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FISICA I
_______________________________________________________________________ 1Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
FISICA ILa Fsica es la ciencia que estudia a la materia y sus interacciones. La Fsica es una
de las ciencias ms fundamentales que estudia la estructura de que est constituido
el universo y todas sus interacciones.
La fsica, en su intento de describir los fenmenos naturales con exactitud y veracidad,
ha llegado a lmites impensables: el conocimiento actual abarca la descripcin de
partculas fundamentales microscpicas, el nacimiento de las estrellas en el universo e
incluso conocer con una gran probabilidad lo que aconteci en los primeros instantes
del nacimiento de nuestro universo, por citar unos pocos campos.Esta tarea comenz
hace ms de dos mil aos con los primeros trabajos de filsofos griegos como
Demcrito, Eratstenes, Aristarco, Epicuro o Aristteles, y fue continuada despus por
cientficos como Galileo Galilei, Isaac Newton, Leonhar Euler, Joseph-Louis de
Lagrange, Michael Faraday, William Rowan Hamilton, James Clerk Maxwell, Albert
Einstein, Niels Bohr, Max Planck, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Richard Feynman y
Stephen Hawking, entre muchos otros.
Aristteles (384 a. C. 322 a. C.). Fue un polmata: filsofo, lgico y cientfico de laAntigua Grecia cuyas ideas han ejercido una enorme influencia sobre la historia
intelectual de Occidente por ms de dos milenios.Aristteles escribi cerca de 200
tratados (de los cuales slo nos han llegado 31) sobre una enorme variedad de temas,
incluyendo lgica, metafsica, filosofa de la ciencia, tica, filosofa poltica, esttica,
retrica, fsica, astronoma y biologa.
Nicols Coprnico (1473 - 1543).Fue un astrnomo polaco que formul la teoraheliocntrica del Sistema Solar, concebida en primera instancia por Aristarco de
Samos (310 a. C. 230 a. C.). Su libro, De revolutionibus orbium coelestium (Sobre
las revoluciones de las esferas celestes 1530). Coprnico pas cerca de veinticinco
aos trabajando en el desarrollo de su modelo heliocntrico del universo. En aquella
poca result difcil que los cientficos lo aceptaran, ya que supona una autntica
revolucin.
Johannes Kepler (1571 - 1630). Figura clave en la revolucin cientfica, astrnomo ymatemtico alemn; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de
los planetas en su rbita alrededor del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien
sustituy como matemtico imperial de Rodolfo II.
FISICA I
_______________________________________________________________________ 2Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
Galileo Galilei (1564 1642).Fue un astrnomo, filsofo, matemtico y fsico italianoque estuvo relacionado estrechamente con la revolucin cientfica. Eminente hombre
del Renacimiento, mostr inters por casi todas las ciencias y artes (msica, literatura,
pintura). Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones
astronmicas, la primera ley del movimiento y un apoyo determinante para el
copernicanismo.
Isaac Newton (1642 1727). Fue un fsico, filsofo, telogo, inventor, alquimista ymatemtico ingls, autor de los principios matemticos de la filosofa natural 1687,
donde describi la ley de la gravitacin universal y estableci las bases de la mecnica
clsica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos
cientficos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la ptica (que se
presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del clculo
matemtico.Newton comparte con Leibniz el crdito por el desarrollo del clculo
integral y diferencial, que utiliz para formular sus leyes de la fsica. Tambin
contribuy en otras reas de la matemtica, desarrollando el teorema del binomio y las
frmulas de Newton-Cotes.
Podramos decir que la fsica es una ciencia experimental que estudia las
interacciones de la naturaleza usando el mtodo cientfico.
El mtodo cientfico tiene las siguientes partes, observacin, hiptesis,
experimentacin, ley fsica.
1.1.MAGNITUDES FISICAS
Son todas aquellas caractersticas de un cuerpo o un fenmeno fsico que se pueden
medir con cierto grado de precisin, utilizando para ello un instrumento y una unidad
de medida.
NOTACIN CIENTFICASi quiere reportar un nmero muy grande, resulta tedioso escribirlo. Por ejemplo, el
cuerpo humano contiene casi 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 tomos. Si
utiliza este nmero con frecuencia, seguro que le gustara tener una notacin ms
compacta para l. Esto es exactamente lo que es la notacin cientfica. Representa
FISICA I
_______________________________________________________________________ 3Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
un nmero como el producto de un nmero mayor que 1 y menor que 10 (llamado
mantisa) y una potencia (expresada por un exponente) de 10:
Nmero=mantisa 10exponenteEn tal caso, el nmero de tomos en el cuerpo humano se puede escribir en forma
compacta como7 1027, donde 7 es la mantisa y 27 es el exponente.
Otra ventaja de la notacin cientfica es que facilita la multiplicacin y la divisin de
nmeros grandes. Para multiplicar dos nmeros en notacin cientfica, multiplicamos
sus mantisasy despus sumamos los exponentes.
Por ejemplo, si quisiramos estimar cuantos tomos contieneel cuerpo de todos los
habitantes de la Tierra, podramos hacer este clculo con relativafacilidad. La Tierra
tiene aproximadamente 7 mil millones (= 7 109) de seres humanos. Todolo que
tenemos que hacer para hallar la respuesta es multiplicar 7 1027 por 7 109.
Hacemos estomultiplicando las dos mantisas y sumando los exponentes:
(71027 )(7109 )=(77)1027+9=491036=4.91037CIFRAS SIGNIFICATIVASCuando especificamos el nmero de tomos en el cuerpo humano promedio como 7
1027, intentamos indicar que sabemos que es por lo menos 6.5 1027 pero menor
que 7.5 1027. De cualquier modo, si hubiramos escrito 7.0 1027, habramos
implicado que sabamos que el verdadero nmero est en algn lugar entre 6.95
1027 y 7.05 1027. Esta aseveracin es ms precisa que la anterior.
Como regla general, el nmero de dgitos que escribe en la mantisa especifica que tan
preciso declara conocerla. Cuantos ms dgitos se especifican, se implica mayor
precisin (vea la figura). El nmero de dgitos en la mantisa se llama nmero de cifrassignificativas. He aqu algunas reglas sobre el uso de cifras significativas, en cadacaso seguido por un ejemplo.
El nmero de cifras significativas es el nmero de dgitos conocido de manera
confiable.
Por ejemplo, 1.62 tiene 3 cifras significativas; 1.6 tiene 2 cifras significativas.
Si da un nmero como un entero, lo especifica con precisin infinita. Por ejemplo, si
alguien dice que tiene 3 hijos, significa exactamente 3, ni ms ni menos.
FISICA I
_______________________________________________________________________ 4Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
Los ceros precedentes no cuentan como cifras significativas. El numero 1.62 tiene el
mismo nmero de cifras significativas que 0.00162. Hay tres cifras significativas en
ambos nmeros. Comenzamos a contar cifras significativas desde la izquierda, con el
primer digito que no sea cero.
Por otra parte, los ceros posteriores, si cuentan como cifras significativas. El nmero
1.620 tiene cuatro cifras significativas. !Escribir un cero posterior implica mayor
precisin!
Los nmeros en notacin cientfica tienen tantas cifras significativas como su mantisa.
Por ejemplo, el numero 9.11 10-31 tiene tres cifras significativas porque estas son
las que tiene la mantisa (9.11). La magnitud del exponente no tiene ninguna influencia.
Usted nunca puede tener ms cifras significativas en un resultado que aquellas con las
que comenz en cualquiera de los factores de una multiplicacin o divisin. Por
ejemplo,1.23/3.4461 no es igual a 0.3569252. Es posible que su calculadora le de esta
respuesta; pero las calculadoras no muestran de manera automtica el numero
correcto de cifras significativas. En vez de esto, obtendr 1.23/3.4461 = 0.357. Tiene
que redondear el resultado de una calculadora hasta el nmero correcto de cifras
significativas, en este caso tres, que es el nmero de cifras significativas en el
numerador.
Usted puede sumar o restar cuando hay cifras significativas para esa posicin en cada
Numero. Por ejemplo, 1.23+ 3.4461 = 4.68, y no 4.6761 como podra pensar. En
especial, esta regla requiere algo de tiempo para acostumbrarse.
Para terminar esta explicacin de cifras significativas, reconsideremos el nmero total
de tomos contenidos en los cuerpos de todos los seres humanos de la Tierra.
Comenzamos con dos cantidades que se dieron con solo una cifra significativa. Por lo
tanto, el resultado de la multiplicacin necesita redondearse de manera adecuada
hasta una cifra significativa. En tal caso, el nmero combinado de tomos en todos los
cuerpos humanos se expresa de forma correcta como 5 1037
FISICA I
_______________________________________________________________________ 5Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
MedicinMedir es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad
conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad de medida o magnitud
patrn. Al resultado de medir lo llamamos Medida.
SISTEMAS DE UNIDADESUn sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Las
mediciones exactas y confiables exigen unidades inmutables que los observadores
puedan duplicar en distintos lugares.
SISTEMA INTERNACIONAL S.I.El sistema internacional de unidades se abrevia con frecuencia S.I. (de Systme
International).
A veces, las unidades de este sistema se llaman unidades mtricas. El sistema de
unidades S.I. es elestndar que se utiliza para el trabajo cientfico en todo el mundo.
MAGNTUDES FUNDAMENTALES DEL S.I.El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades bsicas
(fundamentales), que expresan magnitudes fsicas. A partir de estas se determinan las
dems
Magnitud Unidad SmboloLongitud Metro m
Masa Kilogramo kg
Tiempo Segundo s
Temperatura termodinmica Kelvin K
Intensidad de corriente elctrica Ampere A
Intensidad Luminosa Candela cd
Cantidad de sustancia Mol mol
MAGNITUDES AUXILIARES DEL S.I.Magnitud Unidad SmboloAngulo plano radian rad
Angulo solid Estereorradin sr
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_______________________________________________________________________ 6Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
MAGNITUDES DERIVADAS DEL SISTEMA INTERNACIONALSon aquellas que se obtienen a partir de las unidades fundamentales.
Magnitud Unidad Smbolo EXPRESION EN OTRASUNIDADES DEL S.I.
Volumen Metro cubico m3
densidad Kilogramo por metro cubico kg . m3
velocidad Metro por segundo m . s-1
Fuerza Newton N kg . m . s-2
Energa Joule J kg . m2 . s-2
Potencia Watt W kg . m2 . s-3
Presin Pascal Pa kg . m-1 . s-2
Frecuencia Hertz Hz s-1
PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONALEn el S.I. se pueden obtener mltiplos reconocidos de las unidades fundamentales y
unidades derivadas multiplicndolas por diferentes factores de 10. Estos factores
tienen abreviaciones en letras universalmente aceptadas que se usan como prefijos,
que se muestran en la siguiente tabla
FISICA I
_______________________________________________________________________ 7Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
SISTEMA INGLES (Unidades de uso comn en Estados Unidos).La mayora de los ingenieros practicantes estadounidenses todava utiliza un sistema
en el que las unidades bsicas son las unidades de longitud, fuerza y tiempo.
Magnitud Unidad Smbololongitud pie ft
fuerza libra lb
tiempo segundo s
Conversiones de un sistema a otroUnidades de longitud1ft = 0.3048 m
1milla (mi) = 5 280 ft = 1 609 m
1pulgada (in) = 121 ft = 0.0254 m = 2.54 cm
Unidades de masa y fuerza1 slug = 1lb . s2/ft = 14.59 kg
1li = 4.448 N
Unidades de volumen1 galn (gal) = 3.785 Litros
En el S.I. para medir el volumen de lquidos, se usa la unidad de Litro (L)
1L = 10-3 m3
1mL = 1 cm3
1m3 = 106 cm3
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_______________________________________________________________________ 8Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
MAGNITUDES ESCALARESSon aquellas que estn completamente definidas con un valor de la magnitud y su
unidad de medida correspondiente. Ejemplo:
L = 10 metros
T = 5 horas
MAGNITUDES VECTORIALESSon aquellas que adems del valor de la magnitud y su unidad correspondiente,
requiere de una direccin para quedar completamente definidas. Ejemplo:
Velocidad = 10 m/s hacia el norte
Desplazamiento = 1000 metros hacia el este
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1.2. VECTORESUn vector es un ente matemtico representado por un segmento de recta orientado
El vector se denota por toda letra con una flecha arriba.
A
: Se lee vector A
PARTES DE UN VECTORa) MODULO DE UN VECTORMatemticamente representa la longitud del segmento de recta orientado. Fsicamente
a dicha longitud se le asigna el valor o cantidad de la magnitud que representa.
El modulo de un vector se denota por el vector entre barras o la letra sola sin flecha.
A
: Se lee modulo del vector A
A: se lee modulo del vector A
b) DIRECCION DE UN VECTOREs la orientacin que tiene un vector con respecto al sistema de referencia en el cual
se encuentra. En el plano cartesiano la direccin de un vector esta dada por el ngulo
medido en sentido antihorario a partir del eje X(+) hasta el vector.
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_______________________________________________________________________ 10Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
c) SENTIDO DE UN VECTOREs la orientacin que tiene un vector con respecto a su lnea de accin.
1.3. OPERACIONES CON VECTORES.a) SUMA DE DOS VECTORES (METODO DEL PARALELOGRAMO)
Sean dos vectores ByA
que forma un ngulo entre ellos.
El vector resultante de la suma de los vectores ByA
es:
BAR
+=
El modulo del vector resultante esta dado por la ley de los csenos:
++= cosAB2BAR 22
b) DIFERENCIA DE DOS VECTORES (METODO DEL PARALELOGRAMO)
Sean dos vectores ByA
que forma un ngulo entre ellos.
FISICA I
_______________________________________________________________________ 11Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
Los vectores diferencia de los vectores ByA
son:
BAD
=1
ABD2
=
Los vectores 21 DyD
son opuestos y su modulo es:
+== cosAB2BADD 2221
Problema 1.1.El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace un ngulo de
35 con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud.
Encontrar la magnitud del otro vector y el ngulo entre ellos.
SolucinSean:
A = 12 u
R = 10 u
Usando el mtodo del paralelogramo
BAR
+=
ARB
=
Luego: ARB
=
35cos222 RAARB +=
35cos)12)(10(21210B 22 +=
u89.6B =
Por la ley de senos en el tringulo pqr de la figura:
=
senA
35senB
998.089.6
1235senBA35sensen ===
4.87=Por lo tanto el ngulo entre los vectores es: 122
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_______________________________________________________________________ 12Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
Problema 1.2.Encontrar el ngulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud cuando su
resultante forma un ngulo de 50 con el vector mayor. Calcular tambin la magnitud
del vector resultante.
Solucin:En el triangulo PQR del grafico mostrado.
Por la ley de senos:
AB50sensen
senB
50senA
=
=
25.738
1050sensen ==
El ngulo entre los vectores ByA
es de 123.25
Luego por el mtodo del paralelogramo:
25.123cos)10)(8(210825.123cosAB2BAR 2222 ++=++=
R = 8.73 u
Problema 1.3.Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud forman entre s un ngulo de 60.
Encontrar la magnitud de la diferencia y el
ngulo que hace la diferencia con respecto al
vector mayor.
Solucin:Del grfico, vectorialmente:
BAD
=
Encontrando el modulo de la diferencia por el mtodo del paralelogramo:
60cosAB2BAD 22 +=
)21)(10)(8(2108D 22 +=
D = 9.17u
Luego del grafico en el triangulo PQR por la ley de senos:
76.0)17.98(60sen
DA60sensen
60senD
senA
====
46.49=
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_______________________________________________________________________ 13Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
c) SUMA DE VARIOS VECTORES (METODO DEL POLIGONO)Es un mtodo grafico que nos permite sumar varios vectores.
Donde se cumple: EDCBAR
++++=
1.4. VECTOR UNITARIOEs un vector cuya funcin es la de indicar la direccin de otro vector. Su mdulo es la
unidad de medida.
Notacin:u : Se lee vector unitario u
Propiedad:
Sea un vector cualquiera A
y un vector unitario Au en la direccin del vector A
; como
se muestra en la figura
Se cumple que:
AuAA
=
AAuuAA AA
==
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ObservacinEn el grafico mostrado:
i : Vector unitario en la direccin del eje X (+)
j Vector unitario en la direccin del eje Y (+)
1.5. DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR EN EL PLANO
Sea el vector A
en el plano cartesiano XY.
Del grafico podemos observar que:
YX AAA
+=
Por vectores unitarios:
iAA XX =
jAA YY =
Luego:
jAiAA YX +=
Es el vector
A en funcin de sus componentes rectangulares o cartesianas.
FISICA I
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Donde Ax y Ay son las componentes rectangulares del vector
A
Del grafico:
2Y
2X AAA += ; es el modulo del vector A
Adems:
senAAcosAA
Y
X
=
=
Son Componentes del vector A
Luego:
)AA(tanArc
AAtan
Y
X
Y
X==
Es la direccin del vector A
1.6. DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR EN TRESDIMENSIONES.
Sea el vector A
en el espacio tridimensional:
Ax
Ay
Az
X
Y
Z
A
En este caso:
kAjAiAA zyx ++=
Donde k es un vector unitario en la direccin del eje Z (positivo)Adems, se puede demostrar que:
222zyx AAAA ++=
FISICA I
_______________________________________________________________________ 16Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
cosAAx =cosAAy =cosAAz =
1coscoscos 222 =++ Donde cos,cos,cos se les llaman los csenos directores del vector A
Problema1.5.Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza
la pelota 12 metros hacia el Norte; el segundo 6 metros al Sur Este y el tercer golpe3
metros al Sur Oeste. Qu desplazamiento sera necesario para meter la pelota en el
hoyo al primer golpe?
Solucin:Supongamos que la pelota empieza su movimiento en el punto O y luego realiza tres
desplazamientos descritos por los vectores CyBA
, respectivamente, como se
muestra en la figura.
El desplazamiento necesario para meter
la pelota en un solo golpe esta dado por
el vector D
.
Por el mtodo del paralelogramo:
CBAD
++=
Descomponiendo los vectores
CyBA
, :
jiCjiBjiA
12.212.2
24.424.4
120
=
=
+=
Sumando los vectores CyBA
, resulta:
jiD 64.512.2 +=
Su modulo es: 22 64.512.2 +=DD = 6.03m
FISICA I
_______________________________________________________________________ 17Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
Problema1.6.Una partcula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, de la siguiente
manera: 6 metros al sureste, 10 metros al este y 3 metros en una direccin este 60o
norte. Encontrar: a) Las componentes de cada desplazamiento. b) Las componentes
del vector resultante. c) La magnitud y direccin del vector resultante
Solucin:
a) Del grafico:
jijseniCjiB
jijisenA
60.25.1)603()60cos3(010
24.424.4)45cos6()456(
+=+=
+=
==
b) El vector resultante, como muestra el grafico es:
CBAR
++=
jiR 64.174.15 =
d) La magnitud o modulo del vector resultante es:
22 )64.1()74.15( +=RR = 15.83 m
Problema 1.7.Un cuarto tiene dimensiones siguientes: 10 metros x 12 metros x 14 metros. Una
mosca vuela desde un rincn hasta el rincn diametralmente opuesto. a) Cul es la
magnitud de su desplazamiento. b) Escoger un sistema de coordenadas apropiado y
encontrar los componentes del vector de desplazamiento en dicho referencial. c) Si la
mosca no volase sino caminase, Cul sera la longitud de la trayectoria mas corta
que pudiese seguir?
FISICA I
_______________________________________________________________________ 18Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
Solucin:
Del grafico podemos observar
que con respecto al sistema de
referencia mostrado, el
desplazamiento de la mosca
es:
kdjdidd zyx ++=
kjid 141210 ++=
El modulo del desplazamiento
de la mosca es:
222 141210 ++=dd = 20.98 m
c) Si la mosca no volase, la trayectoria ms corta es del punto O al punto R y luego
al punto P en lnea recta como se muestra en la figura.
Problema1.8.Dado cuatro vectores coplanares de 8, 12, 10 y 6 unidades de longitud
respectivamente; los tres ltimos hacen con el primer vector ngulos de 70, 150, y
200 grados respectivamente. Encontrar la magnitud y la direccin del vector
resultante.
Solucin:Sea: A = 8u, B = 12u, C = 10u, D = 6u
Del grafico mostrado:
j05.2i46.5j20sen6i20cos6Dj5i67.8j60cos10i60sen10Cj28.11i10.4j70sen12i70cos12B
j0i8j0i8A
==
+=+=
+=+=
+=+=
Luego la resultante de los cuatro vectores es:
j23.14i14.2RDCBAR
+=
+++=
Luego, el modulo o magnitud del vector resultante es:
FISICA I
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u39.14R)23.14()14.2(R 22
=
+=
Del grafico, el ngulo que hace la resultante con
el eje X es:
45.81
65.614.223.14tan
=
==
FISICA I
_______________________________________________________________________ 20Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
1.7. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES )( BA
El producto escalar de dos vectores da como resultado una cantidad escalar.
A
B
Por definicin:
=
cosBABADnde:
A: modulo del vector
A
B: modulo del vector
B
: ngulo entre los vectores
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALARa) El producto escalar es conmutativo:
= ABBA b) El producto escalar es distributivo con respecto a la suma:
( ) CABACBA +=+c) CONDICION DE PERPENDICULARIDAD. Si los vectores ByA
son
perpendiculares entre si, entonces su producto escalar es cero.
0= BABA
d) Sean los vectores ByA
en funcin de sus componentes rectangulares:
kAjAiAA zyx ++=
kBjBiBB zyx ++=
zzyyxx BABABABA ++=
FISICA I
_______________________________________________________________________ 21Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
1.8. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES )( BA
El producto vectorial de dos vectores da como resultado una cantidad vectorial (el
vector BA
). El vector BA
es perpendicular al plano formado por los vectores
ByA
es decir es perpendicular al vector A
y al vector B
. Su sentido esta dado por
el giro de un tornillo de rosca derecha o por la regla de l a mano derecha.
A
B
AxB
BxA
El modulo del vector BA
se define:
senBAsenBABA ==
Dnde:
A: modulo del vector A
B: modulo del vector B
: ngulo entre los vectores
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIALa) El producto vectorial es anti conmutativo:
AB
=BA
b) EL producto vectorial es distributivo con respecto a la suma:
( ) CABACBA +=+c) CONDICION DE PARALELISMO. Si los vectores ByA
son paralelos entre si,
entonces su producto vectorial es cero:
0= BABaparaleloA
FISICA I
_______________________________________________________________________ 22Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
d) Sean los vectores ByA
en funcin de sus componentes rectangulares:
kAjAiAA zyx ++=
kBjBiBB zyx ++=
El modulo del producto vectorial de los vectores ByA
en funcin de las
componentes rectangulares de los vectores ByA
se puede determinar mediante un
determinante de 3x3 como se muestra a continuacin:
( ) ( ) ( ) kBABAjBABAiBABABBBAAAkji
BA xyyxxzzxyzzyzyx
zyx
+==
e) El rea del paralelogramo formado por vectores ByA
es igual al modulo de su
producto vectorial.
BAsenBAS
== Donde:
S: rea del paralelogramo formado por los vectores ByA
A: Modulo del vector A
B: Modulo del vector B
1.9. VECTOR POSICION ( r )Es un vector que indica la posicin de un punto en el plano o el espacio.
FISICA I
_______________________________________________________________________ 23Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
jyixr +=
El vector r
indica la posicin del punto P con respecto al origen de coordenadas O
OBSERVACION
En la figura se muestra el vector PQr
es el vector posicin del punto Q con respecto al
punto P.
jPQiPQr yyxxPQ )()( +=
Problema1.9.
Dados los vectores: kjiA 23 +=
kiB 22 +=
kjiC 232 ++=
Encontrar:
a) La magnitud de cada uno de los vectores.
b) El ngulo que forma el vector A
con el eje Z.
c) CBAD
2)(3 += , su magnitud y el ngulo que forma con el eje Y.d) )2()2( CAAB
e) )2()2( CBBAE
+= , su magnitud y el ngulo que forma con el eje X.
f) El ngulo que forman los vectores D
y E
.
g) La proyeccin del vector D
sobre el vector A
.
Solucin:a) Los mdulos de los vectores:
uA 74.314)1()2()3( 222 ==++=
uB 83.222)2()0()2( 222 ==++=
uC 12.417)2()3()2( 222 ==++=
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_______________________________________________________________________ 24Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
b) Sabemos que:
Az AA cos=Donde A es el ngulo que hace el vector A
con el eje z. Luego:
27.074.31
cos =
==
AAz
A66.105=A
c) CBAD
2)(3 ++=[ ]
kjiDkjikjiDkjikjiD
kjikikjiD
712)464()363()232(2)2(3
)232(2)22()23(3
++=
+++++=
+++++=
++++++=
d) [ ] [ ])232(2)23()23()22(2)2()2( kjikjikjikiCAAB +++++= [ ] [ ]
66)2()2(25849)5)(5()4)(2()7)(7()2()2(
)547()527()2()2(464)23()23(44)2()2(
=
+=++=
+=
++++=
CAABCAAB
kjikjiCAABkjikjikjikiCAAB
e) )2()2( CBBAE
+=
[ ] [ ][ ] [ ]
)232()44()232(44)22(246
)232()22(2)22()23(2
kjijiEkjikikikjiE
kjikikikjiE
++=
++++++=
++++++=
[ ] [ ] [ ]
kjiE
kjikji
E
2088
)2)(4()3)(4()2)(0()2)(4()3)(0()2)(4(232044
=
+=
=
Su mdulo o magnitud es:
uEE
98.22)20()8()8( 222
=
++=
FISICA I
_______________________________________________________________________ 25Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
El ngulo que hace el vector E
con el eje X se puede calcular con la siguiente
relacin:
Ex EE cos=Dnde:
xE es la componente del vector E
en la direccin del eje X
E es el ngulo que hace elvector E
en la direccin del eje X
Luego:
63.69
35.098.22
8cos
=
===
E
x
E EE
f) kjiD 712 ++=
kjiE 2088 =
El ngulo formado por los vectores D
y E
se puede calcular usando la definicin del
producto escalar:
cosEDED =
Donde es el ngulo entre los vectores D y E
[ ]34.40
76.011.320
244cos
)98.22)(93.13(140968
))20()8()8()()7()12()1(()20)(7()8)(12()8)(1(
cos222222
=
=
=
=
++++
++==
EDED
g) Del grafico, la proyeccin del vector D
sobre el vector A
esta determinada porel
segmento P.
Del grafico:
)1(coscos == DPDP
Como:
kjiD 712 ++=
FISICA I
_______________________________________________________________________ 26Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
kjiA 23 +=
De la definicin de producto escalar:
cosDADA =Luego:
ADAD
=cosDe la ecuacin (1), entonces:
uP
ADAP
74.3
74.314
)1()2()3()7)(1()12)(2()1)(3(
222
=
=
++
++==
Problema1.10.
Dado un vector jiF 23 += dado en el plano XY, y otro jsiG 2 +=
siendo s un
parmetro:
a) Determinar s de modo que G sea paralelo a F .
b) Determinar s de modo que G sea perpendicular a F .c) Calcular el vector unitario en la direccin F X GSolucin:
a) Por la condicin de paralelismo; si el vector G
es paralelo al vector F
:
0= FG
Luego:
002023
=
s
kji
[ ]043
0)2)(2())(3(=
=
s
s
34
=s
b) Por la condicin de perpendicular; si el vector G
es perpendicular al vector F
:
0= FG
Luego:
FISICA I
_______________________________________________________________________ 27Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
30))(2()2)(3(
=
=+
s
s
c) Como el vector F
y el vector G
estn en el plano XY, entonces el vector unitario en
la direccin del producto vectorial GF
es el vector unitario k en la direccin del ejeZ
Problema1.11.Hallar un vector unitario paralelo al plano YZ y que sea perpendicular al vector
kjia 345 +=
Solucin:Como el vector es paralelo al plano XZ podemos considerar que su componente en el
eje Y es cero, entonces podemos construir el vector:
kzixb +=
Como el vector b
es perpendicular al vector a
, entonces:
zxzx
ba
53035
0
==
=
Quedando el vector b
:
kzizb 53
+=
Como el problema pide un vector unitario en la direccin del vector b
. Luego:
k86.0i51.0u
k345i
343
534z
kziz53
zz53
kziz53
bbu
b
22b
+=
+=+
=
+
+
==
Problema1.12.
Cul es la componente del vector ba
en la direccin del vector unitario ndonde:
kjia 31610 ++= kjib 225 +=
kin 6.08.0 +=
Solucin:
Hallando el producto vectorial ba
:
FISICA I
_______________________________________________________________________ 28Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
kjiba
kjikji
ba
60538
)8020()1520()632(22531610
+=
+++=
=
Del grafico mostrado, podemos observar que la componente del vector ba
en la
direccin del vector unitario n esta dado por el segmento P, donde:
)1(cos = baP
Por la definicin de producto escalar, tenemos:
( ) coscos babanban ==Luego de la ecuacin (1):
uP 4.66)60)(6.0()38)(8.0( =+=
FISICA I
_______________________________________________________________________ 29Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
PROBLEMAS PROPUESTOS.
ProblemaUn automvil descompuesto esjalado por medio de cuerdassujetas a las dos fuerzas que semuestran en la figura. Determinela magnitud y la direccin de suresultante por el mtodo delparalelogramo.
DESCOMPOSICIONCARTESIANAProblemaUn vector de posicin tiene una longitud de 40.0 m y est a un ngulo de 57.0 sobre
el eje x. Encuentre las componentes del vector y el vector posicin.
ProblemaCalcular la resultante (vector suma en funcin de las componentes y vectores unitarios
correspondientes) del sistema formado por los vectoresA (3,-2,3); B (1, 1,-2) y C (2,
2,-1).
Problema
Calcule la longitud y la direccin de los vectores ,Sume los vectores , , usando el mtodo de componentes, y encuentre su vectorsuma.
Use el mtodo de componentes para determinar la longitud del vector =
Problema
Encuentre los componentes de los vectores , , cuyas longitudes estn dadaspor A = 75.0, B = 60.0, C = 25.0, D = 90.0, y sus ngulos son como se muestra en la
figura. Escriba los vectores en trminos de vectores unitarios.
FISICA I
_______________________________________________________________________ 30Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
Encuentre la suma vectores + + + en trminos de sus componentes.Encuentre la magnitud y direccin de la suma +
Problema
Halla el vector unitario del vector
++= k5j4i3C .
Problema
Siendo los vectoresA (A
x, 5, 3) y
B (Bx, 1, 0) y sabiendo que
+= k3j4BA y que el
mdulo de su suma vale 9. Determinar Axy B
x.
ProblemaUn excursionista se desplaza con direccin suroeste desde su campamento de base,
habiendo recorrido 1.72 km. Llega a la orilla de un ro que es demasiado hondo para
cruzarlo, por lo cual hace un giro de 90 a la derecha y avanza otros 3.12 km hasta un
puente. A qu distancia se encuentra de su campamento?
ProblemaCalcule las componentes x e y de los vectores
mostrados en la figura.
Problema.En la figura se muestran cuatro vectores
donde sus mdulos son: A = 5 u; B = 10 u;
C = 4u; D = 8 u. Encuentre: a) Las
componentes de cada vector y cada vector. b)
Las componentes del vector resultante y el
vector resultante. c) La magnitud y direccin
del vector resultante. Graficar.
FISICA I
_______________________________________________________________________ 31Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
Problema.
A partir del grafico mostrado encuentre: a) Los vectores
Cy,B,A en funcin de sus
componentes rectangulares. b) El vector resultante y el ngulo que hace con el eje x
(grafique)
Problema
a) Encuentre cada uno de los vectores
mostrados en la figura en funcin de sus
componentes rectangulares. b) Encuentre el
vector resultante, su magnitud y el ngulo que
hace con el eje x. Grafique el vector resultante
VECTORES EN TRES DIMENSIONESProblema.
Cul debe ser el valor de m para que el vector
++= k2jmiA forme un ngulo de
60 con el eje Z?
ProblemaSi un vector forma con los ejes X e Y ngulos de 60 y tiene de mdulo 4 unidades.
Calcular: a) Sus componentes coordenados. b) El ngulo que forma con el eje Z.
Problema
Demostrar que el vector unitariou , cuyos cosenos directores son: cos = 1/3, cos =
2/3 y cos > 0, es perpendicular al vectorB (6, -9, 6).
FISICA I
_______________________________________________________________________ 32Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIALProblema
Si la suma de dos vectores
ByA es k9j4i5 + , y su diferencia es
k3j8i2 , hallar: a) Los vectores
ByA . b) El ngulo entre la suma
+ BA y el
vector
A .
Problema.Dados los puntos en el espacio: P (3, 5, -7); Q (5, -8, 6); R (-3, 8, 10). Encuentre el
rea del tringulo formado por los puntos PQR
Problema.
Sean los vectores b
y c las diagonales de las caras de un cubo de arista "a = 2 m".
Encontrar las componentes del vector:
= cXbd .
Problema.Hallar un vector unitario paralelo al plano xy y que sea perpendicular al vector:
++= k3ji5a
ProblemaDados los vectores
kjiA +=
kjiB 6 +=
kjiD 16
21616
+++
+
=
Averigua si el producto vectorial
BA es o no paralelo al vector
D .
FISICA I
_______________________________________________________________________ 33Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
ProblemaPara qu valor de m son perpendiculares entre si los vectores que parten del origen a
los puntos (3, -6, 2) y (-4, 8, m)
Problema
Halla el vector unitario perpendicular a los vectoresV (1,2,3) y W (-1,0,2).
ProblemaPara que valores de m forman un ngulo de 60 entre si los vectores que van de (2, -
7,5) a (7, 1, -3) y de (8, m, -4) a (4, -2, 1)
Problema
Dados los vectoresA (5,3,4) y += k2ji6B , calcular:
a) su producto escalar
b) el ngulo que forman
c) los cosenos directores del vectorB .
Problema
Dados los vectores
+= k2j3i3A y B (3,4,0), calcular:
a) BxA y AxB
b) rea del paralelogramo formado por ambos vectores.
c) Un vector de mdulo 3u perpendicular al plano formado por A y B.
d) )BA(x)BA( +
Problema
El vector tiene magnitud de 6 unidades y esta sobre el eje x (+), el vector tiene una
magnitud de 4 unidades y est en el plano xy formando un ngulo de 30 con el eje x.
calcule el producto vectorial =ProblemaEn la figura se muestra un cubo de lado 6u; a)
encuentre los vectores en funcin de sus
componentes rectangulares. b) encuentre el
ngulo formado por los vectores . c)
FISICA I
_______________________________________________________________________ 34Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui
encuentre el rea del paralelogramo formado por los vectores
4. Dados los vectores:
k9j4i5A +=
k3j8i7B +=
Encuentre:
a) El producto escalar.
b) El producto vectorial.
c) El vector unitario en la direccin perpendicular al plano formado por los vectoresA y B
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