View
222
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
1/92
Modelacin Matemtica y
Computacional de Transportede Contaminantes
Curso de Modelacin de Flujo y Transporte enAcuferosInstituto de Geofsica de la UNAM31 de mayo de 2010
presentaDr. Guillermo de Jess Hernndez Garca,Instituto de Geofsica, UNAM
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
2/92
2
ndice
1. Introduccin. Formulacin de la ecuacin del Transporteen medios porosos
2. Transporte advectivo y ley de Darcy3. Dispersin y retardacin4. Retardacin y reacciones Qumicas5. Modelo matemtico y su solucin6. Solucin numrica del Transporte advectivo.7. Solucin del Transporte Advectivo-Dispersivo.8. Experimentos numricos
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
3/92
3
1. Introduccin
Transporte en medios porososElsoluto existe solamente en el volumen de los poros de la matrizslida, el cual constituye una fraccin del mismo. As, la masa del
soluto,Ms(t), est dada por:
La propiedad intensiva asociada a la masa del soluto es el integrando enel segundo miembro de esta ecuacin; es decir, el producto de la
porosidad por la concentracin del soluto.
, ,
donde: ( , ) es la porosidad
( , ) es la concentracin del
soluto en el fluido
S
B t
M t x t c x t d x
x t
c x t
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
4/92
4
1. Introduccin
La ecuacin global de balance para la masa de un soluto es:
, ,
equivale a dos ecuaciones, que deben satisfacerse simultneamente:la ecuacin diferencial de balance local:
Sss
B t B t
dMt g x t d x x t nd x
dt
v
y la condicin de salto correspondiente
v v 0;
Esta ltima se aplica cuando el sistema tiene discontinuidades,
pues cuando no las hay ella se satisface automti
Ss
s
cc g
t
c n x
camente.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
5/92
5
1. IntroduccinLos procesos del transporte en un medio poroso
Son: adveccin, la difusin, procesos no conservativos
(es decir, que alteran la conservacin de masa).
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
6/92
6
2. Transporte advectivo y ley de Darcy
La adveccin est asociada a la velocidad de laspartculas, por lo que a esta ltima se le refieretambin como velocidad de adveccin, oadvectiva. Esto, para distinguirla de lavelocidad de Darcy, tambin utilizada en losestudios de fluidos en medios porosos.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
7/92
7
2.1 VELOCIDAD PROMEDIO DE PARTCULA Y TIEMPO DEDESPLAZAMIENTO
La razn de flujo a travs de laseccin de arena es:
Donde Q es la razn de flujo, volumen por
unidad de tiempo Kes la conductividad hidrulica,
h1 es la carga aguas arriba yh2 es la carga aguas abajo
La ecuacin es una forma de la leyde Darcy
1.212
L
hhKAQ
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
8/92
8
2.1 VELOCIDAD PROMEDIO DE PARTCULA Y TIEMPO DEDESPLAZAMIENTO
Ahora podemos definir lavelocidad de filtracin
promedio, v Tambin se usar la
velocidad de Darcy, q
2.7
2.8
K dhv
dl
Q dhq KA dl
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
9/92
9
2.2 GENERALIZACIN DE LA LEY DE DARCY Y ECUACINDE FLUJO DE AGUA SUBTERRNEA
La velocidad de filtracinpromedio es el vector develocidad de Darcy dividida
por la porosidad efectiva
2.14
2.15
xx
y
y
zz
qv
q
v
qv
qv
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
10/92
10
2.2 GENERALIZACIN DE LA LEY DE DARCY Y ECUACINDE FLUJO DE AGUA SUBTERRNEA
En trminos de la carga, la formulacin del flujo deagua subterrnea para densidad y viscosidaduniformes, toma la forma de la ecuacin diferencial
parcial siguiente
16.2t
hSq
z
hK
zy
hK
yx
hK
x sszyx
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
11/92
11
2.3 TRANSPORTE ADVECTIVO2.3.1 Aproximacin Euleriana al transporte advectivo yconsideraciones del balance de masa
Del anlisis en tres dimensiones se
obtiene la siguiente forma alternativa:
2.30
En forma vectorial:
2.31
2.32
o ms exactamente
sx y z s
ss
si s
i
x y
q Cv C v C v C C
x y z t
q C- C C
t
o
q Cv C Cx t
q C qx y
v
2.33z s sC
C q C q C z t
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
12/92
12
Seguimiento de Partculas y Derivada Material
( ) ii ii i i
vCv C v C x x x
i s
i
v q
x
Este mtodo consiste en valuar la concentracin asociada a las partculasindividuales del fluido, usando el campo de velocidades del fluido de algunaregin de inters.
En el caso de flujo estacionario se tiene que:
Si sustituimos la ecuacin anterior en la de transporte advectivo:
( )si si
qDC C Cv C C
Dt t x
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
13/92
13
Dispersin
* En matemticas, dispersin significa el grado de distanciamientode un conjunto de valores respecto a su valor medio.
* En fsica, dispersin es el fenmeno por el cual un conjunto departculas que se mueve en una direccin determinada rebotasucesivamente con las partculas del medio por el que se muevehasta perder una direccin privilegiada de movimiento.
* La teora del transporte dispersivo o de dispersin hidrodinmica, abordalos efectos de la diferencia de las velocidades individuales de las partculas dela velocidad promedio de filtracin.
3
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
14/92
14
Transporte y transferencia de masa dispersivo
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
15/92
15
Suma de los dos componentes. Dispersin transversal y dispersin longitudinal
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
16/92
16
Analoga entre transporte dispersivo y difusin molecular.
Difusin Inica. a) Solucin salina y agua destilada separada por una placa,
b) distribucin inica cuando la placa es removida, c) distribucin inica en
un tiempo t1despus de que la placa fue removida, d) distribucin inica
final.
Ley de la difusin de Fick
2 1
La expresin para el
transporte difusivo es:
Donde es el coeficiente
de difusin molecular
Usando la notacin en derivadasy dividiendo ambos lados entre A:
donde es el flujo de
D
D
C CF DA
l
D
CF D
l
F
masa difusivo
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
17/92
17
Flujo dispersivo y coeficiente de dispersinen dos dimensiones
En el transporte por fluidos enmedios porosos la matriz dedifusin se construye agregandodos procesos difusivos: La difusin molecular, debida
a los movimientosbrownianos, que a nivelmicroscpico efectan lasmolculas del soluto y delfluido;
La difusin mecnica, debidaal carcter aleatorio del medioporoso.
En consecuencia el tensor dedispersin hidrodinmica, es lasuma del tensor de dispersinmolecular y el tensor dedispersin mecnica:
donde
Tensor de dispersin hidrodinmica
Tensor de dispersin molecular
Tensor de dispersin mecnica
m M
m
M
D D D
D
D
D
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
18/92
18
Flujo dispersivo y coeficiente de dispersinen dos dimensiones
es un tensor isotrpico dado por
donde
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
19/92
19
Flujo dispersivo y coeficiente de dispersinen dos dimensiones
El tensor de dispersin mecnica se caracteriza por ser unamatriz anisotrpica con eje de simetra en la direccin de la
velocidad del fluido y cuyos valores propios son proporcionales ala magnitud de la velocidad
( )
es el coeficiente de dispersividad mecnica longitudinales el coeficiente de dispersividad mecnica transversal
i jM
ij T ij L T
L
T
v vD v
v
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
20/92
20
Ecuacin diferencial del transporte conadveccin y dispersin en un medio poroso
Para los procesos de difusin, el campo vectorial del flujo de masa
est dado por la Ley de Fick para medios porosos:
,
la ecuacin diferencial de balance local es:
v
Sustituye
s
S s
x t D c
c c gt
sndo :
v
Esta es la ecuacin que describe el transporte advectivo dispersivo de solutos
que incluye fuentes o sumideros internos (Herrera, 2008).
Otros autores (Zheng y Bennett, 2002
s
cc D c g
t
), en Hidrogeologa lo presentan as:
s s
Cq C D C q C
t
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
21/92
21
Figura que ilustra el efecto de la dispersividad en transporte de solutos en un campo de un flujo de dos
dimensiones. La velocidad de filtracin es de 0.33 m/da y alineada con el eje x. Los desarrollos de una pluma
desde una fuente constante con una concentracin relativa de 1.0.
En (a) se muestra la configuracin de la pluma a 500 dias con la dispersin igual a 1 y 0.3 m longitudinal ytransversalmente respectivamente. La pluma es relativamente pequea, y el sistema transporte es dominado
por la adveccin.
En (b), la dispersin longitudinal y transversal son incrementadas por dos ordenes de magnitud, resultando en
una considerable mayor pluma dispersiva.
En (c), la dispersividad longitudinal es la misma que en (b), sin embargo, la dispersividad transversal es
solamente una decima parte que en (b). Como un resultado, la pluma formada en (c) es de ms elongacin y
estrecha que en (b).
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
22/92
22
El efecto de las reacciones qumicas en el transporte desolutos es incorporado generalmente en la ecuacin deadveccin-dispersin
Trmino Chemical sink/source
ste trmino puede ser formulado para cada especie ocomponente qumico de inters.
Representa la tasa de cambio en la masa del soluto de una especieparticular debido aNreacciones qumicas.
4. TRANSPORTE CONREACCIONES QUMICAS
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
23/92
23
Para el transporte con reacciones qumicas se consideraran variostipos de reacciones que son frecuentemente incorporadas en losmodelos de transporte advectivo-dispersivo
Una de ellas, equilibrio controlado o reacciones con una tasa de
SORCIN limitada, la cual involucra la transferencia de masaente la fase disuelta y la matriz slida del medio poroso Otras, como decaimiento radioactivo, biodegradacin aerbica y
anaerbica, entre otros.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
24/92
24
Sorcin con Equilibrio ControladoProceso de SorcinCuando un medio poroso estsaturado con agua conteniendomateria disuelta, sucedefrecuentemente que ciertossolutos son removidos de lasolucin e inmovilizados en osobre la matriz slida delmedio poroso por fuerzasqumicas o electrostticas.
(el proceso contrario esconocido como desorcin)ste proceso involucraadsorcin y absorcin
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
25/92
25
Isotermas de sorcin y la representacin desorcin en las ecuaciones de transporte
En un experimento el agua en laarena es desplazada repetidamente,y en cada ciclo la concentracin vaaumentando, cada equilibrio daruna fase sorbida y una fase disuelta
: grfico de la concentracin en la fase disuelta
versus la concentracin en la fase sorbida
a temperatura constante. Para qumicos de inters
se puede describir por una ecuacin.
la pendie
af
Isoterma
C K C
1
nte de la isoterma es dada por:
y en funcin de cada qumico en cada medio poroso
a
f
f
CK aC
C
K a
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
26/92
26
Isoterma Freundlich : para ciertos qumicos,generalmente concentraciones bajas lasorcin es gobernada por sta isoterma,donde a es 1 y Kd es el coeficiente dedistribucin [l/kg].Sorcin infinita
Isoterma Lagmuir donde S es lamxima capacidad de Sorcin
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
27/92
27
Concepto de retardo
Caso de laboratorio (Cherry et al., 1984)
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
28/92
28
Caso hipottico de campo (Cherry et al., 1984)
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
29/92
29
Ec.4.8
AsumiendoReacomodando los trminos
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
30/92
30
Factor de retardoAsumiendo un comportamientono lineal de la Isoterma deFreunlinch
Asumiendo un comportamientono lineal de la Isoterma deLangmuir
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
31/92
31
Cuando las reacciones qumicas tienen decaimientoradioactivo, hidrlisis o alguna de las formas debiodegradacin, puede ser caracterizado como
un proceso irreversible de primer orden
Cte. de velocidad de reaccin o
decaimiento
CC
t
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
32/92
32
Concentracin vs. Tiempo en un proceso irreversible deprimer orden. es la constante de primer orden
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
33/92
33
Para las reacciones irreversibles de primer orden la frmula sedescribe:
Asumiendo que no hay cambio de porosidad con el tiempo, sepuede obtener una ecuacin general para el transporte advectivo-dispersivo incorporando el equilibrio controlado por la sorcin ylos procesos irreversibles de primer orden
1 2
1
N
n b
n
CR b C C
t
1 2
1
2
( )
Cte. de velocidad de reaccin de fase disuelta
Cte. de velocidad de reaccin de fase sorbida
ij i s s b
i j i
C CR D q C q C C C
t x x x
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
34/92
34
5. MODELO MATEMTICOY SU SOLUCIN
5.1 El modelo matemtico de transporte de soluto.
Las ecuaciones diferenciales parciales descritas sonllamadas ecuaciones gobernantes; rigen y describen
el transporte y transformaciones de soluto.Para obtener una solucin nica, en cualquierecuacin diferencial parcial, y aplicarla como ecuacingobernante, hay que agregar informacin sobre: 1. las condiciones iniciales que especifican el estado
inicial de soluto en el sistema 2. Las condiciones de frontera que controlan el modo
en el rea en cuestin.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
35/92
35
5.1.1 Ecuaciones Gobernantes
De la ecuacin diferencial parcial que rige el transporte tridimensional con un soloconstituyente qumico de las aguas subterrneas, teniendo en cuenta la adveccin,dispersin, sorcin de equilibrio controlado y reaccin irreversible de primer orden:
MODELO MATEMTICO Y SU SOLUCIN
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
36/92
36
Las ecuaciones que rigen el transporte estn vinculados a la ecuacin que rige el flujo a travs dela Ley de Darcy:
Donde h es la carga hidrulica, que se obtiene a partir de la solucin de la ecuacin que rige paratres dimensiones el flujo de las aguas subterrneas totalmente saturadas:
Tensor de la
Conductividad
hidrulica
Valor especifico
De almacenamiento
En medio poroso
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
37/92
37
Suponiendo que los cambios en la concentracin de soluto dado por la solucin de laecuacin de transporte causan una variacin insignificante en la densidad del agua, laecuacin de flujo y la de transporte de soluto se pueden resolver independientemente. Estaaproximacin DESACOPLADA es eficiente computacionalmente y ha sido implantada en
varios cdigos de transporte comnmente usados, como el MOC (Konikow andBredehoeft, 1978) RANDOM WALK (Prickett, 1981), MT3D (Zheng, 1990),MODFLOW-SURFACT (HGL, 1996).
En un problema en el que el soluto de inters est presente en concentraciones baja, aligual que en muchas situaciones que afecta el materia de contaminacin por productos
qumicos orgnicos, la densidad puede ser generalmente considerada constante y el flujode transporte y ecuaciones se pueden resolverse independientemente.
MODELO MATEMTICO Y SU SOLUCIN
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
38/92
38
La ecuacin de flujo, que a menudo se expresa en trminos de presin, se resuelve para un primerpaso de tiempo, aplicando una supuesta distribucin de la densidad para ese paso.Las velocidades son calculadas y usadas en la ecuacin de transporte para obtener una primeraaproximacin de la concentracin de soluto al final del primer paso.Estas concentraciones de soluto se utilizan para desarrollar una versin actualizada de la densidad
del agua sobre el terreno, que a su vez se utiliza como insumo en la nueva solucin de la ecuacinde flujo en el primer paso.Este proceso es seguido iterativamente hasta que una distribucin de presin y de concentracinfinal se obtienen para el final del primer paso de tiempo. El procedimiento se repite en el segundotiempo y posteriores pasos.
Si el movimiento de soluto predicho por la ecuacin de transporte causa cambio significativo enla densidad del agua, las ecuaciones de flujo y transporte deben ser resuelto como UN SISTEMAACOPLADO.Esta aproximacin ha sido implementada en varios cdogos multipropsito de transporte, comoel SUTRA(Voss, 1984), HST3D(Kipp, 1987), CFEST (Gupta et al., 1987), SWiFT/386 (Ward,1991), FEMWATER (Lin et al., 1997).
MODELO MATEMTICO Y SU SOLUCIN
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
39/92
39
5.1.2 Condiciones iniciales
Las condiciones iniciales son una parte integral del modelo matemtico que describe elcambio transitorio de la concentracin de soluto en el agua subterrnea, y debe serespecificado antes de la solucin del modelo matemtico puede ser intentado. La condicininicial en forma general puede escribirse como
Cuando C0 (x, y, z) indica una concentracin conocida de distribucin y denota todo eldominio de inters.Un caso especial de la ecuacin (5.5) (fig. 5.1 (a)) es
Donde la concentracin inicial en el campo de inters es cero en todas partes. Muchos de losproblemas de transporte tiene como objetivo evaluar el impacto de posibles fuentescontaminantes tienen este tipo de condicin inicial
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
40/92
40
5.1.3 Condiciones de frontera
La solucin del modelo matemtico tambin requiere condiciones de frontera. En general,hay tres tipos de condicin de frontera en los modelos de transporte:
1. Las concentraciones se especifican a lo largo de una frontera; llamada condicin deDirichlet,
2. Se especifican los gradientes de concentracin a travs de una frontera; condicin deNeumann, y
3. Las dos concentraciones, a lo largo de una frontera y la concentracin de gradientes atravs de esa frontera se especifican, rindiendo una combinacin de 1 y 2, llamada lacondicin de Cauchy.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
41/92
41
5.1.4 Solucin del modelo matemtico
El proceso de formulacin y de la solucin de un modelo matemtico que se conocecomo modelacin matemtica.Los mtodos para la obtencin de la solucin de un modelo matemtico se puede dividiren dos clases, analticos y numricos, un hbrido de estas dos clases no es poco comn.Los mtodos de analticosproducen soluciones exactas de las ecuaciones diferenciales
gobernantes; los mtodos numricos aproximan las ecuaciones diferenciales medianteun conjunto de ecuaciones algebraicas.En general, soluciones analticas slo puede obtenerse en virtud de la simplificacin demuchos supuestos, tales como un campo de velocidades unidireccional, de un conjuntode propiedades de transporte uniforme, una simple corriente de dominio de la
geometra, y un simple patrn de los sumideros y fuentes de distribucin.Por estas razones, las soluciones numricas, que son capaces de aproximar condicionesms generales, son ms ampliamente utilizados en aplicaciones de campo.El centro de atencin en general es de las soluciones numricas problemas de transportede soluto, o de la modelacin computacional.
6 Si l i d l
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
42/92
42
6. Simulacin delTransporte Advectivo El transporte advectivoest relacionado con el
movimiento de los solutos a la velocidad de filtracinpromedio del agua subterrnea.
En la mayora de las situaciones de campo, el terminode transporte advectivo es mas grande que el terminodispersivo, y un clculo puramente advectivo es una
buena primera estimacin para el movimiento de lossolutos.
Cuando la sorcin debe ser considerada, el clculopuede ser reducido a una forma puramente advectiva,introduciendo el factor de retardo.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
43/92
43
En forma Euleriana, la ecuacin de transporte connicamente adveccin sera:
sta ecuacin puede ser resuelta usando mtodosnumricos estndar (ej. mtodos de diferencias finitaso elementos finitos), basados en el principio de
conservacin de masas. Sin embargo poseen problemasnumricos.
Ec.(6.1)
Introduccin
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
44/92
44
El transporte advectivo puede ser resuelto msefectivamente usando mtodos basados en unaaproximacin Lagrangiana:
Es sta aproximacin el fluido es visto como unensamble de un nmero infinito de partculas de fluido,
la cual representa una porcin infinitesimal del fluido. En ste caso Cesta asociada con una partcula y
D( )/Dtdenota la derivada material
Introduccin
(6.2)
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
45/92
45
Mtodo de Seguimiento dePartculas
ste mtodo es el mas general para calcular lastrayectorias de las partculas de soluto con transporteadvectivo.
Si la densidad del fluido es uniforme, las trayectoriasde contaminantes bajo adveccin coincide con lastrayectorias del flujo de agua subterrnea, y songobernadas por la siguiente ecuacin
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
46/92
46
La Ec.(6.3) es una ecuacin diferencial de primer orden, por tanto lasolucin de sta para un tiempo t expresando la ubicacin de la
partcula sera:
Seguimiento de Partculas
(6.3)
(6.4)
Es el vector de posicin
Es el vector de velocidad de filtracin
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
47/92
47
1. Si la distribucin de velocidad es suficientementesimple, la ecuacin puede ser integrada directamente
2. En caso de que no, es necesario algoritmos deintegracin. Un procedimiento numrico general esdefinir una posicin inicial de una partcula a un t=to,
y encontrar posiciones subsecuentes en pasos detiempo finitos.A sta forma de solucin se le llamaSeguimiento de partculas
Seguimiento de PartculasEc.(6.4)
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
48/92
48
Los efectos de sorcin acoplados con el transporteadvectivo son representados usando un retardo en lavelocidad, por tanto las ecuaciones 6.3 y 6.4 se pueden
reescribir:
Ec.(6.5)
Ec.(6.6)
Seguimiento de Partculas
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
49/92
49
Interpolacin de Velocidad Para darle solucin a la ecuacin 6.4 se requiere evaluar el
campo de la velocidad (v) en un punto arbitrario (x,y,z) y enun tiempo t.
Si existiera una solucin analtica , la velocidad v, sera
conocida en cualquier punto, sin embargo un modelo de flujonumrico es usado para resolver sta distribucin y en stecaso la velocidad es conocida en solo ciertas locaciones ytiempos.
Por ello un esquema de interpolacin debe ser usado paraobtener las velocidades en puntos y tiempos arbitrarios.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
50/92
50
Referencias y ejemplos de interpolacin develocidad.
Discusiones sobre el mtodo de diferencias finitas sepueden encontra en publicaciones como: Prickett andLonnquist (1971), Bennett (1976), y Wang y Anderson
(1982) para nivel intriductorio. Para nivel intermedio aavanzado: Peaceman (1977), Huyacorn y Pinder(1983), Kinselbach (1986), y Bear y Verruijt(1987)
Varios cdigos bien documentados han tenido un
amplio uso: el cdigo PLASM (Prickett y Lonnquist,1971), el cdigo USGS 2D/3D (Trescott et al., 1976), yel USGS MODFLOW (McDonald y Harbaugh,1988)
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
51/92
51
Centrado en el bloque: la
regin est dividida en celdas obloques alrededor de cadanodo. Las propiedadeshidrulicas son especficas para
cada celda y son uniformes en
Centrado en la malla: Losnodos estn localizados en lainterseccin de las mallas. Las
propiedades de transmisividadson diferentes
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
52/92
52
Interpolacin en 3D
El procedimiento parainterpolacin develocidad puede ser
extendido a ladimensin vertical
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
53/92
53
d l d fl j l
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
54/92
54
Modelo de flujo con Elementosfinitos
ste mtodo tambin ha sido ampliamenteusado en la simulacin de flujo en aguasubterrnea. Comparado con el mtodo de
diferencias finitas, ste ofrece una mayorflexibilidad en la discretizacin espacial acambio de una mayor complejidad matemtica.
En la malla 2D para elementos finitos, el
rgimen de flujo es dividido en subdominios,generalmente triangulares o cuadrilteros.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
55/92
55
La interseccin de laslneas constituyen losnodos. Las propiedadeshidrulicas se asumen
uniformes en toda elrea del elemento.
ste tipo de modelosnormalmente usan un
sistema de coordenadaslocalpara facilitar elclculo relativo a loselementos individuales.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
56/92
56
La distribucin de la carga dentro de un elemento e,h(x,y)puede ser expresado como:
La velocidad dentro del elemento epuede ser obtenidaderivando la anterior ecuacin:
Mtodo elementos finitos
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
57/92
57
Para una malla cuadriltera(x,y), puede sertransformado en unelemento rectangularcambiando a unascoordenadas locales
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
58/92
58
Cordes y Kinzelbach (1992) proponen un esquema que divide cada
elemento triangular en cuatro subtriangulos. Un nico flujo yvelocidad de filtracin es asociado con cada subtriangulo y puedeser calculado a travs del balance de masa, demostrando as unsignificativo mejoramiento en la aproximacin a la velocidad.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
59/92
59
El mtodo de elementos finitos es discutido envarias referencias muy completas, como las deZienkiewicz (1977), Pinder y Gray (1977),
Huyakorn y Pinder (1983), Wang y Anderson(1982) e Iztok (1989). Algunos de los cdigos ms ampliamente
usados son: AQUIFEM (Wilson, et al.,1979),
SUTRA (Voss,1984), FEMWATER (Yeh yWard, 1980) y FEFLOW (Kaiser, 1998)
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
60/92
60
Comunmente los cdigos de seguimiento de partculas se basan enla solucin semianaltica de los cdigos USGS MODPATH(Pollock 1989, 1994) y el cdigo USEPA WHPA (Blandford yHuyakorn, 1991).
MODPATH fue diseado para utilizar la solucin del cdigo
USGS MODFLOW (McDonald y Harbaugh, 1988; Harbaugh yMcDonald, 1996). WHPA es una coleccin de soluciones analticas y numricas para
delimitar reas de proteccin de pozo. Incluye el codigoseguimiento de partculas, GPTRAC, que se basa en la solucinsemianaltica y puede aceptar la solucin de la carga, ya sea un
bloque centrado con diferencias finitas de flujo o un cuadrilterocon elementos finitos para flujo. Ambos MODPATH y WHPA estn disponibles fcilmente en la
Red.
6.5 Cdigos generales de seguimiento de partculas
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
61/92
61
El rastreo de partculas basado en la solucin numricaincluye GWPATH (Shafer, 1987), FLOWPATH (Franz yGuiguer, 1990), y PATH3D (Zheng, 1989).
GWPATH utiliza el cuarto orden de Runge-Kutta y elmtodo est diseado para aceptar el estado de la carga de
una solucin de dos dimensiones como el cdigo de modelode flujo del PLASM (Prickett y Lonnquist, 1971). FLOWPATH es un cdigo bidimensional de flujo estado de
estable y de seguimiento de partculas. El componente derastreo de partculas se basa en el mtodo de Euler concontrol adaptable de dimensiones de los pasos.
PATH3D acepta ya sea soluciones del estado estable o detransitorio de la carga desde MODFLOW o cualquier modeloen diferencias finitas de bloque centrado.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
62/92
7.
Simulacin de transporteadvectivo-dispersivo
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
63/92
63
7.1 METODOS EULERIANOS
Mtodo de diferencias finitas
ste mtodo es un mtodo numrico bien establecidoque ha sido aplicado tanto en la modelacin de flujo ytransporte.
Las teoras y tcnicas de solucin han sido presentadasen varios libros: Remson et al 1971; Peaceman ,1971;
Wang and Anderson, 1983; Huyakorn and Pinder,1983; Kinkelbach 1986; Bear y Verruijt,1987.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
64/92
64
Discretizacin espacial y temporal
Consideremos un problema que involucra flujoadvectivo-dispersivo en una campo de una dimensin.
Con condiciones iniciales C(x,0)=0 y condiciones defrontera C(0,t)=C0 t>0 y C(,t)/x=0 t>0
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
65/92
65
La ecuacin vista anteriormente puede ser aproximadacon ecuaciones de diferencia finita. Para ello, dividimosel dominio en un enrejado de diferencias finitas
1(Opcin) Con mismo ancho y nodos centrados en lacelda Central Scheme.
Discretizacin espacial y temporal
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
66/92
66
El primer trmino de la ecuacin puede ser aproximadoal nodojpor
Donde C/ x representa los gradientes de concentracin
a la derecha e izquierda de la celdaj y son aproximadaspor los trminos (Cj-Cj-1)/x y (Cj+1-Cj)/x
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
67/92
67
El segundo trmino de la ecuacin 7.2 puede seraproximado al nodo j por
Donde Cj+1/2 y Cj-1/2 son concentraciones a la derecha eizquierda de la interfase de la celda. Una formulageneral para expresar esta concentracin en la interfacees
Si aproximamos a =0.5 (Central Scheme)
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
68/92
68
El esquema de carga central tiende a crear oscilacionesartificiales
Debido al anterior problema, se ha desarrolladoesquemas con cargas espaciales alternativas. Elesquemas mas usado (Segunda opcin) es el esquemaUpstream aguas arriba. El cual puede ser expresado
como lo siguiente:
Este esquema evade la oscilacin artificial asociada alesquema de la carga central.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
69/92
69
La solucin
numrica
oscila con
respecto a laverdadera
solucin
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
70/92
70
El termino de la derivada del tiempo puede seraproximado
Donde n es un nivel de tiempo anterior y n+1 un nuevotiempo. Si utilizamos Cn (t) para aproximar la dispersiny la adveccin en la Ec. de Transporte, la discretizacin
es explcita
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
71/92
71
Cuando los pasos detiempo usados en elmtodo explicito son 1da y 5 das, los perfilesde concentracin sonsimilares. Sin embargocuando se usan 10 das,excede el criterio deestabilidad.
Si las concentraciones que tomamos son ahora las del nuevo nivel,
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
72/92
72
la discretizacin se dice que es hacia atrs o implcita
En las anterior expresiones las concentraciones son desconocidas enc alq ier nodo a n tiempo n e o depende de las concentraciones de
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
73/92
73
cualquier nodo a un tiempo nuevo, depende de las concentraciones denodos adyacentes, las cuales tambin son desconocidas
es el factor de peso temporal, anlogo a la funcin alfa en espacial
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
74/92
74
Donde los coeficientes y trminos de la mano derecha de la ecuacinestn dados por:
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
75/92
75
En general lasanterioresecuaciones sereducen a la
forma explicitacuando =0e implicitacuando =1, en
=1/2 es centradoen el tiempo omtodo Crank-
Nicolson
SOLUCIN A LAS ECUACIONES
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
76/92
76
SOLUCIN A LAS ECUACIONESMtodo iterativo
En principio se da una estimacin inicial de los valoresque sern determinados; la estimacin es mejorada atravs de clculos numricos sucesivos.
Los procesos iterativos toman los pasos de clculo quesean necesarios dependiendo de la tolerancia de error, parallegar a la solucin.
Requiere menos memoria en la computadora.
SOLUCIN A LAS ECUACIONES
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
77/92
77
SOLUCIN A LAS ECUACIONESMtodo directo
Ejecuta un nmero fijo de operaciones y se obtiene unasolucin exacta para el sistema de ecuaciones, en elsentido de que no hay implicacin de tolerancia.
El mtodo directo es por lo general ms eficiente que elmtodo iterativo.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
78/92
78
El mtodo de discretizacin espacial no est libre de errores..
La forma del frente de concentracin para un problemadominado por adveccin es medido mediante el nmero de
Peclet (Pe).Para un campo de flujo en una dimensin est dado por la
siguiente frmula:
Oscilacin artificial y dispersin numrica
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
79/92
79
Para problemas advectivoPe tiende a infinito.La oscilacin artificial puede ser reducido mediante
un cambio en el espaciamiento de la malla
Dependencia entre la osc
Artifical y el nmero de
7 1 METODOS EULERIANOS(cont)
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
80/92
80
Como el mtodo de diferencias finitas, el mtodo de elementosfinitos se ha utilizado ampliamente en el flujo de agua subterrneay simulacin de transporte de soluto. Esta seccin est destinada a
proporcionar una comprensin bsica de los elementos finitos conenfoque aplicado a la solucin de la ecuacin de adveccin-dispersin.
Un cuerpo extenso existe en la literatura sobre la teora y laaplicacin numrica de los mtodos de elementos finitos tanto demodelos de flujo y de transporte. Los lectores interesados puedenconsultar varios textos, Pinder y Gray (1977), Zienkiewicz (1977),Huyakorn y Pinder (1983), y Sun (1996). Wang y anderson (1982)y de Istok (1989) proporcionan las discusiones a nivel de
introduccin del tema.
7.1 METODOS EULERIANOS(cont)Mtodo de Elemetos Finitos
Resultados obtenidos para el problemadi i d t t l
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
81/92
81
en una dimensin de transporte, con elmtodo de elementos finitos y con elmtodo de diferencias finitas, usandouna malla de espaciamiento y pasos de
tiempo idnticos y los siguientesparmetros:v=1 m/da; = 0.1 m;x=10 m; t=1 da.
La solucin de elementos finitospresenta menor dispersin numrica que
la solucin de diferencias finitas conclculo aguas arriba del termino deadveccin, y la ms pequea oscilacinartificial.
Sin embargo, la solucin de elementosfinitos todava exhibe una considerabledispersin numrica y oscilacinartificial, para este problema dominadopor adveccin. Para reducir este errornumrico la malla espacial deberefinarse.
Cdigos generales que aplican elementos finitos
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
82/92
82
SUTRA (Voss, 1984) es un cdigo de transporte de dos dimensiones queutiliza elementos de cuadriltero. FEMWASTE (Yeh y Ward, 1981) es un cdigo de transporte de dos
dimensiones por elementos finitos que utiliza elementos cuadriltero.FEMWASTE est diseado para trabajar con el cdigo FEMWATERdelos mismos autores (Yeh y Ward, 1980). Una versin ms reciente de
FEMWATER (Lin et al., 1997) es un cdigo de elementos finitostridimensionales para las situaciones que el flujo depende de la densidady simulacin de transporte en virtud de diversas condiciones desaturacin.
El Cdigo de Transporte Princeton (PTC) (Babu y Pinder, 1984) es uncdigo de transporte tridimensional que utiliza la formulacin deelementos finitos en direccin horizontal y la formulacin de diferencias
finitas en la direccin vertical. Otro codigo de elementos finitos tridimensional es CFEST (Gupta et al.
1987), que resuelve corriente, soluto, y el transporte de calor en mediosporosos o fracturados.
Cdigos generales que aplican elementos finitosdisponibles para la solucin de diversosproblemas de transporte.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
83/92
83
7.2 MTODOS LAGRANGIANOSMtodo de camino aleatorio(Random Walk)
Este mtodo usa la tcnica de seguimiento de partculapara aproximar el transporte por adveccin;
el efecto de la dispersin es incorporado por la adicinde un desplazamiento aleatorio a la localizacin de la
partcula despus de cada movimiento advectivo.
La sorcin y el decaimiento son manejados ajustandola velocidad de las partculas y la masa acarreada porlas partculas.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
84/92
84
Cdigos
El cdigo RANDOM WALK de Prickett et al.(1981), ha sido con mucho el primer modelo depropsito general bidimensional basado en el
mtodo de camino aleatorio. Este cdigo, juntocon su compaero de modelacin de flujo endiferencias finitas PLASM (Prickett y
Lonnquist, 1971), han sido usadosextensamente en aplicaciones de campo.
7 3 MTODOS
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
85/92
85
7.3 MTODOSEULERIANO-LAGRANGIANOS
Resuelven el trmino de adveccin con unaaproximacin LAGRANGIANA,y los trminos de dispersin y reaccin con
una aproximacin EULERIANA.
MTODOS
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
86/92
86
MTODOSEULERIANO-LAGRANGIANOS
Dependiendo del uso de las tcnicas Lagrangianas para aproximar eltrmino de adveccin los mtodos Euleriano-Lagrangianos se
pueden agrupar en:
mtodo de caractersticas de seguimiento hacia delante MOC
(Konikow y Bredehoeft, 1978; Douglass y Russell, 1982; Zheng,1993);
Mtodo modificado de caractersticas de seguimiento hacia atrsMMOC (Russell y Wleeler,1983; Bentley y Pinder, 1992);
Combinaciones de estos dos mtodos.
Otro esquema es el Mtodo Adjunto Localizado Euleriano-Lagrangiano ELLAM (Herrera, et al., 1993), el cual da seguimientoa la masa asociada con volmenes de fluidos para conservar masalocalmente y globalmente.
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
87/92
87
MTODO DE CARACTERSTICAS. (MOC)
Aplicado por Garder et. al (1964) para estudiar el transporte en porosidad media.
Se simulaba el desplazamiento y depsito de partculas.
Tiempo despus el mtodo fue utilizado para el modelo de trasporte de solutos en
dos dimensiones de Konikow y redehoeft. Este mtodo es mejor conocido como
MOC.
Pasos esenciales para el uso del MOC
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
88/92
88
ASIGNACIN DE LA PARTCULA INICIAL.
El MOC utiliza una tcnica de seguimiento de partcula convencionalpara solucionar el termino advectivo.
A cada partcula se le asigna una concentracin igual a laconcentracin de la celda cuando inicia.
Partcula dinmica de patrn al
azar
Partcula uniforme de patrn
establecido
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
89/92
89
Al final de cada paso de tiempo, elpromedio de las concentraciones delas partculas en la celda esevaluado.
Para poder calcular el movimiento
de las partculas 4-7 se hace unpromedio aritmtico de laconcentracin expresado por laecuacin:
*
1
10
mNPn n
m p m
pm
C C if NP NP
8 E i t i
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
90/92
90
8. Experimentos numricosEcuacin de transporte
en Hidrologa subterrnea los modelos detransporte estacionario para dos dimensionestienen la siguiente ecuacin:
S
S
q
C D C vC C C L
Sq
SC
D
flujo volumtrico de agua desde o hacia el acufero.
es la concentracin en fuentes o sumideros,
es la porosidad del medio, adimensional.
escalar que puede ser trmino de reaccin qumica o decaimiento radiactivo.
es el tensor de dispersin hidrodinmica
es el vector de velocidadv
8 E i t i
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
91/92
91
8. Experimentos numricosProblema con saltos prescritos
Transporte con adveccin dominante
Parmetros y condiciones de
salto prescrito
0.a u bu
11 12
21 22
1
2
1 0
0 1
1
1
0
0
a aa
a a
b v
b b v
c
f
0 ,0.5 4; 0,1j x x
8. Experimentos numricos
7/24/2019 6-Transporte2010.pdf
92/92
TH en mallas cuadrilteras en regionesirregulares
Problema consaltos prescritos
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 6.15: Malla para
dominio irregular cncavo yconvexo, con la solucinobtenida en paralelogramos,para el problema con saltosprescritos con 10x10elementos, y 40x40
elementos .
Recommended