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Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 1
Bioestadística
Tema 7: Intervalos de Confianza
Tema 7: Intervalos de
Confianza2 Bioestadística. U. Málaga.
Estimación• Un estimador es una cantidad numérica calculada sobre una
muestra y que esperamos que sea una buena aproximaciónde cierta cantidad con el mismo significado en la población (parámetro).
• En realidad ya hemos trabajado con estimadores cada vez que hacíamos una práctica con muestras extraídas de una población y suponíamos que las medias, etc… eran próximas de las de la población.
– Para la media de una población:• “El mejor” es la media de la muestra.
– Para la frecuencia relativa de una modalidad de una variable:• “El mejor” es la frecuencia relativa en la muestra.
• Habría que precisar que se entiende por “el mejor estimador”pero eso nos haría extendernos demasiado. Ver libro.
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 3
INTERVALOS DE CONFIANZA
MUESTRA
Estimación
puntual
POBLACIÓN
Queremos estimar
un parámetro:
media (μ) o
proporción (π)
Calculamos: media muestral o
proporción muestral (p)x
Inferimos el valor del
parámetro en la población:
INTERVALO DE CONFIANZA
para una media o
proporciónBioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 4
INTERVALOS DE CONFIANZA
MUESTRA
Estimación
puntual
POBLACIÓN¿Porcentaje de
fumadores en la
uma?.
N = 65.000
n = 200 participantes
Fuman 60 ; p = 0.30
x
INTERVALO DE CONFIANZA
AL 95% DE CONFIANZA:
I.C.(95%) : 0.24 – 0.37Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 5
Intervalo de confianza:
• Se denomina estimación confidencial o intervalo de confianza para un nivel de confianza 1-α dado, a un intervalo que ha sido construido de tal manera que con frecuencia 1-α realmente contiene al parámetro.
• Obsérvese que α es la frecuencia de que no contenga al parámetro
NIVEL DE CONFIANZA
POBLACIÓN
MUESTRA
1
IC1
MUESTRA
2
IC2
MUESTRA
3
IC3
… MUESTRA
100
IC100
Un nivel de confianza del 95% significa que si calculásemos 100
intervalos con 100 muestras distintas, 95 de ellos contendrían al
verdadero valor del parámetro
Normalmente:
95%
Ocasionalmente:
90% o 99%Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 7
Verdadero valor del parámetro
Intervalosde confianza de varias muestras (solo teórico)
Intervalo calculado
con LA UNICA
muestra obtenida
Conceptualmente:
Tema 7: Intervalos de
Confianza9 Bioestadística. U. Málaga.
Tema 7: Intervalos de Confianza 10Bioestadística. U. Málaga.
¿Es útil conocer la distribución de un estimador?• Es la clave para hacer inferencia. Ilustrémoslo con un ejemplo que
ya tratamos en el tema anterior (teorema del límite central).
– Si de una variable conocemos μ y σ, sabemos que para muestras
“grandes”, la media muestral es:
• aproximadamente normal,
• con la misma media y,
• desviación típica mucho menor (error típico/estándar)n
EE
INTERVALOS DE CONFIANZA
VAMOS A ESTUDIAR TRES CASOS ESPECIALMENTE IMPORTANTES:
IC para la media para muestras “grandes”
IC para la media con muestras no “grandes”
IC para una proporción
La forma general que tiene un IC al nivel de
confianza 1-α para un parámetro es:
estimador± za/2 ×EE_del_estimador
IC para la media para muestras “grandes”
Si la muestra es grande (n>120), el IC para lamedia a un nivel de confianza 1-α se calcula:
x ± za /2 ×s
n
Media
muestralValor de la N(0,1) que deja a
su derecha una prob. = α/2Error estándar
de la media
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 12
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x ± za /2 ×s
n
EJEMPLO1:El valor medio de IMC en varones de 25 a 60 años de unamuestra “representativa” de 4707 españoles fue de 25,97Kg/m2 y su desviación estándar fue 3,59 Kg/m2. Construir elIC al 95% de confianza para la media de IMC en España.
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 13
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 25.97za /2 = Valor de la N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad de α/2
El nivel de confianza es al 95% que equivale a 1-α = 0.95 por lo tanto α=0.05 luego α/2 = 0.025
Tema 7: Contrastes de hipótesis 13Bioestadística. U. Málaga. Zα/2
a/2
x ± za /2 ×s
n
EJEMPLO 1: El valor medio de IMC en varones de 25 a 60 años de una muestra “representativa” de 4707 españoles fue de 25,97 Kg/m2 y su desviación estándar fue 3,59 Kg/m2. Construir el IC al 95% de confianza para la media de IMC en España.
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 25.97za /2 = 1.96
Tema 7: Contrastes de hipótesis
s=3.59n = 4707
IC(95%) = 25.97±1.96 ×3.59
4707= 25.97± (1.96 ×0.052) = 25.87-26.07
x ± za /2 ×s
n
EJEMPLO 2:El valor medio de IMC en varones de 25 a 60 años de una muestra “representativa” de 4707 españoles fue de 25,97 Kg/m2 y su desviación estándar fue 3,59 Kg/m2. Construir el IC al 90% de confianza para la media de IMC en España.
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 16
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 25.97za /2 = Valor de la N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad de α/2
El nivel de confianza es al 90% que equivale a 1-α = 0.90 por lo tanto α=0.10 luego α/2 = 0.05
Tema 7: Contrastes de hipótesis 16Bioestadística. U. Málaga. Zα/2
a/2
x ± za /2 ×s
n
EJEMPLO 2:El valor medio de IMC en varones de 25 a 60 años de una muestra “representativa” de 4707 españoles fue de 25,97 Kg/m2 y su desviación estándar fue 3,59 Kg/m2. Construir el IC al 90% de confianza para la media de IMC en España.
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 25.97za /2 = 1.645
Tema 7: Contrastes de hipótesis
s=3.59n = 4707
IC(90%) = 25.97±1.645×3.59
4707= 25.97± (1.645 ×0.052) = 25.88- 26.06
x ± za /2 ×s
n
EJEMPLO 3:El valor medio de IMC en varones de 25 a 60 años de una muestra “representativa” de 4707 españoles fue de 25,97 Kg/m2 y su desviación estándar fue 3,59 Kg/m2. Construir el IC al 99% de confianza para la media de IMC en España.
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 19
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 25.97za /2 = Valor de la N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad de α/2
El nivel de confianza es al 99% que equivale a 1-α = 0.99 por lo tanto α=0.01 luego α/2 = 0.005
Tema 7: Contrastes de hipótesis 19Bioestadística. U. Málaga. Zα/2
a/2
x ± za /2 ×s
n
EJEMPLO 3:El valor medio de IMC en varones de 25 a 60 años de una muestra “representativa” de 4707 españoles fue de 25,97 Kg/m2 y su desviación estándar fue 3,59 Kg/m2. Construir el IC al 99% de confianza para la media de IMC en España.
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 25.97za /2 = 2.55
Tema 7: Contrastes de hipótesis
s=3.59n = 4707
IC(90%) = 25.97± 2.55×3.59
4707= 25.97± (2.55×0.052) = 25.84-26.10
IC(99%) = 25.84 – 26.10
IC(95%) = 25.87 – 26.07
IC(90%) = 25.88 – 26.06
A mayor nivel de confianza, más amplitud de intervalo
estimador± za/2 ×EEdelestimador
Tema 7: Contrastes de hipótesis
AMPLITUD DEL INTERVALOLos intervalos deben ser “informativos”
n
szx 2/a Semi-
amplitud
Mayor nivel de confianza = más
amplio
Mayor dispersión = más amplio
Mayor muestra = menos amplioBioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 23
INTERVALOS DE CONFIANZA
VAMOS A ESTUDIAR TRES CASOS ESPECIALMENTE IMPORTANTES:
IC para la media para muestras “grandes”
IC para la media con muestras no “grandes”
IC para una proporción
La forma general que tiene un IC al nivel de
confianza 1-α para un parámetro es:
estimador± za/2 ×EE_del_estimador
adorEEdelestimzestimador 2/a
IC para la media para muestras “no grandes”
Si la muestra no es grande (n<120 yespecialmente si n<60), el IC para la media a unnivel de confianza 1-α se calcula usando ladistribución t de Student en vez de la N(0,1):
x ± ta /2,n-1 ×s
n
Media
muestralValor de la t de Student con n-1
grados de libertad que deja a su
derecha una prob. = α/2
Error estándar
de la media
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 25
IC para la media para muestras “no grandes”
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Si la muestra esmuy pequeña (n<30) y no sabemos si los datossiguen una distribución normal, hay quecomprobar que los datos provienen de unadistribución normal. Si no siguen una distribuciónnormal hay que aumentar el tamaño de muestrapara poder llegar como mínimo a 30
estimador± za/2 ×EEdelestimador
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 27
EJEMPLO 1:En 31 pacientes con una enfermedad coronaria , la puntuación media de un una variable global que mide el estrés era de 24,3 puntos con una desviación tipica de 5 . Construir el IC al 95% de confianza para la media de estrés.
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 28
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 24.3
Valor de la t de Student con 30 gl que deja a su derecha una probabilidad de α/2
El nivel de confianza es al 95% que equivale a 1-α = 0.95 por lo tanto α=0.05 luego α/2 = 0.025
Tema 7: Contrastes de hipótesis 28Bioestadística. U. Málaga. tα/2,n-1
a/2
x ± ta /2,n-1 ×s
n
ta /2,n-1 =
EJEMPLO 1:En 31 pacientes con una enfermedad coronaria , la puntuación media de un una variable global que mide el estrés era de 24,3 puntos con una desviación tipica de 5 . Construir el IC al 95% de confianza para la media de estrés.
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 24.3
2.042
Tema 7: Contrastes de hipótesis
S=5n = 31
IC(95%) = 24.3±2.042 ×5
31= 24.3± (2.042 ×0.90) = 22.5-26.1
ta /2,n-1 =
x ± ta /2,n-1 ×s
n
EJEMPLO 2:En 31 pacientes con una enfermedad coronaria , la puntuación media de un una variable global que mide el estrés era de 24,3 puntos con una desviación tipica de 5 . Construir el IC al 99% de confianza para la media de estrés.
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 31
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 24.3
Valor de la t de Student con 30 gl que deja a su derecha una probabilidad de α/2
El nivel de confianza es al 99% que equivale a 1-α = 0.99 por lo tanto α=0.01 luego α/2 = 0.005
Tema 7: Contrastes de hipótesis 31Bioestadística. U. Málaga. tα/2,n-1
a/2
x ± ta /2,n-1 ×s
n
ta /2,n-1 =
EJEMPLO 2:En 31 pacientes con una enfermedad coronaria , la puntuación media de un una variable global que mide el estrés era de 24,3 puntos con una desviación tipica de 5 . Construir el IC al 99% de confianza para la media de estrés.
estimador± za/2 ×EEdelestimador
x = 24.3
2.75
Tema 7: Contrastes de hipótesis
S=5n = 31
IC(95%) = 24.3±2.75 ×5
31= 24.3± (2.75 ×0.90) = 21.8- 26.8
ta /2,n-1 =x ± ta /2,n-1 ×
s
n
INTERVALOS DE CONFIANZA
VAMOS A ESTUDIAR TRES CASOS ESPECIALMENTE IMPORTANTES:
IC para la media para muestras “grandes”
IC para la media con muestras no “grandes”
IC para una proporción
La forma general que tiene un IC al nivel de
confianza 1-α para un parámetro es:
estimador± za/2 ×EE_del_estimador
p± za /2 ×p·(1- p)
n
adorEEdelestimzestimador 2/a
IC para una proporción
Se debe cumplir que n·p > 5 y n·(1-p) > 5. Si no se cumple hay que usar técnicas exactas (no las vemos). El IC para una proporción a un nivel de confianza 1-α se calcula:
proporción
muestralValor de la N(0,1) que deja a
su derecha una prob. = α/2Error estándar
de la
proporción
EJEMPLO1:Para estimar el porcentaje de fumadores en la uma seextrajo una muestra de 1000 personas de las cuales 200eran fumadoras. Construir el IC al 95% de confianza parala proporción de fumadores en la uma.
estimador± za/2 ×EEdelestimador
p =200
1000= 0.2
1- p = 0.8
n =1000
36
p± za /2 ×p·(1- p)
n
1.- Tenemos que comprobar que n·p >5 y n·(1-p) > 5
n·p =200 y n·(1-p) = 800 Luego se cumple con creces la condición.
EJEMPLO1:Para estimar el porcentaje de fumadores en la uma seextrajo una muestra de 1000 personas de las cuales 200eran fumadoras. Construir el IC al 95% de confianza parala proporción de fumadores en la uma.
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 37
estimador± za/2 ×EEdelestimador
za /2 = Valor de la N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad de α/2
El nivel de confianza es al 95% que equivale a 1-α = 0.95 por lo tanto α=0.05 luego α/2 = 0.025
Tema 7: Contrastes de hipótesis 37Bioestadística. U. Málaga. Zα/2
a/2
p± za /2 ×p·(1- p)
np =
200
1000= 0.2
1- p = 0.8
n =1000
EJEMPLO1:Para estimar el porcentaje de fumadores en la uma se extrajo una muestra de 1000 personas de las cuales 200 eran fumadoras. Construir el IC al 95% de confianza para la proporción de fumadores en la uma.
estimador± za/2 ×EEdelestimador
za /2 = 1.96
Tema 7: Contrastes de hipótesis
IC(95%) = 0.2±1.96 ×0.2·0.8
1000= 0.2± (1.96 ×0.0126) = 0.175- 0.225
p =200
1000= 0.2
1- p = 0.8
n =1000
p± za /2 ×p·(1- p)
n
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