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clase de continuidad
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Continuidad
David J. Coronado1
1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar
Matematicas I
D. Coronado Continuidad
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Contenido
1 ContinuidadDefinicionEjemplos
2 Teorema de Valor MedioEl Teorema
D. Coronado Continuidad
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Contenido
1 ContinuidadDefinicionEjemplos
2 Teorema de Valor MedioEl Teorema
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Contenido
1 ContinuidadDefinicionEjemplos
2 Teorema de Valor MedioEl Teorema
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
continuidad
Veamos, graficamente, que significa que un lımite no existe:
x
y
y = f (x)
x = −2
321
x
y
y = 1/x2
x
y
y = f (x)
c
f (c)
L
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
continuidad
Estas se llaman discontinuidades y especıficamente, la primera sellama discontinuidad de salto, la segunda discontinuidad infinita yla tercera discontinuidad evitable. Veamos la definicion formal:
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
continuidad
Definicion
f es continua en c se c ∈⊂ Domf y
limx→c
f (x) = f (c).
Si f no es continua en c se dice que tiene una discontinuidad en c.
De esta definicion se deduce
1 f (c) existe.2 limx→c f (x) existe
1 limx→c+ f (x) = L2 limx→c− f (x) = L
3 limx→c f (x) = f (c)
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
continuidad
Definicion
f es continua en c se c ∈⊂ Domf y
limx→c
f (x) = f (c).
Si f no es continua en c se dice que tiene una discontinuidad en c.
De esta definicion se deduce
1 f (c) existe.2 limx→c f (x) existe
1 limx→c+ f (x) = L2 limx→c− f (x) = L
3 limx→c f (x) = f (c)
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
continuidad
Definicion
f es continua en c se c ∈⊂ Domf y
limx→c
f (x) = f (c).
Si f no es continua en c se dice que tiene una discontinuidad en c.
De esta definicion se deduce
1 f (c) existe.2 limx→c f (x) existe
1 limx→c+ f (x) = L2 limx→c− f (x) = L
3 limx→c f (x) = f (c)
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
continuidad
Definicion
f es continua en c se c ∈⊂ Domf y
limx→c
f (x) = f (c).
Si f no es continua en c se dice que tiene una discontinuidad en c.
De esta definicion se deduce
1 f (c) existe.2 limx→c f (x) existe
1 limx→c+ f (x) = L2 limx→c− f (x) = L
3 limx→c f (x) = f (c)
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
continuidad
Las discontinuidades se clasifican como
1 Evitable. Si limx→c f (x) = L, y f (x) 6= L.
2 De salto. Si limx→c+ f (x) = L, limx→c− f (x) = M y L 6= M.
3 Infinita. Si limx→c+ f (x) =∞, o limx→c− f (x) = −∞.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
continuidad
Las discontinuidades se clasifican como
1 Evitable. Si limx→c f (x) = L, y f (x) 6= L.
2 De salto. Si limx→c+ f (x) = L, limx→c− f (x) = M y L 6= M.
3 Infinita. Si limx→c+ f (x) =∞, o limx→c− f (x) = −∞.
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DefinicionEjemplos
continuidad
Las discontinuidades se clasifican como
1 Evitable. Si limx→c f (x) = L, y f (x) 6= L.
2 De salto. Si limx→c+ f (x) = L, limx→c− f (x) = M y L 6= M.
3 Infinita. Si limx→c+ f (x) =∞, o limx→c− f (x) = −∞.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Contenido
1 ContinuidadDefinicionEjemplos
2 Teorema de Valor MedioEl Teorema
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Como debe definirse la funcion
f (x) =x2 − 4
x − 2
para que sea continua en x = 2.
Solucion:
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Como debe definirse la funcion
f (x) =x2 − 4
x − 2
para que sea continua en x = 2.
Solucion:
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Como debe definirse la funcion
f (x) =x2 − 4
x − 2
para que sea continua en x = 2.
Solucion:Notemos que 2 /∈ Domf . Veamos si existe limx→2 f (x):
limx→2
x2 − 4
x − 2= lim
x→2
����(x − 2)(x + 2)
���x − 2= lim
x→2(x + 2) = 4
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Como debe definirse la funcion
f (x) =x2 − 4
x − 2
para que sea continua en x = 2.
Solucion:Como el lımite existe, y vale 4, debemos redefinir la funcion paraque f (2) = 4. Ası
f (x) =
{x2−4x+2 , si x 6= 2
4 six = 2
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Definicion
Una funcion f se llama continua si es continua en cada c ∈ Dom f
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
1 Una funcion polinomial es continua.
2 Una funcion racional es continua.
3 Una funcion trigonometrica es continua.
Ademas
4 La funcion valor absoluto es continua.
5 Si n es par. La funcion n√
x es continua en [0,∞).
6 Si n es impar. La funcion n√
x es continua en R.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
1 Una funcion polinomial es continua.
2 Una funcion racional es continua.
3 Una funcion trigonometrica es continua.
Ademas
4 La funcion valor absoluto es continua.
5 Si n es par. La funcion n√
x es continua en [0,∞).
6 Si n es impar. La funcion n√
x es continua en R.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
1 Una funcion polinomial es continua.
2 Una funcion racional es continua.
3 Una funcion trigonometrica es continua.
Ademas
4 La funcion valor absoluto es continua.
5 Si n es par. La funcion n√
x es continua en [0,∞).
6 Si n es impar. La funcion n√
x es continua en R.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
1 Una funcion polinomial es continua.
2 Una funcion racional es continua.
3 Una funcion trigonometrica es continua.
Ademas
4 La funcion valor absoluto es continua.
5 Si n es par. La funcion n√
x es continua en [0,∞).
6 Si n es impar. La funcion n√
x es continua en R.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
1 Una funcion polinomial es continua.
2 Una funcion racional es continua.
3 Una funcion trigonometrica es continua.
Ademas
4 La funcion valor absoluto es continua.
5 Si n es par. La funcion n√
x es continua en [0,∞).
6 Si n es impar. La funcion n√
x es continua en R.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
Si f y g son funciones continuas en c. Entonces
1 (kf )(x) es continua en c, para toda k ∈ R.
2 (f ± g)(x) es continua en c.
3 (f · g)(x) es continua en c.
4
(fg
)(x) es continua en c siempre que g(x) 6= 0 y g(c) 6= 0.
5 (f )n (x) es continua en c para toda n ∈ Z+.
6
(n√
f)
(x) es continua en c siempre que f (c) > 0 si n es par.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
Si f y g son funciones continuas en c. Entonces
1 (kf )(x) es continua en c, para toda k ∈ R.
2 (f ± g)(x) es continua en c.
3 (f · g)(x) es continua en c.
4
(fg
)(x) es continua en c siempre que g(x) 6= 0 y g(c) 6= 0.
5 (f )n (x) es continua en c para toda n ∈ Z+.
6
(n√
f)
(x) es continua en c siempre que f (c) > 0 si n es par.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
Si f y g son funciones continuas en c. Entonces
1 (kf )(x) es continua en c, para toda k ∈ R.
2 (f ± g)(x) es continua en c.
3 (f · g)(x) es continua en c.
4
(fg
)(x) es continua en c siempre que g(x) 6= 0 y g(c) 6= 0.
5 (f )n (x) es continua en c para toda n ∈ Z+.
6
(n√
f)
(x) es continua en c siempre que f (c) > 0 si n es par.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
Si f y g son funciones continuas en c. Entonces
1 (kf )(x) es continua en c, para toda k ∈ R.
2 (f ± g)(x) es continua en c.
3 (f · g)(x) es continua en c.
4
(fg
)(x) es continua en c siempre que g(x) 6= 0 y g(c) 6= 0.
5 (f )n (x) es continua en c para toda n ∈ Z+.
6
(n√
f)
(x) es continua en c siempre que f (c) > 0 si n es par.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
Si f y g son funciones continuas en c. Entonces
1 (kf )(x) es continua en c, para toda k ∈ R.
2 (f ± g)(x) es continua en c.
3 (f · g)(x) es continua en c.
4
(fg
)(x) es continua en c siempre que g(x) 6= 0 y g(c) 6= 0.
5 (f )n (x) es continua en c para toda n ∈ Z+.
6
(n√
f)
(x) es continua en c siempre que f (c) > 0 si n es par.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
Si f y g son funciones continuas en c. Entonces
1 (kf )(x) es continua en c, para toda k ∈ R.
2 (f ± g)(x) es continua en c.
3 (f · g)(x) es continua en c.
4
(fg
)(x) es continua en c siempre que g(x) 6= 0 y g(c) 6= 0.
5 (f )n (x) es continua en c para toda n ∈ Z+.
6
(n√
f)
(x) es continua en c siempre que f (c) > 0 si n es par.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Para cuales valores de x la funcion
f (x) =3|x | − x2
√x − 2
es continua. Donde no sea continua indique que tipo dediscontinuidad presenta.
Solucion:
D. Coronado Continuidad
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Para cuales valores de x la funcion
f (x) =3|x | − x2
√x − 2
es continua. Donde no sea continua indique que tipo dediscontinuidad presenta.
Solucion:
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Para cuales valores de x la funcion
f (x) =3|x | − x2
√x − 2
es continua. Donde no sea continua indique que tipo dediscontinuidad presenta.
Solucion:
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
Si limx→c g(x) = L y si f es continua. Entonces
limx→c
f (g(x)) = f (L).
Si g es continua en c y f es continua en g(c). Entonces (f ◦ g) escontinua en c.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Teorema
Si limx→c g(x) = L y si f es continua. Entonces
limx→c
f (g(x)) = f (L).
Si g es continua en c y f es continua en g(c). Entonces (f ◦ g) escontinua en c.
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Estudie la continuidad de
h(x) = |x2 − 3x + 6|
Solucion:
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Estudie la continuidad de
h(x) = |x2 − 3x + 6|
Solucion:
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DefinicionEjemplos
Continuidad
Ejemplo
Estudie la continuidad de
h(x) = |x2 − 3x + 6|
Solucion:
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El Teorema
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1 ContinuidadDefinicionEjemplos
2 Teorema de Valor MedioEl Teorema
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ContinuidadTeorema de Valor Medio
El Teorema
TVM
Teorema (TVM)
Si f es continua en [a, b] y W es un numero entre f (a) y f (b).Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = W .
D. Coronado Continuidad
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