Análisis de Error en Estado Estacionario

ANÁLISIS DE ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO

Ing. Gabriel Gonzalo Gaibor Yánez.

ERROR DE ESTADO ESTABLE O ESTACIONARIO

• Error que se presenta cuando la salida en estado estable no coincide exactamente con el valor de referencia deseado.

• Indica la precisión del sistema.

SEÑALES DE PRUEBAS TÍPICAS

• Se utilizan para obtener la respuestas en el tiempo de sistema de control.

• Entre ellas tenemos :• Función Impulso• Función Rampa.• Función Escalón.• Función Parabólica.

FUNCIÓN ESCALÓN

• Prueba la respuesta del sistema a un cambio instantáneo en la entrada de referencia

• Útil se el sistema está expuesto a perturbaciones repentinas .

• Indica que tan rápido responde el sistema a cambios bruscos

FUNCIÓN ESCALÓN

• En el dominio de tiempo

r

• En el dominio de Laplace.

r

• R = Es la constante de amplitud.

FUNCIÓN RAMPA

• Función que cambia constantemente con el tiempo.

• Prueba como responde el sistema a señales que cambian linealmente con el tiempo

FUNCIÓN RAMPA

• En el dominio de tiempo

r

• En el dominio de Laplace.

r

• R = Es la constante de amplitud.

FUNCIÓN PARABÓLICA

• Tiene un orden más rápido que la función rampa.

• Se considera R/2 por conveniência.

FUNCIÓN PARABÓLICA

• En el dominio de tiempo

r

• En el dominio de Laplace.

r

• R = Es una constante real.

r

ERROR EN ESTADO ESTABLE • Debido a la composición física de los sistemas

(ejemplo fricción), la respuesta de salida en estado estable frecuentemente no coincide con la referencia.

• Objetivo de los sistemas de control: Mantener el error en el mínimo posible o por debajo de un valor tolerable.

• La exactitud del sistema de control está ligada a los objetivos del sistema o aplicación.

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• En un sistema de control a lazo cerrado:

Figura 1,1 Representación de un sistema a Lazo Cerrado por Retroalimentación

• Error del sistema se lo define como :• •

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• Refiriéndose al error del sistema en función del tiempo se obtiene:

•

• Refiriéndose al error del sistema en función de Laplace se obtiene:

•

• Ahora debemos encontrar la función de transferencia.Recordando que la función de transferencia se obtiene.

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• Para este sistema de la Figura 1,1 su FDT es :

• Observad que el sistema esta dada por una retroalimentación , mediante una operación negativa , en el caso que la operación se encuentre con una operación positiva , la FDT quedaría como:

• Analizaremos el siguiente sistema de control a lazo cerrado • Con la siguiente caso:

• Retroalimentación Unitaria=1

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• Analizando el Sistema por Retroalimentación Unitaria su FDT corresponde:

• Además el Error de este Sistema será:

• Despejando Y(s) , obtendremos la siguiente ecuación;

• Ahora remplazaremos Y(s) en la ecuación de error del sistema y obtenemos:

• Observad que podemos sacar factor R(s) y la nueva expresión quedara:

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• Realizamos las sumatoria y obtendremos la siguiente expresión:

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• Usando el Teorema de Valor Final::Error Estable.

• depende de G(s) y específicamente del número de polos en s=0.• En general una función de transferencia puede ser escrita en una función de

ceros y polos como :

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• En forma normalizada de constante de tiempo como:

• Donde KLA es la ganancia normalizada de Lazo Abierto.• El término en el denominador, representa un polo de multiplicidad n en el

origen. • Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir

entradas impulso, escalón, rampa, aceleración(parabólica) ,etc. • Esta clasificación se basa en el número de integradores en el origen de la

Función de Transferencia de Lazo Abierto es decir en el tipo del sistema.

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• Para una mayor comprensión , realizaremos el siguiente ejemplo:

• Ahora debemos llevarla al siguiente forma:

• Para poder encontrar KLA debemos encontrar el limite de al FDT.

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• Ahora si se fijan debe los valor de T1..T2..Ta+Tb son valor constantes, que se determinan dividiendo el termino constante ejemplo:

• Donde T1 es el factor que multiplica a S , en este caso

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• Ahora aplicamos el mismo procedimiento ,para las demás polos y ceros y tendremos las siguiente expresión:

• .•

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

• Otro termino importante es el régimen permanente, donde el erros estable se obtiene aplicando el Teorema de Valor Final.

Para ser aplicado el Teorema de Laplace debe existir ( ) y la función S.F(S) no 𝑓 𝑡debe tener polos en el semiplano derecho del plano S, ni en el eje jw (lo que equivale a decir que el sistema sea estable) y f(t) deben ser transformable por Laplace.

ERROR EN ESTADO ESTABLE EN FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN DEL SISTEMA

CONSTANTES DE ESTADO ESTACIONARIO

• Se definirán unas cifras de mérito denominadas “constantes de error de estado estacionario”.

• Las constantes de error (Kp, Kv, Ka) describen la capacidad que un sistema con realimentación unitaria tiene para reducir o eliminar el error de estado estable. Por lo tanto indican el desempeño estable del sistema. Mientras más altas son las constantes, más pequeño es el error en estado estable.

• Constante de Error de Posición Estática “Kp” Se define solamente para una entrada escalón.

• Kp se define como:

• Remplazando en la ecuación del error estable , obtenemos:

CONSTANTES DE ESTADO ESTACIONARIO

• Constante de Error de Velocidad Estática “Kv”.

• Se define solamente para una entrada rampa.

• Kp se define como:

CONSTANTES DE ESTADO ESTACIONARIO

• Constante de Error de Posición Estática “Ka”.

• Se define solamente para una entrada de aceleración( Parabólica).

• Kp se define como:

CONSTANTES DE ESTADO ESTACIONARIO

• Resumiendo los resultados obtenidos en un cuadro de valores, para las diferentes señales de referencia con ganancia R se tendrá:

CONSTANTES DE ESTADO ESTACIONARIO

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=0 analíticamente.

• Aplicamos el error estable.

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=0 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función escalón.

Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=0 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función rampa.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=0 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función parabólica.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

COMPROBANDO DEL TIPO SISTEMA

• Observamos que el primer tipo de sistema de orden n=0, es correcto sus resultados

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=1 analíticamente.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=1 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función escalón.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=1 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función rampa.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=1 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función parabólica.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Observamos que el primer tipo de sistema de orden n=1, es correcto sus resultados.

COMPROBANDO DEL TIPO SISTEMA

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=2 analíticamente.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=2 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función escalón.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=2 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función rampa.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=2 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función parabólica.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Observamos que el primer tipo de sistema de orden n=0, es correcto sus resultados.

COMPROBANDO DEL TIPO SISTEMA

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=3 analíticamente.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=3 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función escalón.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=3 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función rampa.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Demostrar Kp,Kv,Ka en un sistema de orden n=3 analíticamente.

• Para orden cero : Se usa solo como muestra la función parabólica.

• Aplicamos el error estable.

DEMOSTRACIÓN DE TIPOS DE SISTEMAS

• Observamos que el primer tipo de sistema de orden n=0, es correcto sus resultados.

COMPROBANDO DEL TIPO SISTEMA

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

• Dado el error calcular el rango de la ganancia de lazo , de la siguiente FDT:

• Hallar el valor de K de manera que el error en estacionario sea <0.1• Solución• El sistema es tipo cero de manera que el error

• Para una entrada Tipo impulso:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

• Para una entrada tipo Escalón:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

• Para una entada tipo Rampa:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• https://hellsingge.files.wordpress.com/2014/10/ingenieria-de-control-moderna-ogata-5ed.pdf.

• https://sergoalvarado.files.wordpress.com/2009/01/sistemas-de-control-automatico-benjamin-c-kuo.pdf

• http://iele.edii.uclm.es/Estudios/ITIE/Albacete/Asignaturas/CII_archivos/A_Descarga/Transparencias/Tema02/Tema02.pdf

• http://www.ie.itcr.ac.cr/gaby/Licenciatura/Analisis_Sistemas_Lineales/Presentaciones/08_Error_Estado_Estable_v08s02.pdf.