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CALCULO DIFERENCIAL
UNIDAD 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
ACTIVIDAD 3. APLICACIÓN DEL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Encuentra los extremos relativos de cada función en sus respectivos intervalos.
a) f ( x )=x2−x enel intervalo (−∞ ,∞ )
f ' ( x )=2 x−1
2 x−1=0 x=12
x1=0 x2=2
f (x1 )=02−0=0f (x2 )=22−2=2f (x1 )< f (x2) funcióncreciente
Sustituyendo el valor de x=12
en f(x) obtenemos:
y=( 12 )2
−12=−14
Por lo tanto:
El extremo relativo es ( 12 ,−14 )b) f ( x )=x3− x2 enel intervalo (−∞ ,∞)
f ' ( x )=3 x2−2 x
3 x2−2x=0
Resolviendo, tenemos:
x1=0 x2=23
Sustituyendo en f(x) los valores de x1=0 y x2=23
, se obtiene:
y1=3 (0 )2−2 (0 )=0
y2=3 (23 )2
−2( 23 )=−427
Entonces los extremos relativos son:
P1 (0,0 ) P2( 23 ,− 427 )
c) f ( x )=x2 ex enelintervalo (−3,3 )
f ' ( x )=2 x ex+ex x2
x ex (2+x )=0
x1=0 x2=−2
Sustituyendo en f(x) tenemos:
y1=(0 )2e0=0
y2=(−2 )2e−2=0.54134
Entonces los extremos relativos son:
P1 (0,0 ) P2 (−2 ,0.54 )
d) f ( x )=sen2 x enelintervalo (0,2 π )
f ' ( x )=cos (x ) sen ( x )+cos ( x ) sen ( x )
f ' ( x )=2cos ( x ) sen ( x )
2cos ( x ) sen ( x )=0
2cos ( x )=0 x1=90 ° y270 °
sen ( x )=0 x2=0 ° ,180 ° y360 °
Sustituyendo en f(x) tenemos:
y1=sen2 (0 ° )=0
y2=sen2 (90 ° )=1
y3=sen2 (180 ° )=0
y4=sen2 (270 ° )=1
y5=sen2 (360 ° )=0
Entonces los puntos son:
P1 (0,0 )
P2( π2 ,1)P3 (π ,0 )
P4( 3 π2 ,1)P5 (2π ,0 )
e) f ( x )=e(3x+5 )2en elintervalo (−2,2 )
f ' ( x )=2 (3 x+5 ) (3 ) (e3x +5 )
Igualando a cero:
2 (3x+5 ) (3 ) (e3x+5 )=0
3 x+5=0
x=−53
Sustituyendo en f(x) tenemos:
y=e(3(−53 )+5)
2
y=1
Entonces los puntos son:
P1(−53 , 1) P2 (−1.66 ,1)
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