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Capítulo 3: EL CAMPO ELÉCTRICO EN LA MATERIA
1. Los conductores, los semiconductores y los dieléctricos
2. Los sólidos cristalinos, los policristalinos y los amorfos
3. El dipolo eléctrico
4. La polarización
5. La generalización de la ley de Gauss
6. Los dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos
7. La densidad de energía del campo eléctrico
8. Las condiciones de frontera para D y E
9. Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática en medios
materiales
0
0
E
E
•Las cargas eléctricas son “libres”. Las podemos poner y quitar; tenemos control sobre ellas.
•Los conductores son sencillos. Sus propiedades hacen que solo aparezcan como condiciones a la frontera.
q q
2
Coul Coul CoulFaradio
JouleVolt JouleCoul
qq q C C
C
0
AC
l
l
• No polares– Las moléculas que forman el sólido no no
tienentienen un momento dipolar permanente
• Polares– Las moléculas que forman el sólido tienentienen
un momento dipolar permanente
La capacitancia de un condensador de placas paralelas aumenta cuando se introduce un dieléctrico.La cantidad que aumenta depende del dieléctrico que se introduzca.
Dieléctrico
0
0
>1C C
C C
0
0 00
0
0
0
0 0
1 10
( )
( )
1
1
l
y y b l
y y b
E dl
dx dx dx
y l y b
l b
q AC
l b
AC C
bll
b
l
La polarización es el campo vectorial
que resulta de los momentos dipolares
eléctricos permanentes o inducidos en
un material dieléctrico.
El Vector de Polarización P se define
como el momento dipolar eléctrico por
unidad de volumen.
Molecula
SUPONEMOS:
1) El momento dipolar que adquiere cada átomo o molécula es
directamente proporcional al campo eléctrico externo aplicado
d E
2) Si es la distancia que se desplaza la carga
a
d qa
3) Si es el numero de moléculas por unidad de volumenN
Definimos el por unidad de volumen
Momento Dipolar
P Nqa
3 3
El Momento dipolar por unidad de volumen
El vector de polarización es un campo
vectorial:
: ( )
( ) , ( ) Suposición
P
P P P r
P r P r E r
P Nqa
R R
Capacitor de placas paralelas con un dieléctrico uniforme y lineal en su interior.
Uniforme: 0P P r P
Lineal: P E
P es uniforme
P es uniforme
En el interior del dieléctrico no se produce ninguna carga neta
P es uniforme
P
P es uniforme
El numero de cargas que se salen del dieléctrico es
aA N
Por tanto, la carga que se sale del dieléctrico es
Q q aA N
pol
La densidad superficial de carga es
QNqa
A
Por tanto,
pol P
P es uniforme
Total0
libre pol0
La ley de Gauss
Flujo= area + 0 + 0
1area area
1
E
E
E
Metal
DieléctricoE
l
+
+
+
+++
+
-
-
-
---
-
libre0
librelibre 0
libre pol0
libr
0
e0
0
Suponiendo qu
1
1 1
e
1
4
1
1
P E
E
E
E
E
P
E
E
P es uniforme
libre
0
libre 0 0 0
libre
0
Calculemos ahora como cambia la capacitancia
1
1 4
(1 4 )
1 4
1 4 1
Asi que la capacitancia aumenta
El l
Q A A AC
l l l
C C
P es uniforme
5 30
03
1 3( )
4
1
4
( )
( )
( )
ext ext
ext
r d dE r r
r r
W d E r
N d E r
r dr
r
, ,x y z
V
, ,r x y z
r r
P
0
0
3
3
1
4
1
4
( )
( )
d P r V
r r
r r
r dr
r
P r Vr
, ,x y z
V
, ,x y z
r r
P
3
0
1( )
4 V
P r rr dV
r r
Usando el principio de superposición:
3
0
1( )
4 V
P r rr dV
r r
0lim (límite físico, no matemático)V
pP
V
molecula
1
m
P pV
molecula
molecula
p rdq
3
0
3
1( )
4
1
V
P r rr dV
r r
r r
r rr r
30
0
1( )
4
1 1
4
V
V
P r rr dV
r r
P dVr r
fA f A f A
3
0
0
0 0
1( )
4
1 1
4
1 1 =
4 4
V
V
V V
P r rr dV
r r
P dVr r
P PdV dV
r r r r
0 0
1 1( )
4 4S V V
PPr dS dV
r r r r
0 0
1 1( )
4 4S V V
PP dSr dV
r r r r
0 0( )
P P
P P
0 0( )
ˆ1 1( )
4 4
ˆ
1 ( ) 1 ( )( )
4 4
S V V
S V V
PP nr dS dV
r r r r
P n P
r rr dS dV
r r r r
•Campos altamente variables
•Campos macroscópicos promedios
0E
0E dl
vacio Dielectrico 0E l E l
vacio, tang Dielectrico, tangE E
E
vacio DielectricoE E
0 1 00 0
, , , ,1 1
4 4P P
V V S S
x y z x y zr dV dS
r r r r
1V
0V
0S
S
0 0( )
P P
P P
0 0( )
ˆ1 1( )
4 4
ˆ
1 ( ) 1 ( )( )
4 4
S V V
S V V
PP nr dS dV
r r r r
P n P
r rr dS dV
r r r r
P P2 2
0 0( )
( )
1 ( ) 1 ( )( )
4 4S V V
E r r
r r r r r rE r dS dV
r r r rr r r r
P P P
( )
P
( )
ˆ
ˆ
S V V
P P
S V V
Q dS dV
P n P
Q P ndS P dV
( )
P
( ) ( )
Usando el teorema de la divergencia (Toerema de Gauss)
ˆ
Por tanto
ˆ ˆ 0
P 0
V S V
S V S V
P dV P ndS
Q P ndS P ndS
Q
E
ˆP P n
n̂ P
Caso general ( )P P r
ˆpol
S
pol
Q P ndS
P
xy
z , ,x y z
1P R
P P
1
1
representa el numero de cargas desplazables
por unidad de volumen
es la medida de los desplazamientos de
r
R r
1
1
1
1
1
Cara izquierda , , , ,
Cara derecha= , , , ,
, , , ,, , , ,
, , , ,Total en Y=
y
y
y
y
y
x y z R x y z x z
x y y z R x y y z x z
x y z R x y zx y z R x y z y x z
y
x y z R x y zx y z
y
1
1
1
1
, , , ,Total en X=
, , , ,Total en Y=
, , , ,Total en Z=
Total=
Total
x
y
z
P
P
x y z R x y zx y z
x
x y z R x y zx y z
y
x y z R x y zx y z
z
R x y z
V
P
( )0 0
( )
1 1´ ´
E S V
S V V
E dS Q r dV
El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie dividida entre ε0
0
( )
0
1´ ´
S V V
E dS r dV
E
1q1S
2q2S
iqiS
S
Dieléctrico
libre P0
1
S
E dS Q Q
libre1
N
ii
Q q
1
P ˆN
ii
V SS
Q P ndS P dV
1 1
N N
i ii i
V S SS S S
P dV P dS P dS P dS
libre P0
1
S
E dS Q Q
libre0
1
S S
E dS Q P dS
P
S
Q P dS
libre0 0
1 1
S S
E dS P dS Q
0 libre
S
E P dS Q
0D E P
libre
S
D dS Q
libre
S
D dS Q
libre
S V S
D dS r dV
S V S
D dS DdV
libre
V S V S
DdV r dV
libre
V S V S
DdV r dV
libreD r r
libre 0V S
D r r dV
libreD r r
libre
S
D dS Q
0D E P
0D E P
Total
0
E
0
1l pE
0
1lE P
0 0
1 1lE P
libre
libre
( )
libre
( )
libre
ˆ
ˆ
V V
V S V
S V V
D S
D
DdV
DdV D ndS
D ndS
Q
libre
0
0
Relaciones constitutivas
( )
D E
D E P P P E
•FerroeléctricosSon los materiales que tienen una polarización neta (Electretos) o que cuando los pones en un campo mantienen la polarización, una vez retirado el campo
•No-ferroeléctricosCuando se retira el campo la polarización vuelve a cero
0
0
( )
1. Materiales No-ferroelectricos
(En los material
( , ) en general es una ma
es fer
; tri
r
z
( ) ( , )
P
E
P E
r
D E P
P E E r E
χχ
��
��
oelectricos 0 cuando 0)P E
Sólidos cristalinos
Alótropos del Carbono
E
E
0
0
( )
2. Materiales isotrópicos
( , ) es un escalar
No hay una dirección prefe
rencial.
El cam
po
;
( ) ( , )
P P E
E r
D E P
P E E r E
establece unaE
0
0
( )
3. Materiales lineales
( ) es un escal r a
( ) ( )
P P E
r
D E P
P E r E
0
libre
0 0
Ecuaciones de Maxwell para medios materiales
0
Relaciones constitutivas
( )
( )
D E
D E P P r E
P r E
0 0 0
0
0
0
Por tanto
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
es la permitividad de
) 1 ( ) ( )
( ) 1 ( )
( ) ( ) ( )
l material
( )
D r E r P r E r r E r
D r r E r
r r
D r r E r
P r E
0
0 1 ( ) ; es constante
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
l
l
l
r
D r E r
D r
E r E r
E r
P E
libre
( )
1 1 2 2 libre 1 2
2 1 2 libre
ˆ
1ˆ ˆ volumen
2
ˆ
S V V
D ndS
D n D n S S
D D n
2n̂
1̂nlibre
1
2
2 1 2 libre
2 2 1 1 2 libre
libre 1 1, 2 2,
1, 2
12,
ˆ
ˆ
Si 0 como 0
n n
n
n
D D n
E E n
E E
E
E
1 2
2 1
1,T 2,T
0
0
0
E dl
E l E l
E E l
E E
libre
2
1
libre
0
0
D
E
D E P
q
2 libre
1ˆ
qr r
r
Zq
12
dd
2 ( ) 0r 2 ( ) 0r
1
2
1 2
0 0
Hay que resolver las ecuaciones
0
0 0
con las condiciones a la frontera en 0 :
lim limz z
x xz z
y y
E z
E z
z
E E
E E
E E
q
d
q
d
2 22 2 2 2
1 1
, , 04 4
q qx y z z
x y z d x y z d
( , , )P x y z
q
d
22 2
2
, , 04
qx y z z
x y z d
( , , )P x y z
E
3 / 22 22 2 2 2
3 / 22 22 2 2 2
3 / 22 22 2 2 2
1
1
1
x
x x y z d x y z d
y
y x y z d x y z d
z d
z x y z d x y z d
3 / 22 22 2 2 2
3 / 22 22 2 2 2
3 / 22 22 2 2 2
1
1
1
x
x x y z d x y z d
y
y x y z d x y z d
z d
z x y z d x y z d
E
3 / 2 3 / 22 22 2 2 2
1 1
, , , , 0q q
E x y z d x y z d zx y z d x y z d
3 / 222 2
2
, , 0q
E x y z d zx y z d
3 / 22 2 2
2
, ,0
q x y dE z
x y d
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 21 1
0 , , , ,q q
E z x y d x y dx y d x y d
3 / 22 2 2
1
0x
x q qE z
x y d
3 / 22 2 2
1
0y
y q qE z
x y d
3 / 22 2 2
1
0z
d q qE z
x y d
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 21 1
0 , , , ,q q
E z x y d x y dx y d x y d
3 / 22 2 2
2
, ,0
q x y dE z
x y d
3 / 22 2 22
0x
xqE z
x y d
3 / 22 2 22
0x
yqE z
x y d
3 / 22 2 22
0x
dqE z
x y d
1 2
0 0
Condiciones a la frontera en 0 :
lim limz z
x xz z
y y
z
E E
E E
E E
0 0
Condiciones a la frontera en 0 :
lim limx xz z
z
E E
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
1 2
1 2
x q q xq
x y d x y d
q q q
0 0
Condiciones a la frontera en 0 :
lim limy yz z
z
E E
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
1 2
y q q yq
x y d x y d
q q q
10 0
Condiciones a la frontera en 0 :
lim limz zz z
z
E E
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
q q d q d
x y d x y d
q q q
1 2
q q q
q q q
2
1 2
2q q
q q q
1 2
1 2
q q
1 2
1 2
2
1 2
2
q q
q q
1 21 2 22 2 2 2
1 1 2
22 22 2
2 1 2
1 1, , 0
4
2 1, , 0
4
qx y z z
x y z d x y z d
qx y z z
x y z d
2 1
1 2 22 2 2
1 21 2 22 2 2 2
1 1 2
22 22 2
2 1 2
21
2
1 1, , 0
4
2 1, ,
Si
1 1, , 0
4
, , 0
04
0
qx y z z
x y z d x y z d
qx y z z
x y z d
qx y z z
x y z d x y z d
x y z z
0
0 1 ( )
( ) ( )
( )
( )
l
l
r
D r E r
D r
E r
P E
P
0
P 0
0
excepto en el punto donde está la carga
P 0
P
P E
E
E
P 2 21 1 12
21 12
P 2 1 12
ˆ ˆ
Como
ˆ ˆ
y
ˆ
P n P n
n n
P P n
0
0
0 0
Además
y como el dieléctrico es LIH
Así quei i i
i i i i i
D E P
P D E
D E
P E
0
P
12
P 2 1 2 0 2 1 0 1
12
0 0
2 1
Pero como
ˆˆ
tenemos
ˆ
ˆ
i i
z
i
z zz
n k
P P
P
P P n
k
0 2 1P
P 2 0 2 1 0 10
3 / 22 2
0
21 2 12
z zz z
q d
x y d
0 2 1P 3 / 22 2 2
1 2 12
q d
x y d
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