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Cálculo
1. Gráficas y funciones
2. Funciones reales
3. Tipos de funciones
4. Límite de una función
5. Continuidad de funciones
6. Continuidad en un intervalo. Teoremas.
7. Derivadas
8. Cálculo de derivadas
9. Aplicaciones físicas y geométricas de la derivada
1
10. Aplicaciones de las derivadas al estudio de las funciones
11. Aplicaciones de las derivadas. Optimización de funciones
12. Representación gráfica de funciones
13. Integrales indefinidas
14. Métodos de integración
15. Integral definida
16. Teorema de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de L´Hôpital
Coordenadas en el plano
Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas
perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas :
2
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de
coordenadas .
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x,
y).
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la
denominacoordenada x del punto o abscisa del punto .
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le
llama coordenaday del punto u ordenada del punto
Representación gráfica de puntos
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes
iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.
3
Signos
Abscisa Ordenada
1er cuadrante + +
2º cuadrante − +
3er cuadrante − −
4º cuadrante + −
El origen de
coordenadas , O, tiene
de coordenadas:O(0, 0).
4
Los puntos que
están en el eje de
ordenadastienen
su abscisa igual a 0 .
Los puntos
situados en el eje de
abscisas tienen
suordenada igual a 0 .
5
Los puntos situados
en la misma línea
horizontal (paralela al
eje de abscisas) tienen la
misma ordenada.
Los puntos situados
en una misma línea
vertical (paralela al eje
de ordenadas) tienen la
misma abscisa.
6
Ejercicio
Representa en los ejes de coordenadas los puntos:
A(1, 4), B(-3, 2), C(0, 5), D(-4, -4), E(-5, 0), F(4, -3), G(4, 0), H(0, -2)
Tabla de valores
Una tabla es una representación de datos, mediante pares
ordenados, expresan la relación existente entre dos magnitudes o
dos situaciones.
La siguiente tabla dos muestra la variación del precio de las patatas,
según el número de kilogramos que compremos.
Kg de patatas 1 2 3 4 5
Precio en € 2 4 6 8 10
La siguiente tabla nos indica el número de alumnos que consiguen
una determinada nota en un examen.
Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
7
0
Nº de
alumn
os
1 1 2 3 61
1
1
27 4 2 1
Representación gráfica de funciones
Representación gráfica
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los
pares ordenados de una tabla.
Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se
llama variable independiente o variable x .
La que se representa en el eje vertical se llama variable
dependiente o variable y .
La variable y está en función de la variable x.
Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer
conclusiones.
Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a
derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la
variable independiente, x.
Kg de patatas 1 2 3 4 5
Precio en € 2 4 6 8 10
8
En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más
kilos de patatas el precio se va incrementando.
Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91
0
Nº de
alumn
os
1 1 2 3 61
1
1
27 4 2 1
9
En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos
obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.
Representación gráfica de funciones
Gráfica creciente
Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente
aumenta la otra variable.
Gráfica decreciente
Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente
disminuye la otra variable.
10
Gráfica constante
Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra
permanece invariable.
Una gráfica puede tener a la vez partes crecientes y
decrecientes.
11
Concepto de función
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal
manera que a cada valor de la primera le corresponde un único
valor de la segunda, llamada imagen.
El precio de un viaje en taxi viene dado por:
y = 3 + 0.5 x
Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.
Como podemos observar la función relaciona dos variables. x e
y.
x es la variable independiente .
y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el
viaje).
Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para
estudiar mejor su comportamiento.
x 10 20 30
12
y= 3 + 0.5x 8 13 18
Función lineal
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
13
Pendiente
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje
de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con
la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta
con la parte positiva del eje OX es obtuso.
Función afin
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma
pendiente.
14
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la
recta con el eje de ordenadas.
Función constante
La función constante es del tipo:
y = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas .
15
ResumenCoordenadas en el plano
Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas
perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas :
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de
coordenadas .
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x,
y).
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes
iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.
Signos
Abscisa Ordenada
1er cuadrante + +
2º cuadrante − +
3er cuadrante − −
16
4º cuadrante + −
Tablas de valores
Una tabla es una representación de datos, mediante pares
ordenados, expresan la relación existente entre dos magnitudes o
dos situaciones.
Representación gráfica
Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se
llama variable independiente o variable x .
La que se representa en el eje vertical se llama variable
dependiente o variable y .
La variable y está en función de la variable x.
Características de las gráficasGráfica creciente
Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente
aumenta la otra variable.
Gráfica decreciente
Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente
disminuye la otra variable.
Gráfica constante
Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra
permanece invariable.
17
Gráficas y funciones. Ejercicios y problemas
1Representa las siguientes rectas:
1 y = 2
2 y = −2
3 y = x
4 y = 2x − 1
5 y = −2x − 1
6 y = ½x − 1
2Representa las siguientes funciones, sabiendo que:
1 Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.
2 Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).
3Tres kilogramos de boquerones valen 18 €. Escribe y representa la
función que define el coste de los boquerones en función de los kilogramos
comprados.
4En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2
cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al
tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm.
Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del
tiempo y representar gráficamente.
5Cuando se excava hacia el interior de la tierra, la temperatura
aumenta con arreglo a la siguiente fórmula:
t = 15 + 0.01 h.
18
Donde t es la temperatura alcanzada en grados centígrados y h es la
profundidad, en metros, desde la corteza terrestre. Calcular:
1. ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad?
2. ¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura
de 100 ºC?
6El nivel de contaminación de una ciudad a las 6 de la mañana es de
30 partes por millón y crece de forma lineal 25 partes por millón cada
hora. Sea y la contaminación en el instante t después de las 6 de la
mañana.
1.Hallar la ecuación que relaciona y con t.
2. Calcular el nivel de contaminación a las 4 de la tarde.
1
Representa las siguientes rectas:
1 y = 2
2 y = −2
19
3 y = x
x y = x
0 0
1 1
4 y = 2x − 1
x y = 2x −1
0 −1
1 1
20
5 y = −2x − 1
x y = −2x −1
0 −1
1 −3
6 y = ½x − 1
x y = ½x − 1
0 −1
2 0
21
2
Representa las siguientes funciones, sabiendo que:
1 Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.
y = −3x −1
x y = −3x − 1
0 −1
1 −4
2 Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).
22
y = 4 x + n 2 = 4 · (−3) + n n = 14
y = 4x + 14
x y = 4x +14
0 14
1 18
3
Tres kilogramos de boquerones valen 18 €. Escribe y representa la
función que define el coste de los boquerones en función de los kilogramos
comprados.
18/3 = 6 y = 6x
23
4
En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2
cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al
tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm.
Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del
tiempo y representar gráficamente.
Altura inicial = 2 cm
Crecimiento semanal = 2.5 − 2 = 0.5
24
y = 0.5x + 2
5
Cuando se excava hacia el interior de la tierra, la temperatura
aumenta con arreglo a la siguiente fórmula:
t = 15 + 0.01 h.
Donde t es la temperatura alcanzada en grados centígrados y h es la
profundidad, en metros, desde la corteza terrestre. Calcular:
1. ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad?
t = 15 + 0.01 · 100 = 16 ºC
2. ¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura
de 100 ºC?
100 = 15 + 0.01 h = 8 500 m
6
El nivel de contaminación de una ciudad a las 6 de la mañana es de
30 partes por millón y crece de forma lineal 25 partes por millón cada
hora. Sea y la contaminación en el instante t después de las 6 de la
mañana.
25
1.Hallar la ecuación que relaciona y con t.
y = 30 + 25t
2.Calcular el nivel de contaminación a las 4 de la tarde.
Desde las 6 de la mañana a las cuatro de la tarde han transcurrido
10 horas.
f(10) = 30 + 25 · 10 = 280
Examen
1Representa las siguientes rectas:
1 y = 0
2 y = ¾
3 y = 2x
4y = −¾x − 1
2Un grifo, que gotea, llena una probeta dejando caer cada minuto
0.4 cm³ de agua. Forma una tabla de valores de la función, tiempo-
capacidad de agua. Representa la función y encuentra la ecuación.
3Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por
kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario
con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un
total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?
1
Representa las siguientes rectas:
1 y = 0
26
2 y = ¾
3 y = 2x
x y = 2 x
0 0
1 2
27
4y = −¾x − 1
x y = -¾x - 1
0 -1
4 -4
2
Un grifo, que gotea, llena una probeta dejando caer cada minuto 0.4
cm³ de agua. Forma una tabla de valores de la función, tiempo-capacidad
de agua. Representa la función y encuentra la ecuación.
y =0.4 x
Tiempo Capacidad
1 4
28
2 8
3 12
4 16
... ...
3
Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por
kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario
con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un
total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?
y = 0.3 x +100
y = 0.3 · 300 + 100 = 190 €
29
Concepto de función
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal
manera que a cada valor de la primera le corresponde un único
valor de la segunda, llamada imagen.
Función lineal
y = mx
m es la pendiente, que es la inclinación de la recta con
respecto al eje de abscisas.
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Función afín
y = mx + n
m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma
pendiente.
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la
recta con el eje de ordenadas.
Función constante
y = n
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas .
Límite de una función
19.1 Limite de una función en un punto.
19.2 Límites laterales.
30
19.3 Limites infinitos.
19.4 Límites en el infinito.
19.5 Propiedades de los límites.
19.6 Operaciones con infinito.
19.7 Cálculo de límites.
19.8 Cálculo de límites cuando x tiende a ∞.
19.9 Límite de la función exponencial.
19.10 Límite de la función logarítmica.
19.11 Indeterminaciones.
19.12 Comparación de infinitos.
19.13 Límite de un número partido por cero.
19.14 Indeterminación infinito partido infinito.
19.15 Indeterminación infininito menos infinito.
19.16 Indeterminación cero partido cero.
19.17 Indeterminación cero por infinito.
19.18 Indeterminación uno elevado a infinito.
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Límite de una función en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se
acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al
valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los
originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x 2 en el punto x0 = 2.
x f(x)
1,9 3,61
31
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
↓ ↓
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
↓ ↓
2 4
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las
imágenes se acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L ,
cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor
que cero, existe un numero positivo δdependiente de ε , tal que,
para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la
condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .
32
También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que
tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno
de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes
dentro del entorno de L, Eε(L).
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende
hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ >
0 tal que si x (a − δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende
hacia a por la derecha esL , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ >
0 tal que si x (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| <ε .
El límite de una función en un punto si existe, es único.
33
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por
la derecha cuando x tiende a 2 es 4 .
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x
= 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos
interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
Ejemplo
Dada la función:
34
Hallar .
Como no coinciden los límites laterales , la función no tiene límite
en x = 0.
Límite infinito
Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x a, si fijado
un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los
valores próximos a a.
Límite menos infinito
35
Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un
número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los
valores próximos a a.
Límite cuando x tiende a infinito
Límite cuando x tiende a menos infinito
36
37
Límite de una constante
Límite de una suma
Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de una función
38
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Límite de una raíz
Límite de un logaritmo
Sumas con infinito
Infinito más un número
Infinito más infinito
Infinito menos infinito
Productos con infinito
Infinito por un número
Infinito por infinito
Infinito por cero
39
Cocientes con infinito y cero
Cero partido por un número
Un número partido por cero
Un número partido por infinito
Infinito partido por un número
Cero partido por infinito
Infinito partido por cero
Cero partido por cero
Infinito partido por infinito
Potencias con infinito y cero
40
Un número elevado a cero
Cero elevado a cero
Infinito elevado a cero
Cero elevado a un número
Un número elevado a infinito
Cero elevado a infinito
Infinito elevado a infinito
Uno elevado a infinito
No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la
lista. Nos basta con saber:
41
La regla de los signos y que a -n = 1/a n
Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales,
exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces
se suele cumplir que:
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el
valor al que tienden las x .
No podemos calcular porque el dominio de definición está
en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a
-2.
Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no
pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del
dominio tan próximos a 3 como queramos.
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los
puntos de unión de los diferentes trozos.
42
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1 .
Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se
sustituyen las x por ∞.
Límite de funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞
según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.
43
Límite de la inversa de un polinomio en el infinito
Si P(x) es un polinomio, entonces :
.
Cálculo de límites cuando x -∞
No existe el límite, porque el radicando toma valores
negativos.
Si a > 0
44
Si 0 < a < 1
45
Si a > 0
Si 0 < a < 1
46
Límites de logaritmos
47
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se
pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites
tal como las hemos enunciadas no son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para
resolver cada una de las indeterminaciones.
Tipos de indeterminación1. Infinito partido por infinito
2. Infinito menos infinito
3. Cero partido por cero
4. Cero por infinito
5. Cero elevado a cero
48
6. Infinito elevado a cero
7. Uno elevado a infinito
1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:
2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:
2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:
Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un
infinito de orden superior.
Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la
de mayor base es un infinito de orden superior.
49
Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un
infinito de orden superior a cualquier potencia de x.
Las potencias de x son infinitos de orden superior a las
funciones logarítmicas.
Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la
misma base son infinitos del mismo orden.
Hallar los límites por comparación de infinitos:
El límite puede ser +∞, −∞ ó no tener límite.
Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.
Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda
como −1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por
tanto el límite por la izquierda será: +∞.
50
Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como
−0,9. El numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el
límite por la derecha será: − ∞.
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene
límite cuando x −1.
51
Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:
1. Por comparación de infinitos.
El numerador tiene mayor grado que el denominador.
El denominador tiene mayor grado que el numerador.
Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes
de mayor grado.
52
2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los
sumandos por la x elevada al mayor exponente.
Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de
mayor base.
1. Por comparación de infinitos.
53
2. Con funciones racionales .
Ponemos a común denominador .
3. Cuando se trata de funciones irracionales podemos
multiplicar y dividir por el conjugado .
54
1. Función racional sin radicales:
Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la
fracción.
No tiene límite en x = −1
2. Función racional con radicales:
55
En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el
conjugado de la expresión irracional.
Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.
Se transforma a ó a
Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número
e.
56
1er Método:
57
2º Método:
1Aplicando la definición de límite, probar que:
2Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.
58
Calcular los siguientes límites:
3
4
5
6
7
8
9
59
10
11
12
13
14
15
16
17
18Calcular:
1
2
3
60
4
5
6
7
8
Aplicando la definición de límite, probar que:
Para comprobarlo vamos a tomar un ε=0,01.
61
Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que
tener su imagen en el entorno:
Para x = 0.995 f(x)= (0.995 + 3)/2=1.9975.
Para x = 1.015 f(x)=(1.015 + 3)/2=2.0075.
Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.
62
Calcular el límite de:
Calcular el límite de:
Calcular el límite de:
63
Calcular el límite de:
Calcular el límite de:
Al elevar el binomio del numerador al cuadrado obtenemos x 4, y por
tanto el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
Calcular el límite de:
64
El denominador es un infinito de orden superior
Calcular el límite de:
El numerador es un infinito de orden superior
Calcular el límite de:
Calcular el límite de:
65
Calcular el límite de:
Calcular el límite de:
Calcular el límite de:
66
Calcular el límite de:
Calcular el límite de:
Calcular el límite de:
67
Calcular:
1
2
3
4
68
5
6
7
8
Examen de límites de funciones
1Aplicando la definición de límite, probar que:
69
tiene límite -1 cuando x 0
Calcular los siguientes límites:
2
3
4
5
6
1
Aplicando la definición de límite, probar que:
tiene límite -1 cuando x 0
70
Calcular el límite de:
Calcular el límite de:
71
Calcular el límite de:
El denominador es un infinito de orden superior
Calcular el límite de:
72
Calcular el límite de:
Cálculo de derivadas
1. Derivadas inmediatas
2. Derivadas de sumas, productos y cocientes.
3. Derivadas exponenciales.
4. Derivación logarítmica.
5. Derivadas trigonométricas.
6. Derivadas trigonométricas inversas.
7. Derivada de la función compuesta.
8. Derivada de la función inversa.
9. Derivada de la función potencial-exponencial.
10. Derivadas sucesivas.
73
11. Derivación implícita.
12. Diferencial de una función.
13. Resumen.
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Ejercicios 3
Ejercicios de diferencial de una función
Reglas de derivación
Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u
y v como funciones.
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
74
Ejemplos de derivadas
75
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Ejemplos de derivadas con operaciones de funciones
76
77
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Ejemplos de derivadas exponenciales
78
Derivada de un logaritmo
Como , también se puede expresar así:
Derivada de un logaritmo neperiano
Ejemplos de derivadas logarítmicas
79
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
Derivada del seno
Derivada del coseno
80
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Ejemplos de derivadas trigonométricas
81
82
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas
83
Regla de la cadena
Ejemplos de derivadas compuestas
84
Derivada de la función inversa
Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces
En la práctica, para derivar una función y=f(x) a partir de su función
inversa, podemos seguir los siguientes pasos:
1. Buscamos la función inversa de y = f(x), que escribiremos de la
forma x = g(y).
2. Hacemos x' = g'(y).
3. Usando lo anterior, y'=1/x'.
4. Sustituimos x' por g'(y) y operamos.
5. Por último sustituimos x por g(y) y habremos acabado.
Ejemplos
1. Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x
La función inversa de la dada es: .
Sabiendo que x = sen y, se tiene:
85
2. Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x
Derivada de la función exponencial
Estas funciones son del tipo:
Para derivarla se puede utilizar esta fórmula:
O bien tomamos logaritmos y derivamos:
.
.
.
.
.
Derivar tomando logaritmos:
86
.
.
.
.
Derivadas sucesivas
Si derivamos la derivada de una función, derivada primera ,
obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x) .
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x) .
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y así
sucesivamente.
Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:
87
Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para
cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula
recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).
Calcula la derivada enésima de:
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita
cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y
viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo
miembro es cero .
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar
y. Basta derivar miembro a miembro , utilizando las reglas vistas hasta
ahora y teniendo presente que:
88
x'=1.
En general y'≠1 .
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y' .
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla
para facilitar el cálculo:
Diferencial de una función
Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función
correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el
producto f'(x) · h. Se representa por dy .
89
La diferencial en un punto representa el incremento de la
ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la
variable independiente.
Calcular la diferencial de las funciones:
Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando
aumentamos 1mm su lado.
S = x 2 dS = 2x dx
90
d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2
Tabla de derivadas inmediatas
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
91
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
Como , también se puede expresar así:
Derivada del logaritmo neperiano
Derivada del seno
92
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
93
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Derivada de la función potencial-exponencial
Regla de la cadena
Derivadas implícitas
Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas
1Calcula las derivadas de las funciones:
1
2
3
4
5
94
6
7
8
9
2Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:
1
2
3
4
5
6
7
3Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz:
1
2
95
3
4Deriva las funciones exponenciales
1
2
3
4
5
5Calcula la derivada de las funciones logarítmicas:
1
2
3
4
5
Ejercicios resueltos de derivadas1
Calcula las derivadas de las funciones:
96
1
2
3
4
5
6
7
8
9
97
Ejercicios resueltos de derivadas2
Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:
1
2
3
4
5
6
98
7
Ejercicios resueltos de derivadas3
Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz:
1
2
3
99
Ejercicios resueltos de derivadas4
Deriva las funciones exponenciales:
1
2
3
4
100
5
Ejercicios resueltos de derivadas5
Calcula la derivada de las funciones logarítmicas:
1
2
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
3
101
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
4
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
5
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
102
Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas
1Calcula la derivada de la funciones trigonométricas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2Calcula la derivada de la funciones trigonométricas inversas:
1
2
3
4
5
103
3Derivar por la regla de la cadena las funciones:
1
2
3
4
5
6
7
4Deriva las funciones potenciales-exponenciales:
1
2
3
5Hallar las derivadas sucesivas de:
1
2
3
4
6Derivar implicitamente:
104
1
2
7Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1
2
3
4
Ejercicios resueltos de derivadas1
Calcula la derivada de la funciones trigonométricas:
1
2
3
4
105
5
6
7
8
9
106
Ejercicios resueltos de derivadas2
Calcula la derivada de la funciones trigonométricas inversas:
1
2
3
4
5
107
Ejercicios resueltos de derivadas3
Derivar por la regla de la cadena las funciones:
1
2
3
4
108
5
6
7
Ejercicios resueltos de derivadas4
Deriva las funciones potenciales-exponenciales:
1
109
2
3
Ejercicios resueltos de derivadas5
Hallar las derivadas sucesivas de:
1
110
2
3
111
3
Ejercicios resueltos de derivadas6
Derivar implicitamente:
1
2
112
Ejercicios resueltos de derivadas7
Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1
2
3
4
Aplicamos la definición de logaritmo :
113
Ejercicios de derivadas
1Calcula la derivada de la función logarítmica:
2Derivar la función:
3Derivar:
4Calcular la derivada de la función:
5Derivar:
6Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el
área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el
error que se comete al usar difernciales en lugar de incrementos.
7Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista
20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.
8Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del
volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un
instrumento que aprecia milésimas de centímetro.
114
9Si el lugar de se halla . ¿Cuáles son las
aproximaciones del error absoluto y relativo?
1
Calcula la derivada de la función logarítmica:
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
2
Derivar la función:
115
3
Derivar:
4
Calcular la derivada de la función:
5
Derivar:
Aplicamos la definición de logaritmo :
116
6
Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el
área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el
error que se comete al usar difernciales en lugar de incrementos.
7
Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista
20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.
117
8
Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del
volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un
instrumento que aprecia milésimas de centímetro.
9
Si el lugar de se halla . ¿Cuáles son las
aproximaciones del error absoluto y relativo?
Aplicaciones físicas y geométricas de la derivada
1. Ecuación de la recta tangente.
2. Ecuación de la recta normal.
118
3. Aplicaciones físicas de la derivada.
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Problemas de la ecuación de la recta tangente y normal
Problemas de aplicaciones físicas de la derivada
Pendiente de la recta tangente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es
la derivada de la función en dicho punto.
Recta tangente a una curva en un punto
La recta tangente a una curva en un punto es aquella que
pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
119
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 − 5x + 6
paralela a la recta 3x + y − 2 = 0.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
m = −3
f'(a) = 2a − 5
2a − 5 = −3a = 1
P(1, 2)
y − 2= −3 (x − 1)y = −3x + 5
Pendiente de la recta normal
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la
opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser
rectas perpendiculares entre sí.
120
Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la
función en dicho punto.
Recta normal a una curva en un punto
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que
pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de
la opuesta de f'(a).
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y =
x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1
121
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido
(Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media
cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto
al tiempo.
Aceleración instantánea
La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad
respecto al tiempo.
Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio
respecto al tiempo.
El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función e(t) = 3t²
- t +1. El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.
Hallar la ecuación de la velocidad.
v(t)= e′(t) = 6t − 1
122
Hallar la velocidad en el instante t = 0.
v(0)= 6 · 0 − 1 = −1 m/s
Hallar la ecuación de la aceleración.
a(t) = v′(t) = e′′(t) = 6 m/s 2
Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas
1Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 − 3x2 − 9x
+ 5 es paralela al eje OX.
2Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x 3, cuya pendiente
es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.
3Buscar los puntos de la curva f(x) = x 4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para
los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.
4Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta
tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.
5Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) =
ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
6Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax 2 + bx + c, sabiendo
que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su
tangente tiene de pendiente 3.
7La gráfica de la función y = ax 2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3)
y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela
a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.
8Dada la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d;
sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las
123
tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de
abscisas.
9¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la
cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?
10La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la
velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?
11Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento
de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del
ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del
suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) =
Π/3, se pide:
1. ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?
2. ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?
12Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m 3/min. Si la
presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el
radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?
1
Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 − 3x2 − 9x +
5 es paralela al eje OX.
y ' = 3x2 − 6x − 9; x2 − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)
x1 = 3 y1 = −22
x2 = −1y2 = 10
A(3, −22) B(−1, 10)
124
2
Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x 3, cuya pendiente
es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f' (x)= 3x2f' (a)= 3a2
3a2=3a = ±1
Las ecuaciones de la rectas tangentes son:
a = 1 f(a) = 1
y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f(a) = −1
y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x − 2.
Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .
3
Buscar los puntos de la curva f(x) = x 4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para los
cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.
m = 1
f'(x) = 4x3 + 21x2 + 26x +1
4x3 + 21x2 + 26x +1 = 1
x = 0 x = −2 x z= 13/4
125
P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)
4
Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta
tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.
f′(x) = 1 + tg² x f′(0) = 1 = m
y = x
α = arc tg 1 = 45º
5
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) =
ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
126
6
Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax 2 + bx + c, sabiendo que
su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente
tiene de pendiente 3.
Pasa por (0, 3) 3 = c
Pasa por (2, 1) 1= 4a + 2b + c
y ' = 2ax + b 3 = 4a + b
Resolviendo el sistema se obtiene:
a = 2 b = −5 c = 3
7
La gráfica de la función y = ax 2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y
(3, 13), siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a
la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.
Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + c
Pasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c
y ' = 2ax + b 1 = 2a + b
Resolviendo el sistema se obtiene:
a = 3 b = −5 c =1
8
Dada la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d;
sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las
tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de
abscisas.
127
f(−1) = 2 −a + b − c + d = 2
f(2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3
f′(−1) = 0 3a + 2b + c = 0
f′(2) = 0 12a − 4b + c = 0
a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9
9
¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la
cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?
La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la
función.
10
La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la
velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?
ω(t)= φ′(t)= t ω = 7
α(t)= φ′′ (t)= 1 α = 1
11
Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de
un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del
128
ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del
suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) =
Π/3, se pide:
1. ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?
2. ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?
12
Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m 3/min. Si la presión
se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio
del globo cuando el diámetro mide 120 cm?
129
1Dada la ecuación 9x 2 + y2= 18, hallar la ecuación de la recta
tangente que sea paralela a la recta de ecuación 3x − y + 7 = 0.
2Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas
y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.
3La ecuación de un movimiento rectilíneo es: e(t) = t³ − 27t. ¿En qué
momento la velocidad en nula? Hallar la aceleración en ese instante.
1
Dada la ecuación 9x 2 + y2= 18, hallar la ecuación de la recta
tangente que sea paralela a la recta de ecuación 3x − y + 7 = 0.
Sea el punto de tangencia (a, b)
y = 3x + 7 m = 3
Derivando implícitamente tenemos:
130
2
Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas
y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.
3
La ecuación de un movimiento rectilíneo es: e(t) = t³ − 27t. ¿En qué
momento la velocidad en nula? Hallar la aceleración en ese instante.
v(t) = e′t) = 3t² − 27 3t² − 27 = 0t = ± 3
131
a(t) = e′'(t) = 6ta(−3) = −18a(3) = 18
Crecimiento y decrecimiento
24.1 Crecimiento y decrecimiento de una función.
24.2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
24.3 Extremos relativos o locales.
24.4 Concavidad y convexidad.
24.5 Puntos de inflexión de una función.
24.6 Esquema.
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Función estrictamente creciente
Función creciente
132
Función estrictamente decreciente
Función decreciente
133
Crecimiento
Si f es derivable en a:
Decrecimiento
Si f es derivable en a:
recimiento
Si f es derivable en a:
Decrecimiento
Si f es derivable en a:
134
Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los
siguientes pasos:
1. Derivar la función.
f '(x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello
hacemos: f'(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la
derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo
que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = −2, por ejemplo.
135
f'(−2) = 3(−2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
f'(0) = 3(0)2 −3 < 0
Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
f'(2) = 3(2)2 −3 > 0
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
De crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞)
De decrecimiento: (−1,1)
Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento
136
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
1. Si f'(a) = 0 .
2. Si f''(a) ≠ 0 .
Máximos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se
cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se
cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
137
Cálculo de máximos y mínimos
Estudiar los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman
en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos
relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
Si f y f’ son derivables en a
138
f’’ (a) > 0 implica f es cóncava en a
f’’ (a) < 0 implica f es convexa en a
Hemos tomado el criterio que el valle tiene forma cóncava y la
montaña forma convexa.
Intervalos de concavidad y convexidad
Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los
siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la
derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los
hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que
tiene en la derivada segunda.
Si f''(x) > 0 es cóncava.
Si f''(x) < 0 es convexa.
Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
139
f''(−1) = 6(−1) < 0 Convexa.
Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.
f''(1) = 6 (1) > 0 Cóncava.
4. Escribimos los intervalos:
Concavidad: (0, ∞)
Convexidad: (−∞, 0)
Ejemplo de intervalos de concavidad y convexidad
140
En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de
concavidad a convexidad o viceversa.
Estudio de los puntos de inflexión
Calcular los puntos de inflexión de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman
en ella los ceros de derivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
141
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Ejercicios y problemas de aplicaciones de la derivada
1Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las
funciones siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:
1.
2.
3.
4.
3Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de
inflexión de las funciones:
1.
142
2.
3.
4La cotización de las sesiones de una determinada sociedad,
suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días,
responde a la siguiente ley:
C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días
en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.
2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones
subieron o bajaron.
5Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un
examen de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
1
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las
funciones siguientes:
1.
143
2.
3.
144
4.
5.
6.
145
2
Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:
1.
2.
146
3.
4.
147
3
Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de
inflexión de las funciones:
1.
148
2.
3.
149
4
La cotización de las sesiones de una determinada sociedad,
suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días,
responde a la siguiente ley:
C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días
en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.
2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones
subieron o bajaron.
150
Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.
5
Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen
de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
r = 300t − 300t²
r′ = 300 − 600t
300 − 600t = 0 t = ½
2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
300t (1−t) = 0 t = 0 t = 1
El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el
examen (t = 1).
3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
151
r″ (t) = − 600
r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75
Rendimiento máximo: (½, 75)
Ejercicios de aplicaciones de la derivada
1Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
2Hallar los máximos y mínimos de la función:
3Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de
inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
4La cantidad (y) expresa el dinero acumulado en una máquina
tragaperras durante un día y sigue una ley del tipo:
y = 1/3x3 — 19x2 + 352x + 100
donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24).
Responde a las siguientes preguntas:
1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?
2. Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los
dueños de la máquina?
3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?
152
5Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica
de la función f(x) tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en
ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
6Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x 3 −
6x2 + 4 en su punto de inflexión.
7Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c
tenga un máximo para x = −4, un mínimo, para x = 0 y tome el valor 1
para x = 1.
8Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 +
bx2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
9Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax 4 + bx3 +
cx2 + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con
tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).
10La curva f(x) = x3 + ax2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3
y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
11Dada la función:
Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local
y que la curva pase por el origen de coordenadas.
12Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga
extremos en los puntos x 1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué
tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
153
2
Hallar los máximos y mínimos de la función:
154
Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de
inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
f′ (x) = 3 x 2 − 6x + 7
f′′ (x) = 6 x − 6
6 x − 6 = 0 x= 1
f′′ ′(x) =12 f′ ′ ′(1) ≠ 0 f(1)= 6
Punto de inflexión: (1, 6)
m t = f′(1) = 4 m n = −1/4
Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0
Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0
La cantidad (y) expresa el dinero acumulado en una máquina
tragaperras durante un día y sigue una ley del tipo:
y = 1/3 x3 — 19 x2 + 352x + 100
donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24).
Responde a las siguientes preguntas:
1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?
Entre 0 y 24 la función es distinta de cero, por lo cual la máquina
siempre tiene monedas.
Hay un mínimo absoluto en (0, 100).
2. Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los
dueños de la máquina?
155
Ganancia: f(24) − f(0)= 2212 − 100 = 2112
3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
f′(x)= x² − 38x + 352 x² − 38x + 352 = 0
x = 16 x = 22
f′′(x)= 2x − 38
f′′(16) = 32 − 38 < 0Máximo (16, 6700/3)
f′ ′(22) = 44 − 38 > 0Mínimo (22, 6592/3)
4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?
El mayor premio será igual al punto de inflexión.
f′ ′ ′(x) = 2
2x − 38 = 0x = 19
5
Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica
de la función f(x) tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en
ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
f'(x) = 3x2 + 2 ax + b f′ ′(x) = 6x + 2a
f′(1) = 1 3 + 2a + b = 1
f′′(1) = 0 6 + 2a = 0
a = − 3 b = 4
156
6
Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x 3 − 6x 2 +
4 en su punto de inflexión.
f′(x) = 6x 2− 12xf′′(x) = 12x − 121
2 x − 12 = 0x = 1
f′′ ′(x) = 12 f′ ′ ′(1) ≠ 0 f(1) = 0
Punto de inflexión: (1, 0)
f′(1) = 6 − 12= − 6 = m
y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6
7
Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c
tenga un máximo para x = −4, un mínimo, para x = 0 y tome el valor 1
para x = 1.
f(x) = x3 + ax2 + bx + c f′(x) = 3x2 + 2ax + b
1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0
0 = 48 − 8a + b 8a − b = 48
0 = 0 − 0 + b b = 0
a = 6 b = 0 c = −6
8
Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = a x3 +
bx2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
157
f(x) = ax3 + bx 2 + cx +df′(x) = 3ax2 + 2bx + c
f(0) = 4 d = 4
f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0
f′(0) = 0 c = 0
f′(2) =0 12a + 4b + c = 0
a = 1 b = −3 c = 0 d = 4
9
Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax 4 + bx3 + c
x2 + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con
tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).
f′(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d f′ ′(x) = 12ax2 + 6bx + 2c
f′(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d f′ ′(x) = 12ax2 + 6bx + 2c
f(1) = 3a + b + c + d = 3
f(0) = 0 e = 0
f′(1) = 3 4a + 3 b + 2c + d = 3
f′(0) = 2 d = 2
f′′(0) = 0 2c = 0
a = −5 b = 6 c = 0 d = 2 e = 0
10
La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3
y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
158
11
Dada la función:
Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local
y que la curva pase por el origen de coordenadas.
159
Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga
extremos en los puntos x 1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué
tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?
Optimización de funciones
Pasos para la resolución de problemas de optimización
1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas
variables del problema , en el caso de que haya más de una variable.
3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en
la función de modo que nos quede una sola variable .
4. Se deriva la función y se iguala a cero , para hallar los
extremos locales.
160
5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado
obtenido.
Ejemplo
De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los
lados del que tome área máxima.
La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:
Relacionamos las variables:
2x + 2y = 12
x = 6 − y
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
161
Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y =
0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.
Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m,
por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.
Problemas de optimización de funciones
1Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un
círculo de radio 12 cm.
2Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su
altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el
volumen del cono sea máximo?
3Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1
litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice
el mínimo posible de metal?
162
4Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo
del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un
mínimo.
5Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos
trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.
Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que
la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
6Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un
triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.
7Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un
contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que
su volumen ha de ser 9 m3, su altura 1 m y el coste de su construcción por
m2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.
8Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de
cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando
convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para
que volumen de dicha caja sea máximo.
9Una hoja de papel debe tener 18 cm 2 de texto impreso, márgenes
superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de
anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la
superficie del papel.
10El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa
que fabrica autobuses viene dado por la función:
B(x)= 1.2x − (0.1x)3
donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
1. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
163
2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
11Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600
frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la
producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:
1. La producción actual de la huerta.
2. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x
árboles más.
3. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se
plantan x árboles más.
4. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la
huerta para qué la producción sea máxima?
12Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y
la amplitud del sector de mayor área.
1
Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo
de radio 12 cm.
164
2
Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su
altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el
volumen del cono sea máximo?
165
166
3
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1
litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice
el mínimo posible de metal?
4
Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo
del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un
mínimo.
167
5
Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos
trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.
Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que
la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
6
Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo
isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.
168
Al tener dos triángulos semejantes se cumple que:
7
Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor
que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen
ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m 2 es de
50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.
169
8
Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de
cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando
convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para
que volumen de dicha caja sea máximo.
170
9
Una hoja de papel debe tener 18 cm 2 de texto impreso, márgenes
superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de
anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la
superficie del papel.
171
10
El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que
fabrica autobuses viene dado por la función:
B(x)= 1.2x − (0.1x)3
donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
1. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
172
11
Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos
cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción
de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:
1. La producción actual de la huerta.
Producción actual: 25 · 600 = 15.000 frutos.
2. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x
árboles más.
Si se plantan x árboles más, la producción de cada árbol será: 600 −
15 x.
3. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se
plantan x árboles más.
P(x) = (25 +x)(600 − 15x) = − 15 x 2 + 225 x + 1500
4. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la
huerta para qué la producción sea máxima?
P′(x) = − 30 x + 225 − 30 x + 225 = 0 x = 7. 5
P′′ (x) = − 30 < 0
La producción será máxima si la huerta tiene 25 + 7 = 32 ó 25
+ 8 = 33 árboles
12
Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la
amplitud del sector de mayor área.
173
Examen de problemas de optimización
1El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide
un rubí de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los
dos rubíes formados sea mínima.
2Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto (1,
2) aquella que forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un
triángulo de área mínima.
3Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus
bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de
radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea
máximo.
174
1
El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un
rubí de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos
rubíes formados sea mínima.
El rubí se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.
2
Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto (1,
2) aquella que forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un
triángulo de área mínima.
175
m = 2, en este caso no se formaría un triángulo porque las
coordenadas de A y B coinciden con el origen de coordenadas.
3
Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus
bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de
radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea
máximo.
176
177
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