0 Prob3

Modelos EstocásticosModelos Estocásticos

Distribuciones de Distribuciones de Probabilidad y Densidades Probabilidad y Densidades

de Probabilidadde Probabilidad

SESIÓN 03SESIÓN 03

Variable Aleatoria 1Variable Aleatoria 1• Definición 3.1: Si es un espacio de muestra

con una medida de probabilidad y x es una función con valor real definida con respecto a los elementos de , entonces x se denomina variable aleatoria: x:

• Definición 3.2: Si x es una variable aleatoria discreta, la función dada por f(x) = P(x = x) para cada x contenida en el intervalo de x se denomina función de probabilidad, o distribución de probabilidad, de x

Variable Aleatoria 2Variable Aleatoria 2• Teorema 3.1: y son - Álgebra

x es una función medible en , ssi B , tenemos que:

x-1 (B) x-1 (B) = { : x() B}

Variable Aleatoria 3Variable Aleatoria 3• Teorema 3.1: Una función puede fungir como la

distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta x sí y solo si sus valores, f(x), cumplen las condiciones

1. f(x) 0 para cada valor contenido en su dominio;

2. x f(x) = 1, donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores contenidos en su dominio

Variable Aleatoria 4Variable Aleatoria 4• Definición 3.3: Si x es una variable aleatoria

discreta, la función dada por

F (x) = P(x x) = t<x f(x) = 1,

para - < x < donde f(t) es el valor de la distribución de

probabilidad de x en t, recibe el nombre de función de distribución, o distribución acumulativa de x

Variable Aleatoria 5Variable Aleatoria 5• Teorema 3.2: Los valores, F(x), de la función de

distribución de una variable aleatoria discreta x cumplen las condiciones

1. F(-) = 0;

2. F() = 1;

3. Si a < b, entonces F(a) F(b) para dos números reales culaesquiera a y b

• Teorema 3.3: Si el intervalo d una variable aleatoria x consta de los valores x1 < x2 x3 < .. < xn, entonces f(x1) = F (x1) y

f (xi) = F(xi) – F(xi-1), para i = 2, 3, …, n

Función de Densidad 1Función de Densidad 1• Definición 3.4: Una función con valores f(x), definida

con respecto al conjunto d todos los números reales, se denomina función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua x si y solo si

para cualquier constante real a y b con a b• Teorema 3.4: Si x es una variable aleatoria continua, y

a y b son dos constantes reales con a b, entonces

P(a x b) = P(a x < b) = P(a < x b) = P(a < x < b)

b

a

dxxfbaP )()( x

Función de Densidad 2Función de Densidad 2

• Teorema 3.5: Una función puede fungir como función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua x si sus valores, f(x), satisfacen las condiciones

1. f(x) 0, para - < x < 2.

1)( dxxf

La integral definida de la función

de densidad coincide con la

probabilidad de los mismos: la

probabilidad de un intervalo es el

área bajo la función de densidad.

Función de Densidad 3Función de Densidad 3• Definición 3.5: Si x es una variable aleatoria

continua, la función dada por

para - < x < donde f(t) es le valor de la función de densidad de probabilidad de x en t, se denomina función de distribución, o distribución acumulativa, de x

Fx (t) = P{: x() t}, t

x

dttfxPxF )()()( x

Función de Densidad 4Función de Densidad 4

• Teorema 3.6: Si f(x) y F(x) son, respectivamente, valores de la densidad de probabilidad y la función de distribución de x en x, entonces:

1. 0 F(t) 1, t 2. P(a x b) = F(b) – F(a)

3. Si a < b F(a) F(b)

4.

para dos constantes reales cualesquiera a y b con a b y donde existe la derivada

dx

xdFxf

)()(

1)(y 0)(

bFlímaFlímaa

Distribuciones Multivariadas 1Distribuciones Multivariadas 1

• Definición 3.6: Si x y y son variables aleatorias discretas, la función dada por

f (x,y) = P(x = x, y = y) para cada pareja de valores (x,y) contenida en el rango de x y y se denomina función de probabilidad conjunta, o distribución de probabilidad conjunta, de x y y

Distribuciones Multivariadas 2Distribuciones Multivariadas 2

• Teorema 3.7: Una función bivariada puede fungir como la distribución de probabilidad conjunta de una pareja de variables aleatorias discretas x y y si y solo si sus valores, f(x,y), cumplen las condiciones:

1. f(x,y) 0 para cada pareja de valores (x,y) contenida en su dominio

2. xy f(x,y) = 1, donde la sumatoria doble se extiende sobre tods las posibles parejas de valores (x,y) contenidas en su dominio

Distribuciones Multivariadas 3Distribuciones Multivariadas 3

• Definición 3.7: Si x y y son variables aleatorias discretas, la función dada por

F(x,y) = P(x x,y y) = sxty f(s,t)

para - < x < ; - < y < donde f(s,t) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de x y y en (s,t), se denomina función de distribución conjunta, o distribución acumulativa conjunta, de x y y

Distribuciones Multivariadas 4Distribuciones Multivariadas 4

• Definición 3.8: Una función bivariada con valores f(x,y), definida sobre el plano xy, recibe el nombre de función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas x y y si solo si

P[(x,y)] A = Af(x,y)dxdy

para una región A cualquiera del plano xy

Distribuciones Multivariadas 5Distribuciones Multivariadas 5

• Teorema 3.8: Una función bivariada puede servir como función de densidad de probabilidad conjunta de una pareja de variables aleatorias continuas x y y si sus valores, f(x,y), satisfacen las condiciones

1. f(x,y) 0, para - < x < , - < y < ;2. f(x,y)dxdy = 1

Distribuciones Multivariadas 6Distribuciones Multivariadas 6

• Teorema 3.8: Decimos que una función de distribución es continua si f(x,y) t.q. f(x,y) 0, y

Entonces se puede obtener la función de densidad a partir de la distribución

y x

dsdttsfyxF ),(),(

yx

yxFyxf

),(

),(2

Distribuciones Multivariadas 7Distribuciones Multivariadas 7

• Definición 3.9: Si x y y son variables aleatorias continuas, la función dada por

para - < x < , - < y < ;donde f(s,t) es el valor de la densidad de probabilidad conjunta de x y y en (s,t), se llama función de distribución conjunta de x y y

y x

dsdttsfyxPyxF ),(),(),( yx

Distribuciones Marginales 1Distribuciones Marginales 1• Definición 3.10: Si x y y son variables aleatorias

discretas y f(x,y) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta en (x,y), la función dada por

g(x) = yf(x,y)para cada x contenida en el intervalo de x, se denomina distribución marginal de x. En forma respectiva, la función dada por

h(y) = xf(x,y)para cada y contenida en el intervalo de y, recibe el nombre de distribución marginal de y

Distribuciones Marginales 2Distribuciones Marginales 2

• Definición 3.11: Si x y y son variables aleatorias continuas y f(x,y) es el valor de su densidad de probabilidad conjunta en (x,y), la función dada por

para - < x < ,

se denomina densidad marginal de x. En forma respectiva, la función dada por

para - < x < ,

recibe el nombre de densidad marginal de y

dyyxfxg ),()(

dxyxfyh ),()(

Distribuciones Marginales 3Distribuciones Marginales 3

• Definición 3.12: Si f(x,y) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas x y y en (x,y) y h(y) es el valor de distribución marginal de y en y, la función dada por

h(y) 0

para cada x contenida en el rango de x, se denomina distribución condicional de x dada y = y. En forma respectiva, si g(x) es el valor de la distribución marginal de x en x, la función dada por

g(x) 0

para cada y contenida en el rango de y, se denomina distribución condicional de y dada x = x.

)(

),()(

yh

yxfyxf

)(

),()(

xg

yxfxyw

Distribuciones Marginales 4Distribuciones Marginales 4

• Definición 3.13: Si f(x,y) es el valor de la densidad conjunta de las variables aleatorias discretas x y y en (x,y) y h(y) es el valor de la densidad marginal de y en y, la función dada por

h(y) 0

para - < x < , se denomina densidad condicional de x dada y = y. En forma respectiva, si g(x) es el valor de la densidad marginal de x en x, la función dada por

g(x) 0

para - < x < , se denomina distribución condicional de y dada x = x.

)(

),()(

yh

yxfyxf

)(

),()(

xg

yxfxyw

Distribuciones Marginales 5Distribuciones Marginales 5

• Definición 3.14: Si f(x1, x2,…xn) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de las n variables aleatorias discretas x1, x2, …xn en (x1,x2,..xn) y fi(xi) es el valor de la distribución marginal de xi para i = 1,2,…n, estas variables aleatorias sonindependientes si y solo si

f(x1, x2,…xn) = f1(x1)* f2(x2)* … fn(xn)

para todos los valores (x1, x2,…xn) contenidos en su rango