, si se pudiese demostrar la existenciade la verdad, ella sería seguramente falsa porque está muypor encima de nuestras mentes. Lo que hemos dicho parala verdad, podríamos decirlo para Dios.

Justamente, Hilbert había descubierto que con respecto auna axiomática general la verificación de la consistencia in-terna en cuanto al contenido sólo podría ser relativa; es de-cir, sólo podría ser decidida mediante la construcción de unmodelo. Pero como a su vez los elementos de este modelo sonde tipo matemático, la consistencia de una teoría se reducea la de otra. Nosotros decididamente, como hemos visto, si-guiendo las ideas de Gódel profundizamos y repetimos in-definidamente este proceso en el transfinito teniendo comofruto la consistencia de los sistemas construidos, que todosson iguales, esto es, que no hay más que una sola verdad enlas matemáticas. Resultando como consecuencia de la bue-na ordenación del sistema total S, que el axioma de Solovayno pertenece a 5, lo cual expresaremos diciendo que es falso.

Como consecuencia de estos resultados, llamaremos or-den de inconsistencia de un sistema lógico S'o al menorordinal a, si existe, tal que, con notaciones análogas a lasanteriores, 5^ es inconsistente. En el caso que todo sistemalógico S'a sea consistente diremos que S'o es casi verdade-ro, reservando el nombre de verdadero cuando ademásS'o contiene los axiomas de la aritmética. De manera aná-loga se llama orden de inconsistencia de un sistema deaxiomas A el orden de inconsistencia, si existe, del siste-ma lógico T(A) de los teoremas de A.

Vamos a examinar esto. Dada una proposición P, seaS'o el sistema lógico generado por Py los axiomas Aa dela aritmética. Entonces, si existe un ordinal a tal que S'aes inconsistente, resulta que Pes una proposición falsa; estoes, no pertenece a S. Por el contrario, si todo sistema ló-gico S'a es consistente, siendo S'= U(, S'a = S, se sigue quePE. S, es decir, que Pes una proposición verdadera.

En particular, si P es el axioma de Solovay, como P esinconsistente con la buena ordenación de IR, resulta queel orden de inconsistencia de Pes menor o igual que el pri-mer ordinal a tal que el cardinal de {{i : f$ < a} es igual queel cardinal fde R.

Desde luego, la verdad es inaccesible al lenguaje y a larazón del hombre, pero la intuición nos aproxima mu-

cho a ella. El hecho de que suponiendo realizable la gó-delización S de la aritmética se tenga en las condiciones in-dicadas la unicidad S'= Sde la verdad matemática, nosindica que efectivamente estamos en el camino adecuadoseñalado por la intuición. Lo importante es conocer laverdad, no el camino por el que se llega a ella, aunqueeste camino puede ser interesante. El preocuparse de losmétodos seguidos en las demostraciones es importante,pero no debe ser una barrera para llegar a la verdad. Paraesto nos bastan una intuición bien adiestrada, una refle-xión rigurosa y una belleza profunda.

La aparición de paradojas cuando se emplea la verdadabsoluta hay que atribuirla a que se emplea en un senti-do abstracto. La verdad absoluta sólo tiene sentido cuandose aplica en un sentido concreto. Esto se ve de maneramuy clara con el axioma de las paralelas de la geometríaque no es cierto ni falso, todo depende de la geometría quese considere. Igualmente, el argumento empleado porB. Russell en su paradoja se debe a que se aplica a universosabstractos, no concretos. El carácter abstracto de las ma-temáticas tiene muchas ventajas, porque con él se alcan-za gran generalidad, pero es causa de paradojas. Esto jus-tifica el platonismo de las matemáticas, no olvidando quelos objetos matemáticos tienen un significado sin el cuallas verdades pueden dejar de serlo.

El planteamiento de esta conferencia está de acuerdocon la perspectiva platónica de las matemáticas. Mientrasque un formalista es libre de crear cualquier sistema lógi-co consistente, un platónico como Gódel sostenía quesólo un sistema de axiomas captaba las verdades que exis-tían en el mundo platónico. Nuestros resultados, obteni-dos utilizando la generalización del segundo teorema deincompletitud de Gódel para conjuntos basados en la in-tuición gódeliana con la que se establece el que llamamos«axioma de la consistencia», confirman dicha opinión.Y es que el carácter absoluto de la verdad matemática y laconsistencia platónica de los conceptos matemáticos sonesencialmente una misma cosa.

Nuestro espíritu debe ser como el que Hilbert mani-festó en su Debemos saber. Sabremos, incorporando a laciencia y a las matemáticas el paraíso de Cantor y tambiénel sugerido por las ideas de Godel.

BIBLIOGRAFÍA

1. Barrow, J. D. (1996) La trama oculta del universo. Crí-tica. Ed.: Grijalbo Mondadori, S. A., Barcelona.

2. Gódel, K. (1986) Collected Works-Volume I: Publica-tions 1929-1936. Ed.: Oxford Univ. Press.

3. Penrose, R. (1991) La nueva mente del emperador. Ed.:Mondadori España, Madrid.

4. Rodríguez-Salinas, B. (Preprint) A proof offundamen-tal theorem ofMathematics.

5. Rodríguez-Salinas, B. (Preprint) There is only one truthin Mathematics.

62