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Unidad 3: VectoresEjercicios Propuestos
I. En los siguientes ejercicios seleccione la alternativacorrecta
1) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la ecuación vectorial de la rectaque pasa por los puntos (2,1) y (7,-2)?
A) 2,1 5,1
B) 2,1 5,3
C) 7, 2 2,1
D) 2,1 7, 2
E) 2,1 5,3
2) La ecuación cartesiana de la recta de ecuación vectorial V(t) = (3,-1) + t(4,-2)es igual a
A) x – 2y + 1 = 0B) 7x – 3y – 4 = 0C) x + 2y – 1 = 0D) x – 2y – 5
E)
x + 2y – 5 = 0
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3) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la ecuación vectorial de la recta
cuya ecuación cartesiana es 2x – y + 3 = 0?
A) 1,2 0,3
B) 1, 1 2,3
C) 1, 1 1,2
D) 0,3 (1,2)
E) 1,2 0, 1
4) ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la recta de ecuación vectorialV(t) = (2 – t, 3 + 2t)?
A) (1 – t, 3 – 2t)B) (5 – 3t, 3 + 6t)C) (2 + t, 3 + 3t)D) (2 + 2t, 3 + t)E) (2- 4t, 3 - 12t)
5) ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta de ecuación6x – 3y + 40 = 0?
A) (1,-1) + t(-2,1)B) (3,1) + t(-1,-2)C) (3,-1) + t(1,-2)D) (0,0) + t(2,1)E) (1,2) + t(-2,-1)
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6) ¿Para qué valor de t, el punto A(13,-7) pertenece a la recta de ecuaciónV(t) = (9,-5) + t(2,-1)?
A)
1
2
B) 1C) -1D) 2E) -2
7) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales corresponde a la ecuación de larecta x + 2y – 1 = 0?
A) 3 2 , 1 –
B) 4 , 1 – 2
C) 3 4 , 4 2
D) 3 2 , 1 –
E) 1 – 2 ,
8) Dado el plano P: 3x + 2y – 5z – 1 = 0 , la ecuación del plano paralelo a P y quepasa por el puno (1,1,3) es
A) -6x + 4y + 10z + 20 = 0B) 2x + 3y + z – 8 = 0C) -6x – 4y + 10z – 20 = 0D) 2x – 3y + 2z – 5 = 0E) 2x + y – z = 0
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9) Respecto a la recta de ecuación (-5,1) + t(1,4) se puede afirmar que:
I) El punto (-4,5) no pertenece a la recta
II) El punto (0,0) no pertenece a la recta
III) Tiene la misma dirección que la recta de ecuación y – 4x = 2
IV) Cuando t = - 1, el punto de la recta es (-6,-3)
A) Solo I y II
B) Solo III y IV
C)
Solo I y IVD) Solo II, III y IV
E) Todas
10) Las ecuaciones que definen una recta en el plano son x – 3y + 2z + 5 = 0;2x + y – 3z – 4 = 0. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la rectapenetra al plano XZ?
A) (-9,0,-2)
B) (-1,0,-2)
C) (-1,-2,0)
D) (-2,-1,0)
E) (0,-9,-2)
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11) De las siguientes ecuaciones, la única que representa un plano paralelo al
plano P: (1,-2,1) + (0,1,0) + (2,1,-1) es
A) (2,-1,2) + (0,2,0) + (2,-1,1)
B) (1,-1,1) + (0,1,0) + (2,-1,-1)
C) (-1,2,-1) + (0,4,0) + (4,4,-2)
D) (1,2,1) + (0,-5,0) + (6,3,3)
E) (2,-4,2) + (0,-2,0) + (-4,-2,2)
12) Para que los planos P1: 6x + my + 4z + 9 = 0 y P2: 9x – 3y + nz – 1 = 0 sean
paralelos, m y n deben ser respectivamente
A) 2 y 6
B) -2 y 6
C)
2 y -6
D) 3 y 12
E) -3 y -12
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13) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales representa la ecuación de larecta que pasa por los puntos (3,-1,2) y (2,1,1)?
I) r( ) 3, 1,2 2,1,1
II) r( ) 3, 1,2 1, 2,1
III) 1 1
r( ) 2, 1, 1 ,1,2 2
A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y III
E)
I, II y III
14) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación vectorial
r( ) 1,3, 2 2,3, 1 ?
I) (-5,-3,0)II) (-1,3,-2)
III)
3 11, ,
2 2
A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III
15) La ecuación del plano que contiene los puntos (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) es
A) 1,0,0 0,1,0 0,0,1
B) 0,1,0 1,0, 1 0,1, 1
C) 0,0,1 1, 1,0 0,1, 1
D) 1,0,0 1, 1,0 1,0, 1
E) 0,0,1 1, 1,0 0,1, 1
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16) La pendiente de la recta de ecuación vectorial r 2,1 1, 3 es
A)
3
B)
1
2
C)
1
3
D) 1E) 3
Para los ejercicios 17, 18 y 19 considere los
datos de la figura
17) Una de las ecuaciones vectoriales de la recta que contiene los puntos A y B es
A) 4,2,0 2,2,5
B) 2,4,5 2, 4, 3
C) 2,5,4 2,3,4
D) 2,4,5 2,3,4
E) 4,2,0 2, 3, 4
18) ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta que contiene los puntos A yB?
A) (6,-4,1)B) (-2,-4,-3)C) (4,0,2)
D)
2 11, ,
3 6
E) (0,0,2)
Y
Z
X
2
4
8
4
A
22
C
B
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19) La ecuación vectorial de un plano que contiene a los puntos A, B y C es
A) 4,2,0 2,4,3 4,2,6
B) 2,4,5 2,4, 3 4,2,6
C) 0,2,8 2,4,5 4,0,2
D) 2,4,5 2,4,3 2,2, 3
E) 8, 4, 8 4, 8,6 4,2,6
20) La ecuación simétrica de la recta de ecuación vectorial 2,1,3 3, 1,3 es
A)
x 2 1 y z 33 1 3
B)
x 2 y 1 z 3
3 1 3
C)
2 x 1 y z 3
3 1 3
D)
x 2 y 1 z 3
3 1 3
E)
x 2 1 y 3z 1
3 1 3
II. Para cada una de las siguientes aseveraciones responda sies verdadera (V) o falsa (F).
1. (_____) En el plano, la ecuación x y 2 representa un plano
2. (_____) En el espacio, la ecuación y = 3 representa una plano paralela al planoYZ
3. (_____) 2x + 3y + z = 1;x – y – z = 1; representa la ecuación de una recta en elespacio
4. (_____) La ecuación simétrica de un plano esx y z
2
1
3
2 1, entonces
podemos decir que su vector dirección es (-1,2,1) y el vector posición es(-2,-3,0)
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5. (_____) En la ecuación vectorial V(t) = (3t, 1+3t,-2+5t) , el vector dirección es(3,3,5)
6.
(_____) En ℝ³, x y 3 2 representa un plano paralelo al eje y
7. (_____) En ℝ³, z = 5 representa un plano paralelo al plano XY
8. (_____) El punto (2,-6) pertenece a la ecuación vectorial V(t) = (-2 + 3t , 6 – t)
9. (_____) Las rectas V1(t) = (3 + 2t, 5 + 2t) y V2(t) = (5 - 4t, - 2 - 4t) sonperpendiculares.
10. (_____) La ecuación vectorial de la recta que contiene los puntos (-1,3,2) y
(2,-3,4) es r( ) 1,3,2 2, 3,4
11. (_____) La ecuación cartesiana 2x + 3y – z = 3 representa una recta en elespacio
12. (_____) La recta de ecuación vectorial r( ) 1, 3 1,5 contiene el punto
(1,5)
13. (_____) La pendiente de recta de ecuación r( ) 2, 2 16, 8 es m = -2
14.
(_____) Si la ecuación cartesiana de una recta es y = -2x + 3, entonces su
ecuación vectorial es r( ) 0,3 1, 2
15. (_____) En el espacio, dos rectas que no se intersectan son siempre paralelas
16. (_____) En ℝ2 x =5 representa un recta paralela al eje x
17. (_____) En ℝ3 la recta determinada por la intersección de los planos2x + 3y + z = 2 y x – 2y + 2z = 3 no intersecta al eje z
18. (_____) El módulo del vector u(-3,-4) es 5
19. (_____) Si u 8,15 , entonces
20. (_____) El vector unitario es aquel vector que tiene magnitud 1
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21. (_____) En el espacio siempre dos planos determinan una recta
22. (_____)
v y v son dos vectores que tienen direcciones opuestas
23. (_____) El módulo del vector a 2, 5, 4 es 5
24. (_____) Si a 2,1 y b 3,4 , entonces a b 6,4
Para las siguientes preguntas considere la figura adjunta
la que representa un prisma cuya base es un hexágono
regular.
25. (_____) El plano que contiene a la cara ABHG es paralelo al plano que contienela cara EDJK del prisma
26. (_____) CJ LA
27. (_____) HJ HC IC
28. (_____) BH BC 0
29. (_____) CI CD CJ
30. (_____) BC CD DE
A
B C
D
EF
G
H I
J
KL
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III. Resuelva los siguientes ejercicios
Para las preguntas 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 considere lasiguiente información:
El plano ABC de la figura tiene ecuación
8x + 4y + 3z = 24
1.
¿En qué punto el plano ABC intersecta al eje x?
2. Si el plano se traslada según el vector (-3,5,2), entonces ¿a qué punto se trasladala intersección con el eje z?
3. ¿En qué punto la recta de ecuación(x,y,z) = (1,2,1) + k(3,2,1) intersecta al plano ABC? .
4. Determine la ecuación de la recta que contiene los vértices A y B del triángulo.
5. Determine la ecuación de la recta que contiene el lado BC del triángulo.
6. Determine la ecuación del plano que contiene los puntos A, B y C
7. Determine el perímetro del triángulo ABC.
8. ¿Cuál es la clasificación que recibe el triángulo de vértices A(4,2,1); B(6,2,1) y
C 5, 2 3,1 ?
9. Si a 3,2 , b 1,3 , c 0,1 , determine 2a b c .
Y
Z
X
A
C
B
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10. Si a 2, 3,6 y b 1,2,2 , determine a b .
11. Determine las ecuaciones parametricas de la recta de ecuación vectorialr(t) = (1 + 3t, -2 + t,2 – t).
12. Determine la ecuación vectorial de la recta paralela a la recta de ecuación
r 2 5 2 y que pasa por el punto (3,-4).
13. Determine el perímetro de un triángulo de vértices los puntos A(1,2,3), B(1,0,-2) yC(5,1,-1).
14. Si v (1,4,2) y u (1,-3,4) entonces ¿cuál es el escalar necesario para que se
cumpla que v u 4,9,10 ?
Para los ejercicios 15, 16 y 17 considere la siguiente
información:
Se tiene la recta de ecuación r 3 2 1 3
15. ¿En qué punto la recta intersecta el plano XZ?.
16. ¿Contiene esta recta el origen? . Justifique
17. Determine la ecuación de otra recta que contenga el origen y sea paralela a la rectadada.
18.
La ecuación vectorial de una recta en el espacio es V(t) = (1 –2t ,1 – t , -2 + t).¿Cuál será su forma simétrica?
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19. Un plano intersecta a los ejes coordenados en los puntos P(0,1,0) ; Q(2,0,0) yR(0,0,4). ¿Cuál será su ecuación vectorial, tomando Q como posición?
20. Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (-4,3).
21. Determine la ecuación cartesiana de la recta de ecuación
r 3,2,4 1, 2, 5 .
22. Determine la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto (2,1) y esparalela a la recta de ecuación vectorial r(t) = (t – 1, 2t+4).
23.
¿Tres puntos en el espacio determinan un plano? Justifique.
24. ¿La intersección de dos planos siempre generará una recta?.
25. Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta de ecuaciónr(t) = (1,2,3) – t(-2,-4-1).
26. Encuentre la ecuación vectorial de la recta perpendicular a la recta2x – 6y + 2 = 0, que intersecta al eje y en el punto (0,-3).
27. Determine si el punto P 7, 4, 3 pertenece a la recta de ecuación
r(t) = (-1,2,3) + t(-2,-2,-2)
28. Determine la ecuación vectorial de la recta que contiene el punto (2,-1) y esparalela a la recta que pasa por los puntos (2,0) y (1,3).
29. Si la ecuación vectorial de una recta es el espacio es r(t) = (1 + 3t, 2+t, -2+t),determine su vector dirección, vector posición y escríbala en forma paramétrica.
30.
En el plano cartesiano, la ecuación x = 2 representa una recta paralela al eje y quecontiene al punto (2,0). ¿Cuál será la ecuación vectorial de ésta recta?