Calculo y Matematica Aplicada S1 - Razon de cambio.pdf

CÁLCULO Y MATEMÁTICA APLICADA

MANTENIMIENTO DE MAQUINARIA

TEMA: 1 CÓDIGO: SEMESTRE: 3

TEMA DE LA UNIDAD DE CLASE:

DOCENTE: ING. JONATHAN SÁNCHEZ P. AREQUIPA – AGOSTO DEL 2015 1

Matemáticas en diseño

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Matemáticas en electrónica

Seleccionar, formular, desarrollar y utilizar herramientas de matemática aplicada para soluciones de problemas de tecnología mecánica.

Formular y utilizar derivadas e integrales en la solución de problemas de tecnología mecánica y de ingeniería.

Objetivos de la sesión:

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Los estudiantes aplican conocimientos actuales y emergentes de ciencia, matemática y tecnología.

APORTA A:

1. CONCEPTOS BÁSICOS

FUNCIÓN: “Relación entre dos variables”

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El concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto

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Orígenes Dominio

Imágenes Rango

F=

F(x)=Núm. De lados

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DIFERENCIA ENTRE FUNCIÓN Y RELACIÓN:

Función

Relación

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Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado f (x), de un conjunto E.

Conjunto D x

Conjunto E F(x)

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¿Como se representa una función?

Destacamos que una función puede representarse de diferentes maneras: mediante una ecuación, una tabla, una gráfica o en palabras.

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MODELOS MATEMÁTICOS: “Catálogo de funciones esenciales”

Un modelo matemático es una descripción matemática (a menudo por medio de una función o una ecuación) de un fenómeno real, como el tamaño de población, la velocidad de un objeto que cae, la vida útil de una maquina, el funcionamiento de un motor, etc.

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El propósito del modelo es comprender el fenómeno y tal vez hacer predicciones sobre su comportamiento futuro.

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Problema en el Mundo Real

Modelo Matemático

Conclusiones Matemáticas

Predicción en el mundo real

Formular

MODELOS MATEMÁTICOS:

Resolver Interpretar

Prueba

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MODELO LINEAL:

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Cuando el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20 °C, y la temperatura a 1 km de altura es de 10 °C. a) Exprese la temperatura T (en °C) en función de la altura h (en kilómetros), suponiendo que un modelo lineal es adecuado.

b) Dibuje la gráfica de la función del inciso a). ¿Qué representa la pendiente?

c) ¿Cuál es la temperatura a 2.5 km de altura?

EJEMPLO 1:

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Solución:

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a)

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b)

c)

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Ejercicio:

¿En función de qué parámetros podemos definir el rendimiento de esta máquina?

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LÍMITES DE UNA FUNCIÓN:

Los límites surgen cuando queremos encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto.

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El limite de f (x), cuando x tiende a a, es igual a L.

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Dada la función:

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DERIVADA:

El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la velocidad de un objeto involucran encontrar el mismo tipo de límite. Este tipo especial de límite se denomina derivada y en las ciencias e ingeniería puede ser interpretada como una razón de cambio.

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2. DERIVADAS Y RAZÓN DE CAMBIO

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo.

Pendiente en un punto determinado.

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Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto.

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DEFINICIÓN FORMAL DE DERIVADA

La derivada de una función f en un número x = a, denotada por f ‘(a), es:

Si este limite existe.

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¿Por qué la derivada se define en base a un límite?

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RAZÓN DE CAMBIO

Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y lo expresamos como y = f (x). Si x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x (también conocido como incremento de x) es

∆𝐱𝐱 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏

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Al cambiar x, también provoca un cambio en y:

∆𝐲𝐲 = 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟏𝟏

El cociente de diferencias:

∆𝐲𝐲∆𝐱𝐱

= 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟏𝟏

𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏

Se llama razón de cambio promedio de y respecto a x sobre el intervalo [x1, x2].

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Puede interpretarse como la pendiente de la recta secante PQ en la figura:

∆𝐲𝐲∆𝐱𝐱

= 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟏𝟏

𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏

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Razón de cambio instantánea:

La derivada f ‘(a) es la razón de cambio instantánea de y = f (x) respecto a x cuando x = a.

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REPRESENTACIÓN DE DERIVADA

𝒇𝒇′ 𝒙𝒙 = 𝑫𝑫𝒙𝒙𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒙𝒙

REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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Si una variable y depende del tiempo t, entonces su derivada dy/dt se denomina razón de cambio con respecto al tiempo, o sólo razón de cambio. Por supuesto, si y mide la distancia, entonces esta razón de cambio también se llama velocidad.

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Estamos interesados en una amplia variedad de razones de cambio: la razón a la que fluye agua al interior de un depósito, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, la razón a la cual el valor de una propiedad está aumentando, etc.

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EJEMPLOS: Derivar las siguientes funciones: Derivación explícita:

1) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥

2) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥5

3) 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥4

4) 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 − 6

5) 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥6 − 10𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 16

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Si y se da de manera explícita en términos de t, el problema es sencillo; sólo derivamos y luego evaluamos la derivada en el instante requerido.

Si y depende de otra variable x, que a su vez depende de t, tendremos que aplicar derivación implícita.

Consejos:

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EJEMPLOS: Derivación Implícita:

Encuentre 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥� , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 − 𝟑𝟑𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟏𝟏

Solución: Método 1: Podemos despejar la y para que quede explícita:

𝑦𝑦 4𝑥𝑥2 − 3 = 𝑥𝑥3 − 1

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 − 14𝑥𝑥2 − 3

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 4𝑥𝑥2 − 3 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 − 1 8𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 − 3 2

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 4𝑥𝑥4 − 9𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 − 3 2

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Método 2: Derivación Implícita: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

4𝑥𝑥2𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥3 − 1

4𝑥𝑥2 ∙𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 𝑦𝑦 ∙ 8𝑥𝑥 − 3𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 3𝑥𝑥2

Regla del producto para el primer término:

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 − 3 = 3𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

=3𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥𝑦𝑦

4𝑥𝑥2 − 3

Reemplazamos el valor de y:

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 4𝑥𝑥4 − 9𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 − 3 2

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EJEMPLO 1 de razón de cambio:

Calcule la velocidad de cambio del área de un cuadrado con respecto a la longitud de su lado cuando dicho lado mide 4 m.

S

S

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Solución: 1. ¿Qué es lo que se solicita?

Cambio del área con respecto a su longitud

Área de la sección: 𝐴𝐴 = 𝑆𝑆2

Razón de cambio: 𝑟𝑟 =𝑑𝑑𝐴𝐴𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑟𝑟 =𝑑𝑑𝑆𝑆2

𝑑𝑑𝑠𝑠= 2S

Cuando S=4m: r=2(4) = 8 m2/m

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Ejercicio Propuesto:

¿En qué porcentaje, aproximadamente, crecerá e volumen de una esfera de radio r, si el radio se incrementa en un 2%?

𝑉𝑉 =43𝜋𝜋𝑟𝑟3

Aprox. 6%

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EJEMPLO 2 de razón de cambio:

Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies alejado de un observador, quien se encuentra en el nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8 pies por segundo, ¿qué tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando éste se encuentra a 50 pies de altura?

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Solución:

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Derivamos implícitamente con respecto al tiempo:

Pasamos al instante específico cuando h = 50. Con base en el Teorema de Pitágoras, vemos que, cuando h = 50

pies/seg

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Razón de cambio en movimiento de partículas

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La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación: x = t3 - 6t2 - 15t + 40 donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine a) el tiempo al cual la velocidad será cero, b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo, c) la aceleración de la partícula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la partícula desde t = 4s hasta t= 6s.

EJEMPLO 3 de razón de cambio:

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Solución:

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Las ecuaciones del movimiento son:

Tiempo en el cual v=0: Al reemplazar en la fórmula, se obtienen dos respuestas, (-1) y (+5). a) Elegimos 5 s por ser mayor que cero.

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b) Posición y distancia recorrida en t=5s.

Cuando t = 0, x vale 40 ft. Por lo tanto

c) Aceleración cuando t=5s.

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d) Distancia recorrida desde t = 4s hasta t=6s.

Stewart, J (2012). Cálculo de una variable (7ª. ed.). México D.F.: Cengage Learning.

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Bibliografía:

Purcell, E. & Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial e Integral (9ª. ed.). México D.F.: Prentice Hall.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

Beer, F. & Johnston, R. & Cornwell, P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinámica (9ª. ed.). México D.F.: McGraw Hill.

Bibliografía:

Comunidad Google+: Mecánica de Materiales AQP

ingedoce66@gmail.com