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portafolio de algebra lineal
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“INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA
PAZ”
“CARPETA DE EVIDENCIAS”
ALGEBRA LINEAL
I Unidad
Prof. OSCAR GUERRERO PIÑERA
Jesús Patricio Franco Galván
Contador público
“NÚMEROS COMPLEJOS”
Números complejos: surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.
Números reales: estos números nos sirven para contar y ordenar, son para hacer sumas, restas, etc.
N= {1, 2, 3, 4…..}
¿Cuáles de las ecuaciones no se pueden resolver con los números naturales?
a) X+5=12 b) X+11=30
c) X+7=7 d) X+12=5
¿Cuáles no se pueden resolver con los números naturales?
a) X+25=27 c) X-6=0 e) X+4=1
b) X+4=20 d) X-7=4 f) X+14=10
¿Qué ecuaciones no se pueden resolver con los números enteros?
a) 3X=15 c) 11X=-341
b)-2X=18 d) 4X=34
Para que las ecuaciones del tipo AX=B tengan siempre solución, debemos usar el conjunto de los números racionales pues con los naturales no siempre se puede restar.
Q= { X/X = ABdonde: A, B, ∈ σ ≠ 0 }
¿Cuáles no se pueden resolver con los números enteros?
a) -5X=60 c) 2X+1=15 e) -3X-3=1
b) -7X=22 d) 6X-2=10 f) –X+7=6
¿Cuáles de ellas no tienen solución en los racionales?
R= d
¿Qué tipos de números han resultado cuando las soluciones no pertenecen a los números racionales (Q)?
a) 3X2-12=0 b) X2-6X+8=0
3X2=12 X2= 123
x=−6±√(−6)2−4 (1 )(8)
2(1)
X=√4 X=2
x=6±√36−322
6±√ 42 6±√2
b) 2X2+X-1=0 d) X2-2=0
x=−1±√(−1)2−4 (2 )(−1)
2(2)
X= √2
x=1±√−1−84
1 ±√−9
Números irracionales (decimales no periódicos infinitos).
Radicales no exactos √2, √3, √5….
a)5X2-15=0
b) X2-3X-4=0 x=−0±√(0)2−4 (5 )(−15)2(5)
x=−3±√(3)2−4 (1 )(−4)
2(1)
x=0±√30010
x=0±√3010
x=3±√9−162
X1=√3 X2=√−3
3±√−7
c)2X2+5X+1=0 d) X2-9=0
x=−5±√¿¿¿ x=−0±√(0)2−4 (1 )(9)
2 (1)
x=0±√362
x=5±√25−84
x=5±√174
x=0±√182
X±√9
X1=5±√174
X2=5±−√17
4 X1=√3 X2
=−√3
e) 7X2-7X=0
f) 2X2+3X=0 x=−0±√(0)2−4 (7 )(−7)2 (7) x=
0±√19614
x=−0±√(0)2−4 (2 )(3)
2(2) x=−0±√24
4
x=0±√1414
X1=1 X2=0 0±√6 X1=√6
X2=−√6
¿Qué ecuación se puede resolver en Q?
B, D, E, y F
¿Cuáles soluciones son racionales y cuales irracionales?
RAC.. b, d, e, y f. IRRAC.. a y c.
Paso de Q (racionales) a R (reales)
X2-4X+3=0 X2-2X+1=0
(X-1)(X-3) (X-1)(X-1)
X-1=0 X-3=0 X-1=0 X-1=0
X1=1 X2=3 X1=1 X2=1
X2-6X+11=0
x=−6±√¿¿¿
x=6±√¿¿¿ x=6±√8
Discriminante
x=−b±√b2−4ac2a
DISCRIMINANTE ECUACION FUNCION
Si D > 0 Dos soluciones Dos puntos de corte con el eje X
Si D = 0 Una solución Un punto de corte en el eje X
Si D < 0 Ninguna solución Ningún punto de corte en el eje X
RESOLVER
a¿X ¿2-2=0 b¿X ¿2-2X+1=0
X2=2 X=√2 (X-1) (X-1)
X-1=0 X-1=0
X1=1 X2=1
c ¿3 X ¿2+9=0 d ¿ X ¿2+1=0
X2=-9 X2=-1
X= −93
X=√−1
X1=-3 X2=√−3 e ¿5 X ¿2+10=0
5 X2=-10
X=−105
X1=-2 X2=√−2
¿Cuál de ellas no tienen solución en los R?
AYB
¿Qué signo tiene el discriminante de la ecuación cuando decimos que no tiene solución real? NEGATIVO
¿Qué operación no se puede resolver con los números reales?
RAICES NEGATIVAS
NUMEROS COMPLEJOS
i=√−1 NOTA 1: los reales también son complejos a+oi.
i2 =-1 NOTA 2: los complejos donde A=0 se llaman imaginarios 0+bi.
Z=a+bi NOTA 3: si a+bi es numero complejo a es la parte real y b imaginaria.
A y b son números reales.
EJEMPLO: 3+5i
12−√2 i -3i
CONJUGADOSZ=A+Bi Z=A-Bi
El conjugado de es..
3+2i= 3-2i
3-2i= 3+2i
7i= -7i
9= 9
OPUESTOSZ=A+Bi z=A+Bi
El opuesto de es…
3+2i= -3-2i
3-2i= -3+2i
7i= -7i 9= -9
1-ESCRIBIR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES EN Bi.
a¿√−9 c ¿√−8 e ¿√−116
√9 √−1= √3 √−1 √8 √−1= √4 √−1 √ 116 √−1=
14 √−1
=3i =2 √2i
√ 14 ib¿√−100 d ¿√−7 f ¿ √−4
9
√100 √−1= √10 √−1 √7 √−1= √7 i √ 49 √−1=√ 23 =
√−1
√10 i
=√ 23 i2- DETERMINAR: A) LA PARTE REAL, B) LA PARTE IMAGINARIA, C) EL CONJUGADO, D) EL OPUESTO DEL NÚMERO CONJUGADO.
I. 1-i= a) 1 b) -1 c) 1-i d) -1-0iII. 1-i= a) 1 b) 0 c) 1+0i d) -1+0iIII. -2+4i= a) -2 b) 4 c) -2-4i d) 2-4iIV. 2= a) 2 b) 0i c) 2-0i d) -2-0iV. 2i= a) 0 b) 2 c) 0-2i d) -0-2i
VI. 3−5 i2 = a) 32 b) −5
2 c) 32 + 52 d) -32 +52
VII. -√2 + √3 i= a) -√2 b) √3 c) -√2 - √3 d) √2 - √3
VIII. 0= a) 0 b) 0i c) 0-0i d) -0-0i
SUMA Y RESTA DE COMPLEJOS
Z1+Z2= (A+Bi) + (C+Di)= (A-C) + (B-D)i
Z1−Z2= (A+Bi) - (C+Di)= (A-C) + (B-D)i
a) (3+i) + (1-3i)= (3+1) + (1-3)i= 4-2ib) (3+i) - (1-3i)= (3-1) + (1-3)i= 2+4ic)(-5+3i) + (6+4i)= (-5+6) + (3+4)i= 1+7id) (-5+3i) - (6+4i)= (-5-6) + (3-4)i= -11-ie) (1-4i) + (-1-i)= (1-1) + (-4+(-1))i= -5if) (1-4i) - (-1-i)= (1-1) + (-4-1)i= 2-3ig) (-4+2i) + (1+5i)= (-4+1) + (2+5)i= -
3+7ih) (-4-2i) - (1-5i)= (-4-(-1)) + (-2-(-5))i= -
5+3i
Ejercicio:
1) (4-4i)+4= (4+4) + (-4)i= 8-4i2) (4-4i4= (4-(-4)) + (-4)i= -4i3) (6+3i) + el conjugado de (6+3i)= (6+3i)
+ (6-3i)= (6+6) + (3+(-3))i= 12i4) )-5-i) – el opuesto de (-5-i)= (-5-i) - (-
5+i)= (-5-5) + (-1-1)i= -10-2i5) i+(-2+3i)=(-2)+(1+3)i=-2+4i6) i-(-2+i)=-(-2)-(1-1)= 2i
7) (0.5+5i)-(-3+0.6i)= (0.5-(-3))-(5-0.6)i=(0.5-(-3))-(5-0.6)i= 3.5+4.4i
8) (0.8-2.9i)+(5.2+2.9i)=(0.8+5.2)+(-2.9+2.9)i= 6i
9) (√3-2i)+(−2√3+2i)= (√3)+(−2√3)+(-2+2)=-2i10) (9+2bi)-(-3a-bi)=(a-(-3a))-(2-(-b))=
4a+3bi11) (5+2i)+(-5-2i)=(5+(-5))+(2+(-2))= 012) (8-√2i)+(8+√2i)=(8+8)+( -√2+√2)=16i
MULTIPLICACION DE COMPLEJOS
Si Z1= A+Bi Z2=C+Di Z1∗Z2= (A+Bi) * (C+Di)= (AC-BD) + (AD+BC)i
Si KER -> K(A+Bi)= KA+KBi
(2+3i)(4+7i)= (8+14i+12i+21i2)= 8+14i+12i+21(-1)= -13+26i
(2-7i)(3+4i)= (6+28)+(8-21)i= 34-13i
(1+i)(2-3i)= (2+3)+(-3+2)i= 5-1
Resolver:
1) (2+3i)(-2-3i)= (-4+9)+(-6-6)i= 5-12i2) (-1-2i)(-1+2i)= (1+4)+(-2+2)i= 53) 5(2+5i)=10+25i4) 2(3+2i)=6+4i5) (2+5i)(2-5i)= (4+25)+(-10+10)i= 29
6) (6+3i)(2+i)= (12-3)+(6+6)i= 9+12i
DIVICION
Si Z1= A+Bi Y Z2=C+Di siendo Z2≠0
Conjugado del denominador
z1z2 = (a+bi)
(c+di) = (a+bi )(c−di)
(c+di )(c−di) = ac+bd
c2+d2 ≠ bc−adc2+d2
Conjugado del denominado
3+2i−1+2 = (3+2i )(−1−2i)
(−1+2i )(−1−2i) = −3−6 i−2i−4 i1−4 i2 = 1−8 i5
a) 2+4 i4−2 i =
(2+4 i )(3−i)(3+i )(3−i) = 8+4 i+16 i+8 i
2
16−4 i2 = 20i20
b) 1−4 i3−i =
(1−4 i )(3−i)(3+i )(3−i) = 3−i−12 i+4 i
2
9−i2 = −1−13 i10
c) 5+i−2−i =
(5+i )(−2+i)(−2−i )(−2+i) = −10+5 i−2i+i
2
4−i2 = −11+3 i5
d) 4−2 ii =
(4−2 i ) (−i )( i ) (−i ) = −4 i+2 i
2
−i2 = −2−4 i1
e) −1+3i2−i =
(−1+3i )(3+ i)(2−i )(3+i) = −2−i+6 i+3 i
2
4−i2 = −5+5 i5 = -1+i
f) 1−4 i3−i =
(1−4 i )(3+i)(3−i )(3+ i) = 3+i−12 i−4 i
2
9+3 i−3 i−i2 = 710 = −1110 i
g) 5+i2+i =
(5+i )(2−i)(2+i )(2−i) = 10−5 i+2i−i
2
4−i2 = 11−3 i5
INVERSOS
Si Z1= A+Bi Z1≠0
1Z= 1
(A+Bi) = 1 (a−bi )(A+Bi)(A−Bi) = a
A2+B2 - b
A2+B2 i
1+2i= 11+2i = =
1 (1−2 i)(1+2i )(1−2i) =
1−2 i1−4 i2 – 1−2 i5 i
a) 3+2i= 13+2i = =
1 (3−2 i )(3+2i )(3−2 i) =
3−2 i9−4 i2 – 513 i
b) -3-2i= 1−3−2 i = =
1 (−3+2 i )(−3−2 i )(−3+2 i) =
−3+2 i9−4 i2 – −513
c)2i= 11+2i = =
1 (−2 i )(2i )(−2 i) =
−2i−4 i2 – −2i4
d) 5= 15 = = 1 (5 )
(5 )(5) = 525 =5