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Aritmética y Numeración
Yuri Rojas Ramírez
Catedrático de Matemáticas
RUM
Contenido
1. Definiciones
2. Trasfondo histórico
3. Fundamentos de la aritmética
4. Operaciones elementales
5. Números
6. Conjuntos numéricos
7. Sistemas numéricos
Contenido (cont.)
8. Sistema de numeración de base 10
9. Operaciones
10. Orden de las operaciones
11. La propiedad distributiva
12. Otras bases: 2 y 5
13. Problemas especiales
14. Resolución de problemas adicionales
Definición de “Aritmética”
Diccionario de la Real Academia Española:
Parte de las matemáticas que estudia losnúmeros y las operaciones hechas con ellos.
Definición de “Numeración”
Diccionario de la Real Academia Española:
Sistema para expresar de palabra o porescrito todos los números con una cantidadlimitada de vocablos y de caracteres o guarismos.
Definición de “Sistema de numeración”
Diccionario de la Real Academia Española:
Conjunto de reglas y signos para representarlos números.
Trasfondo histórico
Pitágoras y los pitagóricos: Ènfasis en losnúmeros naturales
Quadrivium: Aritmética, Geometría, Músicay Astronomía
Trivium: Gramática, Lógica y Retórica
Trasfondo histórico
Antigüedad hasta la Edad Media: Aritmética(propiedades abstractas) vs Logística (arte práctico de los cómputos)
Siglo XV: Aritmética
Hoy: Teoría de Números vs Aritmética
Fundamentos de la Aritmética
Operaciones elementales
Números
Conjuntos numéricos
Sistemas numéricos
Operaciones elementales
Operaciones elementales
Contar
1, 2, 3, 4, …
Operaciones elementales
Contar 1, 2, 3, 4, … Sumar 1 + 2 = 3 Restar 3 – 1 = 2 Multiplicar 3 × 5 = 15 Dividir 15 ÷ 5 = 3
Números
Diccionario de la RAE:
Número: Expresión de la cantidadcomputada con relación a una unidad. Signoo conjunto de signos con que se representael número.
Números
Son abstracciones utilizadas para contar y medir.
Números
Son abstracciones utilizadas para contar y medir.
Representan cantidad y tamaño.
Números
Son abstracciones utilizadas para contar y medir.
Representan cantidad y tamaño.
Tienen diferentes representaciones.
Representaciones de Números
verbales: palabras DOS
Representaciones de Números
verbales: palabras DOS
concretas: dedos
Representaciones de Números
verbales: palabras DOS
concretas: dedos
simbólicas: numerales 2
Conjuntos numéricos
Naturales1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Conjuntos numéricos
Naturales1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Cardinales0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Conjuntos numéricos
Naturales1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Cardinales0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Enteros0, ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 7, …
Conjuntos numéricos (cont.)
Racionales: Fracciones de enteros, decimales finitos y decimales infinitosperiódicos
Ejs: -½, 0.75, 18.33333…
Conjuntos numéricos (cont.)
Irracionales: No se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Son decimalesinfinitos no periódicos.
Ejs: 2 1.41421356237…
3.14159265359…
e 2.71828182846…
Conjuntos numéricos (cont.)
Reales: Todos los racionales y losirracionales.
Conjuntos numéricos: Notación
Naturales: N
Enteros: Z
Racionales: Q
Reales: R
Nuestro sistema de numeración
Sistema decimal
Base 10
Números indoarábigos
Sistema posicional
Nuestro sistema de numeración
Notación expandida o desarrollada
Ejemplo:
875 = 8 centenas y 7 decenas y 5 unidades
= (8 x 100) + (7 x 10) + (5 x 1)
Orden de las operaciones
1. Paréntesis – de adentro hacia afuera
2. Exponentes – de izquierda a derecha
3. Multiplicaciones y divisiones – de izquierdaa derecha
4. Sumas y restas – de izquierda a derecha
Orden de las operaciones
Ejemplos:
2 x 4 + 5
(2 x 4) + 5
2 x (4 + 5)
Orden de las operaciones
Ejemplos:
16 ÷ 4 x 2
(16 ÷ 4) x 2
16 ÷ (4 x 2)
Orden de las operaciones
Ejemplos:
12 + 8 – 5
3 + 4 x 6
4 x 12 ÷ 3
23 – 5 + 8
Orden de las operaciones
Ejemplos:
2 x 6 – 2 x 2
20 – 4 x 3 + 2
20 ÷ 5 x 4
13 + 7 x 2
6 x 3 + 10 – 5
6 ÷ 3 x 10 + 5
Orden de las operaciones
Ejemplos:
6 - 3 + 10 x 5
6 x 3 - 10 ÷ 5
8 + 5 x (4 ÷ 2)
12 x 3 – 6 x 3
72 ÷ 9 + 56 ÷ 7
Orden de las operaciones
Ejemplo:
Un estudiante usa su calculadora para evaluarla expresión 2 + 12 ÷ 2 x 3 y obtiene 21.
¿Usó el orden correcto de las operaciones? Explique.
Orden de las operaciones
Ejemplo:
Evalúe la expresión numérica
5 x 9 – 3 + 12 ÷ 6
Orden de las operaciones
Ejemplo:
Añade paréntesis a la expresión numérica paraque sea cierta.
5 x 9 – 3 + 12 ÷ 6 = 32
Orden de las operaciones
Ejemplos:
100 ÷ 5 – 3 x 5
6 + 3² – 2³ ÷ 4
6 + 5 (3 + 7)
8 + 2 [3 + 4 (7 – 5)]
(2 + 14) ÷ 4
(3 + 5) ÷ (1 + 1)
Orden de las operaciones
Ejemplos:
(2 x 3)² ÷ (5 + 1)
(2 x 3)² ÷ 6 + 1
[18 + 2 (6 – 1)] ÷ (6 + 8)
(15 – 3 )² ÷ (9 – 3)
1. (10 - 2³ + 3) ÷ (4² ÷ 2)
2. {8 + 2 [5 – 2 ( 6 ÷ 3)]} ÷ (15 ÷ 3)
Orden de las operaciones
Vamos a determinar, usando cómputos y actividades matemáticas, el nombre de tuinstructor favorito de AFAMaC.
Primero, vamos a hallar tu número especial, haciendo lo siguiente:
Orden de las operaciones
Toma el número del mes de tu nacimiento. Súmale 24. Súmale la diferencia que obtienes cuando
restas el número del mes de tu nacimientode 12.
Divide por 3. Súmale 14.El resultado es tu número especial.
Orden de las operaciones
Ahora, asígnale a cada una de las 27 letras del alfabeto español el número que por ordenalfabético le corresponde: A = 1, B = 2, etc.
Halla la letra que le corresponde a tu nmeroespecial. El nombre del instructor de AFAMaC que empieza con esa letra es tufavorito.
La propiedad distributiva
Podemos evaluar una expresión aritmética sin ceñirnos al orden de las operaciones, siusamos algunas propiedades. La propiedaddistributiva de los números es
a (b + c) = a x b + a x c.
La propiedad distributiva
Ejemplo:
7 (11 + 4) = 7 x 11 + 7 x 4
= 77 + 28
= 105
La propiedad distributiva
Ejemplo: Haz un cálculo mental para evaluar
9 x 13.
La propiedad distributiva
Ejemplo: Haz un cálculo mental para hallar el area de un pasillo que mide 8 pies de ancho y 27 pies de largo.
La propiedad distributiva
Ejemplo: Una clase de 25 estudiantes va a unajira. Cada estudiante paga $4 por la entradaa un museo y $2 por una película.
La propiedad distributiva
Ejemplo: Una milla (mi) es equivalente a 1.6 kilómetros (km). Explique cómo puede usarcálculos mentales para hallar cuántos km hay en 42 millas.
La propiedad distributiva
La propiedad distributiva se puede generalizar:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
La propiedad distributiva
Ejercicio:
Demuestre con un dibujo que
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
La propiedad distributiva
Ejemplo: Evalúe mentalmente
12 x 18.
La propiedad distributiva
Ejemplo: Evalúe mentalmente
101 x 99.
La propiedad distributiva
Ejercicio:
Demuestre con un dibujo que:
a (b – c) = ab – ac.
Otras bases: Base 5
La tribu de los Luo en Kenya usa una sistemaquinario de numeración.
Otras bases: Base 5
La tribu de los Luo en Kenya usa una sistemaquinario de numeración.
Los dígitos disponibles para contar son 0, 1, 2, 3 y 4.
Sistema de una mano.
Otras bases: Base 5
Sistema de una Símbolo
Mano (base 5)
0 dedos 05
1 dedo 15
2 dedos 25
3 dedos 35
4 dedos 45
Otras bases: Base 5
Sistema de una Símbolo
Mano (base 5)
1 mano y 0 dedos 105
1 mano y 1 dedo 115
1 mano y 2 dedos 125
1 mano y 3 dedos 135
1 mano y 4 dedos 145
Otras bases: Base 5
Sistema de una Símbolo
Mano (base 5)
2 manos y 0 dedos 205
2 manos y 1 dedo 215
2 manos y 2 dedos 225
… …………
Otras bases: Base 5
Ejemplo:
Sume 345 + 15.
Otras bases: Base 5
Ejemplo:
¿Qué número sigue a 445?
Otras bases: Base 5
Ejemplo: Halle la representación en base 10 de cada uno de los siguientes númerosquinarios:
a) 145
b) 1245
c) 10305
d) 112445
Otras bases: Base 5
Ejemplo: Halle la representación quinaria de cada uno de los siguientes númerosdecimales:
a) 824
b) 728
c) 100
Otras bases: Base 5
Discuta cómo podríamos usar monedas en el salón de clase para enseñar a usar la base quinaria.
Otras bases: Base 5
¿Cuál de los siguientes modelos representamejor el 67 en base 5?
1 peseta, 8 fichas, 2 chavitos prietos
1 peseta, 7 fichas, 7 chavitos prietos
2 pesetas, 3 fichas, 2 chavitos prietos
2 pesetas, 2 fichas, 7 chavitos prietos
Otras bases: Base 2
Sistema binario
Usado todavía por algunas tribus
Usado en computadoras
Otras bases: Base 2
Ejemplo: Halle la representación decimal de cada unode los siguientes números binarios:
a) 102
b) 112
c) 1002
d) 1112
e) 101121
Otras bases: Base 2
Ejemplo: Halle la representación binaria de cada unode los siguientes números decimales:
a) 27
b) 11
c) 100
d) 127
e) 1024
Otras bases: Base 2
En el sistema de base 6, ¿qué dígitos se pueden usar?
Explica por qué 161235 no es un número en base quinaria.
Tienes 1011012 canicas. Miguel tiene 1405
canicas. Lily tiene 45 canicas. ¿Quién tienemás canicas?
La resolución de problemas…
Es uno de los distintivos de la matemática
Fomenta el gusto por el trabajo mental
Deja huellas en la mente y el carácter
Requiere conocimiento, razonamiento lógicopero sobre todo disciplina
Desarrolla pasión por el aprendizaje
Problema 1
Adivinanza:
El zapatero y su hija,
el sastre con su mujer
comieron de nueve huevos
y les tocaron a tres.
Problema 2
Cuando yo iba hacia Santa Rosa, me encontrécon un hombre con siete esposas, cadaesposa con siete bolsas, cada bolsa con siete gatas, cada gata con siete crías. Crías, gatas, bolsas y esposas, ¿cuántos iban a Santa Rosa?
Problema 3
En una finca hay siete casas, en cada casa hay siete gatas, cada gata come siete ratas, cada rata come siete calabazas, y cadacalabaza da siete libras de masa. Casas, gatas, ratas, calabazas y libras de masa, ¿cuántas de todas éstas en total hay en la finca?
Problema 4
Un estudiante obtuvo 68 en el primer examen y 82 en el segundo examen. ¿Cuál fue el promedio?
Problema 5
Un estudiante obtuvo 68 en el primer examen y 82 en el segundo examen. ¿Cuánto necesitaobtener en el tercer examen para que el promedio sea 80? ¿Para que el promediosea 90?
Problema 6
Halle dos números enteros consecutivos cuyasuma sea 345.
Problema 7
Halle tres números enteros consecutivos cuyasuma sea 345.
Problema 8
Halle tres números pares consecutivos cuyasuma sea 345.
Problema 9
Un cuadrado tiene un área de 121 cm². Hallesu perímetro.
Problema 10
Un rectángulo es 1 cm más alto de lo que esancho. Si su perímetro es 14 cm, determine su área.
Problema 11
Un rectángulo es 7 cm más alto de lo que esancho. Si su área es 60 cm, determine la medida de ambas diagonales.
Problema 12
El viento partió un poste de 18 pies de alto. Su tope tocó el piso a 6 pies de su base. Encuentre las longitudes de los segmentosdel poste.
Problema 13
Dos ermitaños vivían en el tope de un acantilado de 100 pies de alto, cuya base estaba a 200 pies de distancia de una aldea. Uno de ellos bajó por el acantilado y caminóhasta la aldea. El otro, que era un mago, voló hacia arriba una distancia x, y despuésvoló en línea recta hasta la aldea. La distancia recorrida por ambos fue la misma. Halle x.
Problema 14
Un perro persigue a un conejo, que tiene unaventaja de 150 pies. Si el perro brinca 9 pies cada vez que el conejo brinca 7, ¿en cuántos saltos alcanzará el perro al conejo?
Problema 15
Arjuna, exasperado en el combate, disparó un paquete de flechas para matar a Carna. Con la mitad de las flechas se defendió de suenemigo, con 4 veces la raíz cuadrada del número de flechas mató a su caballo, con 6 flechas liquidó al ayudante de Carna, con 3 destruyó su bandera, su casco y su arco, y con 1 le cortó la cabeza. ¿Cuántas flechastenía el paquete de Arjuna?
Problema 16
La lápida en la tumba del geómetra griego Diofantorevela su edad utilizando un artificio matemático:
Los dioses le brindaron niñez por una sexta parte de su vida, y una duodécima para su adolescencia. Un matrimonio sin vástagos tuvo por una séptima parte de su vida. Cinco añospasaron y entonces le nació un hijo. Este hijo murió al momento en que cumplió la mitad de los años que vivió supadre. Diofanto vivió cuatro años más, ahogando su pena en el estudio de sus números y entonces murió.
¿A que edad murió Diofanto?
Problema 17
A un pedazo cuadrado de cartón de 30 cm de lado se le recortan cuadraditos de igualtamaño en las cuatro esquinas. ¿De quétamaño deben ser esos cuadraditos paraque el área restante sea 324 cm²?
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