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Análisis de Fourier
Introducción
Cualquier señal periódica continua se puede representar como una serie infinita de senos y cosenos de diferentes amplitudes cuyas frecuencias son harmónicas de la frecuencia de la señal. Esto es lo que se conoce como la serie de Fourier de la señal.
Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...
Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.
Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que
w1T= 2pm, w2T=2pnDe donde
Es decir, la relación w1/ w2 debe ser un número racional. n
m
2
1
Serie Trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...
Donde w0=2p/T.
Es decir,
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021
Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como
Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:
)tn(sen
ba
b)tncos(
ba
aba 02
n2n
n02
n2n
n2n
2n
Con lo cual la expresión queda
n2n
2n
n
n2n
2n
n
senba
b
cosba
a
an
bn
2n
2nn baC
qn
)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn
)tncos(C n0n
Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como
Así,
y
1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
2n
2nn baC
n
n1n a
btan
Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021
Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T
2/T0T
2n
,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T
2/T0T
2n
2/T
2/TT2
0 dt)t(fa
Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:
Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
2T
2T
t0para1
0tpara1)t(f
Coeficientes an:
2/T
2/T0T
2n dt)tncos()t(fa
2/T
00
0
2/T0T
2 dt)tncos(dt)tncos(
0
2/T
002/T
0
00
T2 )tn(sen
n
1)tn(sen
n
1
0npara0
Coeficiente a0:
2/T
2/TT2
0 dt)t(fa
2/T
0
0
2/TT2 dtdt
0
2/T
2/T
0
T2 tt
0
Coeficientes bn:
2/T
2/T0T
2n dt)tn(sen)t(fb
2/T
00
0
2/T0T
2 dt)tn(sendt)tn(sen
0
2/T
002/T
0
00
T2 )tncos(
n
1)tncos(
n
1
)1)n(cos())ncos(1(n
1
0npara))1(1n
2 n
Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0=p, es decir, T=2:
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4
)t(f 051
031
0
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Co
mp
on
ente
s
Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoseptimo armónico
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T=2p/w0.
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
Donde
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021
)ee()tn(sen
)ee()tncos(tjntjn
j21
0
tjntjn21
0
00
00
1j
Series de Fourier. 19
Forma Compleja de la Serie de Fourier
La serie se puede escribir como
O bien,
Es decir,
)ecec(c)t(f1n
tjnn
tjnn0
00
1n
tjnn
1n
tjnn0
00 ececc)t(f
n
tjnn
0ec)t(f
A la expresión obtenida
Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:
Para n=0, 1, 2, 3, ...
T
0
tjnT1
n dte)t(fc 0
n
tjnn
0ec)t(f
Espectros de Frecuencia Discreta
Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.
Espectros de Frecuencia Discreta
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de w0).
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 Espectro de Amplitud de f(t)
n
Cn
Frecuencia negativa (?) Frecuencia
De la Serie a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?
La respuesta es sí, pero ahora el espectro de frecuencias NO es discreto sino continuo.
De la Serie a la Transformada de Fourier
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1f(t)
t. . . -T -T/2
0
T/2 T . . .
p
-p/2 p/2
2T
2p
2p
2p
2p
2T
t0
t1
t0
)t(f
Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
c n
-50 0 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p=1, T=5
-50 0 50-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p=1, T=10
-50 0 50-0.02
0
0.02
0.04
0.06p=1, T=20
-50 0 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6p=1, T=2
w=nw0
c n
Si hace T muy grande (T): El espectro se vuelve ¡continuo!
Es decir,
Donde
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa
de)(F)t(f tj
21
dte)t(f)(F tj
Identidad de Fourier
TransformadaDe Fourier
Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
de)(F)t(f)](F[ tj211F
dte)t(f)(F)]t(f[ tjF
Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
t0
t1
t0
)t(f
2p
2p
2p
2p
Integrando
Usando la fórmula de Euler:
Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn
cuando T , pero multiplicado por T.
2/p
2/p
tjtj dtedte)t(f)(F
2/p
2/p
tjj1 e
)ee( 2/pj2/pjj1
2/p)2/p(sen
p)(F
En forma Gráfica
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
Señales Discretas
Tipos de señales :1) Analógica : Continua en tiempo y amplitud
2) Discreta en el Tiempo:
La Transformada Discreta de Fourier
Cuando la función f(t) está dada por una lista de N valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que está discretizada o muestreada, entonces la integral que define la Transformada de Fourier:
Se convierte en la sumatoria
(Donde k es la frecuencia discreta)Llamada Transformada Discreta de Fourier
dte)t(f)(F tj
Nn1para,e)t(f)n(FN
1k
)1k(jk
Nn2
La Transformada Discreta de Fourier (DFT) requiere el cálculo de N funciones exponenciales para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de cálculo enorme para N grande.
Se han desarrollado métodos que permiten ahorrar cálculos y evaluar de manera rápida la Transformada discreta, a estos métodos se les llama
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
En el cálculo de la transformada directa de Fourier el número de operaciones requeridas es proporcional a N2
En el cálculo de la transformada rápida de Fourier (FFT) el número de operaciones requeridas es proporcional a N(lnN)
En Resumen: Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal
continua y periódica empleamos su SERIE DE FOURIER
Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal continua aperiódica empleamos la TRANSFORMADA DE FOURIER
Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal discreta y periódica empleamos la DFT
Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal discreta aperiódica aproximamos con la DFT
La DFT se implementa con la FFT
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