An alisis funcional no-lineal y geom etrico...tal que jf gj

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Proyecto de Investigacion“Analisis funcional no-lineal y geometrico”

Jesus A. Jaramillo

Universidad Complutense de Madrid

25 de abril de 2009

Jesus A. Jaramillo

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1 Integrantes

2 Lıneas de Investigacion

3 Temas de Investigacion

4 Actividades

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1 Integrantes

4 Actividades

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Daniel Azagra Rueda (UCM)

Estibalitz Durand Cartagena (UCM)

Juan Ferrera Cuesta (UCM)

Isabel Garrido Carballo (UCM)

Javier Gomez Gil (UCM)

Jose Luis Gonzalez Llavona (UCM)

Mar Jimenez Sevilla (UCM)

Pablo Linares Briones (UCM)

Fernando Lopez-Mesas Colominas (UCM)

Gustavo Munoz Fernandez (UCM)

Angeles Prieto Yerro (UCM)

Yenny Rangel Oliveros (UCM)

Luis Francisco Sanchez Gonzalez (UCM)

Beatriz Sanz Alonso (UCM)

Juan Benigno Seoane Sepulveda (UCM)

Jesus A. Jaramillo

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Raquel Gonzalo Palomar (UPM)

Joaquın Gutierrez del Alamo Gil (UPM)

Jose Pedro Moreno (UAM)

Manuel Cepedello Boiso (US)

Raffaella Cilia (U. Catania, Italia)

Olivia Gutu (U. Hermosillo, Mexico)

El proyecto actual cuenta con 22 integrantes, de los cuales 16pertenecen a la UCM y 6 a otras Universidades.

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Raquel Gonzalo Palomar (UPM)

Joaquın Gutierrez del Alamo Gil (UPM)

Jose Pedro Moreno (UAM)

Manuel Cepedello Boiso (US)

Raffaella Cilia (U. Catania, Italia)

Olivia Gutu (U. Hermosillo, Mexico)

El proyecto actual cuenta con 22 integrantes, de los cuales 16pertenecen a la UCM y 6 a otras Universidades.

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1 Integrantes

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1 Analisis Global y Analisis Geometrico.

2 Diferenciabilidad, Convexidad y Geometrıa de Espacios de Ba-nach.

3 Polinomios en Espacios de Banach, Lineabilidad e Hiperciclici-dad.

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Analisis Global y Analisis GeometricoDiferenciabilidad, Convexidad y GeometrıaPolinomios, Lineabilidad e Hiperciclicidad

1 Integrantes

3 Temas de InvestigacionAnalisis Global y Analisis GeometricoDiferenciabilidad, Convexidad y GeometrıaPolinomios, Lineabilidad e Hiperciclicidad

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1.1. Calculo subdiferencial y ecuaciones deHamilton-Jacobi en variedades

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La subdiferencial de una funcion convexa es una herramienta clasicaen convexidad, optimizacion y control. Tambien el gradiente gene-ralizado de Clarke, definido para cualquier funcion localmente Lips-chitz.

La subdiferencial de una funcion no necesariamente convexa en unespacio de Banach es un concepto introducido por Crandall y Lionsen los anos 80, que permite estudiar ecuaciones de Hamilton-Jacobi

F (u(x), x ,Du(x),D2u(x)) = 0

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La subdiferencial de una funcion convexa es una herramienta clasicaen convexidad, optimizacion y control. Tambien el gradiente gene-ralizado de Clarke, definido para cualquier funcion localmente Lips-chitz.

La subdiferencial de una funcion no necesariamente convexa en unespacio de Banach es un concepto introducido por Crandall y Lionsen los anos 80, que permite estudiar ecuaciones de Hamilton-Jacobi

F (u(x), x ,Du(x),D2u(x)) = 0

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Para este tipo de ecuaciones, utilizando la idea de sub-solucion ysuper-solucion, estos autores introducen la nocion de solucion deviscosidad. Utilizando la teorıa de subdiferenciabilidad, demuestranexistencia y unicidad de este tipo de soluciones no clasicas, cuandoen general no existen soluciones clasicas.

Nuestro grupo ha extendido esta teorıa al marco de las variedadesRiemannianas, incluyendo el caso infinito-dimensional, para ecua-ciones de primer orden y, mas recientemente, de segundo orden. Eneste ultimo caso, hay que imponer restricciones sobre la curvaturade la variedad.

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Para este tipo de ecuaciones, utilizando la idea de sub-solucion ysuper-solucion, estos autores introducen la nocion de solucion deviscosidad. Utilizando la teorıa de subdiferenciabilidad, demuestranexistencia y unicidad de este tipo de soluciones no clasicas, cuandoen general no existen soluciones clasicas.

Nuestro grupo ha extendido esta teorıa al marco de las variedadesRiemannianas, incluyendo el caso infinito-dimensional, para ecua-ciones de primer orden y, mas recientemente, de segundo orden. Eneste ultimo caso, hay que imponer restricciones sobre la curvaturade la variedad.

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Tambien hemos obtenido aplicaciones a la existencia de solucionesgeneralizadas del problema de evolucion de hipersuperficies segunfunciones de sus curvaturas.

Por otra parte, para una clase muy amplia de ecuaciones de Hamilton-Jacobi de primer orden en variedades de dimension finita, hemosdemostrado la existencia de un tipo de soluciones que llamamoscasi-clasicas. Estas son funciones diferenciables, que son solucionesde la ecuacion en casi todo punto y ademas sub-soluciones clasicasen todo punto.

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Tambien hemos obtenido aplicaciones a la existencia de solucionesgeneralizadas del problema de evolucion de hipersuperficies segunfunciones de sus curvaturas.

Por otra parte, para una clase muy amplia de ecuaciones de Hamilton-Jacobi de primer orden en variedades de dimension finita, hemosdemostrado la existencia de un tipo de soluciones que llamamoscasi-clasicas. Estas son funciones diferenciables, que son solucionesde la ecuacion en casi todo punto y ademas sub-soluciones clasicasen todo punto.

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Por ejemplo, si M es una variedad Riemanniana y Ω es un abiertode M, demostramos la existencia de de una funcion diferenciable usobre M que satisface la ecuacion eikonal ‖∇u(x)‖x = 1 en casitodo punto de Ω y ademas u se anula fuera de Ω.

Para el futuro, nos proponemos estudiar la existencia de solucionescasi-clasicas para el caso de ecuaciones de evolucion.

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Por ejemplo, si M es una variedad Riemanniana y Ω es un abiertode M, demostramos la existencia de de una funcion diferenciable usobre M que satisface la ecuacion eikonal ‖∇u(x)‖x = 1 en casitodo punto de Ω y ademas u se anula fuera de Ω.

Para el futuro, nos proponemos estudiar la existencia de solucionescasi-clasicas para el caso de ecuaciones de evolucion.

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Trabajan en este tema: D. Azagra, J. Ferrera, F. Lopez-Mesas,B. Sanz, M. Jimenez, J. A. Jaramillo.

Con la colaboracion de: F. Macia (UPM), R. Fry (Canada) yR. Deville (Francia).

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Trabajan en este tema: D. Azagra, J. Ferrera, F. Lopez-Mesas,B. Sanz, M. Jimenez, J. A. Jaramillo.

Con la colaboracion de: F. Macia (UPM), R. Fry (Canada) yR. Deville (Francia).

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1.2. Regularizacion de funciones Lipschitz y algebras defunciones en variedades

Jesus A. Jaramillo

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La aproximacion diferenciable de funciones Lipschitzianas en varie-dades Riemannianas es importante, por ejemplo, en los problemasdel punto anterior, ası como en el estudio de de las relaciones entrela estructura diferenciable y la estructura metrica de la variedad.

Nos interesamos por la aproximacion fina, es decir, dada una funcionf Lipschitziana y ε > 0, buscamos g diferenciable y Lipschitzianatal que |f − g | < ε y Lip(g) < Lip(f ) + ε.

En dimension finita, este problema fue resuelto por Greene y Wua finales de los anos 70. Nuestro grupo ha obtenido un resultadode aproximacion en el caso de variedades Riemannianas separables,posiblemente infinito-dimensionales. El problema sigue abierto en elcaso no-separable.

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Una cuestion estructural que esta relacionada con lo anterior es elteorema clasico de Myers-Nakai:

Teorema: La estructura Riemanniana de una variedad finitodimensional M esta determinada por la estructura de algebrade Banach del espacio C 1

b (M) de las funciones de clase C 1 enM, acotadas y con derivada acotada.

Nosotros hemos obtenido una extension al caso infinto-dimensional,para una clase de variedades Riemannianas, que incluye las varie-dades separables.

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Hemos obtenido resultados analogos en el marco de los espacios defunciones Lipschitzianas sobre espacios metricos de longitud.

Tambien hemos estudiado la regularizacion de funciones Lipschitz ysu relacion con la estructura de las algebras de funciones diferencia-bles en el marco de las variedades de Finsler de dimension finita.

Trabajan en este tema: D. Azagra, J. Ferrera, M. I. Garrido, J.A. Jaramillo, F. Lopez-Mesas, y Y. Rangel.

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1.3. Teoremas de inversion global

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Un problema clasico en analisis no-lineal es obtener condiciones paraque una aplicacion diferenciable entre espacios de Banach admitauna inversa global. En los anos 70 Plastock obtiene condicionesmetricas y topologicas relacionadas con la elevacion de lıneas, quele permiten extender la Condicion Integral de Hadamard:

Teorema: Sea f : E → F una aplicacion C 1 entre espacios deBanach, tal que df (x) ∈ Isom(E ,F ) para todo x ∈ E . Si∫ ∞

0inf‖df (x)−1‖−1 : ‖x‖ ≤ t dt =∞

entonces f : E → F es un difeomorfismo global.

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Un problema clasico en analisis no-lineal es obtener condiciones paraque una aplicacion diferenciable entre espacios de Banach admitauna inversa global. En los anos 70 Plastock obtiene condicionesmetricas y topologicas relacionadas con la elevacion de lıneas, quele permiten extender la Condicion Integral de Hadamard:

Teorema: Sea f : E → F una aplicacion C 1 entre espacios deBanach, tal que df (x) ∈ Isom(E ,F ) para todo x ∈ E . Si∫ ∞

0inf‖df (x)−1‖−1 : ‖x‖ ≤ t dt =∞

entonces f : E → F es un difeomorfismo global.

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Fritz John obtuvo una version de dicha Condicion Integral para apli-caciones no diferenciables entre espacios de Banach. Mas recien-temente, Rabier ha considerado el caso de difeomorfismos localesentre variedades de Banach con estructura Finsler.

Nuestro grupo ha extendido estos resultados al marco de las aplica-ciones entre espacios metricos dotados de una adecuada estructuralocal. Estos espacios incluyen las variedades de Banach-Finsler y losespacios geodesicos de curvatura acotada superiormente. Definimosuna nocion de derivada escalar debil en este contexto y, utilizandola elevacion de caminos rectificables, obtenemos una version de laCondicion Integral de Hadamard.

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Fritz John obtuvo una version de dicha Condicion Integral para apli-caciones no diferenciables entre espacios de Banach. Mas recien-temente, Rabier ha considerado el caso de difeomorfismos localesentre variedades de Banach con estructura Finsler.

Nuestro grupo ha extendido estos resultados al marco de las aplica-ciones entre espacios metricos dotados de una adecuada estructuralocal. Estos espacios incluyen las variedades de Banach-Finsler y losespacios geodesicos de curvatura acotada superiormente. Definimosuna nocion de derivada escalar debil en este contexto y, utilizandola elevacion de caminos rectificables, obtenemos una version de laCondicion Integral de Hadamard.

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Una lınea todavıa poco explorada, en la que esperamos avanzar, esla utilizacion de la condicion de Palais-Smale para establecer condi-ciones de inversion global.

Trabajan en este tema: M. I. Garrido, O. Gutu y J. A. Jaramillo.

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Una lınea todavıa poco explorada, en la que esperamos avanzar, esla utilizacion de la condicion de Palais-Smale para establecer condi-ciones de inversion global.

Trabajan en este tema: M. I. Garrido, O. Gutu y J. A. Jaramillo.

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1.4. Analisis en Espacios Metricos

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El analisis en espacios metricos es un campo de investigacion ac-tualmente muy activo y en rapida expansion. Citaremos los libros deHeinonen y de Ambrosio-Tilli como referencias generales.

Recientemente, nuestro grupo ha iniciado una lınea de trabajo eneste tema. Hemos estudiado el espacio D∞(X ) de las funcionesacotadas y puntualmente Lipschitz sobre un espacio metrico X , yen particular hemos obtenido un teorema de tipo Banach-Stone paraestos espacios.

Ademas, en el caso de espacios metricos de medida, hemos estudiadola relacion de D∞(X ) con el espacio de Sobolev de tipo newtonianoN1,∞(X ), introducido por Shanmugalingham, dependiendo de laspropiedades de X .

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Si X es un espacio metrico de medida y f : X → R, se dice que unafuncion de Borel no-negativa g en X es un gradiente superior debilde f si

|f (γ(b))− f (γ(a))| ≤∫γ

para casi todo camino rectificable γ : [a, b]→ X .

El espacio de Sobolev N1,∞(X ) se define entonces como el conjuntode (clases de equivalencia) de funciones f ∈ L∞(X ) que admiten ungradiente superior debil tambien en L∞(X ).

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Si X es un espacio metrico de medida y f : X → R, se dice que unafuncion de Borel no-negativa g en X es un gradiente superior debilde f si

|f (γ(b))− f (γ(a))| ≤∫γ

para casi todo camino rectificable γ : [a, b]→ X .

El espacio de Sobolev N1,∞(X ) se define entonces como el conjuntode (clases de equivalencia) de funciones f ∈ L∞(X ) que admiten ungradiente superior debil tambien en L∞(X ).

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Nuestro proposito ahora es estudiar los espacios analogos con expo-nente finito. Para un espacio metrico de medida X y 1 < p < ∞,consideramos el algebra de p-Royden Ap(X ) de las funciones con-tinuas y acotadas sobre X que admiten un gradiente superior debilen Lp(X ).

En el contexto clasico, estas algebras de funciones fueron estudiadaspor Lewis en el caso de dominios euclıdeos, y por Nakai y Lelong-Ferrand en el caso de variedades Riemannianas.

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Nuestro proposito ahora es estudiar los espacios analogos con expo-nente finito. Para un espacio metrico de medida X y 1 < p < ∞,consideramos el algebra de p-Royden Ap(X ) de las funciones con-tinuas y acotadas sobre X que admiten un gradiente superior debilen Lp(X ).

En el contexto clasico, estas algebras de funciones fueron estudiadaspor Lewis en el caso de dominios euclıdeos, y por Nakai y Lelong-Ferrand en el caso de variedades Riemannianas.

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Una cuestion relevante en el analisis en espacios metricos son laspropiedades de diferenciabilidad de las funciones Lipschitz. Algunostrabajos recientes de Ambrosio y Kirchheim se basan en la idea dereemplazar la nocion clasica de diferenciabilidad por la nocion masdebil de diferenciabilidad metrica.

Nosotros hemos estudiado la diferenciabilidad metrica de funcionesdefinidas sobre un espacio abstracto de Wiener (X ,H, γ), donde Xes un espacio de Banach separable, γ es una medida gaussiana enX y H es el espacio de Cameron-Martin asociado a (X , γ). Hemosobtenido un teorema de tipo Rademacher en este marco, donde ladiferenciabilidad se obtiene a lo largo de las direcciones de H.

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Una cuestion relevante en el analisis en espacios metricos son laspropiedades de diferenciabilidad de las funciones Lipschitz. Algunostrabajos recientes de Ambrosio y Kirchheim se basan en la idea dereemplazar la nocion clasica de diferenciabilidad por la nocion masdebil de diferenciabilidad metrica.

Nosotros hemos estudiado la diferenciabilidad metrica de funcionesdefinidas sobre un espacio abstracto de Wiener (X ,H, γ), donde Xes un espacio de Banach separable, γ es una medida gaussiana enX y H es el espacio de Cameron-Martin asociado a (X , γ). Hemosobtenido un teorema de tipo Rademacher en este marco, donde ladiferenciabilidad se obtiene a lo largo de las direcciones de H.

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Trabajan en este tema: E. Durand, J. Gomez y J. A. Jaramillo.

Con la colaboracion de: L. Ambrosio (Italia).

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Trabajan en este tema: E. Durand, J. Gomez y J. A. Jaramillo.

Con la colaboracion de: L. Ambrosio (Italia).

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2.1. Aproximacion de funciones continuas por funcionesdiferenciables sin puntos crıticos

Jesus A. Jaramillo

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Un tema interesante y activo en la teorıa de espacios de Banachconsiste en estudiar la relacion entre las propiedades geometricas yestructurales del espacio y la existencia de funciones meseta dotadasde determinadas propiedades de diferenciabilidad.

En nuestro grupo hemos estudiado el rango del conjunto de derivadasde una funcion meseta diferenciable, y el rango del conjunto de hiper-planos tangentes de un cuerpo estrellado. Estas dos cuestiones sonequivalentes. Los resultados obtenidos muestran una gran diferenciacon el caso convexo. Este tipo de problemas esta relacionado con lano-existencia de un teorema de Rolle en dimension infinita.

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Un tema interesante y activo en la teorıa de espacios de Banachconsiste en estudiar la relacion entre las propiedades geometricas yestructurales del espacio y la existencia de funciones meseta dotadasde determinadas propiedades de diferenciabilidad.

En nuestro grupo hemos estudiado el rango del conjunto de derivadasde una funcion meseta diferenciable, y el rango del conjunto de hiper-planos tangentes de un cuerpo estrellado. Estas dos cuestiones sonequivalentes. Los resultados obtenidos muestran una gran diferenciacon el caso convexo. Este tipo de problemas esta relacionado con lano-existencia de un teorema de Rolle en dimension infinita.

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Hemos aplicado los resultados anteriores a la aproximacion uniformede funciones continuas por funciones de clase Cm sin puntos crıticos.

Hemos obtenido un resultado positivo en el espacio de Hilbet separa-ble. Para m = 1, hemos obtenido una caracterizacion de los espaciosde Banach separables en los que se tiene la aproximacion: aquelloscuyo dual es separable.

Consecuencias: todo cerrado se puede aproximar uniformemente porabiertos cuyas fronteras son subvariedades diferenciables. Dos cerra-dos disjuntos se pueden separar por hipersuperficies que son conjun-tos de nivel de funciones diferenciables sin puntos crıticos. Esto esuna version geometrica y no lineal del teorema de Hahn-Banach.

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Actualmente hemos comenzado a estudiar el problema de la aproxi-macion de funciones continuas por funciones real-analıticas sin pun-tos crıticos, cuando el espacio admite una norma analıtica, o unpolinomio separante (esto es, un polinomio que separa el origen dela esfera unidad).

Trabajan en este tema: D. Azagra, M. Cepedello, M. Jimenezy L. F. Sanchez Gonzalez.

Con la colaboracion de: R. Deville (Francia) y M. Fabian (R.Checa).

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2.2. Aproximacion fina de funciones en espacios de Banach

Jesus A. Jaramillo

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La aproximacion de funciones diferenciables en espacios de Banachpara la topologıa fina (es decir, aproximacion de la funcion y susderivadas) fue iniciada por Moulis en los anos 70, motivada por losresultados de Eells y McAlpin sobre aproximacion por funciones deSard en variedades de Hilbert.

Nuestro grupo ha obtenido condiciones suficientes para la aproxi-macion fina de orden 1. Estamos estudiando si este resultado sepuede extender a todos los espacios separables que admiten unafuncion meseta de clase Cm.

Esto permitirıa caracterizar los espacios de Banach separables enlos que toda funcion continua puede ser uniformemente aproxima-da por funciones de clase Cm sin puntos crıticos (para m > 1),estableciendo una relacion con el apartado anterior.

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Otro problema relacionado es estudiar cuando una funcion simetrica,definida en un espacio de Banach con estructura simetrica, puedeser aproximada en la topologıa fina por funciones mas regulares ysimetricas. Esto requerira obtener un adecuado teorema de repre-sentacion de funciones simetricas.

Trabajan en este tema: D. Azagra, J. Gomez, J. A. Jaramillo,M. Jimenez y L. F. Sanchez Gonzalez.

Con la colaboracion de: R. Fry (Canada), M. Lovo (El Sal-vador).

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2.3. Diferenciabilidad y estructura asintotica de espacios deBanach

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Los conceptos de suavidad y convexidad asintoticas fueron introduci-dos por Milman y recientemente han sido estudiados por Johnsonet al. en relacion con las propiedades de diferenciabilidad de las fun-ciones Lipschitzianas entre espacios de Banach.

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El modulo de convexidad asintotica de X es:

δX (t) = ınf‖x‖=1

supdim(X/H)<∞

ınfh∈H, ‖h‖≥t

‖x + h‖ − 1.

El modulo de suavidad asintotica de X es:

ρX (t) = sup‖x‖=1

ınfdim(X/H)<∞

suph∈H, ‖y‖≤t

‖x + h‖ − 1,

X es asintoticamente uniformemente convexo si δX (t) > 0para todo 0 < t ≤ 1, y asintoticamente uniformemente suavesi ρX (t)/t → 0 cuando t → 0.

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supdim(X/H)<∞

‖x + h‖ − 1.

ınfdim(X/H)<∞

‖x + h‖ − 1,

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supdim(X/H)<∞

‖x + h‖ − 1.

ınfdim(X/H)<∞

‖x + h‖ − 1,

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Nosotros hemos estudiado las conexiones entre la estructura asinto-tica de espacios de Banach y las propiedades de compacidad o con-tinuidad debil de los operadores multilineales definidos entre ellos.

Tambien hemos obtenido resultados que relacionan el mejor ordende suavidad de las funciones meseta en un espacio con los modulosde suavidad y de convexidad asintoticas del mismo.

Jesus A. Jaramillo

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Nosotros hemos estudiado las conexiones entre la estructura asinto-tica de espacios de Banach y las propiedades de compacidad o con-tinuidad debil de los operadores multilineales definidos entre ellos.

Tambien hemos obtenido resultados que relacionan el mejor ordende suavidad de las funciones meseta en un espacio con los modulosde suavidad y de convexidad asintoticas del mismo.

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Por otra parte, la existencia de un polinomio separante en un espaciode Banach puede ser considerada como una forma muy fuerte desuavidad del espacio.

Serıa interesante profundizar en los resultados anteriores y estudiarlas propiedades optimas de convexidad asintotica en los espacios queadmiten polinomio separante.

Trabajan en este tema: R. Gonzalo, J. A. Jaramillo y A. Prieto.

Con la colaboracion de: S. Troyanski (UMU) y V. Dimant (Ar-gentina).

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2.4. Geometrıa convexa en espacios de Banach

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Algunas familias de conjuntos convexos juegan un papel fundamen-tal en relacion con la estructura del espacio al que pertenecen. Estosucede, por ejemplo, con la familia de las intersecciones de bolas ocon la de los conjuntos de anchura constante, que han sido estudia-das por nuestro grupo.

En este sentido, ciertas propiedades de la familia de las interseccionesde bolas permiten caracterizar o clasificar a los espacios poliedricosde dimension finita, en funcion de la geometrıa de su bola unidad.

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Algunas familias de conjuntos convexos juegan un papel fundamen-tal en relacion con la estructura del espacio al que pertenecen. Estosucede, por ejemplo, con la familia de las intersecciones de bolas ocon la de los conjuntos de anchura constante, que han sido estudia-das por nuestro grupo.

En este sentido, ciertas propiedades de la familia de las interseccionesde bolas permiten caracterizar o clasificar a los espacios poliedricosde dimension finita, en funcion de la geometrıa de su bola unidad.

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Por otra parte, en el estudio los conjuntos convexos, cerrados yacotados de un espacio de Banach, juegan un papel importante laspropiedades de los conjuntos diametralmente maximales. Estos sonlos convexos cerrados en los que la inclusion de un punto adicionalaumenta su diametro.

La familia de los conjuntos de anchura constante tiene especial rele-vancia en los espacios C (K ). Se pueden caracterizar las propiedadestopologicas del compacto K (que sea extremalmente disconexo, porejemplo) sabiendo si los conjuntos diametralmente maximales sontambien de anchura constante.

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Por otra parte, en el estudio los conjuntos convexos, cerrados yacotados de un espacio de Banach, juegan un papel importante laspropiedades de los conjuntos diametralmente maximales. Estos sonlos convexos cerrados en los que la inclusion de un punto adicionalaumenta su diametro.

La familia de los conjuntos de anchura constante tiene especial rele-vancia en los espacios C (K ). Se pueden caracterizar las propiedadestopologicas del compacto K (que sea extremalmente disconexo, porejemplo) sabiendo si los conjuntos diametralmente maximales sontambien de anchura constante.

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Trabajan en este tema: J. P. Moreno, M. Jimenez.

Con la colaboracion de: A. Suarez (UCM), P. L. Papini (Italia)y A. Seeger (Francia).

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3.1. Propiedades polinomicas en espacios de Banach

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Un tema de investigacion con tradicion en nuestro grupo consiste enestudiar la relacion entre las propiedades estructurales de un espaciode Banach y el comportamiento de los polinomios y las aplicacionesmultilineales definidos sobre el mismo.

Por ejemplo, hemos considerado el problema de la extension de poli-nomios escalares desde un subespacio al espacio total, y en particularsu relacion con la estructura local del espacio.

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Un tema de investigacion con tradicion en nuestro grupo consiste enestudiar la relacion entre las propiedades estructurales de un espaciode Banach y el comportamiento de los polinomios y las aplicacionesmultilineales definidos sobre el mismo.

Por ejemplo, hemos considerado el problema de la extension de poli-nomios escalares desde un subespacio al espacio total, y en particularsu relacion con la estructura local del espacio.

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Tambien hemos obtenido distintos resultados sobre el comportamien-to de los polinomios en espacios con la propiedad de Dunford-Pettis,la propiedad (V) de Pelczynski, la propiedad de Grothendieck, lapropiedad de Asplund, o en espacios con dual isomorfo a `1(Γ).

Por otra parte, hemos estudiado la representacion y propiedadesde los polinomios ortogonalmente aditivos en espacios C (K ) y enotros retıculos de funciones. Es decir, los polinomios que satisfacenP(x +y) = P(x)+P(y) siempre que x e y tienen soportes disjuntos.

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Tambien hemos obtenido distintos resultados sobre el comportamien-to de los polinomios en espacios con la propiedad de Dunford-Pettis,la propiedad (V) de Pelczynski, la propiedad de Grothendieck, lapropiedad de Asplund, o en espacios con dual isomorfo a `1(Γ).

Por otra parte, hemos estudiado la representacion y propiedadesde los polinomios ortogonalmente aditivos en espacios C (K ) y enotros retıculos de funciones. Es decir, los polinomios que satisfacenP(x +y) = P(x)+P(y) siempre que x e y tienen soportes disjuntos.

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Otra cuestion interesante es la factorizacion de operadores no-linealesentre espacios de Banach a traves de operadores o de espacios conciertas propiedades.

Nosotros hemos estudiado distintas factorizaciones para polinomiosdebilmente continuos, ası como para polinomios nucleares y poli-nomios integrales.

Mas recientemente, para aplicaciones de clase C 1 con diferencialcompacta (o debilmente compacta) hemos obtenido factorizacionesdel tipo f = g T , donde T es un operador compacto.

Utilizando lo anterior, hemos obtenido relaciones entre propiedadesde compacidad de una funcion y de su derivada, tanto en el casodiferenciable como en el holomorfo.

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Hemos considerado tambien el problema de la linealizacion, a travesde una funcion universal, de diversas clases de funciones (tales comopolinomios o funciones holomorfas), profundizando en la construc-cion de Carando y Zalduendo.

Hemos estudiado, en particular, las relaciones entre linealizacion ycompacidad.

Trabajan en este tema: R. Cilia, J. Gutierrez, J. A. Jaramillo,J. L. Gonzalez Llavona y A. Prieto

Con la colaboracion de: Y. Benyamini (Israel), F. Bombal (UCM),J. F. Castillo (UEX), M. Fernandez (Mexico), R. Garcıa (UEX),S. Lassalle (Argentina), I. Villanueva (UCM) e I. Zalduendo(Argentina).

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3.2. Desigualdades polinomiales y geometrıa de losespacios de polinomios

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Las estimaciones optimas de la norma de las derivadas de un poli-nomio real en una variable son conocidas desde los anos 10 graciasa los hermanos Markov. Asimismo, Bernstein obtuvo estimacionespuntuales de la primera derivada de un polinomio en el interior de uncierto intervalo. Estas desigualdades polinomiales fueron extendidasa derivadas superiores por Duffin y Schaeffer en los anos 30.

En nuestro grupo hemos estudiado la forma de extender estas esti-maciones al caso de polinomios definidos entre espacios de Banachreales.

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Las estimaciones optimas de la norma de las derivadas de un poli-nomio real en una variable son conocidas desde los anos 10 graciasa los hermanos Markov. Asimismo, Bernstein obtuvo estimacionespuntuales de la primera derivada de un polinomio en el interior de uncierto intervalo. Estas desigualdades polinomiales fueron extendidasa derivadas superiores por Duffin y Schaeffer en los anos 30.

En nuestro grupo hemos estudiado la forma de extender estas esti-maciones al caso de polinomios definidos entre espacios de Banachreales.

Jesus A. Jaramillo

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Tambien hemos desarrollado una teorıa unificadora de la complejifi-cacion, para trasladar al caso real estimaciones conocidas solamenteen el caso complejo.

Por otra parte, en el caso de espacios de Banach con base incondi-cional hemos obtenido comparaciones de la norma-supremo de unpolinomio con la norma-supremo del modulo del polinomio. Estasestimaciones proporcionan adicionalmente valores exactos de cons-tantes incondicionales.

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Tambien hemos desarrollado una teorıa unificadora de la complejifi-cacion, para trasladar al caso real estimaciones conocidas solamenteen el caso complejo.

Por otra parte, en el caso de espacios de Banach con base incondi-cional hemos obtenido comparaciones de la norma-supremo de unpolinomio con la norma-supremo del modulo del polinomio. Estasestimaciones proporcionan adicionalmente valores exactos de cons-tantes incondicionales.

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Otro tipo de desigualdades polinomiales tiene que ver con la llamadaconstante de polarizacion de orden n de un espacio de Banach X ,que es la menor constante cn(X ) que satisface

‖L1‖ · · · ‖Ln‖ ≤ cn(X )‖L1 · · · Ln‖

para todos los funcionales lineales y continuos L1, . . . , Ln sobre X .

Estas constantes se han estudiado mucho en los ultimos anos. Suvalor exacto es conocido en el caso complejo, pero no en el casoreal. Usando tecnicas de complejificacion hemos demostrado quecn(Rn) ≤ 2(n−2)/2nn/2, y esta es la mejor estimacion conocida.

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Otro tipo de desigualdades polinomiales tiene que ver con la llamadaconstante de polarizacion de orden n de un espacio de Banach X ,que es la menor constante cn(X ) que satisface

‖L1‖ · · · ‖Ln‖ ≤ cn(X )‖L1 · · · Ln‖

para todos los funcionales lineales y continuos L1, . . . , Ln sobre X .

Estas constantes se han estudiado mucho en los ultimos anos. Suvalor exacto es conocido en el caso complejo, pero no en el casoreal. Usando tecnicas de complejificacion hemos demostrado quecn(Rn) ≤ 2(n−2)/2nn/2, y esta es la mejor estimacion conocida.

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Otra cuestion interesante relacionada con lo anterior es la estructuraextremal de los espacios de polinomios. En general, la descripcion ex-plıcita de los puntos extremales puede ser demasiado difıcil. Sin em-bargo, es un problema viable para el caso de espacios de polinomiosde dimension baja. El estudio de la geometrıa de estos espacios esutil para obtener desigualdades polinomiales.

Trabajan en este tema: J. Ferrera, G. Munoz y J. Seoane.

Con la colaboracion de: B. Grecu (Irlanda del Norte), G. Revesz(Hungrıa) y Y. Sarantopoulos (Grecia).

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3.3. El problema de momentos de Hausdorff multilineal

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El problema de momentos clasico, expresado en terminos modernos,consiste en encontrar una medida de Borel regular µ en un intervaloI de R, tal que

tndµ(t)

donde (µn) es una sucesion numerica dada.

Fijada la sucesion (µn), podemos considerar el funcional lineal demomentos Lµ asociado, definido sobre el espacio de polinomios porLµ(

∑pntn) =

∑pnµn. Es claro entonces que el problema clasico

de momentos esta relacionado con la integrabilidad de Lµ, es decir,encontrar una medida µ tal que

Lµ(tn) =

tndµ(t).

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El problema de momentos clasico, expresado en terminos modernos,consiste en encontrar una medida de Borel regular µ en un intervaloI de R, tal que

tndµ(t)

donde (µn) es una sucesion numerica dada.

Fijada la sucesion (µn), podemos considerar el funcional lineal demomentos Lµ asociado, definido sobre el espacio de polinomios porLµ(

∑pntn) =

∑pnµn. Es claro entonces que el problema clasico

de momentos esta relacionado con la integrabilidad de Lµ, es decir,encontrar una medida µ tal que

Lµ(tn) =

tndµ(t).

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La extension al caso de varias variables fue resuelta por Hildebrant-Shoenberg y Haviland en los anos 30. Mas tarde Morse y Transue,continuando ideas de Frechet, estudiaron propiedades de integrabil-idad de funcionales bilineales con ayuda de la nocion de bi-medida.

En nuestro grupo hemos investigado varias extensiones naturales delproblema de momentos de Hausdorff al caso multilineal.

Hemos considerado el funcional n-lineal de momentos asociado auna sucesion de multimomentos y hemos estudiado sus distintaspropiedades de integrabilidad. Mas concretamente, cuando se puederepresentar por una medida en [0, 1], o por una medida en [0, 1]n.

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Tambien serıa interesante establecer una conexion entre el problemade momentos multilineal y la representacion de operadores multili-neales por polimedidas, estudiada por Bombal y Villanueva.

Trabajan en este tema: J. L. Gonzalez Llavona y P. Linares.

Con la colaboracion de: A. Ibort (UC3M).

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3.4. Lineabilidad e Hiperciclicidad

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Los problemas de lineabilidad consisten en estudiar la posibilidad deinsertar grandes estructuras algebraicas (sobre todo, espacios vec-toriales o tambien algebras) en conjuntos de funciones que no sonespacios vectoriales y que tienen un comportamiento en principiomuy alejado de lo lineal.

Por ejemplo, Guraryi (1966) demostro que el conjunto de las fun-ciones continuas en [0, 1] que no son diferenciables en ningun punto,contiene un espacio vectorial de dimension el continuo.

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Los problemas de lineabilidad consisten en estudiar la posibilidad deinsertar grandes estructuras algebraicas (sobre todo, espacios vec-toriales o tambien algebras) en conjuntos de funciones que no sonespacios vectoriales y que tienen un comportamiento en principiomuy alejado de lo lineal.

Por ejemplo, Guraryi (1966) demostro que el conjunto de las fun-ciones continuas en [0, 1] que no son diferenciables en ningun punto,contiene un espacio vectorial de dimension el continuo.

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Hay un interes creciente por este tipo de problemas, especialmentepara demostrar que determinadas propiedades anomalas y aparente-mente excepcionales verificadas por algunas funciones, son verifi-cadas en realidad por espacios vectoriales de funciones de dimensionmaxima.

En nuestro grupo hemos estudiado en particular la lineabilidad dedistintas clases de funciones reales, como las siempre sobreyectivas,las Q-lineales o las que tienen grafica densa, ası como tambien lalineabilidad de ciertos espacios de medidas.

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Hay un interes creciente por este tipo de problemas, especialmentepara demostrar que determinadas propiedades anomalas y aparente-mente excepcionales verificadas por algunas funciones, son verifi-cadas en realidad por espacios vectoriales de funciones de dimensionmaxima.

En nuestro grupo hemos estudiado en particular la lineabilidad dedistintas clases de funciones reales, como las siempre sobreyectivas,las Q-lineales o las que tienen grafica densa, ası como tambien lalineabilidad de ciertos espacios de medidas.

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Este tipo de problemas presenta tambien una conexion con la teorıade hiperciclicidad y el caos lineal, que es un tema muy activo ycon gran interes. Nosotros hemos realizado algunas aportaciones re-cientes en esta lınea, estudiando las potencias de operadores hipercıcli-cos clasicos en espacios de funciones enteras.

Trabajan en este tema: J. B. Seoane, G. Munoz y D. Azagra.

Con la colaboracion de: A. Aizpuru (UCA), R. Aron (USA), J.A. Conejero (UPV), F. J. Garcıa Pacheco (UCA), N. Palmberg(Finlandia), C. Perez Eslava (UCA), D. Perez Garcıa (UCM), A.Peris (UPV), D. Puglisi (USA), F. Rambla (UCA) y V. Sanchez(UCM).

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Congreso bienal

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Departamentode Análisis

Matemático

The conference programme includes a number of plenary talks and severalparallel sessions of 20-minute talkspreferably related to the following topics: Geometry of Banach spaces, nonlinear analysis, differentiability, polynomials and multilinear mappings in Banach spaces, holomorphy, lineability and spaceability, hypercyclicity and dynamical systems.

Organizing Committee:J.A. Jaramillo, G. A. Muñoz, A. Prieto and J. B. Seoane

http://www.mat.ucm.es/confexxconfe_2007@mat.ucm.es

J. C. Álvarez-Paiva (Université des Sciences et Technologies de Lille, France)L. Ambrosio (Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy)R. M. Aron (Kent State University, USA)R. Deville (Université de Bordeaux, France)A. Fathi (École Normale Supérieure de Lyon, France)P. Galindo (Universidad de Valencia, Spain)D. García (Universidad de Valencia, Spain)G. Godefroy (Université Paris 6, France)A. Ibort (Universidad Carlos III, Spain)J. Orihuela (Universidad de Murcia, Spain)A. Peris (Universidad Politécnica de Valencia, Spain) R. Ryan (National University of Ireland Galway, Ireland)J. B. Seoane Sepúlveda (Universidad Complutense de Madrid, Spain)I. Zalduendo (Universidad Torcuato di Tella, Buenos Aires, Argentina)

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Congreso bienal

Conference on Function Theory on Infinite-dimensional Spaces, XI.

Tendra lugar en Madrid del 14 al 17 de Diciembre de 2009, en laFacultad de Ciencias Matematicas de la Universidad Complutense.

Esta edicion tendra caracter de homenaje al profesor Jose Luis GonzalezLlavona, con motivo de su 60 aniversario.

http://www.mat.ucm.es/ confexx/

Estais todos invitados a participar!

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An alisis funcional no-lineal y geom etrico...tal que jf gj

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