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Unidad 3: VectoresEjercicios Propuestos

I. En los siguientes ejercicios seleccione la alternativacorrecta

1) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la ecuación vectorial de la rectaque pasa por los puntos (2,1) y (7,-2)?

A) 2,1 5,1

B) 2,1 5,3

C) 7, 2 2,1

D) 2,1 7, 2

E) 2,1 5,3

2) La ecuación cartesiana de la recta de ecuación vectorial V(t) = (3,-1) + t(4,-2)es igual a

A) x – 2y + 1 = 0B) 7x – 3y – 4 = 0C) x + 2y – 1 = 0D) x – 2y – 5

x + 2y – 5 = 0

3) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la ecuación vectorial de la recta

cuya ecuación cartesiana es 2x – y + 3 = 0?

A) 1,2 0,3

B) 1, 1 2,3

C) 1, 1 1,2

D) 0,3 (1,2)

E) 1,2 0, 1

4) ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la recta de ecuación vectorialV(t) = (2 – t, 3 + 2t)?

A) (1 – t, 3 – 2t)B) (5 – 3t, 3 + 6t)C) (2 + t, 3 + 3t)D) (2 + 2t, 3 + t)E) (2- 4t, 3 - 12t)

5) ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta de ecuación6x – 3y + 40 = 0?

A) (1,-1) + t(-2,1)B) (3,1) + t(-1,-2)C) (3,-1) + t(1,-2)D) (0,0) + t(2,1)E) (1,2) + t(-2,-1)

6) ¿Para qué valor de t, el punto A(13,-7) pertenece a la recta de ecuaciónV(t) = (9,-5) + t(2,-1)?

B) 1C) -1D) 2E) -2

7) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales corresponde a la ecuación de larecta x + 2y – 1 = 0?

A) 3 2 , 1 –

B) 4 , 1 – 2

C) 3 4 , 4 2

D) 3 2 , 1 –

E) 1 – 2 ,

8) Dado el plano P: 3x + 2y – 5z – 1 = 0 , la ecuación del plano paralelo a P y quepasa por el puno (1,1,3) es

A) -6x + 4y + 10z + 20 = 0B) 2x + 3y + z – 8 = 0C) -6x – 4y + 10z – 20 = 0D) 2x – 3y + 2z – 5 = 0E) 2x + y – z = 0

9) Respecto a la recta de ecuación (-5,1) + t(1,4) se puede afirmar que:

I) El punto (-4,5) no pertenece a la recta

II) El punto (0,0) no pertenece a la recta

III) Tiene la misma dirección que la recta de ecuación y – 4x = 2

IV) Cuando t = - 1, el punto de la recta es (-6,-3)

A) Solo I y II

B) Solo III y IV

Solo I y IVD) Solo II, III y IV

E) Todas

10) Las ecuaciones que definen una recta en el plano son x – 3y + 2z + 5 = 0;2x + y – 3z – 4 = 0. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la rectapenetra al plano XZ?

A) (-9,0,-2)

B) (-1,0,-2)

C) (-1,-2,0)

D) (-2,-1,0)

E) (0,-9,-2)

11) De las siguientes ecuaciones, la única que representa un plano paralelo al

plano P: (1,-2,1) + (0,1,0) + (2,1,-1) es

A) (2,-1,2) + (0,2,0) + (2,-1,1)

B) (1,-1,1) + (0,1,0) + (2,-1,-1)

C) (-1,2,-1) + (0,4,0) + (4,4,-2)

D) (1,2,1) + (0,-5,0) + (6,3,3)

E) (2,-4,2) + (0,-2,0) + (-4,-2,2)

12) Para que los planos P1: 6x + my + 4z + 9 = 0 y P2: 9x – 3y + nz – 1 = 0 sean

paralelos, m y n deben ser respectivamente

A) 2 y 6

B) -2 y 6

2 y -6

D) 3 y 12

E) -3 y -12

13) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales representa la ecuación de larecta que pasa por los puntos (3,-1,2) y (2,1,1)?

I) r( ) 3, 1,2 2,1,1

II) r( ) 3, 1,2 1, 2,1

III) 1 1

r( ) 2, 1, 1 ,1,2 2

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y III

I, II y III

14) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación vectorial

r( ) 1,3, 2 2,3, 1 ?

I) (-5,-3,0)II) (-1,3,-2)

3 11, ,

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

15) La ecuación del plano que contiene los puntos (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) es

A) 1,0,0 0,1,0 0,0,1

B) 0,1,0 1,0, 1 0,1, 1

C) 0,0,1 1, 1,0 0,1, 1

D) 1,0,0 1, 1,0 1,0, 1

E) 0,0,1 1, 1,0 0,1, 1

16) La pendiente de la recta de ecuación vectorial r 2,1 1, 3 es

D) 1E) 3

Para los ejercicios 17, 18 y 19 considere los

datos de la figura

17) Una de las ecuaciones vectoriales de la recta que contiene los puntos A y B es

A) 4,2,0 2,2,5

B) 2,4,5 2, 4, 3

C) 2,5,4 2,3,4

D) 2,4,5 2,3,4

E) 4,2,0 2, 3, 4

18) ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta que contiene los puntos A yB?

A) (6,-4,1)B) (-2,-4,-3)C) (4,0,2)

2 11, ,

E) (0,0,2)

19) La ecuación vectorial de un plano que contiene a los puntos A, B y C es

A) 4,2,0 2,4,3 4,2,6

B) 2,4,5 2,4, 3 4,2,6

C) 0,2,8 2,4,5 4,0,2

D) 2,4,5 2,4,3 2,2, 3

E) 8, 4, 8 4, 8,6 4,2,6

20) La ecuación simétrica de la recta de ecuación vectorial 2,1,3 3, 1,3 es

x 2 1 y z 33 1 3

x 2 y 1 z 3

2 x 1 y z 3

x 2 y 1 z 3

x 2 1 y 3z 1

II. Para cada una de las siguientes aseveraciones responda sies verdadera (V) o falsa (F).

1. (_____) En el plano, la ecuación x y 2 representa un plano

2. (_____) En el espacio, la ecuación y = 3 representa una plano paralela al planoYZ

3. (_____) 2x + 3y + z = 1;x – y – z = 1; representa la ecuación de una recta en elespacio

4. (_____) La ecuación simétrica de un plano esx y z

2 1, entonces

podemos decir que su vector dirección es (-1,2,1) y el vector posición es(-2,-3,0)

5. (_____) En la ecuación vectorial V(t) = (3t, 1+3t,-2+5t) , el vector dirección es(3,3,5)

(_____) En ℝ³, x y 3 2 representa un plano paralelo al eje y

7. (_____) En ℝ³, z = 5 representa un plano paralelo al plano XY

8. (_____) El punto (2,-6) pertenece a la ecuación vectorial V(t) = (-2 + 3t , 6 – t)

9. (_____) Las rectas V1(t) = (3 + 2t, 5 + 2t) y V2(t) = (5 - 4t, - 2 - 4t) sonperpendiculares.

10. (_____) La ecuación vectorial de la recta que contiene los puntos (-1,3,2) y

(2,-3,4) es r( ) 1,3,2 2, 3,4

11. (_____) La ecuación cartesiana 2x + 3y – z = 3 representa una recta en elespacio

12. (_____) La recta de ecuación vectorial r( ) 1, 3 1,5 contiene el punto

13. (_____) La pendiente de recta de ecuación r( ) 2, 2 16, 8 es m = -2

(_____) Si la ecuación cartesiana de una recta es y = -2x + 3, entonces su

ecuación vectorial es r( ) 0,3 1, 2

15. (_____) En el espacio, dos rectas que no se intersectan son siempre paralelas

16. (_____) En ℝ2 x =5 representa un recta paralela al eje x

17. (_____) En ℝ3 la recta determinada por la intersección de los planos2x + 3y + z = 2 y x – 2y + 2z = 3 no intersecta al eje z

18. (_____) El módulo del vector u(-3,-4) es 5

19. (_____) Si u 8,15 , entonces

20. (_____) El vector unitario es aquel vector que tiene magnitud 1

21. (_____) En el espacio siempre dos planos determinan una recta

22. (_____)

v y v son dos vectores que tienen direcciones opuestas

23. (_____) El módulo del vector a 2, 5, 4 es 5

24. (_____) Si a 2,1 y b 3,4 , entonces a b 6,4

Para las siguientes preguntas considere la figura adjunta

la que representa un prisma cuya base es un hexágono

regular.

25. (_____) El plano que contiene a la cara ABHG es paralelo al plano que contienela cara EDJK del prisma

26. (_____) CJ LA

27. (_____) HJ HC IC

28. (_____) BH BC 0

29. (_____) CI CD CJ

30. (_____) BC CD DE

III. Resuelva los siguientes ejercicios

Para las preguntas 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 considere lasiguiente información:

El plano ABC de la figura tiene ecuación

8x + 4y + 3z = 24

¿En qué punto el plano ABC intersecta al eje x?

2. Si el plano se traslada según el vector (-3,5,2), entonces ¿a qué punto se trasladala intersección con el eje z?

3. ¿En qué punto la recta de ecuación(x,y,z) = (1,2,1) + k(3,2,1) intersecta al plano ABC? .

4. Determine la ecuación de la recta que contiene los vértices A y B del triángulo.

5. Determine la ecuación de la recta que contiene el lado BC del triángulo.

6. Determine la ecuación del plano que contiene los puntos A, B y C

7. Determine el perímetro del triángulo ABC.

8. ¿Cuál es la clasificación que recibe el triángulo de vértices A(4,2,1); B(6,2,1) y

C 5, 2 3,1 ?

9. Si a 3,2 , b 1,3 , c 0,1 , determine 2a b c .

10. Si a 2, 3,6 y b 1,2,2 , determine a b .

11. Determine las ecuaciones parametricas de la recta de ecuación vectorialr(t) = (1 + 3t, -2 + t,2 – t).

12. Determine la ecuación vectorial de la recta paralela a la recta de ecuación

r 2 5 2 y que pasa por el punto (3,-4).

13. Determine el perímetro de un triángulo de vértices los puntos A(1,2,3), B(1,0,-2) yC(5,1,-1).

14. Si v (1,4,2) y u (1,-3,4) entonces ¿cuál es el escalar necesario para que se

cumpla que v u 4,9,10 ?

Para los ejercicios 15, 16 y 17 considere la siguiente

información:

Se tiene la recta de ecuación r 3 2 1 3

15. ¿En qué punto la recta intersecta el plano XZ?.

16. ¿Contiene esta recta el origen? . Justifique

17. Determine la ecuación de otra recta que contenga el origen y sea paralela a la rectadada.

La ecuación vectorial de una recta en el espacio es V(t) = (1 –2t ,1 – t , -2 + t).¿Cuál será su forma simétrica?

19. Un plano intersecta a los ejes coordenados en los puntos P(0,1,0) ; Q(2,0,0) yR(0,0,4). ¿Cuál será su ecuación vectorial, tomando Q como posición?

20. Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (-4,3).

21. Determine la ecuación cartesiana de la recta de ecuación

r 3,2,4 1, 2, 5 .

22. Determine la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto (2,1) y esparalela a la recta de ecuación vectorial r(t) = (t – 1, 2t+4).

¿Tres puntos en el espacio determinan un plano? Justifique.

24. ¿La intersección de dos planos siempre generará una recta?.

25. Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta de ecuaciónr(t) = (1,2,3) – t(-2,-4-1).

26. Encuentre la ecuación vectorial de la recta perpendicular a la recta2x – 6y + 2 = 0, que intersecta al eje y en el punto (0,-3).

27. Determine si el punto P 7, 4, 3 pertenece a la recta de ecuación

r(t) = (-1,2,3) + t(-2,-2,-2)

28. Determine la ecuación vectorial de la recta que contiene el punto (2,-1) y esparalela a la recta que pasa por los puntos (2,0) y (1,3).

29. Si la ecuación vectorial de una recta es el espacio es r(t) = (1 + 3t, 2+t, -2+t),determine su vector dirección, vector posición y escríbala en forma paramétrica.

En el plano cartesiano, la ecuación x = 2 representa una recta paralela al eje y quecontiene al punto (2,0). ¿Cuál será la ecuación vectorial de ésta recta?

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