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Matemática Superior Aplicada
Aproximación de derivadas
Aproximaciones con mayor exactitud
Derivadas de orden superior
Prof.: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz
J.T.P.: Dr. Juan Ignacio Manassaldi
Aux. 2da: Sra. Amalia Rueda
Aux. 2da: Sr. Alejandro Jesús Ladreyt
Derivada Numérica (Repaso)
h
hxfhxfxf
2
)()()( 00
0
'
h
xfhxfxf
)()()( 00
0
'
h
hxfxfxf
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0
'
)( 2hE
)(hE
)(hE
?
Derivada Numérica (Repaso)
h
hxfhxfxf
2
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0
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h
xfhxfxf
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0
'
h
hxfxfxf
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hxf
hE!2
)( 0
''
20
'''2
!3
)(h
xfhE
Derivada Numérica (Repaso)
h
hxfhxfxf
2
)()()( 00
0
'
h
xfhxfxf
)()()( 00
0
' h
xfhE
!2
)( 0
''
20
'''2
!3
)(h
xfhE
32
12'''
1''
1'ln
xxf
xxf
xxfxxf
Estimar la derivada de f(x) en x=3 con un h=0.01 Estimar el error cometido Calcular el error exacto cometido utilizando la derivada analítica
Serie de Taylor en torno a x0
n
n
n
xxn
xfxf )(
!
)()( 0
0
0
)(
Aproximación de Derivadas
x0 x0 + h x0 - h
n
n
nn
n
n
hn
xfxhx
n
xfhxf )(
!
)()(
!
)()(
0
0
)(
00
0
0
)(
0
n
n
n
hn
xfhxf
0
0
)(
0!
)()(
Taylor en torno a x0 con intervalos equiespaciados
Hacia delante
Hacia atrás
n
n
nn h
n
xfhxf
0
0
)(
0!
)()1()(
k intervalos hacia delante
n
n
nn h
n
xfkkhxf
0
0
)(
0!
)()(
k intervalos hacia atrás
n
n
nn h
n
xfkkhxf
0
0
)(
0!
)()()(
Aproximaciones con mayor exactitud
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...32!5
)(16
!4
)(8
!3
)(4
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)(2)()()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...32!5
)(16
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)(8
!3
)(4
!2
)(2)()()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
x0 x0 + h x0 + 2h x0 - 2h x0 - h
....)(8)2()(8)2( 0000 hxfhxfhxfhxf
...!5
)(8
!4
)(8
!3
)(8
!2
)(8)(8)(8)(8 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(32
!4
)(16
!3
)(8
!2
)(4)(2)()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(32
!4
)(16
!3
)(8
!2
)(4)(2)()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(8
!4
)(8
!3
)(8
!2
)(8)(8)(8)(8 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
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50
'''''
0
'
0000!5
)(48)(12)(8)2()(8)2( h
xfhxfhxfhxfhxfhxf
...!5
)(4
12
)(8)2()(8)2()( 40
'''''
00000
'
hxf
h
hxfhxfhxfhxfxf
Error de Truncamiento
Aproximaciones con mayor exactitud
h
hxfhxfhxfhxfxf
12
)(8)2()(8)2()( 0000
0
'
40
'''''4
!5
)(4 h
xfhE
Aproximaciones con mayor exactitud
Error de Truncamiento
Reglas practicas para aproximar derivadas de cualquier orden
- Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas una debajo de la otra. - Mediante combinaciones lineales se deben eliminar todas las derivadas de orden menor (sin anular la de interés) y de manera simultanea intentar minimizar el error. - Finalmente despejamos nuestro objetivo y obtenemos la aproximación del error.
Ejemplo para f ’’ utilizando dos aproximaciones:
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!6
)(2
!4
)(2
!2
)(2)(2)()( 60
''''''40
''''20
''
000 hxf
hxf
hxf
xfhxfhxf
+
...!6
)(2
!4
)(2
)(2)()()( 40
''''''20
''''
2
0000
''
hxf
hxf
h
xfhxfhxfxf
Error de Truncamiento
Reglas practicas para aproximar derivadas de cualquier orden
- Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas una debajo de la otra. - Mediante combinaciones lineales se debe buscar eliminar todas las derivadas de orden menor sin anular la que buscamos aproximar. - Finalmente despejamos nuestro objetivo y obtenemos la aproximación del error.
Ejemplo para f ’’ utilizando dos aproximaciones:
2
0000
'' )(2)()()(
h
xfhxfhxfxf
20
''''2
!4
)(2)( h
xfhE
Ejercicio
- Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas una debajo de la otra - Mediante combinaciones lineales se debe buscar eliminar todas las derivadas de orden menor sin anular la que buscamos aproximar - Finalmente despejamos nuestro objetivo y obtenemos la aproximación del error
Obtener una aproximación de la derivada segunda a partir de dos puntos hacia delante (k=1 y k=2) Hallar la estimación del error de truncamiento y compararla con el valor real para la funcion f(x)=ln(x) utilizando un incremento de h=0.01 en x=3
n
n
n
hkn
xfkhxf )(
!
)()(
0
0
)(
0
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
Ejercicio
...!5
)(32
!4
)(16
!3
)(8
!2
)(4)(2)()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
2
-
...!5
)(30
!4
)(14
!3
)(6
!2
)(2)()(2)2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
000 hxf
hxf
hxf
hxf
xfhxfhxf
...!5
)(30
!4
)(14
!3
)(6)()(2)2(
!2
)(2 50
'''''40
''''30
'''
000
20
''
hxf
hxf
hxf
xfhxfhxfhxf
...!5
)(30
!4
)(14
!3
)(6)()(2)2()( 50
'''''40
''''30
'''
000
2
0
'' hxf
hxf
hxf
xfhxfhxfhxf
...!5
)(30
!4
)(14
!3
)(6
)()(2)2()( 30
'''''20
''''
0
'''
2
0000
''
hxf
hxf
hxf
h
xfhxfhxfxf
Ejercicio
...!5
)(30
!4
)(14
!3
)(6
)()(2)2()( 30
'''''20
''''
0
'''
2
0000
''
hxf
hxf
hxf
h
xfhxfhxfxf
hxf
hE!3
)(6)( 0
'''
2
0000
'' )()(2)2()(
h
xfhxfhxfxf
Ejercicio
2
''
01.0
)3()01.03(2)01.0*23()3(
ffff
0001.0
1.0986121.101940*21.105257)3(''
f
-0.110375)3('' f
2
0000
'' )()(2)2()(
h
xfhxfhxfxf
32
12'''
1''
1'ln
xxf
xxf
xxfxxf
h x0 h x0 x0 x0
Ejercicio
-0.110375)3('' f
0.1111113
1)3(
2
'' f
0.110375111111.0
000736.0
32
12'''
1''
1'ln
xxf
xxf
xxfxxf
Ejercicio
32
12'''
1''
1'ln
xxf
xxf
xxfxxf
0.00074101.0!3
272
6)( hE 000736.0
hxf
hE!3
)(6)( 0
'''
hEh
xfhxfhxfxf
2
0000
'' )()(2)2()(
Ejemplo: f’ con 4 hacia delante
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...32!5
)(16
!4
)(8
!3
)(4
!2
)(2)()()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( )3 9 27 81 243 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 4 ) ( ) ( )4 16 64 256 1024 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
48
-36
16
-3
'''''' 40 0 0 0 0 0
0
48 ( ) 36 ( 2 ) 16 ( 3 ) 3 ( 4 ) 25 ( ) ( )( ) 24 ...
12 5!
f x h f x h f x h f x h f x f xf x h
h
'''''' 50
0 0 0 0 0 0
( )48 ( ) 36 ( 2 ) 16 ( 3 ) 3 ( 4 ) 25 ( ) 12 ( ) 288 ...
5!
f xf x h f x h f x h f x h f x f x h h
Ejemplo: f’ con 1 atrás y 3 adelante
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)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
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'
00 hxf
hxf
hxf
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hxfxfhxf
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)(2)()()2( 50
'''''40
''''30
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''
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hxf
hxf
hxf
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'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( )3 9 27 81 243 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
-3
18
-6
1
'''''' 50
0 0 0 0 0 0
( )3 ( ) 18 ( ) 6 ( 2 ) ( 3 ) 10 ( ) 12 ( ) 72 ...
5!
f xf x h f x h f x h f x h f x f x h h
'''''' 40 0 0 0 0 0
0
3 ( ) 18 ( ) 6 ( 2 ) ( 3 ) 10 ( ) ( )( ) 6 ...
12 5!
f x h f x h f x h f x h f x f xf x h
h
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)(
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)(
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)(
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
Ejemplo: f’’ con 4 hacia delante
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...32!5
)(16
!4
)(8
!3
)(4
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( )3 9 27 81 243 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 4 ) ( ) ( )4 16 64 256 1024 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
-104
114
-56
11
''''''' 30 0 0 0 0 0
0 2
104 ( ) 114 ( 2 ) 56 ( 3 ) 11 ( 4 ) 35 ( ) ( )( ) 100 ...
12 5!
f x h f x h f x h f x h f x f xf x h
h
'' '''''2 50 0
0 0 0 0 0
( ) ( )104 ( ) 114 ( 2 ) 56 ( 3 ) 11 ( 4 ) 35 ( ) 24 1200 ...
2! 5!
f x f xf x h f x h f x h f x h f x h h
Ejemplo: f’’ con 1 atrás y 3 adelante
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)(
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)(
!3
)(
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'''''40
''''30
'''20
''
0
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00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...32!5
)(16
!4
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( )3 9 27 81 243 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
11
6
4
-1
'' '''''2 50 0
0 0 0 0 0
( ) ( )11 ( ) 6 ( ) 4 ( 2 ) ( 3 ) 20 ( ) 24 120 ...
2! 5!
f x f xf x h f x h f x h f x h f x h h
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
''''''' 30 0 0 0 0 0
0 2
11 ( ) 6 ( ) 4 ( 2 ) ( 3 ) 20 ( ) ( )( ) 10 ...
12 5!
f x h f x h f x h f x h f x f xf x h
h
Ejemplo: f’’ con 2 atrás y 2 adelante
...!5
)(
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)(
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)(
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)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...32!5
)(16
!4
)(8
!3
)(4
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)(2)()()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
16
-1
16
-1
''20
0 0 0 0 0
( )16 ( ) ( 2 ) 16 ( ) ( 2 ) 30 ( ) 24 ...
2!
f xf x h f x h f x h f x h f x h
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)(
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
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hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
'' 0 0 0 0 00 2
16 ( ) ( 2 ) 16 ( ) ( 2 ) 30 ( )( ) ...
12
f x h f x h f x h f x h f xf x
h
...32!5
)(16
!4
)(8
!3
)(4
!2
)(2)()()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
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