CAPÍTULO 8 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE...

CAPÍTULO 8

INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE

MATERIALES

CONCEPTO DE PIEZA PRISMÁTICA

CG

y

CG

y

Directriz o eje

Sección transversal

Centro de gravedad

Existen otras ramas de la Mecánica de Medios Continuos en las que la palabra “tensión” se sustituye por la de “esfuerzo” y, así se habla en ellas, de “esfuerzo normal”(en vez de tensión normal) y de “esfuerzo tangencial” (en vez de tensión tangencial). En Ingeniería Industrial, al igual que sucede en Ingeniería Civil y en otras muchas Ingenierías, es mucho más usual la nomenclatura que aquí se emplea, sobre todo porque la palabra “esfuerzo”, en Resistencia de Materiales, representa a otro concepto que no es, precisamente, una tensión.

ADVERTENCIA:

CONCEPTO DE ESFUERZO

B

A

B

A

B

A

πB

A

πB

A

π

B

x

y

z

R

M

G

B

x

y

z

R

MB

x

y

z

R

M

G

B

x

y

z

R

N

QyQx

G

B

x

y

z

R

N

QyQx

B

x

y

z

R

N

QyQx

G

B

x

y

z

R

M

G

B

x

y

z

R

MB

x

y

z

R

M

G

La componente de sobre el eje z , N, recibe el nombre es esfuerzo axily las componentes sobre los ejes x e y, esfuerzo cortante a lo largo, respectivamente, del eje x (Qx) y del eje y (Qy). Estas componentes se expresarán en unidades de fuerza que, en el Sistema Internacional de Unidades, serían Newtons (N)

Rr

B

x

y

z

M

MT

Mx

My

G

B

x

y

z

M

MT

Mx

My

B

x

y

z

M

MT

Mx

My

G

B

x

y

z

R

M

G

B

x

y

z

R

MB

x

y

z

R

M

G

Mr

La componente de sobre el eje z recibe el nombre de momento torsor, MT, en la sección considerada, y las componentes sobre los ejes x e y se denominan momentos flectores (Mx a la componente sobre el eje x y My a la correspondiente al eje y). Sus unidades serán las correspondientes a fuerza por distancia (N.m o m.Nen el Sistema Internacional de Unidades; en general, conviene emplear como unidad, para este tipo de esfuerzos, el N.m ya que m.N podría ser confundido con miliNewtons (mN)].

CASO DE UNA PIEZA DE DIRECTRIZ RECTA CONCARGAS EN SU PLANO

Supongamos, ahora, que todas las cargas aplicadas al sólido (pieza prismática) se encuentran contenidas en el plano y-z. En estas condiciones, Qx=My=MT =0y, denominando simplemente Q a Qy y M a My, las consideraciones anteriores nos llevarían a una situación como la representada en la Figura:

A B

Plano decorte

directriz

zy

A B

Plano decorte

directrizA B

Plano decorte

directriz

zy

A N

MQ

A N

MQ Q

BN

MQ

BN

M

N recibe el nombre de esfuerzo axil, Q el de esfuerzo cortante y M el de momento flector

Cómo obtener los esfuerzos:

Encontrar los esfuerzos en la viga de la figura en función de W1 y W2. La viga se encuentra simplemente apoyada en su extremo de la derechay sometida a la acción de un cable cuya “tensión” es T.

Rx

Ry

T

W1 W2

30°

a a a 2a

2121W

34W

38T60T3W2W40 +=⇒−+==∑ cosaaaMB

x

y+

2121W

31W

31RR60TWW0 +−=⇒++−−==∑ yyyF cos

21 W3

32W3

34R30TR0 −−=⇒+==∑ xxxF cos

Ecuaciones de la Estática:

Rx

Ry

T cos60

W1 W2

30°

a a a 2a

BT

T cos 30

xax <<0

V

NM

∑∑∑

==

−==

==

M0

V0

N0

M

F

F

y

x

Rx

Ry

T

W1 W2

a a a 2a

x

y+

axa 2<<

1

1

1

1

W)(MMW)(0

WV

VW0

N0

axaxM

F

F

y

x

−−=

+−==

−=

−−==

==

∑

∑∑

W1

x-a

Rx

Ry

T

W1 W2

x

a a a 2a

x

y+

V

NM

Rx

Ry

T

W1 W2

x

a a a 2a

axa 32 <<

)2)(WW()(WMM60cosT)2(W)(0

WWV

V60cosTW0WWN

N30cosT0

232

134

1

1

232

131

1

2332

1334

axaxaxaxM

F

F

y

x

−++−−=

+−−−==

+=

−+−==

−−=

+==

∑

∑

∑

W1x-2ax-a

T

x

y+

V

NM

axa 53 <<

)2)(WW()3(W)(WMM)3(W)2(60cosT)(W0

WWV

VW60cosTW030cosTN

N30cosT0

232

134

21

21

231

131

21

axaxaxaxaxaxM

F

F

y

x

−++−−−⋅−=

+−+−⋅−−==

−=

−−+−==

−=

+==

∑

∑

∑

W1

T

W2x-3aRx

Ry

T

W1 W2

x

a a a 2a

x

y+

V

NM

x-a

x-2a

LEYES DE ESFUERZOS

• Para determinar si una estructura es capaz de resistir las cargas a las que estásometida, necesitamos determinar la distribución de tensiones que en ella se producen.

• Estas tensiones se obtienen de los esfuerzos (N, Q, M) que actúan sobre el elemento estructural del que se trate.

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

VIGA EN VOLADIZO O MÉNSULA

VIGA EMPOTRADA APOYADA

Leyes de cortantes y momentos flectores

EJEMPLO:

Fx

y

2L/3

L

Fx

y

F/3 2F/3

Reacciones:

• Para 0 < x < 2L/3N = 0Q = F/3M = Fx/3

• Para 2L/3 < x < LN = 0Q = - 2F/3M = (2F/3)(L - x)

QN

M

Q

M

N

Leyes de esfuerzos

Esfuerzoscortantes

Momentosflectores

Fx

y

2L/3

L

x

y

F/3

2F/3

x

2FL/9

FUERZAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS:

6 kN de ladrillos

q=2 kN/m

CENTRO DE GRAVEDAD DE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS:

q=2 kN/m

dx

x

q*dx

( )mx

dxxx

G

oG

5,1

263

=

⋅=⋅ ∫

10 x 2 = 5RC5RC=20RC=20/5 =4kN

Cálculo de reacciones:Igualando momentos (sentidos horario y antihorario) en A:

Igualando a cero la suma de fuerzas verticales: RA+RC =10 kN, RA=6 kN

EJEMPLO 1

6 kN 4 kN

10 kN

B

10 kN

B

Entre A y B:

Entre B y C:

6 kN

6 kN

6 kN

10 kN

V=6 kNM=6.x kN.m

x

x

V=6-10=4 kNM=6.x-10.(x-2) kN.m

LEYES DE ESFUERZOS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES:

6 kN 4 kN

10 kN

B

Moviéndonos de izquierda a derecha:

El esfuerzo cortante en la rebanada próxima al apoyo coincide con la reacción en el mismo

Entre A y B no hay ninguna carga actuando

Al llegar a B nos encontramos con una cargaaplicada, por lo que la ley presenta un saltobrusco de valor igual a la carga aplicada

Entre B y C no hay ninguna carga actuando

10 kN

LEY DE ESFUERZOS CORTANTES

LEY DE ESFUERZOSCORTANTES

6 kN 4 kN

10 kN

B

Tramo AB: ).(6)( mkNzzM ⋅=

Tramo BC: ( ) ).(2106)( mkNzzzM −−⋅=

LEY DE MOMENTOS FLECTORES

6 kN 4 kN

10 kN

B

EJEMPLO 2(Viga biapoyada con sobrecarga uniforme de 10 kN/m)

Tomando momentos en A (momentos horarios= momentos antihorarios): (10 x 6) x 3 = 6RC

6RC=180, por lo que RC=180/6 =30kN

Estableciendo el equilibrio de las fuerzas verticales:RA+RC= 10 x 6 =60kNcomo: RC=30kNRA+30=60RA=60-30=30kN

10 kN/m

Cálculo de reacciones:

Q=30-10.x

x

10 kN/m

Ley de esfuerzos cortantes:

M=30.x-10.x2/2

x

10 kN/m

Ley de momentos flectores:

x

AB

A

VqbqaV

bLbqab

LaqV

−+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

22

22

Si x<a:

2

2xqxVM

qxVQ

A

A

−=

−=

Si x>a:

( )( )

22

2

22axqaxqaxVM

axqqxVQ

A

A

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−−−=

EJEMPLO 3

a b

2qq

A B

Q

L

M

q

QM

xq0

xqQ ⋅= 0

22

2

00xqxxqM ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=

EJEMPLO 4

q0

Ley de cortantes

Ley de flectores

Lq0

2

20Lq

x

23,014,0

-16,0-29,5

22,515,0

30 kN52 kN

55,5

-46,87

0,0 0,0

Las cargas concentradas causan una discontinuidadEl salto es igual al valor de la carga puntual aplicadaEl cambio del valor del cortante entre dos secciones esigual a la suma de cargas entre esas dos secciones

Se producen puntos angulosos en aquellas seccionesen las que existen cargas puntuales aplicadasEl cambio del valor del momento entre dos secciones esigual al área de cortantes entre esas dos seccionesLa pendiente del diagrama de momentos en cualquiersección es igual al valor del cortante en la misma

EJEMPLO 530 kN

x

15 kN3 kN/m

23 kN 52 kN3 m 4,5 m 2,5 m

17 kN 17 kN

50 kN.m

-85 kN.m-52 kN.m

68 kN.m

120 kN.m

135 kN.mLos momentos concentrados causan una discontinuidadEl salto es igual al valor del momento exterior aplicado

EJEMPLO 6

x120 kN.m135 kN.m

17 kN 17 kN4 m 6 m 4 m