CAOS NUEVAS CONCEPCIONES DE LA CIENCIA REFERENTES AL AZAR, AL ORDEN, AL DESORDEN Y A LO INESTABLE....

CAOS

NUEVAS CONCEPCIONES DE LA CIENCIA REFERENTES AL AZAR, AL ORDEN, AL DESORDEN Y A LO INESTABLE.

SU VISIÓN DESDE LA ASTRONOMÍA

RESUMEN: CAPITULO 1 EL RELOJ DE NEWTON

Y CAPITULO 1 ¿JUEGA DIOS A LOS DADOS?

POR: GABRIEL CONDE A.UNIVALLE. EIIE

Panorama del Sistema Solar

9 planetas con atracción principal del Sol. También todos afectan a todos.

Se producen “pequeñas” oscilaciones referentes a un movimiento básico causadas

por estas interacciones originando desviaciones de una geometría perfecta.

Componentes mayores = El Sol, Júpiter

Componentes menores = los otros planetas

Componentes Pequeños = asteroides, satélites, cometas.

La Tierra gira en orbita casi circular, se balancea, apartándose de un movimiento puro

y simple.

Sistema Solar Interior, sus “pequeñas” iregularidades, una geometría “casi” perfecta

El ecuador celeste y la eclíptica

Sin embargo se presentan ciclos “predecibles” como las estaciones, que dan

confianza pensando en una estabilidad

EJEMPLO DE REGULARIDAD EN EL PLANETA :

VEGETACIÓN

La órbita y los movimientos de la Luna: “casi” 13 ciclos cuando el Sol da 1.

Con alguna regularidad las estrellas desaparecen en ciertas épocas del año y

aparecen en otras

Antiguamente el Universo nos sugería confianza:

Nos dimos cuenta que con buena geometría podíamos representar los movimientos celestes

y se podían predecir: estaciones, eclipses. Determinar: fiestas, horóscopo, siembras,

ayudar a la navegación.

Pero observaciones de años y siglos revelan sutiles

desviaciones en esos patrones que sugieren a su vez otros

patrones de mayor alcance. Por ejemplo el movimiento de

precesión.

Precesión de los equinoccios

Estos son ejemplos que podemos observar en lo cotidiano pero que nos remiten a los

aspectos gravitacionales, que son fundamentales en el resumen.

La inestabilidad

¿Estas diversas influencias entre los cuerpos moverán a dichos cuerpos sólo ligeramente? o

¿estas pueden conducir con el tiempo a cambios radicales e irreversibles?

¿Seguirán los planetas describiendo más o menos las mismas trayectorias siempre? o ¿llegará el tiempo en el que Marte choque

catastróficamente? o Plutón escape del sistema?

Estas son preguntas que plantean el problema de la estabilidad (inestabilidad) del sistema solar y han inquietado a los

astrónomos durante los últimos 200 años y aún sigue sin solución.

Las ideas sobre caos tiene mucho que ver con esto de la inestabilidad del

sistema solar.

Una pregunta fundamental

Aparte de los asteroides, cometas y cuerpos pequeños el SS solo tiene 9 planetas y el Sol que interactúan con la fuerza de gravedad (la

más significativa) y las relaciones matemáticas entre fuerzas, masas y distancias son

conocidas desde hace 300 años.Debería ser posible calcular las posiciones de los planetas en cualquier tiempo y explorar lo

que las leyes de la física tienen para el SS ¿Será esto así?

La respuesta es: NO

La dificultad radica en que una cosa es escribir y plantear las ecuaciones y otra cosa

es resolverlas. Esta no es tarea fácil. Hoy usamos grandes computadores para ello. Sin embargo no es suficiente para predicciones con un orden de magnitud mayor a decenas

de millones de años.

¿Ecuaciones?¿De que tipo? ¿Con que características?

Estas ecuaciones las enmarcamos dentro de la teoría de los sistemas dinámicos.

Muchas de ellas modelan sistemas físicos que dependen del tiempo e involucran

cantidades (o cambios de esas cantidades) importantes en la descripción de un

fenómeno.

Normalmente se constituye un sistema de ecuación diferenciales.

Lo que esto nos dice en la práctica es:

“Supongamos que en un instante dado conocemos la posición y la velocidad de un

cuerpo, las ecuaciones nos proveen una regla que se aplica a dichos números, para obtener la posición y la velocidad en el instante siguiente.

La regla se sigue aplicando una y otra vez hasta obtener una trayectoria o unos valores en

un instante deseado”. (Stewart I. 1991)

LOS SISTEMAS DINÁMICOS

Un sistema de k variables que evoluciona en el tiempo puede estudiarse como una variable

vectorial x Rk dependiente de la variable temporal t, de tal manera que el estado xn+1 del

sistema en el instante n + 1 se obtiene del estado xn del sistema en el período anterior a través de cierta función vectorial f mediante la

relación xn+1 = f(xn).

Estos sistemas se llaman “sistemas dinámicos discretos”. Aquí es posible obtener la secuencia x0, x1, …, xn de sucesivos estados del sistema

(órbita de x0) de forma que:

x1 = f(x0), x2 = f(x1) = f2(x0), x3 = f(x2) = f3(x0), …,

xn = fn(x0).

Existe contraparte continua:

Sistemas dinámicos autónomos que se

modelan con las formas dx/dt = f(x(t)).

Si f es lineal tenemos invariantes y atractores sencillos.

Si f es no lineal (así sea muy simple) tenemos invariantes y atractores complicados que

definen dinámicas complejas.

Lo estable

Si el sistema es de sólo dos cuerpos (Sol, Tierra) realmente tenemos una sola ecuación

y es relativamente sencilla su solución.

Las matemáticas confirman que este sistema (dos cuerpos) es estable. La tierra giraría

eternamente alrededor del Sol.

SIMULADOR CON SISTEMAS ESTABLES:

*EL SISTEMA TIERRA - LUNA EL SISTEMA SOLAR

*SISTEMA DOBLE DE ESTRELLAS*PHOBOS, DEIMOS Y AMALTHEA

Deimos en Números

 Descubierto por Asaph Hall 

 Fecha del descubrimiento 1877 

 Masa (kg) 1.8e+15 

 Masa (Tierra = 1) 3.0120e-10 

 Radio (km) 7.5x6.1x5.5 

 Radio (Tierra = 1) 1.1759e-03 

 Densidad media (gm/cm^3) 1.7 

 Distancia media desde Marte (km) 23,460 

 Período rotacional (días) 1.26244 

 Período orbital (días) 1.26244 

 Velocidad orbital media (km/seg) 1.36 

 Excentricidad orbital 0.00 

 Inclinación orbital (grados) 0.9-2.7 

 Velocidad de escape (km/seg) 0.0057 

 Albedo geométrico visual 0.07 

 Magnitud (Vo) 12.40 

Phobos en Números

 Descubierto por Asaph Hall 

 Fecha del descubrimiento 1877 

 Masa (kg) 1.08e+16 

 Masa (Tierra = 1) 1.8072e-09 

 Radio (km) 13.5x10.8x9.4 

 Radio (Tierra = 1) 2.1167e-03 

 Densidad media (gm/cm^3) 2.0 

 Distancia media desde Marte (km) 9,380 

 Período rotacional (días) 0.31910 

 Período orbital (días) 0.31910 

 Velocidad orbital media (km/seg) 2.14 

 Excentricidad orbital 0.01 

 Inclinación orbital (grados) 1.0 

 Velocidad de escape (km/seg) 0.0103 

 Albedo geométrico visual 0.06 

 Magnitud (Vo) 11.3 

Amalthea en Números

 Descubierto por Edward Emerson

Barnard 

 Fecha de descubrimiento 1892 

 Masa (kg) 7.17e+18 

 Masa (Tierra = 1) 1.1998e-06 

 Radio (km) 135x84x75 

 Radio (Tierra = 1) 2.1167e-02 

 Densidad media (gm/cm^3) 1.8 

 Distancia media desde Júpiter (km) 181,300 

 Período rotacional (días) 0.498179 

 Período orbital (días) 0.498179 

 Velocidad orbital media (km/seg) 26.47 

 Excentricidad orbital 0.003 

 Inclinación orbital 0.40° 

 Velocidad de escape (km/seg) 0.0842 

 Albedo geométrico visual 0.05 

 Magnitud (Vo) 14.1 

EJEMPLO DE RESONANCIA ENTRE JUPITER Y UN ASTEROIDE

Podríamos creer que es improbable que los

períodos orbitales, por ejemplo de un

asteroide y un planeta, estén en relación entera

(número entero), sin embargo, en el SS

existen muchos ejemplos de tal

situación.

Lo inestable

Añadiendo otro planeta la Tierra no necesariamente tendrá órbita estable.

Esta perturbación distorsiona la órbita de la tierra y al contrario.

Cuerpo (m = 600 t, r = 40 km) girando alrededor de un sistema doble de estrellas

MOSTRAR SIMULADORES CON SISTEMAS INESTABLES:

*LA TIERRA EN UN SISTEMA DOBLE*UNA ESTRELLA VISITA EL SS INTERIOR

*HYPERIÓN

Hiperión en Números

 Descubierto por William Cranch

Bond 

 Fecha de descubrimiento 1848 

 Masa (kg) 1.77e+19 

 Masa (Earth = 1) 2.9618e-06 

 Radio (km) 205x130x110 

 Radio (Tierra = 1) 3.2142e-02 

 Densidad media (gm/cm^3) 1.4 

 Distancia media desde Saturno (km) 1,481,000 

 Período rotacional (días) caótica 

 Período orbital (días) 21.27661 

 Velocidad orbital media (km/seg) 5.07 

 Excentricidad orbital 0.1042 

 Inclinación orbital (grados) 0.43 

 Escape velocity (km/sec) 0.107 

 Albedo geométrico visual 0.3 

 Magnitud (Vo) 14.19 

Eje de giro de Hiperión.Caso estable vs inestable

Actualmente el problema se resuelve con aproximaciones que requieren muchos cálculos.

Se continúa el estudio de estos cálculos para corregir pequeños defectos que echan a perder

las predicciones.

Con altas precisiones se pueden “explorar” los sistemas dinámicos y encontrar sutilezas o

“rarezas” dinámicas.

El caos

Los cálculos, sus métodos y los sistemas de computación han demostrado (lo que Poincaré

entendió a principios del siglo XX):

La mecánica y las leyes de la física tal como fueron enunciadas por I. Newton son mucho más ricas de lo que el propio Newton y sus

sucesores creyeron.

Estas ecuaciones encierran no solo lo predecible sino también lo errático y “caótico”.

POINCARÉ Y EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS

SECCION DE POINCARÉ

DIAGRAMA DE FASE DE HYPERION

LOS SISTEMAS DINÁMICOS TIENEN NATURALEZA DUAL

Las ecuaciones tienen una naturaleza dual y en todo sistema físico dinámico pueden presentarse los dos comportamientos:

ordenado – predecible

irregular – impredecible

Aquí encontramos una paradoja

¿Un sistema dinámico determinístico produciendo comportamientos erráticos e impredecibles?

“Tanto en ciencias (físicas) como en matemáticas caos es el témino técnico usado ahora para

describir tal actividad errática (la del problema de los tres cuerpos). Aplicado por primera vez en 1975 por

el matemático James Yorke, el caos se refiere al comportamiento aparentemente impredecible de un

sistema determinista gobernado por leyes expresadas matemáticamente” [I. Peterson (1993)]

¿Como puede ser esto?

Con los siguientes ejemplos lo entenderemos:

Modelos matemáticos sencillos estudiados con calculadora: x2, cos(x), 1/x, x2 – 1, 2x2 -1

Un modelo matemático interesante y muy estudiado: el modelo logístico.

Un fenómeno real: cilindros de Couette

1/x (EL INVERSO)

0,00000

1,00000

2,00000

3,00000

4,00000

5,00000

0 10 20 30 40 50

Iteraciones

1/x

X CUADRADO

-0,05000

0,00000

0,05000

0,10000

0,15000

0,20000

0,25000

0,30000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Iteraciones

x2

RAIZ CUADRADA DE X

0,00000

0,20000

0,40000

0,60000

0,80000

1,00000

1,20000

0 10 20 30 40 50

Iteraciones

RA

IZ(X

)

COSENOS

0,00000

0,20000

0,40000

0,60000

0,80000

1,00000

1,20000

0 10 20 30 40 50

Iteraciones

Co

s(x

)

DOS X CUADRADO - UNO

-1,50000

-1,00000

-0,50000

0,00000

0,50000

1,00000

1,50000

0 10 20 30 40 50

Iteraciones

2X

2 +

1

X CUADRADO - UNO

-1,20000

-1,00000

-0,80000

-0,60000

-0,40000

-0,20000

0,00000

0,20000

0,40000

0 10 20 30 40 50

Iteraciones

x2 +

1

DOS X CUADRADO - 1

-1,50000

-1,00000

-0,50000

0,00000

0,50000

1,00000

1,50000

0 20 40 60 80 100 120

Iteraciones

2x2 -

1

La iteración de la expresión:

K.X.(1 – X), 0 < X < 1

Se llama cascada logística.

LOGISTICA

-0,200000

0,000000

0,200000

0,400000

0,600000

0,800000

1,000000

1,200000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Iteracones. X0 = 0.09767602. K = 3.987451

KX

(1 -

X)

CARACTERISTICAS DEL CAOS

Sensibilidad a las condiciones iniciales.

Los gráficos siguientes corresponden a 200 iteraciones para dos valores iniciales muy

próximos en la cascada logística con K = 4.

LOGISTICA, X0 = PI/10, K = 4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Iteraciones

KX

(1 -

X)

LOGISTICA, X0 = PI/10 + 0,001, K = 4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Iteraciones

KX

(1 -

X)

COMPARACION DE LA LOGISTICA. Diferentes valores iniciales

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69

Iteraciones

X(i

)

X0 = PI/10X0 = PI/10 + 0,001

Se presentan estabilidades e inestabilidades

Los sistemas se presentan de tal manera que comportamientos estables e inestables

se entrelazan o se pueden presentar indistintamente.

Lo estable y lo inestable

Flujos de Couette

DATOS DEL SISTEMA SOLAR

BIBLIOGRAFIA

• Peterson I. “El reloj de Newton”. Alianza Editorial. Madrid 1995.

• Stewart I. “”¿Juega Dios a los dados?. La nueva matemática del caos”. Grijalbo Mondadori. Barcelona 1991.

• Braun E. “Caos, fractales y cosas raras”. Fondo de Cultura Económica. México 1996.

• Talanquer “Fractus, fracta, fractal. fractales, de laberintos y espejos”. Fondo de Cultura Económica. México 1996.

• Simulador del Sistema Solar Celestia http://www.shatters.net/celestia

• Solar System ver 1.0a http://www.orbit.org/

• Orbit Xplorer http://www.ottisoft.com/orbit_x.htm