CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA

ACTIVIDAD 3. APLICACIÓN DEL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Encuentra los extremos relativos de cada función en sus respectivos intervalos.

a) f ( x )=x2−x enel intervalo (−∞ ,∞ )

f ' ( x )=2 x−1

2 x−1=0 x=12

x1=0 x2=2

f (x1 )=02−0=0f (x2 )=22−2=2f (x1 )< f (x2) funcióncreciente

Sustituyendo el valor de x=12

en f(x) obtenemos:

y=( 12 )2

−12=−14

Por lo tanto:

El extremo relativo es ( 12 ,−14 )b) f ( x )=x3− x2 enel intervalo (−∞ ,∞)

f ' ( x )=3 x2−2 x

3 x2−2x=0

Resolviendo, tenemos:

x1=0 x2=23

Sustituyendo en f(x) los valores de x1=0 y x2=23

, se obtiene:

y1=3 (0 )2−2 (0 )=0

y2=3 (23 )2

−2( 23 )=−427

Entonces los extremos relativos son:

P1 (0,0 ) P2( 23 ,− 427 )

c) f ( x )=x2 ex enelintervalo (−3,3 )

f ' ( x )=2 x ex+ex x2

x ex (2+x )=0

x1=0 x2=−2

Sustituyendo en f(x) tenemos:

y1=(0 )2e0=0

y2=(−2 )2e−2=0.54134

Entonces los extremos relativos son:

P1 (0,0 ) P2 (−2 ,0.54 )

d) f ( x )=sen2 x enelintervalo (0,2 π )

f ' ( x )=cos (x ) sen ( x )+cos ( x ) sen ( x )

f ' ( x )=2cos ( x ) sen ( x )

2cos ( x ) sen ( x )=0

2cos ( x )=0 x1=90 ° y270 °

sen ( x )=0 x2=0 ° ,180 ° y360 °

Sustituyendo en f(x) tenemos:

y1=sen2 (0 ° )=0

y2=sen2 (90 ° )=1

y3=sen2 (180 ° )=0

y4=sen2 (270 ° )=1

y5=sen2 (360 ° )=0

Entonces los puntos son:

P1 (0,0 )

P2( π2 ,1)P3 (π ,0 )

P4( 3 π2 ,1)P5 (2π ,0 )

e) f ( x )=e(3x+5 )2en elintervalo (−2,2 )

f ' ( x )=2 (3 x+5 ) (3 ) (e3x +5 )

Igualando a cero:

2 (3x+5 ) (3 ) (e3x+5 )=0

3 x+5=0

x=−53

Sustituyendo en f(x) tenemos:

y=e(3(−53 )+5)

2

y=1

Entonces los puntos son:

P1(−53 , 1) P2 (−1.66 ,1)