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2.Modelos Actuariales de Seguros BienesMinicurso para el VIII Coloquio Internacional de Estadıstica
“Metodos Estadısticos Aplicados a Finanzas y Gestion de Riesgo”
Norman Giraldo
Escuela de EstadısticaUniversidad Nacional de Colombia
Medellın
Junio 28 - Julio 1, 2011
Junio 28 - Julio 1, 2011 1 /24
Seguros de Bienes
El Ramo de los Seguros de Bienes (Non-Life Insurance), o SegurosGenerales, comprende varios tipos de Seguros que tienen comoobjetivo proteger contra la perdida de un bien material sobre el cualexista un “interes asegurable”. Es decir, que su poseedor sufra unaperdida financiera si el bien se destruye o deteriora.
Ejemplos de ramos: Incendio, Anegacion, Granizo, Terremoto,Transporte de Mercancıa, Vehıculos, Estabilidad, Lucro Cesante.
El ramo de la salud tambien se incluye. Pero no el caso de Seguros deVida y Pensiones.
Junio 28 - Julio 1, 2011 2 /24
Seguros de Bienes
El Ramo de los Seguros de Bienes (Non-Life Insurance), o SegurosGenerales, comprende varios tipos de Seguros que tienen comoobjetivo proteger contra la perdida de un bien material sobre el cualexista un “interes asegurable”. Es decir, que su poseedor sufra unaperdida financiera si el bien se destruye o deteriora.
Ejemplos de ramos: Incendio, Anegacion, Granizo, Terremoto,Transporte de Mercancıa, Vehıculos, Estabilidad, Lucro Cesante.
El ramo de la salud tambien se incluye. Pero no el caso de Seguros deVida y Pensiones.
Junio 28 - Julio 1, 2011 2 /24
Seguros de Bienes
El Ramo de los Seguros de Bienes (Non-Life Insurance), o SegurosGenerales, comprende varios tipos de Seguros que tienen comoobjetivo proteger contra la perdida de un bien material sobre el cualexista un “interes asegurable”. Es decir, que su poseedor sufra unaperdida financiera si el bien se destruye o deteriora.
Ejemplos de ramos: Incendio, Anegacion, Granizo, Terremoto,Transporte de Mercancıa, Vehıculos, Estabilidad, Lucro Cesante.
El ramo de la salud tambien se incluye. Pero no el caso de Seguros deVida y Pensiones.
Junio 28 - Julio 1, 2011 2 /24
Ejemplos de Seguros de Bienes
Un banco podrıa perjudicarse si un bien dado como garantıa en unahipoteca, se incendia y se deteriora, porque esa propiedad es unagarantıa para la deuda.
Los datos de pagos de siniestros en el ramo de incendio son ejemplosde baja frecuencia y alta severidad. Y son similares a algunos deRiesgo Operativo.
Otro ejemplo es el ramo de Vehıculos, con amparos en: perdida porhurto, responsabilidad civil extracontractual (RCE), perdida parcialpor dano (PPD).
PPD es un ejemplo de alta frecuencia y baja severidad.
Junio 28 - Julio 1, 2011 3 /24
Ejemplos de Seguros de Bienes
Un banco podrıa perjudicarse si un bien dado como garantıa en unahipoteca, se incendia y se deteriora, porque esa propiedad es unagarantıa para la deuda.
Los datos de pagos de siniestros en el ramo de incendio son ejemplosde baja frecuencia y alta severidad. Y son similares a algunos deRiesgo Operativo.
Otro ejemplo es el ramo de Vehıculos, con amparos en: perdida porhurto, responsabilidad civil extracontractual (RCE), perdida parcialpor dano (PPD).
PPD es un ejemplo de alta frecuencia y baja severidad.
Junio 28 - Julio 1, 2011 3 /24
Ejemplos de Seguros de Bienes
Un banco podrıa perjudicarse si un bien dado como garantıa en unahipoteca, se incendia y se deteriora, porque esa propiedad es unagarantıa para la deuda.
Los datos de pagos de siniestros en el ramo de incendio son ejemplosde baja frecuencia y alta severidad. Y son similares a algunos deRiesgo Operativo.
Otro ejemplo es el ramo de Vehıculos, con amparos en: perdida porhurto, responsabilidad civil extracontractual (RCE), perdida parcialpor dano (PPD).
PPD es un ejemplo de alta frecuencia y baja severidad.
Junio 28 - Julio 1, 2011 3 /24
Ejemplos de Seguros de Bienes
Un banco podrıa perjudicarse si un bien dado como garantıa en unahipoteca, se incendia y se deteriora, porque esa propiedad es unagarantıa para la deuda.
Los datos de pagos de siniestros en el ramo de incendio son ejemplosde baja frecuencia y alta severidad. Y son similares a algunos deRiesgo Operativo.
Otro ejemplo es el ramo de Vehıculos, con amparos en: perdida porhurto, responsabilidad civil extracontractual (RCE), perdida parcialpor dano (PPD).
PPD es un ejemplo de alta frecuencia y baja severidad.
Junio 28 - Julio 1, 2011 3 /24
El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base enel cual se desarrollo la industria de los Seguros de Bienes.
Con base en este modelo se desarrollan los conceptos basicos delseguro como tal.
PrimaTarifacionDeduciblesSistemas de BonificacionReservasReaseguros, Coaseguros.
Estas son las herramientas para Gestion de Riesgos en los Seguros deBienes. Son herramientas para dispersar el Riesgo, para compensarlomediante la generacion de una Reserva, e incluso para Prevenirlo.
Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /24
El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base enel cual se desarrollo la industria de los Seguros de Bienes.
Con base en este modelo se desarrollan los conceptos basicos delseguro como tal.
PrimaTarifacionDeduciblesSistemas de BonificacionReservasReaseguros, Coaseguros.
Estas son las herramientas para Gestion de Riesgos en los Seguros deBienes. Son herramientas para dispersar el Riesgo, para compensarlomediante la generacion de una Reserva, e incluso para Prevenirlo.
Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /24
El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base enel cual se desarrollo la industria de los Seguros de Bienes.
Con base en este modelo se desarrollan los conceptos basicos delseguro como tal.
PrimaTarifacionDeduciblesSistemas de BonificacionReservasReaseguros, Coaseguros.
Estas son las herramientas para Gestion de Riesgos en los Seguros deBienes. Son herramientas para dispersar el Riesgo, para compensarlomediante la generacion de una Reserva, e incluso para Prevenirlo.
Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /24
El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base enel cual se desarrollo la industria de los Seguros de Bienes.
Con base en este modelo se desarrollan los conceptos basicos delseguro como tal.
PrimaTarifacionDeduciblesSistemas de BonificacionReservasReaseguros, Coaseguros.
Estas son las herramientas para Gestion de Riesgos en los Seguros deBienes. Son herramientas para dispersar el Riesgo, para compensarlomediante la generacion de una Reserva, e incluso para Prevenirlo.
Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /24
El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base enel cual se desarrollo la industria de los Seguros de Bienes.
Con base en este modelo se desarrollan los conceptos basicos delseguro como tal.
PrimaTarifacionDeduciblesSistemas de BonificacionReservasReaseguros, Coaseguros.
Estas son las herramientas para Gestion de Riesgos en los Seguros deBienes. Son herramientas para dispersar el Riesgo, para compensarlomediante la generacion de una Reserva, e incluso para Prevenirlo.
Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /24
El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base enel cual se desarrollo la industria de los Seguros de Bienes.
Con base en este modelo se desarrollan los conceptos basicos delseguro como tal.
PrimaTarifacionDeduciblesSistemas de BonificacionReservasReaseguros, Coaseguros.
Estas son las herramientas para Gestion de Riesgos en los Seguros deBienes. Son herramientas para dispersar el Riesgo, para compensarlomediante la generacion de una Reserva, e incluso para Prevenirlo.
Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /24
El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base enel cual se desarrollo la industria de los Seguros de Bienes.
Con base en este modelo se desarrollan los conceptos basicos delseguro como tal.
PrimaTarifacionDeduciblesSistemas de BonificacionReservasReaseguros, Coaseguros.
Estas son las herramientas para Gestion de Riesgos en los Seguros deBienes. Son herramientas para dispersar el Riesgo, para compensarlomediante la generacion de una Reserva, e incluso para Prevenirlo.
Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /24
El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base enel cual se desarrollo la industria de los Seguros de Bienes.
Con base en este modelo se desarrollan los conceptos basicos delseguro como tal.
PrimaTarifacionDeduciblesSistemas de BonificacionReservasReaseguros, Coaseguros.
Estas son las herramientas para Gestion de Riesgos en los Seguros deBienes. Son herramientas para dispersar el Riesgo, para compensarlomediante la generacion de una Reserva, e incluso para Prevenirlo.
Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /24
El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base enel cual se desarrollo la industria de los Seguros de Bienes.
Con base en este modelo se desarrollan los conceptos basicos delseguro como tal.
PrimaTarifacionDeduciblesSistemas de BonificacionReservasReaseguros, Coaseguros.
Estas son las herramientas para Gestion de Riesgos en los Seguros deBienes. Son herramientas para dispersar el Riesgo, para compensarlomediante la generacion de una Reserva, e incluso para Prevenirlo.
Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /24
La Suma Aleatoria de Variables Aleatorias
El Modelo de Riesgo Colectivo se basa en un tipo de variable aleatoria: lasuma aleatoria de variables aleatorias
S =N∑
j=1
Xj = X1 + . . .+XN , (1)
donde
N ∈ {0, 1, . . .} es una variable discreta, con fdp pn = P(N = n), y
(Xj , j ∈ N) es una sucesion de variables aleatorias iid. En lasaplicaciones en Seguros, las Xj se tomas no negativas.
Junio 28 - Julio 1, 2011 5 /24
Elementos del Modelo de Riesgo Colectivo
Un proceso Poisson Homogeneo con tasa λ dado por (N(t), t ≥ 0).Representa el numero de reclamos ocurridos en el intervalo (0, t].Para el caso t = 1, N(1) es el numero de casos de una vigencia anual.
Una sucesion de aleatorias independientes e identicamentedistribuıdas (Xj , j = 1, 2, . . .), no negativas Xj ≥ 0, independientesde N(t), con fda F (x) = P (Xj ≤ x).
La sucesion de variables Xj son los pagos por reclamos de cada poliza.Por ejemplo, los costos generados por atencion a usuarios en unaespecialidad medica en una EPS. Por eso se asume independientes.
Junio 28 - Julio 1, 2011 6 /24
Elementos del Modelo de Riesgo Colectivo
Un proceso Poisson Homogeneo con tasa λ dado por (N(t), t ≥ 0).Representa el numero de reclamos ocurridos en el intervalo (0, t].Para el caso t = 1, N(1) es el numero de casos de una vigencia anual.
Una sucesion de aleatorias independientes e identicamentedistribuıdas (Xj , j = 1, 2, . . .), no negativas Xj ≥ 0, independientesde N(t), con fda F (x) = P (Xj ≤ x).
La sucesion de variables Xj son los pagos por reclamos de cada poliza.Por ejemplo, los costos generados por atencion a usuarios en unaespecialidad medica en una EPS. Por eso se asume independientes.
Junio 28 - Julio 1, 2011 6 /24
Elementos del Modelo de Riesgo Colectivo
Un proceso Poisson Homogeneo con tasa λ dado por (N(t), t ≥ 0).Representa el numero de reclamos ocurridos en el intervalo (0, t].Para el caso t = 1, N(1) es el numero de casos de una vigencia anual.
Una sucesion de aleatorias independientes e identicamentedistribuıdas (Xj , j = 1, 2, . . .), no negativas Xj ≥ 0, independientesde N(t), con fda F (x) = P (Xj ≤ x).
La sucesion de variables Xj son los pagos por reclamos de cada poliza.Por ejemplo, los costos generados por atencion a usuarios en unaespecialidad medica en una EPS. Por eso se asume independientes.
Junio 28 - Julio 1, 2011 6 /24
Elementos del modelo de Riesgo Colectivo
Una suma aleatoria de variables aleatorias S(t) =∑N(t)
j=1 Xj . Son lospagos acumulados del los siniestros hasta t.
En el caso t = 1 son los costos totales anuales. Por ejemplo, loscostos de odontologıa en 2010 de un EPS. O los pagos por RCE enuna Cıa de Seguros en el Seguro de Vehıculos.
El Modelo de Riesgo Colectivo se define como el proceso
R(t) = R0 +Πt− S(t), t ≥ 0 (2)
donde R(0) = R0 > 0,Π > 0 son constantes dadas, Π es la primatotal para la vigencia de 1 ano y R0 es la reserva inicial.
Superavit = Reservas + Ingresos - Gastos.
Junio 28 - Julio 1, 2011 7 /24
Elementos del modelo de Riesgo Colectivo
Una suma aleatoria de variables aleatorias S(t) =∑N(t)
j=1 Xj . Son lospagos acumulados del los siniestros hasta t.
En el caso t = 1 son los costos totales anuales. Por ejemplo, loscostos de odontologıa en 2010 de un EPS. O los pagos por RCE enuna Cıa de Seguros en el Seguro de Vehıculos.
El Modelo de Riesgo Colectivo se define como el proceso
R(t) = R0 +Πt− S(t), t ≥ 0 (2)
donde R(0) = R0 > 0,Π > 0 son constantes dadas, Π es la primatotal para la vigencia de 1 ano y R0 es la reserva inicial.
Superavit = Reservas + Ingresos - Gastos.
Junio 28 - Julio 1, 2011 7 /24
Elementos del modelo de Riesgo Colectivo
Una suma aleatoria de variables aleatorias S(t) =∑N(t)
j=1 Xj . Son lospagos acumulados del los siniestros hasta t.
En el caso t = 1 son los costos totales anuales. Por ejemplo, loscostos de odontologıa en 2010 de un EPS. O los pagos por RCE enuna Cıa de Seguros en el Seguro de Vehıculos.
El Modelo de Riesgo Colectivo se define como el proceso
R(t) = R0 +Πt− S(t), t ≥ 0 (2)
donde R(0) = R0 > 0,Π > 0 son constantes dadas, Π es la primatotal para la vigencia de 1 ano y R0 es la reserva inicial.
Superavit = Reservas + Ingresos - Gastos.
Junio 28 - Julio 1, 2011 7 /24
Elementos del modelo de Riesgo Colectivo
Una suma aleatoria de variables aleatorias S(t) =∑N(t)
j=1 Xj . Son lospagos acumulados del los siniestros hasta t.
En el caso t = 1 son los costos totales anuales. Por ejemplo, loscostos de odontologıa en 2010 de un EPS. O los pagos por RCE enuna Cıa de Seguros en el Seguro de Vehıculos.
El Modelo de Riesgo Colectivo se define como el proceso
R(t) = R0 +Πt− S(t), t ≥ 0 (2)
donde R(0) = R0 > 0,Π > 0 son constantes dadas, Π es la primatotal para la vigencia de 1 ano y R0 es la reserva inicial.
Superavit = Reservas + Ingresos - Gastos.
Junio 28 - Julio 1, 2011 7 /24
Elementos del modelo de Riesgo Colectivo (2)
En el Modelo (2) se asume que R0 esta invertida en, por ejemplo, unfondo de fiducia, totalmente lıquido, excento de riesgo.
La prima Π es el total recaudado por concepto de primas en 1 ano.
Un prima Π muy baja aumenta la probabilidad de insolvencia osuperavit negativo: R(t) < 0, porque atrae riesgos “malos” y nopermite una reserva adecuada.
Una prima muy alta sacarıa a la Aseguradora del mercado. Definirformulas adecuadas para la prima es fundamental.
Junio 28 - Julio 1, 2011 8 /24
Elementos del modelo de Riesgo Colectivo (2)
En el Modelo (2) se asume que R0 esta invertida en, por ejemplo, unfondo de fiducia, totalmente lıquido, excento de riesgo.
La prima Π es el total recaudado por concepto de primas en 1 ano.
Un prima Π muy baja aumenta la probabilidad de insolvencia osuperavit negativo: R(t) < 0, porque atrae riesgos “malos” y nopermite una reserva adecuada.
Una prima muy alta sacarıa a la Aseguradora del mercado. Definirformulas adecuadas para la prima es fundamental.
Junio 28 - Julio 1, 2011 8 /24
Elementos del modelo de Riesgo Colectivo (2)
En el Modelo (2) se asume que R0 esta invertida en, por ejemplo, unfondo de fiducia, totalmente lıquido, excento de riesgo.
La prima Π es el total recaudado por concepto de primas en 1 ano.
Un prima Π muy baja aumenta la probabilidad de insolvencia osuperavit negativo: R(t) < 0, porque atrae riesgos “malos” y nopermite una reserva adecuada.
Una prima muy alta sacarıa a la Aseguradora del mercado. Definirformulas adecuadas para la prima es fundamental.
Junio 28 - Julio 1, 2011 8 /24
Elementos del modelo de Riesgo Colectivo (2)
En el Modelo (2) se asume que R0 esta invertida en, por ejemplo, unfondo de fiducia, totalmente lıquido, excento de riesgo.
La prima Π es el total recaudado por concepto de primas en 1 ano.
Un prima Π muy baja aumenta la probabilidad de insolvencia osuperavit negativo: R(t) < 0, porque atrae riesgos “malos” y nopermite una reserva adecuada.
Una prima muy alta sacarıa a la Aseguradora del mercado. Definirformulas adecuadas para la prima es fundamental.
Junio 28 - Julio 1, 2011 8 /24
Distribuciones Compuestas
Para determinar la prima Π se toma una vigencia de 1 ano, es decir,t = 1, y se coloca N(1) = N y S(1) = S.
Para determinar la prima (o las provisiones en el caso de RO y RC) serequiere la distribucion de S =
∑Nj=1 Sj , de los costos totales anuales.
La funcion de distribucion acumulada de la variable S se llama unadistribucion compuesta.
FS(x) =∞∑
n=0
pnF∗n(x) (3)
donde pn = P(N = n) y F ∗n(x) = P (X1 +X2 + ...+Xn ≤ x) es lan-esima convolucion de F .
En general, la fda de la variable costo total es difıcil de evaluar. Esuna serie de funciones.
Junio 28 - Julio 1, 2011 9 /24
Distribuciones Compuestas
Para determinar la prima Π se toma una vigencia de 1 ano, es decir,t = 1, y se coloca N(1) = N y S(1) = S.
Para determinar la prima (o las provisiones en el caso de RO y RC) serequiere la distribucion de S =
∑Nj=1 Sj , de los costos totales anuales.
La funcion de distribucion acumulada de la variable S se llama unadistribucion compuesta.
FS(x) =∞∑
n=0
pnF∗n(x) (3)
donde pn = P(N = n) y F ∗n(x) = P (X1 +X2 + ...+Xn ≤ x) es lan-esima convolucion de F .
En general, la fda de la variable costo total es difıcil de evaluar. Esuna serie de funciones.
Junio 28 - Julio 1, 2011 9 /24
Distribuciones Compuestas
Para determinar la prima Π se toma una vigencia de 1 ano, es decir,t = 1, y se coloca N(1) = N y S(1) = S.
Para determinar la prima (o las provisiones en el caso de RO y RC) serequiere la distribucion de S =
∑Nj=1 Sj , de los costos totales anuales.
La funcion de distribucion acumulada de la variable S se llama unadistribucion compuesta.
FS(x) =∞∑
n=0
pnF∗n(x) (3)
donde pn = P(N = n) y F ∗n(x) = P (X1 +X2 + ...+Xn ≤ x) es lan-esima convolucion de F .
En general, la fda de la variable costo total es difıcil de evaluar. Esuna serie de funciones.
Junio 28 - Julio 1, 2011 9 /24
Distribuciones Compuestas
Para determinar la prima Π se toma una vigencia de 1 ano, es decir,t = 1, y se coloca N(1) = N y S(1) = S.
Para determinar la prima (o las provisiones en el caso de RO y RC) serequiere la distribucion de S =
∑Nj=1 Sj , de los costos totales anuales.
La funcion de distribucion acumulada de la variable S se llama unadistribucion compuesta.
FS(x) =∞∑
n=0
pnF∗n(x) (3)
donde pn = P(N = n) y F ∗n(x) = P (X1 +X2 + ...+Xn ≤ x) es lan-esima convolucion de F .
En general, la fda de la variable costo total es difıcil de evaluar. Esuna serie de funciones.
Junio 28 - Julio 1, 2011 9 /24
Metodos de Aproximacion de Distribuciones Compuestas
Antes de calcular primas (provisiones, VaR) se requiere un metodopara aproximar la fda FS(x).
Algunos metodos requieren especificar mas las variables N y Xj .
El caso mas utilizado para N es asumir N ∼ Poisson(λ). Porque setiene E(N) = V ar(N). Y esto implica que N tiene poca dispesion.
En este caso se dice que S se distribuye “Poisson Compuesta”,S ∼ PC(λ, F ).
Algunos metodos utilizan los momentos de S.
Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /24
Metodos de Aproximacion de Distribuciones Compuestas
Antes de calcular primas (provisiones, VaR) se requiere un metodopara aproximar la fda FS(x).
Algunos metodos requieren especificar mas las variables N y Xj .
El caso mas utilizado para N es asumir N ∼ Poisson(λ). Porque setiene E(N) = V ar(N). Y esto implica que N tiene poca dispesion.
En este caso se dice que S se distribuye “Poisson Compuesta”,S ∼ PC(λ, F ).
Algunos metodos utilizan los momentos de S.
Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /24
Metodos de Aproximacion de Distribuciones Compuestas
Antes de calcular primas (provisiones, VaR) se requiere un metodopara aproximar la fda FS(x).
Algunos metodos requieren especificar mas las variables N y Xj .
El caso mas utilizado para N es asumir N ∼ Poisson(λ). Porque setiene E(N) = V ar(N). Y esto implica que N tiene poca dispesion.
En este caso se dice que S se distribuye “Poisson Compuesta”,S ∼ PC(λ, F ).
Algunos metodos utilizan los momentos de S.
Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /24
Metodos de Aproximacion de Distribuciones Compuestas
Antes de calcular primas (provisiones, VaR) se requiere un metodopara aproximar la fda FS(x).
Algunos metodos requieren especificar mas las variables N y Xj .
El caso mas utilizado para N es asumir N ∼ Poisson(λ). Porque setiene E(N) = V ar(N). Y esto implica que N tiene poca dispesion.
En este caso se dice que S se distribuye “Poisson Compuesta”,S ∼ PC(λ, F ).
Algunos metodos utilizan los momentos de S.
Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /24
Metodos de Aproximacion de Distribuciones Compuestas
Antes de calcular primas (provisiones, VaR) se requiere un metodopara aproximar la fda FS(x).
Algunos metodos requieren especificar mas las variables N y Xj .
El caso mas utilizado para N es asumir N ∼ Poisson(λ). Porque setiene E(N) = V ar(N). Y esto implica que N tiene poca dispesion.
En este caso se dice que S se distribuye “Poisson Compuesta”,S ∼ PC(λ, F ).
Algunos metodos utilizan los momentos de S.
Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /24
Momentos de la Poisson Compuesta
E(S) = λE(X), (4)
V ar(S) = λE(X2), (5)
E((S − E(S))3) = λE(X3), (6)
γ1,s = E(X3)/√λE(X2)3, (7)
γ2,s = E(X4)/(λE(X2)2). (8)
Junio 28 - Julio 1, 2011 11 /24
Momentos de la Poisson Compuesta
Notese que
E(R(t)) = R0 +Πt− E(S(t)) = R0 +Πt− λE(X)t
= R0 + (Π− λE(X))t.
La prima Π es lo que se recauda en 1 ano. Junto con R0 es laprovision. Y E(S) = λE(X1) es el costo promedio total anual.
Entonces se debe cumplir la condicion Π > λE(X). De no ser ası sellegarıa a R0 +Πt < S(t). Los costos serıan mayores que la provision.
Pregunta: que tanto debe ser Π > λE(X)?. Una prima baja quiebrala Cıa. Una prima muy alta la saca del mercado.
En la Ley 100/93, Π es (No usuarios)x(Valor unidad basica capitacion= $500.000 ).
Junio 28 - Julio 1, 2011 12 /24
Momentos de la Poisson Compuesta
Notese que
E(R(t)) = R0 +Πt− E(S(t)) = R0 +Πt− λE(X)t
= R0 + (Π− λE(X))t.
La prima Π es lo que se recauda en 1 ano. Junto con R0 es laprovision. Y E(S) = λE(X1) es el costo promedio total anual.
Entonces se debe cumplir la condicion Π > λE(X). De no ser ası sellegarıa a R0 +Πt < S(t). Los costos serıan mayores que la provision.
Pregunta: que tanto debe ser Π > λE(X)?. Una prima baja quiebrala Cıa. Una prima muy alta la saca del mercado.
En la Ley 100/93, Π es (No usuarios)x(Valor unidad basica capitacion= $500.000 ).
Junio 28 - Julio 1, 2011 12 /24
Momentos de la Poisson Compuesta
Notese que
E(R(t)) = R0 +Πt− E(S(t)) = R0 +Πt− λE(X)t
= R0 + (Π− λE(X))t.
La prima Π es lo que se recauda en 1 ano. Junto con R0 es laprovision. Y E(S) = λE(X1) es el costo promedio total anual.
Entonces se debe cumplir la condicion Π > λE(X). De no ser ası sellegarıa a R0 +Πt < S(t). Los costos serıan mayores que la provision.
Pregunta: que tanto debe ser Π > λE(X)?. Una prima baja quiebrala Cıa. Una prima muy alta la saca del mercado.
En la Ley 100/93, Π es (No usuarios)x(Valor unidad basica capitacion= $500.000 ).
Junio 28 - Julio 1, 2011 12 /24
Momentos de la Poisson Compuesta
Notese que
E(R(t)) = R0 +Πt− E(S(t)) = R0 +Πt− λE(X)t
= R0 + (Π− λE(X))t.
La prima Π es lo que se recauda en 1 ano. Junto con R0 es laprovision. Y E(S) = λE(X1) es el costo promedio total anual.
Entonces se debe cumplir la condicion Π > λE(X). De no ser ası sellegarıa a R0 +Πt < S(t). Los costos serıan mayores que la provision.
Pregunta: que tanto debe ser Π > λE(X)?. Una prima baja quiebrala Cıa. Una prima muy alta la saca del mercado.
En la Ley 100/93, Π es (No usuarios)x(Valor unidad basica capitacion= $500.000 ).
Junio 28 - Julio 1, 2011 12 /24
Momentos de la Poisson Compuesta
Notese que
E(R(t)) = R0 +Πt− E(S(t)) = R0 +Πt− λE(X)t
= R0 + (Π− λE(X))t.
La prima Π es lo que se recauda en 1 ano. Junto con R0 es laprovision. Y E(S) = λE(X1) es el costo promedio total anual.
Entonces se debe cumplir la condicion Π > λE(X). De no ser ası sellegarıa a R0 +Πt < S(t). Los costos serıan mayores que la provision.
Pregunta: que tanto debe ser Π > λE(X)?. Una prima baja quiebrala Cıa. Una prima muy alta la saca del mercado.
En la Ley 100/93, Π es (No usuarios)x(Valor unidad basica capitacion= $500.000 ).
Junio 28 - Julio 1, 2011 12 /24
Aproximaciones Normal y NP
La aproximacion Normal es
S − µS
σS≈ Z. (9)
donde Z ∼ N(0, 1).
El metodo NP es una correccion de la aproximacion Normal, paraincluır el efecto de la asimetrıa positiva que pueda presentar lavariable S
S − µS
σS≈ Z +
γ1,s6
(Z2 − 1). (10)
Y la aproximacion NP a la distribucion de S queda
P(S ≤ s) ≈ Φ
(−
3
γ1,s+
√9
γ21,s+
6
γ1,s
(s− µS
σS
)+ 1
). (11)
a aproximacion (13) es superior a la Normal si γ1,s ≤ 2.
Junio 28 - Julio 1, 2011 13 /24
Aproximaciones Normal y NP
La aproximacion Normal es
S − µS
σS≈ Z. (9)
donde Z ∼ N(0, 1).
El metodo NP es una correccion de la aproximacion Normal, paraincluır el efecto de la asimetrıa positiva que pueda presentar lavariable S
S − µS
σS≈ Z +
γ1,s6
(Z2 − 1). (10)
Y la aproximacion NP a la distribucion de S queda
P(S ≤ s) ≈ Φ
(−
3
γ1,s+
√9
γ21,s+
6
γ1,s
(s− µS
σS
)+ 1
). (11)
a aproximacion (13) es superior a la Normal si γ1,s ≤ 2.
Junio 28 - Julio 1, 2011 13 /24
Aproximaciones Normal y NP
La aproximacion Normal es
S − µS
σS≈ Z. (9)
donde Z ∼ N(0, 1).
El metodo NP es una correccion de la aproximacion Normal, paraincluır el efecto de la asimetrıa positiva que pueda presentar lavariable S
S − µS
σS≈ Z +
γ1,s6
(Z2 − 1). (10)
Y la aproximacion NP a la distribucion de S queda
P(S ≤ s) ≈ Φ
(−
3
γ1,s+
√9
γ21,s+
6
γ1,s
(s− µS
σS
)+ 1
). (11)
a aproximacion (13) es superior a la Normal si γ1,s ≤ 2.
Junio 28 - Julio 1, 2011 13 /24
Una extension del metodo NP
El metodo NP es una correccion de la aproximacion Normal, paraincluır el efecto de la asimetrıa positiva que pueda presentar lavariable S
S − µS
σS≈ Z +
γ1,s6
(Z2 − 1). (12)
El metodo Cornish-Fisher es otra correccion de la aproximacionNormal, que incluye el efecto de asimetrıa y la curtosis de S.
S − µS
σS≈ Z +
γ1,s6
(Z2 − 1) +1
24γ2,s(Z
3 − 3Z)−1
36γ21,s(2Z
3 − 5Z).
(13)
Junio 28 - Julio 1, 2011 14 /24
Una extension del metodo NP
El metodo NP es una correccion de la aproximacion Normal, paraincluır el efecto de la asimetrıa positiva que pueda presentar lavariable S
S − µS
σS≈ Z +
γ1,s6
(Z2 − 1). (12)
El metodo Cornish-Fisher es otra correccion de la aproximacionNormal, que incluye el efecto de asimetrıa y la curtosis de S.
S − µS
σS≈ Z +
γ1,s6
(Z2 − 1) +1
24γ2,s(Z
3 − 3Z)−1
36γ21,s(2Z
3 − 5Z).
(13)
Junio 28 - Julio 1, 2011 14 /24
Metodos para Calcular la Prima
Principio de Valor Esperado. Segun este principio la prima neta seexpresa como
Π = (1 + θ)E(S). (14)
donde θ ∈ (0, 1) es el recargo, definido como un porcenje que cubrelas comisiones para la fuerza de ventas, recargo de seguridad, costosde administracion, etc..
Principio de Percentil. Se toma una probabilidad pequena q y sedefine la prima como el percentil-q de S,
Π = Sq = Min{s : FS(s) ≥ 1− q}. (15)
por tanto, se cumple P(S ≤ Π) ≥ 1− q.
Junio 28 - Julio 1, 2011 15 /24
Metodos para Calcular la Prima
Principio de Valor Esperado. Segun este principio la prima neta seexpresa como
Π = (1 + θ)E(S). (14)
donde θ ∈ (0, 1) es el recargo, definido como un porcenje que cubrelas comisiones para la fuerza de ventas, recargo de seguridad, costosde administracion, etc..
Principio de Percentil. Se toma una probabilidad pequena q y sedefine la prima como el percentil-q de S,
Π = Sq = Min{s : FS(s) ≥ 1− q}. (15)
por tanto, se cumple P(S ≤ Π) ≥ 1− q.
Junio 28 - Julio 1, 2011 15 /24
Principio de Percentil con los Metodos Normal y NP
Utilizando la aproximacion Normal, S ≈ µs + σSZ, entonces para zqtal que P(Z ≤ zq) = q se tiene
Π = µS + zqσS . (16)
Utilizando la aproximacion NP, este metodo corrige el percentil zqincorporando la asimetrıa de S. Se tiene
Π = µS + σS(zq +γ1,s6
(z2q − 1)). (17)
Las formulas (16) y (17) se vuelven a encontrar en Teorıa dePortafolios como el VaR de un portafolio y en Gestion de RiesgoOperativo como el valor de la provision.
El calculo de la provision en Gestion de Riesgo de Credito SARC laestablecio la SuperFinanciera como la prima por el principio deequivalencia, en el cual Π = E(S).
Junio 28 - Julio 1, 2011 16 /24
Principio de Percentil con los Metodos Normal y NP
Utilizando la aproximacion Normal, S ≈ µs + σSZ, entonces para zqtal que P(Z ≤ zq) = q se tiene
Π = µS + zqσS . (16)
Utilizando la aproximacion NP, este metodo corrige el percentil zqincorporando la asimetrıa de S. Se tiene
Π = µS + σS(zq +γ1,s6
(z2q − 1)). (17)
Las formulas (16) y (17) se vuelven a encontrar en Teorıa dePortafolios como el VaR de un portafolio y en Gestion de RiesgoOperativo como el valor de la provision.
El calculo de la provision en Gestion de Riesgo de Credito SARC laestablecio la SuperFinanciera como la prima por el principio deequivalencia, en el cual Π = E(S).
Junio 28 - Julio 1, 2011 16 /24
Principio de Percentil con los Metodos Normal y NP
Utilizando la aproximacion Normal, S ≈ µs + σSZ, entonces para zqtal que P(Z ≤ zq) = q se tiene
Π = µS + zqσS . (16)
Utilizando la aproximacion NP, este metodo corrige el percentil zqincorporando la asimetrıa de S. Se tiene
Π = µS + σS(zq +γ1,s6
(z2q − 1)). (17)
Las formulas (16) y (17) se vuelven a encontrar en Teorıa dePortafolios como el VaR de un portafolio y en Gestion de RiesgoOperativo como el valor de la provision.
El calculo de la provision en Gestion de Riesgo de Credito SARC laestablecio la SuperFinanciera como la prima por el principio deequivalencia, en el cual Π = E(S).
Junio 28 - Julio 1, 2011 16 /24
Principio de Percentil con los Metodos Normal y NP
Utilizando la aproximacion Normal, S ≈ µs + σSZ, entonces para zqtal que P(Z ≤ zq) = q se tiene
Π = µS + zqσS . (16)
Utilizando la aproximacion NP, este metodo corrige el percentil zqincorporando la asimetrıa de S. Se tiene
Π = µS + σS(zq +γ1,s6
(z2q − 1)). (17)
Las formulas (16) y (17) se vuelven a encontrar en Teorıa dePortafolios como el VaR de un portafolio y en Gestion de RiesgoOperativo como el valor de la provision.
El calculo de la provision en Gestion de Riesgo de Credito SARC laestablecio la SuperFinanciera como la prima por el principio deequivalencia, en el cual Π = E(S).
Junio 28 - Julio 1, 2011 16 /24
Principio de Percentil con el Metodo Cornish-Fisher
El Metodo de Aproximacion Cornish-Fisher (13) permite tambien unaexpresion de la Prima por el Principio del Percentil como el percentilSq de FS .
Reenplazando S por Sq y zp por Z en (13), se obtiene
Π = µS + σS(zq + ν). (18)
donde ν =γ1,s6 (z2q − 1) + 1
24γ2,s(z3q − 3zq)−
136γ
21,s(2z
3q − 5zq), es un
factor de correccion por asimetrıa y curtosis.
Junio 28 - Julio 1, 2011 17 /24
Principio de Percentil con el Metodo Cornish-Fisher
El Metodo de Aproximacion Cornish-Fisher (13) permite tambien unaexpresion de la Prima por el Principio del Percentil como el percentilSq de FS .
Reenplazando S por Sq y zp por Z en (13), se obtiene
Π = µS + σS(zq + ν). (18)
donde ν =γ1,s6 (z2q − 1) + 1
24γ2,s(z3q − 3zq)−
136γ
21,s(2z
3q − 5zq), es un
factor de correccion por asimetrıa y curtosis.
Junio 28 - Julio 1, 2011 17 /24
La Operacion del Seguro
El proposito de una Cıa de Seguros es manetener la solvencia sinsalirse del mercado. Para esto realiza varias tareas:
Seleccion de riesgos: modifica la tasa se siniestralidad λ y/o la mediaµ.
Modificar la prima Π. Al aumentarla puede disminuır λ, y al contrario.
Inversion de la reserva R0 y la prima Π.
Reaseguros. Por ejemplo, transformar Xj en min(Xj , C). Colocarletopes maximos a las polizas.
Combinacion de las anteriores.
Estas tareas forman parte de un todo, que podrıa denominarse“gestion de riesgos”.
Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /24
La Operacion del Seguro
El proposito de una Cıa de Seguros es manetener la solvencia sinsalirse del mercado. Para esto realiza varias tareas:
Seleccion de riesgos: modifica la tasa se siniestralidad λ y/o la mediaµ.
Modificar la prima Π. Al aumentarla puede disminuır λ, y al contrario.
Inversion de la reserva R0 y la prima Π.
Reaseguros. Por ejemplo, transformar Xj en min(Xj , C). Colocarletopes maximos a las polizas.
Combinacion de las anteriores.
Estas tareas forman parte de un todo, que podrıa denominarse“gestion de riesgos”.
Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /24
La Operacion del Seguro
El proposito de una Cıa de Seguros es manetener la solvencia sinsalirse del mercado. Para esto realiza varias tareas:
Seleccion de riesgos: modifica la tasa se siniestralidad λ y/o la mediaµ.
Modificar la prima Π. Al aumentarla puede disminuır λ, y al contrario.
Inversion de la reserva R0 y la prima Π.
Reaseguros. Por ejemplo, transformar Xj en min(Xj , C). Colocarletopes maximos a las polizas.
Combinacion de las anteriores.
Estas tareas forman parte de un todo, que podrıa denominarse“gestion de riesgos”.
Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /24
La Operacion del Seguro
El proposito de una Cıa de Seguros es manetener la solvencia sinsalirse del mercado. Para esto realiza varias tareas:
Seleccion de riesgos: modifica la tasa se siniestralidad λ y/o la mediaµ.
Modificar la prima Π. Al aumentarla puede disminuır λ, y al contrario.
Inversion de la reserva R0 y la prima Π.
Reaseguros. Por ejemplo, transformar Xj en min(Xj , C). Colocarletopes maximos a las polizas.
Combinacion de las anteriores.
Estas tareas forman parte de un todo, que podrıa denominarse“gestion de riesgos”.
Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /24
La Operacion del Seguro
El proposito de una Cıa de Seguros es manetener la solvencia sinsalirse del mercado. Para esto realiza varias tareas:
Seleccion de riesgos: modifica la tasa se siniestralidad λ y/o la mediaµ.
Modificar la prima Π. Al aumentarla puede disminuır λ, y al contrario.
Inversion de la reserva R0 y la prima Π.
Reaseguros. Por ejemplo, transformar Xj en min(Xj , C). Colocarletopes maximos a las polizas.
Combinacion de las anteriores.
Estas tareas forman parte de un todo, que podrıa denominarse“gestion de riesgos”.
Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /24
La Operacion del Seguro
El proposito de una Cıa de Seguros es manetener la solvencia sinsalirse del mercado. Para esto realiza varias tareas:
Seleccion de riesgos: modifica la tasa se siniestralidad λ y/o la mediaµ.
Modificar la prima Π. Al aumentarla puede disminuır λ, y al contrario.
Inversion de la reserva R0 y la prima Π.
Reaseguros. Por ejemplo, transformar Xj en min(Xj , C). Colocarletopes maximos a las polizas.
Combinacion de las anteriores.
Estas tareas forman parte de un todo, que podrıa denominarse“gestion de riesgos”.
Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /24
La Operacion del Seguro
El proposito de una Cıa de Seguros es manetener la solvencia sinsalirse del mercado. Para esto realiza varias tareas:
Seleccion de riesgos: modifica la tasa se siniestralidad λ y/o la mediaµ.
Modificar la prima Π. Al aumentarla puede disminuır λ, y al contrario.
Inversion de la reserva R0 y la prima Π.
Reaseguros. Por ejemplo, transformar Xj en min(Xj , C). Colocarletopes maximos a las polizas.
Combinacion de las anteriores.
Estas tareas forman parte de un todo, que podrıa denominarse“gestion de riesgos”.
Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /24
Ejemplo: datos de costos de servicios medicos
Datos de los Costos Individuales de Afiliados y Beneficiarios de la Caja dePrevision Social de la UN Medellin en 1991. La CPS se convirtio en 2004en UNISALUD, con un regimen especial de EPS bajo la Ley 100/93.
No casos (=λ) Costos en mill ($2011)
odontologia 1071 260.2laboratorio 2118 93.2hospitaliza 353 262.0
drogas 15686 859.9cir.general 57 19.8cardiologia 9 6.4
Junio 28 - Julio 1, 2011 19 /24
Densidad de log(Costos) de 6 servicios medicos
8 10 12 14 16
0.00
0.10
0.20
0.30
odontologia
N = 1071 Bandwidth = 0.2692
Densi
ty
6 8 10 12 14
0.00.1
0.20.3
0.40.5
0.6
laboratorio
N = 2118 Bandwidth = 0.1674
Densi
ty
10 12 14 16
0.00.1
0.20.3
hospitaliza
N = 353 Bandwidth = 0.2895
Densi
ty
6 8 10 12 14
0.00.1
0.20.3
0.4
drogas
N = 15686 Bandwidth = 0.128
Densi
ty
8 10 12 14 16
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
cir.general
N = 57 Bandwidth = 0.5675
Densi
ty
8 10 12 14 16 18
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
cardiologia
N = 9 Bandwidth = 0.9133
Densi
ty
Junio 28 - Julio 1, 2011 20 /24
Costos Odontologıa: Ajuste LogNormal
Si se asume Xj ∼ LogNor(µ, σ) se encuentra que µ = 11.55936σ = 1.20675.
La prueba Kolmogorov-Smirnov: Estadıstico KS = 2.3581, Valor p =0.01 < 0.05, luego Rechaza la Hipotesis Nula de ajuste LogNormal, aun nivel de significacion de 5%.
y Anderson-Darling: Estadıstico AD = 7.2155, Valor p =0.04 < 0.05, luego Rechaza la Hipotesis Nula de ajuste LogNormal, aun nivel de significacion de 5%.
La calidad del ajuste se puede ver mediante la grafica de qq-plot ycomparando las distribuciones acumuladas ajustada y observada.
Junio 28 - Julio 1, 2011 21 /24
Costos Odontologıa: Ajuste LogNormal
Si se asume Xj ∼ LogNor(µ, σ) se encuentra que µ = 11.55936σ = 1.20675.
La prueba Kolmogorov-Smirnov: Estadıstico KS = 2.3581, Valor p =0.01 < 0.05, luego Rechaza la Hipotesis Nula de ajuste LogNormal, aun nivel de significacion de 5%.
y Anderson-Darling: Estadıstico AD = 7.2155, Valor p =0.04 < 0.05, luego Rechaza la Hipotesis Nula de ajuste LogNormal, aun nivel de significacion de 5%.
La calidad del ajuste se puede ver mediante la grafica de qq-plot ycomparando las distribuciones acumuladas ajustada y observada.
Junio 28 - Julio 1, 2011 21 /24
Costos Odontologıa: Ajuste LogNormal
Si se asume Xj ∼ LogNor(µ, σ) se encuentra que µ = 11.55936σ = 1.20675.
La prueba Kolmogorov-Smirnov: Estadıstico KS = 2.3581, Valor p =0.01 < 0.05, luego Rechaza la Hipotesis Nula de ajuste LogNormal, aun nivel de significacion de 5%.
y Anderson-Darling: Estadıstico AD = 7.2155, Valor p =0.04 < 0.05, luego Rechaza la Hipotesis Nula de ajuste LogNormal, aun nivel de significacion de 5%.
La calidad del ajuste se puede ver mediante la grafica de qq-plot ycomparando las distribuciones acumuladas ajustada y observada.
Junio 28 - Julio 1, 2011 21 /24
Costos Odontologıa: Ajuste LogNormal
Si se asume Xj ∼ LogNor(µ, σ) se encuentra que µ = 11.55936σ = 1.20675.
La prueba Kolmogorov-Smirnov: Estadıstico KS = 2.3581, Valor p =0.01 < 0.05, luego Rechaza la Hipotesis Nula de ajuste LogNormal, aun nivel de significacion de 5%.
y Anderson-Darling: Estadıstico AD = 7.2155, Valor p =0.04 < 0.05, luego Rechaza la Hipotesis Nula de ajuste LogNormal, aun nivel de significacion de 5%.
La calidad del ajuste se puede ver mediante la grafica de qq-plot ycomparando las distribuciones acumuladas ajustada y observada.
Junio 28 - Julio 1, 2011 21 /24
Costos Odontologıa: Ajuste LogNormal
0.0e+00 6.0e+06 1.2e+07
0e+00
2e+06
4e+06
6e+06
8e+06
QQ−plot distr. LogNormal
x.teo
x
0e+00 4e+06 8e+060.90
0.920.94
0.960.98
1.00
ECDF y CDF LogNormal
xx
Figure: “The Devil is in the Tails”
Junio 28 - Julio 1, 2011 22 /24
Costos Odontologıa: Distribucion Poisson Compuesta
Si se asume S ∼ PC(λ, F ), con λ = 1071, y F = LogNomal(µ, σ)entonces se estarıa sub-estimando la cola derecha.
Si se calcula la prima por el principio percentil, usando laaproximacion NP y simulacion LogNor-Poisson, se requieren losmomentos estimados de S.
momentosX momentosS
media 242958 232580888de 597083 14689483
asimetrıa 8.617559 0.216106
Junio 28 - Julio 1, 2011 23 /24
Costos Odontologıa: Distribucion Poisson Compuesta
Si se asume S ∼ PC(λ, F ), con λ = 1071, y F = LogNomal(µ, σ)entonces se estarıa sub-estimando la cola derecha.
Si se calcula la prima por el principio percentil, usando laaproximacion NP y simulacion LogNor-Poisson, se requieren losmomentos estimados de S.
momentosX momentosS
media 242958 232580888de 597083 14689483
asimetrıa 8.617559 0.216106
Junio 28 - Julio 1, 2011 23 /24
Costos Odontologıa: Densidad Poisson CompuestaEstimada
1.8e+08 2.0e+08 2.2e+08 2.4e+08 2.6e+08 2.8e+08
0.0e+00
5.0e−09
1.0e−08
1.5e−08
2.0e−08
2.5e−08
S
densida
d de S
Junio 28 - Julio 1, 2011 24 /24
Costos Odontologıa: Calculo de la Prima
La Prima para el Servicio de Odontologıa 1991 debıa de servir comouna estimacion de la apropiacion presupuestal para 1992.
Si se calcula la prima por el principio percentil, usando laaproximacion NP y simulacion LogNor-Poisson, se requieren losmomentos estimados de S. La media de S es 232.5 mill (2011).
var.sim var.np cvar.sim cvar.np
90% 249.4 260.2 257.8 260.295% 255.7 260.2 263.3 260.299% 266.5 260.2 274.4 260.2
Junio 28 - Julio 1, 2011 25 /24
Costos Odontologıa: Calculo de la Prima
La Prima para el Servicio de Odontologıa 1991 debıa de servir comouna estimacion de la apropiacion presupuestal para 1992.
Si se calcula la prima por el principio percentil, usando laaproximacion NP y simulacion LogNor-Poisson, se requieren losmomentos estimados de S. La media de S es 232.5 mill (2011).
var.sim var.np cvar.sim cvar.np
90% 249.4 260.2 257.8 260.295% 255.7 260.2 263.3 260.299% 266.5 260.2 274.4 260.2
Junio 28 - Julio 1, 2011 25 /24
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