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CONCEPTASDE MATEMATICA,
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En este número:
iMatemática Moderna en la
escuela primaria.í
! La axiomática en acción.¡
Nociones sobre cálculo de probabilidades.
i¡ ¿Qué es un cuadrilátero?i,
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iY otros más.
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Vectores y tensores con sus aplicaciones -L. A. Santaló . . .
La matemática en la escuela secundaria - L. A. Santaló
Algebra para escuelas secundarias (t- I) - O. Varsavsky
Algebra para escuelas secundarias (t. II) - O. Varsavsky
Introducción ai álgebra - Nociones de álgebra lineal. -M. Cotlar y C. R. de Sadosky.......................................
Introducción a la teoría cíe conjuntos - L. Oubiña..........
Enseñanza de la matemática moderna en el primer curso (para profesores) - C. A. Trejo y J. E. Bosch. . . .
Ciclo medio de matemática moderna (primer curso) - C. A. Trejo y J. E. Bosch . . .
La nueva matemática - I. Adler .
Las grandes corrientes del pensamiento matemático. - F. Le Lonnais .........................................................................
Introducción a la matemática finita - J. G. Kemeny, J.
Mirkil, J. L. Snell y G. L. Thompson-
De próxima aparición:
Matemática moderna (T. I.) - Papy.
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Iapareció! MATEMATICA INTUITIVAi
ANA G. DE HOUSSAY - AURORA G. DE ROMERO - IIDIA V. VICENTE
En esta obra las autoras exponen el material didáctico usado en sus las experiencias vividas en los cursos piloto autorizados por la So-
Educación de la Nación para la enseñanza de ia
DE MATEMATICAclases y cretaría de Cultura y Julio - Agosto - Septiembre 1967Año I N9 3matemática.
Es una muestraorientaciones modernas, por lo que el libro será un elemento útil pare el profesor que no sólo debe encarar nuevos temas sino también nuevos enfoques en el tratamiento de temas clásicos, según lo dispuesto por Resolución Ministerial N*? 1772/65. El contenido del libro abarca temas correspondientes a los tres cursos del ciclo básico de los programas vigentes y al programa de Geometría del Espacio.
Al texto se agrega una guía para el profesor en la que se fundamenta el enfoque metodológico y la organización de los contenidos. Dicha guía será de gran utilidad para todos aquellos que se interesen en el problema del aprendizaje y en una didáctica apropiada a la moderna enseñanza de la matemática.
viva de la forma de conducir el aprendizaje siguiendo
CARTA AL LECTOR* El material de este tercer número es abundante y escogido. A las notables contribuciones de Papy, Sebas- tiao e Silva, Santaló, Trejo y otros, agregamos hoy tres notables aportes. Zoltan P. Dienes, acaso el más renombrado de los actuales pedagogos de la matemática nos escribe sobre “La matemática moderna en la escuela primaria’; la extraordinaria pedagogo polaca A. N. Kri- gowska se refiere a la “axiomática en acción \ y para que
interioricemos sobre el pensamiento de un matemático y filósofo de altísima alcurnia, publicamos algunas “Reflexiones” de Wittgcnstein.* No quedaríamos conformes si no hubiéramos dado lugar a trabajos de docentes argentinos y latinoamericanos. Del paulistano Sangiorgi entregamos una clara exposición sobre máximo común divisor y mínimo común múltiplo; los argentinos, además de los trabajos de Trejo, Santaló y Vólker, se hacen presentes con colaboraciones de Emilio De Ceceo y Yolanda Mazzantini de García. No dudamos que todos ellos merecerán la atención de sus colegas y los estimularán en la redacción de sus propias colaboraciones.* Pero el espacio que es tirano nos ha jugado una mala pasada, liemos debido dejar para el próximo número, y lo lamentamos, el trabajo de Raúl A. Chiappa sobre operaciones binarias internas. Y muy a pesar nuestro, sólo podemos informar escuetamente sobre la segunda exposición escolar del C. I. M. P. (Proyecto Matemático Canario) realizado con gran éxito del 10 al 15 de junio pasado, pero prometemos ocuparnos con más detalles en el próximo número.
i CONCEPTOS DE MATEMATICA
Publicación trimestral S.'Jo: r-imái-.rlos Blanco 2045 - Bs. As.li
I director - Editor
JOSÉ BANFII
Onos
Asesorov. Jocó 8cbin¡, Frcdériquc Papy, Georgcs Papy, Juan I. Blaquier, luis A. Santaló.
Precio "Guía para el Profesor": $ 150.—Precio: $ 950.—Precio para docentes: $ 550.— — Con certificados —. i
Redactores: Raúl A. Chiappa, Emilio Do Ceceo, Haydóc Fernández, Elsa Sab- battiollo, Andrés Valciras y Cristina Vcrdaguer de Bcnfi.
Dibujando: Arquitecto Julio R- Juan.
Editorial TROQUELBUENOS AIREST. E. 38-0118 / 0349SAN JOSE 157
i Suscripción anual: Argentina mSn. 600. Exterior, 4 dólares o el equivalente
icda do cada país, los giros.
en monpostales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre do CONCEPTOS DE MATEMATICA.
!NUEVA EDICION
Ejomplar suelto: m$n. 200.-
Lugarcs do vonta: En nuestra sede, Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Editorial El Ateneo. Florida 340; Librería del Colegio, Alsina y Bolívar; Librería General de Tomás Pardo, Maipú 618; Librería Rcsio, Callao 621; Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Aires; Librería del Azul, San Martín 472, Azul; Librería "Erasmo", San Martín 3330, Mar del Plata; Librería El Universitario, H. Yrigoyen y San Juan, Corrientes.
Para colaboraciones, números atrasao’os, suscripciones y avisos, dirigirse directamente al editor.
Rogistro do la Propiodad Intoloctual: N9 927.648.
Elsa Elena Sabbatiello
UN RECURSO DIDACTICO PARA LA ENSEÑANZA DINAMICA DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
11
SU APIICACION Y UTILIZACION EN LA ESCUELA PRIMARIA
iNo es ni un tratado de geomclría ni un cuaderno de apuntes o ejercicios. La autora presenta ideas para utilizar con provecho un modelo matemático cómodo para una enseñanza activa y dinámica en la escuela primaria.
En 250 páginas de texlo ¡lustrados con más de 450 figuras que facililan la comprensión, se estudian los siguientes lemas: El geoplano como espacio geométrico; Las figuras fundamentales; Fracciones; El punto, la recta y el plano; Angulos; Triángulos; Cuadriláteros; Circunferencia; Polígono; Simetría y semejanza; Movimiento del geoplano; Conjuntos y operaciones.
* Finalmente, queremos recomendar la atenta lectura de la respuesta del señor José E. Cura a la carta abierta del señor R. Helsdon publicada en el número anterior. Se trata de las reflexiones de un aficionado que ha sentido la necesidad ele responder, dentro de sus posibilidades, a opiniones que, por lo menos, son audaces. Si una persona ajena al quehacer docente no ha vacilado en hacer conocer su opinión, ¿cuánto no tendrán que decir los docentes en matemática, tan informados e interesados como los sabemos, para elucidar esta importante cuestiónP
Los saluda atentamente,
♦Impreso en COGTAL
Rivadavia 767, Capital
En ol próximo número: Introducción o la lógica matemática; Probabilidades y estadística; Opcracionos binarias internas y elemontos especiales; La escuola primaria y la matemática.Ediciones G.A.Y.P.
CASILLA DE CORREO 77 Suc. 3 - Capital Federal :i INTERES GENERAL
Concesiórn N9 8205iPrecio del ejemplar: m$n. 980 Pedidos: 49-2873 EL DIRECTOR.■ FRANQUEO PAGADO
Concesión N9 2687
2
!
ESPACIO DE POLEMICA * EL PANORAMA
Una respuesta D reparación de profesores de
matemática'toy acostumbrado a hacer esas cosas y otras más relacionadas con la matemática todo, advierto mi insuficiencia para él nejo de la matemática que la industria requiere.
Pero sería muy necio y torpe de a ni parte no comprender que, además de las necesidades de la industria —que no entiendo porque han de ser consideradas de “sórdido utilitarismo”— existen, a mi juicio, mil razones para justificar el papel de la enseñanza de la matemática moderna. No sólo porque lo aconsejan los intereses de los estudiantes, sino también porque me parece ridículo impartir enseñanza anticuada y, a veces, “obsoleta”. Lo que importa, creo yo, es que el alumno capte la estructura de la disciplina y sea capaz de construir por sí solo razonamientos silogísticos correctos, lo que es, si bien se mira, algo que tendrá que hacer cuando deba resolver muchas de las cuestiones que encara cotidianamente.
Y no se crea que no advierto la vaguedad y aun la oscuridad de muchos de los enuncidos que figuran en los textos de matemática moderna. Pero, obsérvese bien que, si estamos en un momento que ha sido calificado de revolucionario, resulta lógico que en las primeras etapas abunden las imprecisiones en el lenguaje y las oscuridades en la notación, y aun incoherencias en los conceptos y en los desarrollos. Todo eso se irá puliendo naturalmente con el tiempo; cuando todo eso ya haya ocurrido, acaso haya llegado el momento de pensar en otra revolución en la matemática.
Creo que podrían hacerse otras observaciones a la carta del señor HELSDON, pero me limitaré a una pregunta: ¿Habrá muchos industriales tan onnubilados como para admitir que la construcción de nuevas escuelas o los salarios de los maestros puedan sólo depender de que se satisfagan las necesidades de los industriales?
Me resisto obstinadamente a creer que esa opinión pueda ser compartida por muchas personas de la industria o fuera de
José E. Cura
Soy, simplemente, un lector de CONCEPTOS DE MATEMATICA y mis conocimientos no van más allá de los recuerdos de la enseñanza primaria y secundaria; incluso se me puede incluir entre los tantos que odiaban a la matemática, perdido como me encontraba entre el fárrago de demostraciones y ejercicios, cuya corrección captaba aun cuando se me escapaba el curso lógico de la organización de la disciplina.
Abundantes lecturas para ubicarme coherentemente en la orquestación de nuestro tiempo me introdujeron en los libros de divulgación y algo cambió en mí pero no mucho. Un día me enfrenté con el libro de F. LE LIONNAIS, Las grandes corrientes del pensamiento matemático y lo leí lenta, despaciosamente. Se me abrieron los ojos y pude comprender la importancia de la matemática para la compleja civilización en que debemos actuar. Pude así introducirme en sus estructuras, en sus fundamentales conceptos de número, espacio, función, grupo, probabilidad; conocer algo de su pasado, su presente y su futuro; vislumbrar su influencia en la filosofía, en las ciencias naturales, en el arte, en las técnicas.
Creo haber interpretado el sentido revolucionario de la matemática moderna, la búsqueda de una unidad conceptual, la necesidad de encontrar esquemas que permitan dar idea de cómo es todo el edificio matemático. Creí haber adquirido una concepción correcta y suficiente para mis inquietudes cuando tropiezo, de improviso, con la carta abierta del señor R. M. I-IELS- DON. Naturalmente, me quedé alelado. ¿Cómo es posible que un profesor universitario se exprese en esos términos? ¿Se puede ser tan corto de vista? ¿Estará dicha persona realmente convencida de que para la industria sólo se necesita “habilidad para sumar y restar, usar una regla de cálculo, leer tablas matemáticas y sustituir cifras en una fórmula extraída de un libro de referencia”? Porque, hablando con franqueza, en mi pequeñísima industria yo es-
y, con rna-
■
L. A. SANTALO y H. R. VÓLKER (Argentina)
III. LOS CONTENIDOSEs bastante común dividir la enseñanza
media o secundaria en dos ciclos: un ciclo básico o elemental (muchas veces común para todos los alumnos) y un ciclo superior, en el que caben diferentes orientaciones: bachillerato (humanista o científico), magisterio, enseñanza comercial y otras.
Se presentan así fundamentalmente dos posibilidades: a) preparar profesores de un nivel único, para ambos ciclos; b) distinguir entre la preparación de los profesores del ciclo básico y la de los del ciclo superior.
En los Estados Unidos de Norteamérica se distinguen más niveles entre los profesores de enseñanza media (ver las “Recommendations for the training of teachers of mathematics” de la Mathema- lical Association of America, enero de 1961) pero para la mayoría de los demás países americanos parece que sólo resultan recomendables a lo sumo dos niveles.
De acuerdo con este criterio y teniendo en cuenta los aspectos básicos caracterizados en el capítulo II, se indica a continuación un conjunto mínimo de conocimientos matemáticos y pedagógicos exigi- bles a un profesor secundario, distinguiendo, por cierto, la posibilidad de los dos niveles aludidos, pero sin hacer mayor hincapié en ellos. Para la redacción de estos contenidos se tuvo en cuenta el programa de Dusseldorf a pesar de que éste fue preparado en su momento con otros fines. También cabe señalar aquí que se tuvo a la vista un plan para la formación de profesores, preparado por el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires y las sugerencias que sobre él formularon los profesores A. Pereira Gomes (de Brasil) y C. Abuauad (de* Vóasc No 2, pág. 1M2 (N. do R.)
Chile). El orden en que se enumeran y caracterizan las materias no implica, por cierto, que deban cursarse en esa sucesión, ni tampoco que sus contenidos no puedan reagruparse, acaso de un modo más conveniente que el propuesto.
1) Análisis I. El número real. Conjuntos de números reales. Límites. Series de números.
Funciones de una variable real. Continuidad. Derivadas. Máximos y mínimos de funciones de una variable. Derivadas sucesivas. Fórmula de Taylor.
Integral de Riemann. Funciones primitivas. Métodos de integración.
Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes.
Geometría analítica del plano. Angulos y distancias. Coordenadas polares. Algunas propiedades de las cónicas.
2) Análisis II. Algebra vectorial. Geometría analítica lineal del espacio. Angulos y distancias. Las cuádricas por sus ecuaciones reducidas.
Cálculo diferencial de varias variables. Fórmula de Taylor. Máximos y mínimos de funciones de varias variables.
Integrales dobles y triples.Analítica vectorial: gradiente, divergen
cia, rotor. Fórmulas integrales vectoriales.3) Cálculo numérico. Sistemas de
ciones lineales. Programación lineal. Optimización.
Solución numérica de ecuaciones.Ecuaciones diferenciales. Métodos apro
ximados de integración.Las posibilidades de las computadoras
electrónicas.Algunos modelos matemáticos de las
ciencias sociales, economía y psicología.4) Algebra. Conjuntos. Relaciones, Fun
ciones. Relaciones de equivalencia y relaciones de orden.
\
i'
.
ecua-
ella.
4 5
8) Fundamentos de la Matemática. Algebra de conjuntos. Algebras de Boole. Lógica simbólica y álgebra proposicional. Ejemplos de aplicación del álgebra de Boole a la teoría de circuitos.
Axiomática de los números naturales, enteros y racionales.
Breve historia de las ideas y escuelas matemáticas.
9) Complementos de Geometría1. Formas diferenciales. Cálculo diferenci é exterior. Fórmula de Stokes en casos simples.
Geometría diferencial de curvas y superficies del espacio euclidiano. Geodésicas. Curvatura total.
Elementos de la geometría de los espacios de Riemann. Cálculo tensorial.
10) Complementos de Análisis \ Funciones analíticas de una variable compleja. Representación conforme. Ejemplos de superficies de Riemann.
Integral de Cauchy. Residuos.Cálculo de variaciones: problemas clá
sicos.Nociones de espacios normados. Ejem
plos.11) Seminario elemental de Matemáti-
Estructuras algebraicas. Grupos. Grupos de transformaciones. Ejemplos de grupos abstractos y de grupos de transformaciones. Subgrupos. Anillos. Cuerpos. Geometría sobre un cuerpo finito. Anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpo. División de polinomios. Máximo común divisor. Descomposición de fracciones racionales en elementos simples.
Enunciado del teorema fundamental del Algebra.
5) Algebra Lineal. Espacios vectoriales Independencia lineal: bases de un espacio de dimensión finita. Dualidad.
Aplicaciones lineales. Cálculo matricial.Formas lineales. Formas multilineales.
Determinantes.Vectores propios y valores propios de un
endomorfismo: ecuación característica. Reducción de una matriz a la forma diagonal.
Formas cuadráticas.Espacios vectoriales euclidianos: bases
ortonormales. El grupo ortogonal.6) Geometría. Transformaciones métri
cas, afines y proyectivas en el plano y en el espacio. Ejemplos de transformaciones cuadráticas. ,
Idea del programa de ErJangen.Nociones sucintas de axiomática tipo Ilil-
bert de la geometría euclidiana. Axiomática de la geometría via Algebra Lineal (Artin).
Modelos euclidianos de las geometrías no-euclidianas.
Elementos de topología combinatoria. Algunos problemas de redes (graphos) en el plano. Clasificación topológica de las su- perficies: orientabilidad y número de Eu-
LA ENSEÑANZA DE LOS N/ÑOS
Matemática modernaI
en iNOTAS SOBRE LA ESTRUCTURA SENTENCIAL, LA GRAMATICA Y LAS RELACIONES MATEMATICAS
ZOLTAN P. DIENES (Canadá)
ra estructurar el sintagma correspondiente. Tarea de la escuela será, desde el primer día, recoger y sistematizar cuanto el ambiente ha hecho surgir en la mente del niño. Esto quiere decir que la escuela tendrá que planificar experiencias, concretadas *en juegos y rompecabezas o acertijos adaptados a la capacidad de comprensión del niño, logrando con ello una sistematización de las relaciones conceptuales propias de esta edad.I. TIPOS FUNDAMENTALES
DE RELACIONES.
El niño “manipula” múltiples relaciones desde los primeros momentos de su vida. Esta “manipulación” se descubre en su propio lenguaje, en las expresiones de que se vale para comunicarlas a sus semejantes. A veces no utiliza el niño la palabra, pero de su conducta o procedimiento, de su actividad práctica se evidencia el correcto uso de tales relaciones: “después”, “antes”, “debajo”, “mañana”, etcétera.
Este aprendizaje no es el fruto de una sistemática y propuesta finalidad, sino que el niño lo adquiere en virtud de su inmediato contacto con el medio en que vive y actúa.
Cuando el niño entra por vez primera en la escuela, a los seis, cinco o siete años —según donde viva— lleva consigo un gran repertorio de conceptos relacionantes, siendo capaz de expresar muchos de ellos por medio de palabras, construyendo correctas sentencias -o proposiciones. A veces el niño es pobre en léxico, y, en este caso, sus conceptos relacionantes sólo logra expresarlos mediante situaciones concretas, faltándole la habilidad lingüistica que le capacite pa
ca l.Observaciones:
1. Las materias indicadas con la llamada (J) pueden suprimirse en el caso de un profesorado para el ciclo básico.
2. En el plan de estudios deberán figurar, además, algunas materias complementarias, como uno o dos cursos de Física (principalmente Mecánica o Física-matemática) y otras de carácter pedagógico (Didáctica de la matemática, Psicología del aprendizaje, etc.).
3. Es interesante incluir en el plan de estudios un seminario sobre la Enseñanza de la Matemática Moderna, con información y discusión sobre los ensayos realizados en cada país y sobre los resultados y i ecomendaciones de las conferencias internacionales sobre ese tema.
Algunos de los tipos fundamentales de relaciones pertenecen a sucesps que han d*e clasificarse conjuntamente, miéntras que otras hacen referencia a aconteceres que deben clasificarse por separado. El hecho de que tendamos a clasificar sucesos conjuntos, nos lleva a la idea de relaciones de equivalencia. En el otro caso, desembocamos en la relación de diferencia.
La igualdad y la diferencia de los aconteceres, la igualdad y la diferencia de atributos, nos facilitan el movimiento dentro de nuestro mundo, inicialmente caótico. De esta manera comenzamos nuestra actividad clasificatoria a partir de nuestra más temprana infancia. Pensamos que una de las tareas primeras de la escuela debe consistir en cultivar, en hacer posible el desarrollo de tales relaciones de una forma sistemática. Cuando los niños han aprendido a discriminar los colores, ellos han conseguido construir la relación
.. .TENER EL MISMO COLOR..... .TENER DIFERENTE COLOR...
1er.7) Probabilidades y Estadística. Axio-
nas del cálculo de probabilidades.Algunas leyes de probabilidades: bino-
inial, de Poisson y de Laplace-Gauss. Función generatriz de momentos.
Muestras. Estimación. Verificación de hipótesis: método del X2. La distribución de Student.
Dependencia estadística. Correlación.Aplicaciones de la estadística a proble
mas de física, biología, ciencias sociales y v la psicología. Evaluación de métodos de enseñanza.
i* Esto artículo del notable pedagogo do la matemática,
DIENES, publicado en BULLETIN OF THE INTERNATIONAL STUDY GROUP FOR MATHEMATICS LEARNING, 1966, fue traducido por J. B. CAPARROS MORATA, quien manifiesta:
"Los lectores de CONCEPTOS DE MATEMATICA forzosamente deben hacerse a la idea de que no es posible, hoy por hoy, hacer didáctica moderna en ?a escuela sin tonor en cuenta las aportaciones do Dienes. La riqueza de conceptos, el original enfoque do la temática tratada en esto artículo nos descubro una voz más la recia personalidad múltiple del alma de tantos singulares proyectos matemáticos Quicnos conocemos pormenorizadamonte la génesis, el proceso del LEICESTERSHIRE MATHEMATICS PROJECT, no nos cansaromos de recomendar el ostudio do todos los trabajos de Dienes, pues son, a nuestro leal y nob!b entender, lo más completo, serio y concienzudo que se ha hocho —se ostá haciondo- on el novísimo campo de la didáctica matemática moderna."
IV.-MODELOS DE PLANES A título ilustrativo. se agrupan seguidamente
poi anos de estudio, las materias a que se ha echo referencia en el capítulo anterior y se in
dica el numero de horas semanales sumiblemcntc podrían ser dictadas.
con que pre-
(Continúa en !a pág. 1°)
76
introduzcan sus propias variantes, estimulándolos convenientemente, las posibilidades quedarán multiplicadas. Esta libertad e iniciativa del niño podrán dar lugar a estas tres posibilidades:
a) No habrá desazón o turbación.b) Algunas sentencias podrán formular
se sobre contenidos falsos, pero con estructuras exactas.
c) Algunas sentencias se formularán incorrectamente.
Distinguir las situaciones b) ye) será un excelente ejercicio de lógica.
Por ejemplo, si reemplazamos:“en el patio” por “en el tejado”
algunos niños pueden decir que Ud. no puede dormir en el tejado. Otros podrán manifestar que no se trata de saber si es o no posible dormir en el tejado, puesto que la sentencia, real o no, concordante con la objetividad o no, puede ser una sentencia dotada de sentido. Pero si reemplazamos:
“JUAN” por “SOBRE EL TEJADO” entonces obtendremos sentencias de este tipoSOBRE EL TEJADO ESTA JUGANDO
EN EL PATIO”Esta sentencia no tiene sentido alguno. Llegado a estas situaciones, el niño tendrá que comprender perfectamente que hay sentencias con sentido y sentencias sin sentido en correspondencia con sentencias verdaderas y sentencias falsas. Habrá que distinguirse entre SENTIDO, NO SENTIDO, VERDAD, FALSEDAD.
mos formar una proposición como la siguiente:“JUAN ESTA JUGANDO EN EL PATIO” Esta sentencia puede cambiarse en la siguiente, en virtud de una relación de unasola diferencia:“JUAN ESTA JUGANDO EN LA CASA” Hemos alterado sólo el complemento delverbo.Con los niños de seis años podemos establear eí siguiente convenio:
JUAN r- rojo ; está jugando := cuadrado. El amigo de Juan n- azul; está dando vueltas triángulo.El perro ^ amarillo ; está durmiendo r= rectángulo: está aiir.cuvsndo r-— círculo,
en el patio nzr grande en ia cas?. ^ pequeño
En este supuesto, la relación entre las dos sentencias cor responde a una relación de diferencia do tamaño entre
fácilmente discriminados o reconocidos por todos los niños, incluso por aquellos que están afectados de ligeras cegueras para los colores.
Es obvio e innecesario describir la múltiple variedad de experiencia que estas piezas o bloques pueden facilitar para los juegos y ejercicios sobre las relaciones tales como:
.. .TENER LA MISMA FORMA...
.. .TENER EL MISMO TAMAÑO..... .TENER LA MISMA FORMA Y TA
MAÑO... etc. etcétera.
Muchos de estos juegos y ejercicios han sido descritos en números anteriores de este BOLETIN. Los ejercicios de Hull figuran especialmente en los números 2 y 3 del Vol. I.
Ejercicios de diferenciación pueden ser, por ejemplo,
.. .TENER DIFERENTE FORMA Y LO DEMAS IGUAL...
.. .TENER DIFERENTE COLOR...
...TENER DOS ATRIBUTOS DIFERENTES. ..
Si no se dispone de estos conjuntos de bloques, podrán actuar como elementos los propios niños, escogiéndose atributos y valores adecuados, previo convenio entre los mismos niños. Por ejemplo: color de los ojos, sexo, color de los zapatos, tipo de pelo (rizado o liso, etc.) etc. Fácil prender cómo han de practicarse estos juegos, a partir de la definición dél referencial o UNIVERSO: todos los alumnos presentes en clase. Entre ellos podrán formarse o estructurarse las relaciones de equivalencia y diferencia que deseamos, colocando en una misma hilera los niños que respondan a la relación que estemos estableciendo.
Igualmente pueden proponerse juegos bidimensionales, formando una cruz o domino. De acuerdo con la ley de formación, cada alumno ira ocupando su puesto en los distintos puntos de las líneas cruzadas.
III. EL USO DE SENTENCIAS O PROPOSICIONES
EaSoí^ac*0nes de diferencia, tales comogerente forma y
LO DEMAS IGUAL.pueden servir para la formulación de sentencias o proposiciones. Por ejemplo, pode-
Lograda la idea del número natural, los niños llegan cómodamente a establecer la relación de equivalencia aplicada a los juntos
. ..TENER EL MISMO NUMERO DE ELEMENTOS...
.. .TENER DIFERENTE NUMERO DE ELEMENTOS...
Algunas sugerencias van a ser formuladas, en lo que sigue, como normas de trabajo escolar para llevar al niño a la comprensión sistemática de las intuiciones que el ya posee acerca de “semejante” y “no semejante”.
son
con-
II. EL EMPLEO DE MATERIALES CONCRETOS O DE SITUACIONES
CONCRETAS.
Antes de que una relación pueda establecerse, nosotros necesitamos saber qué es lo que tratamos de “RELACIONAR” y con qué deseamos “RELACIONARLO”. En otras palabras, necesitamos definir o precisar el CONJUNTO REFERENCIAL o UNIVERSO, o como decían los antiguos lógicos: el universo del discurso.
Si queremos usar los artibutos de color y forma, por ejemplo, con el fin de establecer unas relaciones de equivalencia y de diferencia, entonces debemos tener algunas definidas combinaciones de forma y color a los cuales poder atenernos o referirnos. Dado que nosotros no podemos actualmente "manipular” el color y la forma sin disponer o tener a mano ciertos colores y ciertas formas, (toda vez que ambos son abstracciones y no objetos reales), precisaremos preparar un cierto conjunto de objetos dotados de atributos tales que nos permitan las manipulaciones en orden a las relaciones que deseamos estudiar. Los bloques lógicos de William HULL, o cualesquiera otros similares, podrán usarse para estos fines. Por ejemplo, podremos preparar conjunto de bloques lógicos a base de cuatro formas, tres colores y dos tamaños. Si cada combinación queda representada una vez, y sólo una, dispondremos de un juego o conjunto de 24 bloques. Las formas más usuales son: círculo, rectángulo (NO CUADRADO), triángulo (EQUILATERO), cuadrado. Los colores más frecuentes son: rojo, azul y amarillo. Los tamaños, grande y pequeño Todos estos atributos y valores
UN CUADRADO ROJO GRANDE y UN CUADRADO ROJO PEQUEÑOVemos, por tanto, que podemos cambiar
sólo uno de los atributos, los dos o los tres al mismo tiempo. Con ello obtenemos inmediatamente siete relaciones de diferencia.
De acuerdo con la ley del juego de diferencia, practicado con los bloques de Hull, podemos construir series de sentencias, hileras de x^roposiciones. Los niños se mostrarán sumamente interesados cuando se les pregunte qué sentencia representa un determinado bloque en forma sentencial, y cuando se le pida mostrar o coger el bloque que corresponde a una sentencia dada. Integrando a los niños de una clase en equipos, y haciendo que los miembros de uno de ellos pregunten o pidan a los miembros del otro que muestren o cojan el bloque exacto o la sentencia exacta, se crea una saludable atmósfera competitiva, animada, estimulante, didáctica.
Naturalmente, no podemos aconsejar que este tipo de actividades lúdicas, cargadas de tanta significación lógica, tenga que quedarse limitado a la situación concreta del conjunto de bloques. Nosotros podemos — y debemos—, alterar, enriquecer el “diccionario” apuntado, es decir, enriquecer la variedad de proposiciones. Así evitaremos cualquier riesgo de asociación “cerrada”, estereotipada. Si permitimos que los niños
es com-
IV. CLASES DE EQUIVALENCIA DE PALABRAS.
Los niños comenzará así, muy temprano, a acumular listas de palabras o expresiones que “encajarán” en ciertos lugares sin formar o tener sentido.Si el juego concede o permite cualquier alteración con tal de que la alteración forme sentido con las otras combinaciones, entonces estaremos en camino de construir clases de palabras o expresiones que forman familia por algunas razones muy reales o iDragmáticas. Las palabras o expresiones que nosotros podamos usar en equivalencia de los colores nos darán la idea del sujeto de una sentencia. Si limitamos el juego de forma que sólo sea permitido reemplazar una palabra, ta-
un
98
LA ORIENTACIONnadas rotaciones con estos cuerpos se obtendrán cambios de una sentencia en ottra. Si las sentencias son más largas que las que acabamos de considerar en líneas precedentes, entonces podremos usar dos o más cuerpos o piezas para escribir las sentencias.
Cambiando de un cuerpo a otro, con el otro en la misma posición que el primero, puede ser el equivalente físico de un cambio. Si los bloques de diferentes formas y colores son empleados, nosotros podemos tener un primer bloque y un segundo bloque, y el color del primer bloque puede hacerse corresponder con algún valor del segundo bloque, diferente del valor color, y así sucesivamente.
Si han de usarse distintos modos verbales, diferentes tiempos, ello también será posible. No hay razón alguna para que no podamos convenir:
está jugando cuadrado estaba jugando = triángulo estará jugando = rectángulo ha estado jugando = círculo
Las combinaciones o variaciones posibles son interminables. Dejamos al lector el ejercicio o tarea de pensar o planificar una metodología del aprendizaje del lenguaje basado en el estudio de las relaciones de diferencia y equivalencia.
les palabras serán NOMBRES. Las expresiones representadas por formas serán predicados. Si nos limitamos a una palabra — o tal vez a dos de la forma.
is.. . —andoentonces estaremos construyendo verbos.La relación de equivalencia entre estas expresiones y/o palabras puede ser expresada por:
“DEBE REEMPLAZARSE EN LA MISMA POSICION PERO SIN QUE LA HAGA ABSURDA".
No estamos sugeriendo que a los niños de seis años se le den lecciones de gramática. Nos estamos limitando a sugerir que tales ejercicios son una excelente preparación básica para el eventual aprendizaje de la estructura de la lengua. El estudio conjunto de las relaciones en la lección de matemática y en la lección de lengua materna permitirá al niño pensar acerca de las relaciones subyacentes entre las estructuras lógicas y las lingüisticas. Y este pensar será mucho más profundo que el logrado polla didáctica tradicional.V. CONCLUSION.
En distintas partes o caras de los cuadrados, triángulos, cubos, tetraedros... pueden escribirse sentencias. Al practicar determi-
La reforma BelgaG. PAPY (Bruselas)
La intensiva y extensiva experiencia de renovación de la enseñanza de la matemática en Bélgica nutre, en este curso lectivo, en su noveno año.
La experiencia desemboca en la clase final de Ja sección científica de la enseñanza secundaria (17 a 18 años).
Es posible y útil analizar el tema.En este movimiento, que ha cumplido
ahora nueve años, se distinguen tres grandes períodos de tres años cada uno.
a) 1958-1961: Experimentación del programa LENGER-SERVAIS en ciertas clases de las escuelas normales, sección enseñanza maternal. (Futuras enseñantes de los niños de tres a seis años).
b) 1961-1964: Transferencia de la experiencia a la escuela secundaria general en el primer ciclo: alumnos de 12 a 15 años. Generalización del programa moderno en ciertas clases, después de 1964.
En 1961, 'ensayo de modernización en una clase de alumnos de 15 años que no habían recibido enseñanza moderna en el primer ciclo (12-15 años).
c) 1964-1967: Primera experiencia de enseñanza moderna en una clase de alumnos d euna sección científica (segundo ciclo de la enseñanza secundaria, 15 a 1S años) que habían recibido enseñanza moderna desde los 12 a los 15 años.
Después de 1966, repetición de esa experiencia en la nueva clase, teniendo en cuenta la primera experiencia (1964-1967).
la obra de Northrop. Desde ese momento se manifiesta la prudencia de los promotores de la experiencia en Bélgica.
Tan poca originalidad como fuera posible en la elección de los temas. Limitarse a enseñar los conceptos y los resultados generalmente reconocidos como importantes por la mayoría de los expertos en la materia.
El programa LENGER-SERVAIS tenía en cuenta la finalidad específica de la enseñanza de la matemática para futuras institutrices de alumnos de 3 a 6 años. Por tal razón, hacía un tratamiento totalmente particular de las nociones de conjuntos, relaciones y topología.
Los autores del programa no recomendarán sin siquiera indirectamente que las nociones conjuntistas, relaciónales y topo- lógicas fueron enseñadas a alumnos de 3 a 6 años.
Sin embargo, les parecía deseable que esos futuros educadores estuvieran informados sobre la naturaleza de los conceptos de la matemática de base de nuestro tiempo, de manera de favorecer ciertas actitudes del espíritu 'en los juegos infantiles.
Les parecía tambijén que los diagramas de Venn y ciertas nociones muy elementales de topología tenían algo que ver con los dibujos infantiles espontáneos, a menudo tan bellos y siempre tan misteriosamente interesantes.
Dicha experiencia parece haber permitido emitir al respecto ciertas nuevas conjeturas cuyo estudio sería interesante profundizar.
Las alumnas que eligen la sección maternal normal están animados por la vocación de ocuparse de la educación de niños de corta edad. Generalmente, esas estudiantes habían obtenido resultados muy débiles en matemática en las clases anteriores. Algunas de ellas no disimulaban nada su hos-
(Vione de la pág. 6) Cuarto añoFundamentos de la matemática.........Complementos de Geometría .............
Física-matemática .......................Seminario de enseñanza de mate
mática actual ........................Práctica de la enseñanza ...........
total .............................El mismo plan que antecede puede, des
de luego, desarrollarse también semestrales —o cuatrimestrales, como suelen llamarse en algunos países, ateniéndose a su duración real—. En tal caso se duplican las horas semanales dedicadas a cada asignatura y además se establece adicionalmente una correlatividad de materias, de tal suerte que no puede cursarse materia alguna si no se hubieran aprobado las correlativas precedentes. Así, por ejemplo, no podrá cursarse “Complementos de análisis —que para el caso figuraría con S horas semanales— sin haber aprobado anir? Análisis * y Análisis II — cada una con 10 horas semanales—.
4Primer año4Horas
semanales 6Algebra ................................Análisis I ..............................
Pedagogía .....................Psicología del adolescente
total ................
64664
424
20Segundo año en cursosAlgebra lineal
Análisis II ..Probabilidades y estadística
Física (mecánica) ................... 7Psicología del aprendizaje y diná
mica de grupos
554
3 a) PRIMER PERIODO (1958-1961).total 24
El programa LENGER-SERVAIS contenía los temas fundamentales de una enseñanza moderna que se comenzaron a proponer después de 1950. Fue ciertamente influido por los trabajos de la comisión internacional para el estudio y mejoramiento de la enseñanza de la matemática y por
Tercer añoGeometría ..................Complementos de análisis Cálculo numérico .........
5 144
Seminario elemental de matemática ... 5Historia del conocimiento científico .. 3
Didáctica especial de la matemática 3total 24
n10
•—__
hacia los elementos de topología ge- hacer experiencias preciosas en tiempo mínimo.
b) SEGUNDA FASE DE LA EXPERIENCIA (1961-1964).
El matemático experto, empeñado papel subalterno al comienzo de la primera lase, parecía suficientemente convertido y él mismo escribió, sin gran esperanza por otra parte. Sugestiones para un nuevo programa de matemática para la clase de 12 años.
En la euforia de ARLON 3, y gracias a la determinación esclarecida de Henri LE- VARLET, entonces Director General de Enseñanza Secundaria en Bélgica, el Ministro de Educación decidió aplicar el programa propuesto en la sexta clase.
Enseguida, la experiencia progresó regularmente sin ninguna detención, alcanzando cada año un nuevo grado en la escala de la enseñanza.
Por otra parte, el nuevo programa ganó en extensión en las clases de 12 a 15 años. De experimental se transformó en opcional y actualmente centenares de clases adoptan cada año el nuevo programa. En fin, en 1965, se decidió que los programas propuestos por el Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, creado en el intervalo, serían los únicos permitidos para la experimentación, y que el programa moderno sería obligatorio en todas las calses de 12 años de la enseñanza estatal a partir de 1968.
Algunas palabras con respecto al Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, reconocido actualmente como Centro de Investigación Científica fundamental, colectora de la iniciativa ministerial.
Se han realizado investigaciones en pedagogía de la matemática cuyos promotores fueron un matemático y un psicólogo experimental, con ayuda cíe varios asistentes. En diciembre de 1966 esos asistentes eran 10 (4 belgas, 2 argentinos, 1 brasileño, 1 canadiense, 1 griego y 1 turco).
El Centro organiza, de manera amplia, cursos para docentes en ejercicio en 25 ciudades (20 tardes por año).
3.000 educadores belgas siguen hoy esos cursos que no han costado nada al gobierno belga. Los cursos son gratuitos. Los educadores pagan ellos mismos los gastos de traslado y de la publicación de las notas.
Una gran corriente de apostolado anima a los docentes belgas de matemática moderna.
El primer programa de matemática para la clase de 12 años tuvo un único autor. El Centro creó pronto su comisión de programas. Esta comprende profesores universitarios, inspectores, directores de establecimientos, profesores de las clases experimentales. Los programas son establecidos por la Comisión y remitidos teniendo en cuenta Ja experiencia en curso.
El Centro asegura la publicación de los textos de acuerdo con las experiencias y los protocolos de las lecciones dictadas.
El Centro organiza las etapas según las intenciones de los profesores de sus cursos de reentrenamiento, los que se benefician con el apoyo económico del Ministerio de Educación Nacional.
tilidad fundamental hada la matemática.. . y los jjrofesores que la enseñan.
Era interesante ver cómo se produciría el contacto con las ideas nuevas de la matemática en un medio de débil receptividad en primera instancia.
Las nociones matemáticas que figuran en el programa LENGER-SERVAIS eran muy elementales. Sin embargo, los promotores del programa advirtieron bien rápidamente que el ordenamiento pedagógico de los temas, planteaba problemas de orden matemático. Ellos decidieron, también, asegurarse la colaboración puramente técnica de un matemático profesional. Ese profesor universitario, muy escéptico por otra parte y acaso también hostil, frente a la tentativa en marcha, aceptó sin embargo prestarse de buen grado a ese papel subalterno.
Ante los prometedores resultados obtenidos, fue sin duda el primer opositor convertido por la evidencia de los hechos. Desde el segundo año de la experiencia —bajo la presión de ciertos colegas— decidió tomar él mismo una clase experimental.
Los diagramas de Venn fueron usados con éxito prometedor desde el comienzo de la experiencia. Según la tradición, se empleaba al comienzo el sistema de superficies coloreadas o sombreadas. Por el contacto con los alumnos se las sustituyó bien pronto por el método de las cuerdas coloreadas, las sombras — ¡por sugestión de los alumnos!— eran reservadas para indicar los lugares vaíos. Espontáneamente, esos alumnos, colocados en una situación pedagógica favorable ¡volvían a encontrar un procedimiento propuesto por el mismo Venn! La enseñanza activa y el contacto inspirador con los alumnos, hizo descubrir en 1959 el medio pedagógico de los gráficos multicolores. A lo largo de toda la experiencia se reveló como un soporte intuitivo y un ideograma precioso para la enseñanza más avanzada.
En esta primera experiencia apareció en germen un método de introducción de los números reales usando de manera sistemática la numeración posicional (especialmente, por razones de orden pedagógico, en la base dos).
Ausencia de a priori, característica de la experiencia.
De la cinta de Móbius, introducida de manera intuitiva, se evolucionará poco a
poconeral, comenzando por nociones muy simples:
Entornos (las prisiones de la continui-^Discos abiertos, con la convención verde-roja (sugerida por los alumnos) para distinguir discos abiertos y cerrados.
Esta experiencia, bien pronto generalizada en numerosas clases, fue extraordinariamente fructífera. Puso en evidencia medios pedagógicos nuevos que permitían entrever una reedificación cíe la máxima envergadura de la matemática al nivel elemental.
La enseñanza fue impartida en esas chichina de cordialidad. La hosti-
en un
ses en unlidad de los alumnos contra la matemática había desaparecido completamente. So percibía, en forma impresionante, que los alumnos de hoy estaban en resonancia con la matemática que se usa actualmente.
Paralelamente a esa experiencia, se autorizó un gran esfuerzo para difundir las nociones de matemática moderna y la pedagogía de su enseñanza a los profesores en actividad y en las escuelas normales superiores.
1
Examinemos brevemente el contenido del programa de 12 a 15 años, y algunos de los medios desarrollados para su enseñanza. Precisemos que esa enseñanza se ha impartido en clases del tronco común de la enseñanza secundaria. El curso de matemática comprende 4 períodos de 45 minutos semanales.
El contenido del programa está de acuerdo con las recomendaciones, puntos de vista y mociones expresadas en diversas instancias en numerosas reuniones internacionales que agruparon expertos en la materia, tanto matemáticos como educadores y utilizadores de la matemática: Royau- mont, Dubrovnik, Aarhus, Budapest, Atenas, Frascati, Echternaeh.
Esas recomendaciones se limitaban, en verdad, a proponer algunos grandes temas, sin preocuparse por la organización de los asuntos en un curso estructurado y dividido en años.
Falta efectuar la reconstrucción de la matemática elemental, necesaria y previa a todo programa.
12 años. El programa esbozado más abajo es esquemático. Conjuntos. Relaciones.
Anillo de los enteros racionales.Iniciación a la geometría afín.Limitémonos a algunas indicaciones re
lativas a la geometría.Nada de a priori. Algunos se pregunta
ban qué lugar quedaría reservado a la geometría en la enseñanza renovada. La ex-
ARLON 1: 1959 (Primeras jornadas de Arlon). Presentó los primeros resultados de la experiencia y el folleto Arlon 1 sobre conjuntos y topología general. Se hicieron nuevas demostraciones a alumnos de las clases nuevas.
ARLON 2: 1960. Presentó un curso de forma cíclica hecho en las clases modernas. (Primeros elementos de la matemática moderna). Los elementos del método de los gráficos, fueron comunicados por primera vez.
iAlRLON 3. 1961. Primera iniciación en la teoría de grupos con ayuda de situaciones pedagógicas favorables. En el curso de esta primera fase, el director de un gran establecimiento de enseñanza secundaria de Bruselas, Oscar Guillaume, creó un club matemático abierto libremente a alumnos de enseñanza secundaria.
Ese club fue muy útil para la empresa renovadora, pues permitió hacer sin apremios de ninguna especie numerosas experiencias sobre temas preciosos de matemática moderna. El club tuvo enorme éxito. Los participantes, todos voluntarios, tenían gran aptitud para la matemática. Era posible
1312
i
Los primeros axiomas de la geometría son muy simples.
Se los introduce cuidadosamente, en una marcha axiomatizanle lenta, que pone bien en evidencia las diferencias entre los puntos y las pequeñas marcas que los representan.
Razón de los puntos grandes. Dibujarlos microscpicos es eludir un problema importante ¡No resolverlo!
Después del enunciado de los a\ lomas de incidencia habituales, nos hallamos en una situación lógica simple, expresada en el claro lenguaje conjuntista.
¿Cómo hacer razonar sobre la baso de las figuras tradicionales en las cuales se ve la respuesta?
Los diagramas de Venn dan a los problemas el aspecto de novela policial. Representar por las figuras tradicionales rectas y planos dados bajo forma conjuntista. Para resolver el problema ¡es necesario razonar!
No abandonar el uso de las figuras tradicionales.
Duplicar la intuición mediante la intervención de los diagramas de Venn, soporte intuitivo de la estructura lógica de la situación.
Cuidarse de aflojar el razonamiento juntista por formalizarlo demasiado. Los diagramas de Venn permiten miento sintético rápido.
El punto de vista conjuntista es absolutamente indispensable en los elementos de topología general, introducción tradicional de los cursos de análisis menos revolucionarios.
...No permite la indispensable distinción entre cuadrado cerrado y cuadrado abierto.
Intervención útil de la convención rojo- verde recordada más arriba.
Por falta de lugar y para más detalles sobre la organización del curso de geometría, véase MM1 v MM6.
Hasta aquí nada de demostración de vanas etapas, que necesitan construcciones eventuales. A lo sumo, pruebas de una etapa (en el sentido de los matemáticos, y no de los lógicos).
periencia confirmó el papel fundamental de la geometría cuclidiana plana.
Esclarecida de manera nueva. Reconstruida poniendo en evidencia estructuras fundamentales de la matemática actual.
Sostenes de la geometría, más fundamentales que la geometría, esas estructuras conservaron su importancia en todo el curso de los estudios. Esta génesis geométrica les conservará un carácter intuitivo, familiar, inspirador.
El antagonismo rigor-intuición pertenece al pasado.
Sólo después de 1900, con los Grundla- gen de Hilbert se dispuso de una exposición rigurosa de la geometría. Antes, era inevitable que la enseñanza 'elemental de la geometría recurriera a la intuición, lo que volvía nebuloso el carácter del razonamiento geométrico.
Los GruncUagen de I-Iilbert no son, de ningún modo, un manual de enseñanza secundaria.
Medio siglo de progreso en matemática han puesto en evidencia estructuras que vuelven más simple y más inteligible una exposición rigurosa de la geometría.
Pero, se dirá, la estructura del espacio vectorial euclidiano plano sigle siendo una estructura complicada. ¿Cómo introducir en ella a los alumnos e interesarlos por una estructura tal? Este es, con toda seguridad, el problema pedagógico que se planteaba.
El plano métrico es una estructura complicada. No es muy adecuada para una iniciación en el razonamiento matemático.
Se comienza, pues, por una estructura subyacente, lógicamente más simple.
La enseñanza de los conjuntos facilita tal introducción.
Para razonar bien, es necesario comenzar por decir claramente qué es lo que se acepta. Ese es un paso que se encuentra en la fase matemática de todo problema de temática aplicada.
Decir claramente qué es lo que se acepta.No decir todo al mismo tiempo.Decir algunas cosas que se aceptan, po
co a poco, he ahí el método axiomático progresivo.
El método axiomático usado es el del fí-
Decir lo que se acepta en una situación real idealizada y decirlo poco a poco.
a axiomática en acciónANNA-SOFIA KRYGOWSKA
(Cracovia)
terial” viviente sobre el cual debemos después “experimentar” nuestros métodos: esta experimentación no puede ignorar la naturaleza humana y, por consiguiente, única de su material experimental. No reprochemos a los alumnos que no verifiquen nuestras doctrinas pedagógicas; adaptemos nuestros métodos no a los alumnos en general sino a los que están delante nuestro.
1. El problema pedagógico.
El método axiomático plantea, en la enseñanza de la matemática, el problema pedagógico esencial: desde el punto de vista de la matemática, es necesaria la construcción de una axiomática correcta que tenga en cuenta los recientes desarrollos de la ciencia; no es menos indispensable que esta construcción se realice de manera que pueda ser fácilmente asimilada por los alumnos.
La acción del maestro puede concebirse como orientada hacia la realización de un equilibrio entre esas dos exigencias, una científica, otra psicopedagógica. Pero la palabra “equilibrio” sugiere una oposición entre dos fuerzas o dos tendencias aun cuando nada permita pensar a priori que las exigencias científicas y las pedagógicas sean antinómicas.
Diremos, pues, que se trata de elaborar una concepción pedagógica de la puesta en acción del método axiomático. Eso supone, muy evidentemente, que se tiene una idea suficientemente precisa de los objetivos de la enseñanza matemática a nivel secundario elemental (dicho de otra manera, no superior ni especializada): debe ser una enseñanza cultural, un elemento de la formación humanista. En otras palabras, la construcción axiomática del curso debe satisfacer las exigencias de la ciencia moderna (se podría decir, irónicamente, que esas satisfacciones tienen por objetivo dotar de buena conciencia a los profesores; pero no nos daríamos cuenta de la realidad sino muy imperfectamente, pues los mismos alumnos, si cumplen sus estudios en 1966, tienen el derecho de conocer la ciencia d*e 1966). Al mismo tiempo que a un estado de conocimientos, el alumno debe tener acceso a los mismos métodos del trabajo matemático, pues nosotros no lo preparamos para que él sepa lo que nosotros sabemos sino para que comprenda o descubra lo que nosotros no siempre sabemos.
En esta elaboración de una concepción pedagógica, debemos, entiéndase bien, pensar en todo momento en los alumnos, “ma-
2. La acción matemática.
Insistamos especialmente sobre la iniciación de los alumnos en el trabajo matemático verdadero en que toda situación matemática debe ser perpetuamente reconstrui-ble.
Aun si al comienzo (entre los alumnos más jóvenes) la elaboración de las nociones no alcanza el nivel de un formulismo sufi cíente, la noción de estructura debe ser aprehendida poco a poco y la axiomática será entonces comprendida como sostén o, mejor, como definición de la estructura.
Se llegará a este resultado iniciando al alumno, desde sus primeros pasos en matemática, en las tres fases del pensamiento axioma tizan te: axioma tización, deducción, interpretación. A partir de observaciones de cierta situación, él desarrolla una estructura y define, por consiguiente, cierta axiomática. En el marco fijado por ésta, la deducción según las reglas de la lógica permiten el desarrollo de una teoría. Los resultados así obtenidos son susceptibles de diversas interpretaciones; se abre el vasto dominio de las aplicaciones de la teoría construida: numerosas situaciones nuevas, o bien situaciones antiguas “enriquecidas” por la teoría desarrollada, proponen a la observación del matemático un “nuevo material” sobre el cual elaborará una nueva axiomática.
Esta acción matemática se desarrolla, pues, de manera cíclica y nada impide el desarrollo indefinido, podría decirse de ciclos sucesivos.
con-
un razona-
/
ma-
sico.
(CONTINUARA)
!14
15
:
de vista del maestro que, aquí, es el simulador (y también el estimulador) y el punto de vista del alumno, que es auténticamente inventor.
El arte de enseñar consiste entonces en colocar a los alumnos en situaciones presencia de situaciones reales que los duzcan casi fatalmente a la invención deseable. (Obsérvese la palabra “casi”; si la invención fuera fatal no sería de ningún modo, una invención). En las primeras clases, no se vacilará en poner en manos de los alumnos un material didáctico bien elegido: manipulando los “números de color' de Cuisenaire, el alumno encuentra (o reencuentra) las propiedades de la divisibilidad entre los enteros (la estructura que se debe poner en evidencia está contenida en el material manipulado). En las clases siguientes, a partir de la segunda clase, por ejemplo (alumnos de 15 años), los alumnos axionializan organizando los conocimientos adquiridos anteriormente; ya que no se puede axiomatizar en el vacío, y es para llenar ese vacío que la enseñanza inicial, antes de los 15 años, habrá enriquecido la experiencia matemática de los alumnos.
Las precedentes consideraciones permiten orientar la enseñanza inicial (alumnos de menos de 15 años; caso de nuestras clases del primer ciclo secundario): se trata de proporcionar materiales utilizables por los alumnos en sus axiomatizaciones futuras. Se tendrá, pues, el cuidado de evitar nociones mal construidas que las exigencias de la axiomática obligarían más tarde a demoler antes de reconstruir correctamente. Acaso no haya solución perfecta, pero la experiencia muestra que en esas clases (nuestras cuartas y terceras) hay muchas situaciones favorables a lo que FREUDEN- TIÍAL (de la Universidad de Utrecht) llama organización local deductiva, que constituye un campo de aprendizaje anterior a una organización más vasta (para alumnos de más de 15 años).
La experiencia lia demostrado que entre muchos alumnos de más de 15 años, dotados para la matemática o no dotados y que ni siquiera, han experimentado hasta entonces ninguna atracción hacia la matemática, la axiomatización apareció como respondiendo a una verdadera necesidad. La matemática no aparece ya como ciencia del cálculo o, dicho de otra manera, como una colección más o menos rica, según la cien
cia del práctico, de algoritmos más o menos complicados; apareció bajo su verdadera luz: un pensamiento organizado volcado hacia la invención.
4. Definir y razonar.
Habiendo liberado la axiomatización una estructura (un esquema, y un esquema sobre el cual se puede operar; relaciones, y relaciones sobre las cuales se puede operar) es trivial destacar qué importancia tendrán las definiciones en nuestra enseñanza. Siempre se volverá a leer con provecho el artículo “Las definiciones matemáticas y la enseñanza” de Henri POIN- CARE (en Ciencia y Método).
Es demasiado evidente que las definiciones provocadas o aun impuestas por el maestro sin participación real del alumno en su elaboración, serán mal asimiladas a menudo por ese alumno. Habrá gran ventaja en que la definición sea elaborada y formulada por el alumno.
Pero si ello es siempre posible, entonces es necesario tomar plena conciencia de dos dificultades distintas que se presentan ai alumno: o bien es actor, y elabora él mismo una definición, (pero ser actor significa aquí ser creador) o bien es auditor- receptor, y escucha o lee una definición elaborada por otro, por ejemplo, el autor del manual) y entonces, aquí, ser auditor- receptor supone que entiende, en el sentido cabal del término, la lengua del que ha formulado la definición). Nuestra enseñanza debe cuidar el favorecer los dos aprendizajes: aprender a fabricar (ya formular) nuevas definiciones, aprender a leer y a comprender las definiciones elaboradas por otros. Este segundo aspecto de nuestra enseñanza no es menos importante que el primero: aprender a leer es aprender a comunicarse, es formar al hombre animal social (y toda actividad científica es social en el siglo XX).
Para volver a nuestra enseñanza, las investigaciones hechas por mis alumnos sobre la enseñanza tradicional de la geometría revelan bien que las dificultades vueltas a hallar por los alumnos, provienenmétodo matemático: haciéndose una falsa idea de la axiomática de base, esos alumnos no ven cuál es el objetivo de la in-
(Contínúa on la pág. 29)
ta ambición es la razón misma de nuestra enseñanza de la matemática: ¿podríamos contentarnos con formar monos sabios todos capaces justamente de repetir lo que le hubiéramos enseñado? Por cuidadosos que seamos en adaptar la enseñanza a las nuevas condiciones cíe vida, no podemos conocer el porvenir: nuestros alunaos deberán realmente, más tarde, inventar sel liciones para los problemas que ne utros 210 podemos por ahora ni imaginar.
I-Iacer penetrar el método axiomático en nuestras clases es, sin embargo, una audacia justificada por el hecho de que los aspectos intuitivos de la noción de estructura son visibles y no están fuera del alcance de los niños. Decimos que la génesis psicológica de la noción de estructura es intuitiva. Un procedimiento natural del pensamiento humano, a partir de la observación de lo real, o, más generalmente, de una cierta situación tratable por •esquematización y después por extrapolación. Construir un esquema significa construir un modelo simplificado de la realidad; no se conservan todos sus aspectos, pero el esquema obtenido es manipulable. Esta manipulación de los esquemas conduce a extrapolar las indicaciones que proporcionan, y las deducciones son a continuación confrontadas con la realidad por retomo a las aplicaciones.
Si la pedagogía de la acción matemática pudiera referirse a esos procedimientos naturales del pensamiento, la iniciación en el método axiomático no plantearía grandes cuestiones. Pero la puesta en acción, como siempre, es más delicada que lo que se pudiera creer a priori. Si el niño es completamente libre para construir una axiomática según su fantasía, desembocará, muy a menudo, en vista de la enorme variedad de posibilidades, en axiomáticas sin verdadero interés científico. Si, por el contrario, la inquietud de la construcción correcta de
bella axiomática, empuja al maestro a precipitar esa construcción, la participaron insuficiente de los alumnos no les permitirá adherir verdaderamente a la obra. El problema pedagógico es, pues, el de organizar el trabajo en clase para que la axiomática —por más que esté en verdad dada a priori— sea realmente “inventada por los alumnos” Se podría decir que se trata de un simulacro de invención y que en ello no hay invención de ninguna clase; pero es necesario separar nítidamente el punto
Es necesario reconocer que esta concepción de la acción matemática resulta extraña a una enseñanza tradicional ampliamente divulgada. No insistamos sobre la tercera fase, la de las aplicaciones, siempre muy olvidada. Pero, fuera de ella, la fase deductiva es considerada esencial; en todo caso, ella es la que ocupa más tiempo.
Jamás se ha hecho matemática sin axiomatizar y, desde ese punto de vista, puede parecer que la expresión “método axiomático” recubre toda la matemática. Pero si eso es cierto al nivel de la investigación matemática, no lo es al nivel de la enseñanza: en el “método axiomático” la axiomatización se concibe como la definición de una estructura. No es cuestión de callarse ni sólo de pasar rápido sobre la definición, sino, muy al contrario, de insistir en que ella es la piedra angular de todo el edificio. Según la concepción antigua, el axioma era el enunciado de una evidencia; ahora bien, el carácter subjetivo de ésta era demasiado evidente. Por otra paite, esta invocada evidencia era muy a menudo una evidencia sensible que apoyaba la elección de los axiomas sobre los testimonios de nuestros sentidos; en el flujo de datos de la intuición sensible, la elección no podía no parecemos arbitraria entre lo que merecía ser tomado como axioma y lo que no lo merecía. En la axiomática moderna, es la compatibilidad de los axiomas, su no contradicción y el hecho de que definen una estructura rica en propiedades lo que justifica esta acción libre y verdaderamente creadora de la axiomatización, de la primera fase del cielo de la acción matematizante.
Esta acción matemática, este método axiomático en acción no es apropiada para el aprendiz, ni para el matemático estudiante: es el método mismo del matemático profesional (designando así al matemático, generalmente adulto, empeñado en la investigación matemática pura o aplicada. Iniciar al alumno en este método es volverlo apto no sólo para una buena comprensión de la matemática de su tiempo sino también para construir la que sus propias reflexiones o sus observaciones reales lo impulsen a crear.
3. Puesta en acción pedagógica.
Este programa puede parecer muy ambicioso. Observemos, sin embargo, que es-
o en con-
una
de un desconocimiento esencial del
1716
LO DIDACTICO Para evitar confusiones con el significado usual de las palabras "implica” e "implicación”, la referida relación lógica ha sido muchas veces llamada "implicación 1 na- icriar y el símbolo -*■ es traducido “implica materialmente”.
Con todo, !a implicación material sólo tiene interés general cuando se aplica a proposiciones cuyo valor lógico no es todavía conocido, /-hora- bien, en este caso, corresponde exactamente al significado usual de implicación.
Esto es k que sucede, por ejemplo, con la frase anterior “Si Carlos no telefonea, viene a la hora convenida”. Se entiende que los valores lógicos de las proposiciones "Carlos no telefonea” y ‘Carlos viene a la hora convenida”, son todavía ignorados; apenas se sabe que la primera implica materialmente Ja segunda.
Veamos otro ejemplo. Consideremos la propisición.
"Si existen plantas en Marte, existen seres vivos en Marte”.
Esta es evidentemente verdadera; empero, no conocemos los valores lógicos de las proposiciones "Existen plantas en Marte”, "Existen seres vivos en Marte”; lo que sabemos es apenas que la primera implica materialmente la segunda:
Existen plantas en Marte -*■ Existen seres vivos en Marte.
Pero, precisamente porque se desconocen los valores de las dos x^roposiciones referidas, la implicación material corresponde a la idea normal de implicación.
Sea ahora la proposición:"Si Marte tiene atmósfera, existen seres
vivos en Marte”.Se puede afirmar lo siguiente:"Marte tiene atmósfera” -*■ "Existen se
res vivos en Marte”.Pero, ahora ni siquiera sabemos si la
implicación es verdadera o falsa: será falsa si Marte tiene atmósfera y no existen seres vivos en Marte; será verdadera en la hipótesis contraria.
Otro ejemplo más. Es bien fácil determinar directamente el valor lógico de cada una de las imposiciones:
"23 + 43 es múltiplo de 6”"23 -j- 43 es múltiplo de 3”
Aún antes de saberlo, podemos ya afirmar que la primera inplica materialmente la segunda, esto es:
23 + 43 es múltiplo de 6 -*■ 2S + 33
es múltiplo de 3. dado que, como se demuestra en aritmética, todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3. Así, más de una vez, la implicación material concuerda con la implicación en el sentido usual, en virtud de las razones antes apuntadas.
En estos casos, el símbolo que generalmente se lee "implica”, sustituye propiedad a la palabra "si” (conjunción condicional) antepuesta a la x>roposición antecedente. Algunas veces, para subrayar la implicación, en el lenguaje común, se antepone la palabra "si” a la proposición antecedente y la palabra "entonces” a la proposición consecuente. Así:
Si 23 + 43 es múltiplo de 6, entonces 23 4- 43 es múltiplo de 3.
Nótese, además, con resx>ecto a este ejemplo, que, si efectuamos los cálculos, vemos que la proposición antecedente es al final verdadera. Se concluye entonces, sin necesidad de más cálculos, que la proposición consecuente, es también verdadera.
De modo general, cuando, dadas dos in oposiciones, A y B, se consigue averiguar, por una parte, que A-*B y, por otra parte, que A es verdadera, se concluye inmediatamente que B también es verdadera. En esto mismo consiste la deducción lógica o razonamiento deductivo, en una de sus formas más simples y más frecuentes, tanto en la matemática como en la vida diaria.
El esquema del razonamiento es el siguiente:
Introducción a la lógica matemática por
J. SEBASTIAO E SILVA (Portugal) con
X>roposiciones verdaderas, en tanto que la fórmula V -*■ F es una proposición falsa, esto es:
(V - V) = V ; (F -»• V) = V
(F - F) = V ; (V - F) = F
Pero, claro es que, en estas condiciones, el símbolo -*• representa una operación sobre valores lógicos (o sobre x>rox>osiciones), que está definida por la siguiente tabla:
""o- lo
15. Implicación material y deducción. Consideremos, por ejemplo, la frase:
"Si Carlos no telefonea, viene a la hora convenida”.
Se trata de una proposición que relaciona los valores lógicos (hasta ahora no conocidos) de las dos pro]?osiciones:
a) "Carlos no telefonea”;b) "Carlos viene a la hora convenida”;
de modo que, si la primera fuera verdadera, la segunda también será verdadera, pero si la primera fuera falsa, la segunda puede ser verdadera o falsa (está sobrentendido "si Carlos telefonea, puede venir o no a la hora convenida”). Este hecho se expresa diciendo que la proposición
a) Implica la x>roposición b) y escribien-
tkj v F-----------------------
V V F
F V Vdo:Carlos no telefonea -* Carlos viene a la hora convenida.
De modo general, si las letras p y q estuvieran en lugar de las dos proposiciones, escribiremos:
En cualquiera de los casos, la relación u operación lógica así definida es llamada implicación. Pero, conviene observar desde ahora que este significado de la palabra implicación” se aparta muchas veces del significado usual. Por ejemplo, podemos decir que la proposición ‘7 es impar” implica la proposición "Lisboa es una ciudad”, y escribir:
7 es impar -+ Lisboa es una ciudad puesto que ambas proposiciones son verdaderas y V —► V por definición.
Análogamente, podemos escribir:2 + 3 = 7 Pedro Núñez descubrió Brasil puesto que F -*• F, por definición. Pero esto, de ninguna manera significa que el hecho de ser Lisboa una ciudad se deduzca del hecho de ser 7 impar, o que la proposición Pedro Núñez descubrió Brasil” (falsa) sea consecuencia de la proxoosición 2 + 3 = 7” (igualmente falsa). Lo que
se afirma es únicamente una relación entre los valores lógicos de las proxoosiciones, de acuerdo con la tabla anterior.
p q (leer "p implica q”) cuando, y sólo cuando, ocurra uno de los siguientes casos:
1. La primera es verdadera y la segunda también;
2. La primera es falsa y la segunda es verdadera;
3. La primera es falsa y la segunda es falsa.
En la fórmula p -*■ q, la primera proposición se llama antecedente y la segunda consecuente.
De este modo, el símbolo -+ traduce una relación entre los valores lógicos, tenéndo- se por definición:
|A-*B (premisa mayor)A (premisa menor).'. B (conclusión)
Aquí, el símbolo .*. léese "luego” e indica que una proposición B se deduce lógicamente de las dos anteriores. Estas son llamadas premisas del razonamiento (premisa mayor y premisa menor, respectivamente); en cuanto a la última es llamada conclusión. En la lógica tradicional, un razonamiento de este tipo es denominado silogismo condicional, regla de deducción o modus ponens. Algunas veces, la premi sa menor está precedida por "ahora bien”, otras veces se la escribe simplemente.
V-V, F -*• V ; F F
pero no V F. En otros términos, las fór
mulas V V , F V y F F son
* V¿aso CONCEPTOS DE MATEMATICA, Nros. 1 y 2.
\ 819
Esta propiedad, aplicada a proposiciones, conduce a un nuevo tipo de silogismo, descripto en el siguiente esquema:
A-B]}■ premisas
Ke aciones y tunciones *Ejemplos:Si 23 -|- 43 es múltiplo de 6,23 -f 43 es
múltiplo de 3.■ Ahora bien 23 + 43 es múltiplo de 6.¡Luego 23 + 43 es múltiplo de 3.
ÍSi este animal es un pez, tiene branquias. ■¡Ahora bien, este animal es un pez. [Luego, este animal tiene branquias.Si ese libro tiene una hoja doblada, m
pertenece.Ese libro tiene una hoja doblada.
LUIS A. SANTALÓ (Argentina)
pero, sin embargo, sabemos que existe y que está bien definida. Se llama una función aleatoria. El estudio de estas funciones es el objeto del Calculo de Probabilidades.
4?) X = conjunto de las personas que viven en la actualidad.
Y = números naturales de 1966 a 2100. Función f: persona x -*■ año y de su fallecimiento. Es otra función aleatoria.
5o) Se dispone de un dado y se lanza de manera arbitraria 100 veces, anotando cada vez el número que sale. Sea X = números de 1 a 6; Y = números de 1 a 100. Función f: número x del dado -*• número de veces y que ha salido en las 100 tiradas. Es también una función aleatoria. Hacer la experiencia por cada alumno y graficar los resultados de cada uno, tomando x como abscisa e y como ordenada (en una escala conveniente).
II. Funciones entre elementos geométri- E1 enunciado en términos de funcio
nes de muchas cuestiones de geometría elemental es útil e instructivo para ir educando el sentido matemático y relacionar conocimientos muchas veces dispersos. Ejemplos:
19) X = triángulos del plano, Y = puntos del plano.
f: triángulo x -*■ su baricentro y.No tiene inversa, pues un mismo punto
puede ser baricentro de infinitos triángulos: dibujar algunos de ellos.
29) X = triángulos del plano, Y = circunferencias del plano.
f: triángulo x -*■ su circunferencia circunscrita y. No tiene inversa.
39) X = rectas del plano que no pasan por el origen. Y = puntos del plano distintos del origen.
f: recta x pie de la perpendicular a x desde 0. Existe la inversa f"1: punto y -*• iecta x perpendicular a la recta que une y
0 por el punto y.49) Toda transformación entre los pun
ios del plano, o sea, del plano en si mismo,
B-CJ. A -*■ C (conclusión )
Ejemplo: “Si estudias, obteñidlas buenas notas. Si obtienes buenas notas, darás alegría a tus padres. Por tanto, si estudias, darás alegría a tus padres”.
Usando las tablas de implicación, de la disjunción y de la negación es fácil verificar que siempre se tiene:
(a -*• b) = b V
4. FUNCIONES. Dentro de las relaciones tienen particular interés las llamadas funciones, cuya definición es la siguiente:
Def. 4. 1 . Se llama función de dominio X y codonlinio Y a toda relación entre X, Y tal ({ue cada x£X está relacionado con un único elemento y 6 Y.
Lo importante de las funciones es que dado x, que se llama la variable indepen- clíente, puesto que puede tomar libremente cualquier valor de X, ya queda determinado el valor y que le corresponde en Y; por esto y se llama la variable dependiente.
Una función se indica en general por una letra f, g, h, ... y, para expresar que y es el elemento que corresponde a x, se escribe (si la función es f), y = f (x) y también f: x -*■ y. Para expresar que X es el dominio e Y el codominio se escribe f: X - Y.
5. EJEMPLOS DE FUNCIONES. Funciones de la vida común. Es interesante acostumbrarse a esc]uematizar las funciones que de manera abundante aparecen en la vida ordinaria. Ejemplos:
1°) X = Y = conjunto de las personas cuyo padre vive.
f: a la persona x -*■ su padre y.Esta función no tiene inversa, pues un
padre puede serlo de varios hijos. O sea la inversa f“l es una relación pero no una función.
29) X = conjunto de los alumnos de una clase, Y = meses del año.
f: alumno x -*• mes de nacimiento y.Tampoco esta función tiene inversa.39) Supongamos q u e cada viernes se
sortea la lotería nacional y que ella consta de 30000 números. Sea X = conjunto de los viernes del año, Y = números del 1 al 30000. Función f: viernes x numero y del premio mayor. Se trata de una función de tipo especial, cuyo valor no se conoce hasta después de realizado el sorteo,
Luego, ese libro me pertenece.Obsérvese que una deducción puede ser
cierta sin que las premisas sean necesariamente verdaderas. Es obvio que el hecho de que una deducción sea correcta, no garantiza la verdad de la conclusión.
Pero también puede haber deducciones erróneas. Las deducciones erróneas de tipo elemental son llamadas paralogismos. Un tipo de paralogismo bastante frecuente es el que se indica en el siguiente esquema:
aComo se ve, esta propiedad permite ex
presar la implicación mediante una disjunción y una negación (lo que, fácilmente, permite traducirla en un esquema de circuitos). Aplicada a proposiciones, la fórmula anterior puede traducirse del siguiente modo:
Decir que una proposición implica otra proposición eqivale a decir que o la segunda es verdadera o la primera es falsa.
Por ejemplo, decir:“Si este animal es un pez, tiene bran
quias” equivale a decir:“O este animal tiene branquias o no es
un pez”3Recíprocamente, la disjunción puede ex
presarse mediante una implicación y negación, como es fácil verificar:
a V b = •—■ a bDe ese modo, afirmar que una, por lo
menos, de dos proposiciones es verdadera, equivale a afirmar que, si una de ellas es falsa, ¡a otra es verdadera.
Esta propiedad origina un nuevo tipo de razonamiento deductivo, llamado silogis-
disjuntivo, descripto en el esequema. A VB
A-BB.*. A
Ejemplo: “Si este animal es un pez, tiene branquias. Ahora bien, este animal tiene branquias. Luego, es un pez”.
Recordemos que, muchas veces, para saber si una cuenta está bien hecha, recurrimos a la prueba del nueve. En realidad, estamos por incurrir en un paralogismo, pues la prueba del nueve puede ser cierta estando la cuenta equivocada: todo lo que podemos decir es que, si la cuenta está bien hecha, la prueba del nueve tiene que cumplirse, y que, si la prueba da bien, es muy probable que la cuenta no esté equivocada.
Propiedades de la implicación; relaciones de ésta con las otras operaciones lógicas. Nuevos tipos de silogismos. Sean a, b, c valores lógicos cualesquiera. Entonces, es fácil verificar, usando la tabla de la implicación que:
Si a-*b y b -* c, entonces a -+ c ° sea, usando símbolos:
(a-*b) A (b-c) -*■ (a -+ c)be expresa este hecho diciendo que la
implicación es una relación transitiva.
I.eos.
una
mo
premisasA
B (conclusión)Ejemplo: “O él es mentiroso, o fue enga
ñado. Ahora bien, él no es mentiroso. Lúe" go, fue engañado”.
Podemos decir con respecto a la disjunción lo que ya hemos dicho con respecto a la implicación material: generalmente, sólo tienen interés cuando se desconoce el valor de las proposiciones a las cuales se
(Continúa en la pág. 46)
con
* Véa;* N? 2, págs. 21 a 24
2120
.■
círculo. ¿Qué pasará para un polígono regular de n lados? Se observa que si el lado (s x, la apotema a cumple la relación x/a = tg (jt/n). Llamando k al valor de esta tangente, que es una constante que depende de n pero no del tamaño del polígono, el perímetro es y = n x y el área y = (n/4 k) x2.
En todos los casos, la gráfica de los pe- íímetros es una recta que pasa por el origen y la del área una parábola, que también pasa por el origen.
Al hacer las gráficas en algunos casos simples, se observa: a) Las parábolas crecen muy rápidamente; por esto conviene lomar sobre el eje de ordenadas una escala diferente de la del eje de abscisas; b) Todas las gráficas, al variar n, están comprendidas entre la del triángulo n == 3, k =
t V3 y la del círculo que corresponde a n -*■ co; ello permite interpolar, tomando curvas aproximadas sin necesidad de ningún cálculo, cuando no sea necesaria mucha aproximación. Conviene hacer las gráficas en papel milimetrado.
79) Las funciones más importantes son las expresables por fórmulas matemáticas. Aparte las funciones trigonométricas, que corresponden a los fenómenos periódicos, los fenómenos físicos van resiiondiendo ge* neralmenlc a las funciones más simples: primero las lineales, después las cuadráticas.
se reduce a un punto. Por ejemplo, sea X = conjunto de los triángulos del plano, Y = números reales, y consideremos la función.
f: triángulo x -+ suma de sus ángulos interiores.
Si dicha suma se expresa en radianes, es siempre y = jc. La gráfica es una recta paralela al eje x.
9°) Dada una función y = f (x), si Y es el conjunto de los números reales, se llama núcleo de la función al conjunto f (0). Si Y es un conjunto general, el núcleo existe siempre que Y contenga algún elemento especial E, y entonces el núcleo es f"1 (E). Ejemplos:
a) X = Y = números reales f: x -+ y = ax2 + bx + cEl núcleo está formado por las raíces de
la ecuación ax2 + bx + c = 0.b) X = Y =± puntos del plano = pares
de números reales.f: (x, y) -+• (x*, y*) siendo x = 3x — y + 2, y = 2x + y — 1 Hallar el núcleo de esta función. Buscar
ejemplos del mismo tipo:(x, y) - (ax + by + c, a’x + b’ y -f- c)
en que el núcleo sea el conjunto vacío o tenga infinitos puntos. ¿Puede una función de este tipo tener por núcleo un número finito de puntos diferente de cero o uno?
que puede ser cortada en variospuede considerarse como una función que al punto x hace corresponder el punto transformado y. Ejemplos: simetría respecto de un punto o respecto de una recta; íota- c iones, homotecias, etc.
III. Funciones entre conjuntos de nu- Son las más usuales en la matemá
tica. Nos limitaremos a señalar algunas que posean cierta característica especial.
19) X = conjunto de los pares de números naturales; Y = conjunto de los números naturales.
f: al par (x, y) -*■ m. c. d. (x,y) fx: al par (x, y) -+ m.c.m. (x,y).29) X = Y = conjunto de los números
leales. Una función f se dice que es lineal, si existe un número K -- 0 tal que
f: x -*■ y = kxo sea, f(x) = kx. Se dice entonces que los valores x, f(x) son proporcionales y k se llama la constante de proporcionalidad. Para hallarla basta conocer un valor x = xx y su correspondiente yx = f (xa), pues entonces es k = yi/xq. Para otro par de valores correspondientes x2, y2 = f (x2) es también k = y2/x2 y por tanto yi/xi = ys/xs. De esta proporción basta conocer 3 términos para poder calcular el cuarto (regla de tres simple directa).
Si la relación entre x, y está dada por la función f: x -*• k/x, o sea, f (x) = k/x, se dice que x, y son inversamente proporcionales, lo cual es otra manera de decir que y es proporcional a 1/x. En este caso, Fara dos pares de valores correspondientes se verifica yi/xi = x2/y2 (regla de tres simple inversa.).
39) X = Y = números reales. Sea C £ X Ta medida de la temperatura en grados centígrados, F £ Y la medida de la temperatura en grados Fahrenheit.
I: G F, si C y F corresponden misma temperatura. La expresión de f es
F = (9/5) C + 32.Hacer la representación gráfica, obser
vando que es una recta que pasa por los puntos (0,32), (100, 212).
IV. Representaciones gráficas. Siempre que se trate de funciones cuyos dominio y codominio sean números reales, conviene hacer su representación gráfica, tomando x, y como coordenadas cartesianas. Resulta entonces una curva de ecuación y = f (x) que sólo puede ser cortada en un solo punió por paralelas al eje y. Si se trata de
curvapuntos por paralelas al eje y, ya no se trata de una función sino de una relación. Hay veces en que la gráfica 110 es una curva en el sentido intuitivo de esta palabra, sino un conjunto de puntos o segmentos aislados.
Conviene dar algunos ejemplos de funciones discontinuas:
19) X = Y = números reales, f: x y = E (X) = parte entera de x. La gráfica está formada por segmentos escalonados paralelos al eje x, los cuales son cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha.
meros.
)2?) X = números naturales de 0 a 24
(horas del día); Y = números naturales, f: hora x -*• número de alumnos y que están en el aula. Es una función prácticamente discontinua en las horas de entrada y salida de los alumnos. Cuando no hay clase vale 0 y durante la clase, suponiendo que nadie llega tarde, f se mantiene constante.
También conviene señalar alguna función periódica.
3?) Un punto describe con movimiento uniforme la circunferencia de centro O y jadió unidad. Sea x el camino recorrido e y la ordenada en cada punto, con el signo habitual. Se tiene la función seno, que puede estudiarse y graficarse aun antes de definir esta función trigonométrica. Análogamente, si se toma por y la abscisa correspondiente al punto x, se tiene la función coseno.
Muchos resultados de longitudes, áreas o volúmenes conviene presentarlos en for-
de funciones. Ejemplos:49) La longitud de la circunferencia
b = 2?tr, conduce a la función y = 2 Jt x. La gráfica es una recta que pasa por el origen. Conocidos los valores correspondientes a dos radios, se puede obtener gráficamente el valor para cualquier otro radio (interpolación).
59) El área del círculo conduce a la ■ V = Jtx2. La gráfica es una pará
bola. Esta gráfica, dada en primer año, permite dar una idea de la parábola, mucho antes de que se defina esta curva co
ligar geométrico en geometría analí-
69) El perímetro del cuadrado es y = 4 x, y el área y = x2. Las gráficas son del mismo tipo que para la circunferencia y el
BIBLIOGRAFIA
Nos vamos a limitar a dos textos asequibles y recomendables de nuestro ambiente y a las recomendaciones de la reunión de Dubrovnik de las cuales existe traducción castellana.1. Gabba - Dalmasso, Matemática Mo
derna, Tomo I, Buenos Aires, 1965.2. Varsavsky, Oscar, Álgebra para Escue
las Secundarias, EUDEBA, Buenos Aires, 1964, Tomo I.
3. Synopses for modera school mathe- matics (Resultado de la reunión de Dubrovnik, 1961). Traducción castellana por A. Piaña (Centro de Documentación e Información del Ministerio de Educación de la República Argentina).
En otros idiomas la bibliografía es abun- datísima. Prácticamente cualquier libro moderno de Algebra o Análisis empieza con las definiciones y conceptos expuestos.
Consideramos la caída de un cuerpo. La velocidad v es función del tiempo t : ¿qué función será? Se ensaya la más simple, que es la lineal v = a t y, efectivamente, ésta es la fórmula. Si para t = 0 ya existe cierta velocidad inicial vG, será v = at
i
ma
+ v0.Si en vez de la velocidad de caída se
quiere el espacio recorrido durante la caída en función del tiempo, hay que ensayar c = at, o más generalmente e = a t + b. Esta función lineal no está confirmada por la experiencia; hay que complicarla más. Viene luego, en orden de complicación, la 1 unción cuadrática y = a x2 + b x + c. Efectivamente, esta es la fórmula del movimiento de la caída de un cuerpo (en el \acío). Los valores de las constantes a, b, c los da la experiencia o la teoría física correspondiente.
89) Hay funciones en que el codominio
a una
función
mo1tica.
una2322
I
Si U S: = CS, n (S= u Sé)J U CS3 fl (St u S/)J=*“(Si n s3) u (s, n sv) =
(s2 n s,j u (s3 n s/) == (s, n s_.) u es* n s,') u (sa n s/)fda, como consecuencia casi inmediata del axioma 5, la igualdad:
y aplicando sucesivamente (24) y (25) resulta:S2 = (S2 n S,)U(S8nSO-SiU (So nS/). (23)
Como en el último miembro figura una unión de conjuntos disjuntos [puess, n(So n s;) —Si n (s; n s8) = « (Sx n Si) n s2 « 0 ns2=0],V éstos pertenecen a la clase S en virtud del axioma 2, resulta de (28), por el axioma 5:
p (Si) -f- p (So fl Si);
finalmente, por ser p (So fl Sf) ^ 0 en virtud del axioma 3, resulta:
P (s,) S5 p (Si).Teorema 2. Si St y So son eventos cua
lesquiera, m? ítem? (Fig. 14):
Mociones sobre cá cu o de
probabilidades:
P (Si U S3) = P (S, fl S>) ++ p (Si n &•) + p (s3 n s/).
Finalmente, reemplazando en esta igualdad los dos últimos términos i)or sus valores despejados de (30) y (31) respectivamente, se obtiene la igualdad (29) que queríamos demostrar.
3.5 Notemos que (29) se generaliza fácilmente y sin recurrir de nuevo a los axiomas. Por ejemplo, para tres eventos Si, S2, S:« cualesquiera, es
p(S iUSoUS3) = p( Si) + p( So) + p(S3) —-p(Sif]s2) — p(s2ns3)—p(s3nsi) +
+ p (Si n s2 n s3).
César A. TREJO (Argentina)
puntos por un pequeño círculo de área proporcional a la correspondiente probabilidad, como hemos hecho en h figura 4
los espacios G y F. Cada evento se representa encerrando sus puntos por una curva (figuras 5 a 8).3.4 Veamos ahora dos sencillos teoremas del Cálculo de probabilidades, considerado como el sistema deductivo definido en 2.5. Ambos son obvios si nos atenemos a su significado intuitivo, pero al formalizar la teoría como sistema deductivo deben demostrarse a partir de los axiomas de 2.5,
Teorema 1. Si el evento Si es parte del evento S2, entonces p (Si) ^ p (S2). En símbolos:
3. Diagramas: Primeras consecuencias de los axiomas.
3.1 Recordemos que las relaciones de inclusión y las operaciones de Boole con conjuntos, y sus propiedades, pueden ilustrarse muy claramente mediante los conocidos diagramas de Venn. Por ejemplo, la figura 12 representa la inclusión ACB, y también ilustra la implicación
ACB - A D B = A,(así como la implicación contraria), y la
susv (Sa)
con
(32)(23)
yi * Demostración. EsS, U S: U Sj =! S, U (S2 U S3),
y entonces, en virtud de (29) (aplicada dos veces) y (24) se tiene:
p (Si US.U SA = p (S,) ++ V (Sa u S3) - P (S, fl (S, U Sa)) =
= P (Si) + p (S3) + P (S3) — p (Sa fl Sa) — - P (Si fl Sa) U (S. fl Sa)). (33)
(Fig. 14)
p(SjUS_.)=p(S,) +p(S2) —p(SiflS2). (29)
Nota. Esta igualdad es obvia sobre la base de la siguiente consideración intuitiva: La masa p (SL U S2) en el conjunto SL U So es igual a la masa p (Si) en el conjunto Si, más la masa p (S2) en el conjunto S2, menos la masa p (Si fl S2) en el conjunto Si fl S2, que se ha contado dos veces.
Ejemplo. Con referencia a la figura S se tienep(SUT) -p(S) + p (T) - p(sriT); en efecto
S!CS2 - p(Si) ^ p (S2). (25)
Notas:(i) La implicación (25) es obvia desde
el punto de vista intuitivo. La masa p (Si) en el conjunto Si, que es parte de S2, es menor o igual que la masa p (S2) en el conjunto S2.
(ii) También es obvia la implicación (25) sobre la base de esta consideración intuitiva: Un resultado x verifica el evento Si si x e Si. Pero en tal caso, también x e S_., de modo que la probabilidad de este último evento S2 no puede ser menor que la del evento Sj.
(iii) Con la conocida equivalencia entre inclusión e implicación:
En virtud de (29) el último término se transforma así:
P (Si fl Sa) U (Sa fl S.,)) = v (Si n &) + p Si n s3) - - V ((Si n Sa) fl (Si fl Sa)) =
= p (Si f) S2) + p (Si fl Sa) — — P Si fl Ss fl Sa),
(Fig. 12)figura 13 ilustra la propiedad distributiva de fl respecto de U:A n (B U C) = (A n B) U (A fl C). (24)3.2 El mismo recurso de los diagramas de Venn proporciona una imagen intuitiva sencilla y eficaz para los axiomas de 2.5. Para ello el espacio de resultados E presenta por una región del plano, que ahora imaginaremos materializada por lámina de densidad superficial constante o variable. La probabilidad de un evento S (subconjunto de E perteneciente a la clase S) estará representada por la masa del correspondiente trozo de la lámina material. La densidad es siempre no-negativa (axioma 3) y la masa total es 1 (axioma 4).3.3 Si el espacio de resultados es finito ° numerable, un diagrama más informativo se obtiene representando cada uno de
(Wg. 13)
y reemplazando en (33) se obtiene la igualdad (32) que queríamos demostrar.
3.6 No seguiremos con este detalle, demostrando cada propiedad mediante operaciones conjuntistas y la aplicación estricta de los axiomas de 2.5. Lo importante es señalar que esto podría hacerse si se quisiera. Omitiremos, pues, muchos demostraciones, reemplazándolas por simples consideraciones intuitivas.
21 10 15 4_~36 _ + 36 _ 36
Demostración del teorema. Las descomposiciones en uniones disjuntas
S. = Si fl (Ss U Sé) = (S, f| S.) U (S, fl Sé),S* = S. fl (S, U Sé) = (S3 f| Si) U (S3 f| Sé),dan, en virtud del axioma 5,p (S,) - p (S, f| S3) + p (Si f| Sé). (30)p (S3) = p (S3 f| Si) + p (S: f| Sé). (31)
La descomposición siguiente de S« U S3 en la unión de tres conjuntos dos a dos dis juntos:
se re-
una
(SaCS2) (a*e S, .reS2), (26)la implicación (25) puede escribirse también así: Por ejemplo, con referencia al diagrama
de Venn de la figura 15, si para calcular la masa(*«s. - X'Ss) -p(S,)í£p (s.).(27)
Demostración del teorema. Se tiene
S= = S. fl E = S. fl (S, US/),
p (S, U S, U S3)formamos la suma
24 25
• ■'
!
nhabilidad condicional (37) determina nuevo espacio de probabilidad:
(E, S, p8).Demostración. La verificación de los
axiomas 1 a 3 es obvia. Se cumple el axioma 4, pues
l—-
un
> (39)/A If/ i
4^ I/4
K; Ii p(SPE) p(S)
p(S)También se cumple el axioma 5. En efecto, si T y U son eventos disjuntos, lo son también S fl T y S fl U, y se tiene en virtud de la propiedad distributiva (24) .y el axio- .ma 5 para (38):
Vs (E) =3 1.p(S)I(Fl- Jo)
c ada una de las regiones de contornos gruc- z so, de trazos y de cruces se contó dos veces, y entonces debe restarse una vez. Formemos, pues, la suma algebraica 1
s t :4
é -- -< •- - i
(Fig. 16)fe
P (Si) + p (S,) + p (S3) —- p(Stns,) - p(s,ns:t) - p(s3nst).
p(s n (tuu) )p Ps (TUU) =10 P(S)2 3
s n t Vemos, pues, que la probabilidad del evento T, que era p (T) =15/36, cambia con la hipótesis S, pues con ella es ps (T) = 4/10 < p(T) (pues 4.36 < 15.10).
Notemos que
(Fig. 7) p (s n t) u (s n u)Pero en ella, la región rayada Si R S2 R S3 se ha contado una vez en cada término, o sea p (Si fl Sm fl S3) se ha sumado un número de veces igual a 1+1+1 —1 — 1 —1=0 entonces debe sumarse (una vez) para completar p (St U S= U Ss), y con ello se obtiene (32).
4. Probabilidad condicional
4.1 Volvamos al espacio de resultados G = E X E para un par de dados, ya considerado en 1.7 (ver fig. 1). Con la clase S de todas las partes de G tenemos el espacio de probabilidad
(G, S = P(G), p).La función p: S-+R (R, reales) queda
determinada si suponemos que a cada punto de G corresponde la misma probabilidad 1/36 (intuitivamente: ninguno de los dados está cargado).
Consideremos nuevamente la figura 7, ahora en el espacio de probabilidad (34). ¿Cuál es la probabilidad de S fl T?. Es
Más estrictamente: S fl T tiene 4 puntos r/, by Cy dy es decir, se expresa como unión de conjuntos dos a dos disjuntos, así:
s nT-MU^UWUW;por otra parte, en la hipótesis hecha para definir la función p: S -*■ R, es
P (S)
p(srvr) + p(snu)=Ps(T)+Ps(U). (40;
P(S)4 4/36 p (S fl T)10 ~ 10/36 _ ?7(S]“Ps (T) = — 4.4 Hemos visto que si el espacio de re
sultados E es finito, el espacio de probabilidadEsta igualdad sugiere la siguiente defi
nición general:Definición. Dado en un espacio de pro
babilidad (E, S, p) un evento S con probabilidad no nula (p (S) =!= 0), se llama probabilidad condicional de un evento T en la hipótesis S al cociente
lP(W )=P(W)==p(M)=p(W)=-^r,36 (E, P (E). p),
cuyos eventos son todas las partes de E, queda determinado asignando a cada punto una probabilidad ^ 0 de modo tal que
1. En este caso, dado SCE p (E) =!- 0, el espacio de probabilidad
(E, P (E), ps)
queda determinado asignando probabilidad 0 a todo punto del complemento S’, y multiplicando las de los puntos S por l/p(S).
Ejemplos. 1. En la figura 16 esta representado el espacio de probabilidad (G, P (G), ps). A cada punto de S’ corresponde probabilidad 0, y a todos los pun-
de S la misma probabilidad
y entonces resulta (35) como consecuencia del axioma 5, así:
V (S n T) „ p (.¡a}-) + p (-¡bf) -¡
+ p(W) + P(W) - +•su suma sea conI
(34) P(SHT)(36)Ps (T) =36
P(S)4.2 Supongamos ahora que ya sabemos que se ha verificado el evento S, que el resultado —por lo demás desconocido— (r,n), pertenece a S:
(r,n) c S,(la suma r + n es ^ 5), y, con esta información, queremos calcular la probabilidad del evento T. Esta probabilidad se llama probabilidad condicional de T en la hipótesis S, y se indica ps (T).
Los resultados posibles son ahora sólolos 10 de S (fig. 16), y de entre ellos, los favorables son los 4 de S fl T, de modo que
4.3 La funcióno sea
(37)ps: S -*• Rdada por (36) se llama función probabilidad condicional relativa a la hipótesis S. Esta denominación se justifica debido a que la función (37) es una medida de probabilidad. Se tiene, en efecto, este teorema fundamental:
Teorema. Dado en un espacio de pro- balidad
tosV (S n T) = ~ 1(35) = 1/10.(1/36).36’ 10/36
2. Al espacio de resultados F considerado en 1.7 (ver fig. 4) corresponde el espacio de probabilidad (F, P (F), p) en
pues hay 4 casos favorables sobre 36 ido- síbles. (38)(E, S, p)
evento S con p (S) =!= 0, la función pro-un26
27
i
5.3 La condición para que el evento V independiente del evento U, o seael cual se asigna a cada punto una proba
bilidad de acuerdo con las dos primeras líneas del cuadro siguiente, en el cual la tercera fila da las probabilidades para el espacio (F, P (F), ps) siendo S el conjunto de los resultados pares, S=*¡ 2,4,6,8,10,12}-, de probabilidad p (S) = 18/36:
Punto: 2 3 4 5 6 72 3 3 4 5 6
36 36 36 36 36 36
1/18 0 3/18 0 5/18 0
8 9 10 11 125 4 3 2 1
36 36 36 36 365/18 0 3/18 0 1/18
En la figura 17 se representan ambos espacios de probabilidad de acuerdo con la convención gráfica dada en 3.3.
(F, P (F). p)(F, P (F), p8)
yr r~-1 P(sriTnu) — »(S).p(T).p(u). m- * sea/wx p(unv)
p (V) = Po (V) = (p(U)=izO), 5.5 De aquí resulta que si tres eventos son independientes, lo son dos a dos.c
La recíproca no vale, como la muestra este ejemplo de S. Bernstein. Tengamos en una urna 4 bolillas con las marcas
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1), y supongamos que la probabilidad de extraer una bolilla dada es la misma para todas, y por tanto Va. Entonces los eventosS = -i (a,b,c) | a = 1} = ] (1,0,0), (1,1,1)T = \(a,b,c) | b = l\ = -{(0,1,0), (1,1,1) lU = -j (a,b,c) | c = 1} = -j (0,0,1), (1,1,1)},
tienen la misma probabilidad (1/4)4-(1^)=: = %:
wr
puede escribirse en esta forma simétrica:P(unv) = P(U).P(v). (4i)
Es preferible, entonces, dar una definición diferente (más amplia) de independencia, eliminando la restricción p(U) 0 y basándola en (41):
Definición 1. El evento V se liorna independiente del evento U si vale la igual- dad (41).
De la simetría de (41) resulta:Corolario. La independencia de even
tos es simétrica, es decir: V independiente de U implica U independiente de V.
Cuando sea V independiente de U (y por tanto U independiente de V) diremos simplemente que U y V son eventos independientes (entre sí):
Definición 2. Dos eventos U tj V se llaman independientes si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades.
:4
r ♦vv
VT -t / ^(¿/ f---- V— *-----f
— s------5------ +•p ■
p« ; : lTunto:(Fig. 1S)
En este caso, la hipótesis U no cambia la probabilidad del evento V, por io cual diremos que el evento V es independiente de U.55.2 Análoga conclusión se obtiene para el suceso
ipp-
1P(S) = = P(U) = j (44)
Por otra parte, essriT =tíiu = uns =
= s n t n u = •{(i,i,i) kv entonces:p (s n tj = p (t n u) = p (u n s) =
= p (s n t n u) = 1.Con (44) y (45) se verifican las igual
dades (42), de modo que los eventos S, T y U son independientes dos a dos, pero no se cumple la igualdad (43) y entonces S, T y U no son indepenclientes.
(CONTINUARA)
Si varios eventos U„...,U_ son indepen- todo subconjunto de J U,f...,U., \ .
■
fnnrpM: i -* .i ? : , * <>5 ......r-----I
O •- 5.4 El concepto de independencia se generaliza a más de dos eventos. Diremos que varios eventos U,, U2, ..., U„ son independientes si la probabilidad de toda intersección formada con ellos es igual al producto de las probabilidades de los tos intersecados. Por ejemplo, los eventos S, T y U son independientes siV (S n T) = p (S) . p (T),P (T n U) = p (T) . p (U), p(uns)=P (U) . P (S),
4O O- (45)'
(Fig. 17) "ir -rt~4~ü ¡ ! g—t—rJi -4-5. Independencia.5.1 Vimos en 4.2 que para los eventos S y T de la figura 16 se tiene p(T)=!=ps(T), es decir, la probabilidad de T cambia con la hipótesis S.
Si en cambio consideramos los sucesos
U = \(r,n)<G\r^3}
V = ((r,)i) «G I r = n¡- (Fig. 18), vemos que
even-í !i í(Fig. 19)
W = -j (r, )i) t G | u>5¡-, con respecto a U (fig. 19). Es
(•-) Más general: dientes, lo son los de(42) 1
\(pero el descubrimiento queda enton
ces librado al azar).FRECHET ha mostrado, hace mucho
tiempo, los desastres provocados en la enseñanza por la confusa mezcla de lo abstracto y lo concreto. Si el maestro tiene clara idea del método axiomático, sabrá hacer pasar a los alumnos de un plano al otro, de la observación a la axiomatización, de la deducción a partir de axiomas de la estructura a las aplicaciones, sin que la acción en la realidad — la observación — venga a interferir erróneamente y a atravesarse sobre la acción en el dominio abstracto — la deducción.
p (W) = 12/36 = 1/3, p (u n w) brir(Vione de la pág. 17)
vcstigación matemática. El malentendido inicial reside en la confusa mezcla de realidad y de esquematización al comienzo de los estudios. No se ha distinguido suficientemente la realidad observada y el esquema construido o, aun mejor, extraído de esta realidad. Sólo se puede razonar sobre el esquema, y puesto que es sólo un esquema, sólo por el razonamiento se puede extraer una propiedad nueva. Sobre la rea 1- dad, por el contrario, no se puede razonai, puesto que los "parámetros” son numerosos y están confusamente entremezclados, y sólo por observación se los podría c escu
6/36 1y Vv (W) = -
3 ’P(U) 18/36y entonces W es independiente de U. En este caso la independencia es más evidente, pues la verificación por un resultado (r, ;i), del evento U, depende sólo de r (es decir, del número de puntos obtenido con el dado rojo), y la verificación del evento W depende sólo de n (es decir, del numero de puntos obtenido con el dado negro).
V (V) =~ = - y pu (V) =36 6
p(u n V) 3/36 1P (V) 18/36
(En fig. 18 se lia representado, con la convención gráfica de 3.3, el espacio de probabilidad (G, P (G), pu). En él se calcula directamente pc (V) = 3/18 = 1/6).
6
(3) La. independencia así definida se llama independencia aleatoria o estocástica ("en probabilidad"). Como ésta es la única independencia que se considera en el Cálculo de probabilidades, omitimos los calificativos. 29
28
|
im.c.d. (18, 24, 30) = 6
18 D 24 D 30 = 6Observación: Se obtendrá el mismo re
sultado si se efectúa la intersección del primer conjunto con el conjunto intersección de los dos últimos. Por tanto, la operación máximo coman divisor es asociativa, esto es:
números se denomina menor múltiplo común.
Así, en el ejemplo anterior, el menor múltiplo común de los números 4 y 6 es 12 (el menor elemento del conjunto intersección).
La operación que permite determinar el menor múltiplo común de dos (o más) números, es denominada mínimo comúnjnúl- tiplo.
Luego:
Máximomínimo
ócomúncomún
divisor y
múltiolo-(1S D 24) D 30 — 18 D (24 D 30)
Verifique esta igualdad.Nota importante: Se ha aprendido el con
cepto de la operación máximo común divisor, vale. decir, que tipo de operación es.
La técnica de cálculo para efectuarla se enseñará posteriormente, cuando se conozca la operación y sus propiedades. No debe preocupar, pues, la forma en que se determina el máximo común divisor de “núme-
grandes” usando la intersección. Lo mismo ocurre, por ejemplo, al estudiar la multiplicación. Allí se obtiene 4 X 5 = 4 -j- 4 -f- 4 -|- 4 4 = 20 usando el concepto de la operación. Pero 835 X 117, por ejemplo, se calcula mediante la técnica de cálculo conocida por todos desde la escuela primaria.3. Múltiplos comunes: intersección de
conjuntos.Con excepción del cero, que es múltiplo
de todos los números, ¿cuál es el conjunto de los múltiplos de 4? Es -j4;8;12;16;20,... ¡- Nótese que se trata de un conjunto infinito.
¿Y el conjunto de los múltiplos de 6? Es ■{6; 12; 18; 24; 36,. . ^
Los múltiplos comunes de 4 y 6 son los que pertenecen al mismo tiempo a los dos conjuntos y, por tanto, forman el conjunto intersección:•¡4; 8; 12; 16;.. .} f) {6; 12; 1S; 24;^ =
- U2; 24;... ¡-Como se observa, el conjunto de múlti-
píos comunes es infinito, lo que hace imposible, la existencia del “mayor múltiplo común”; existe, en cambio, el menor múltiplo común
OSVALDO SANGIORCI (San Pablo)
Notación: m.c.m. (4; 6) = 12 4 M 8 — 12
Comúnmente se comete el error de confundir mínimo común múltiplo, que es una operación, con el menor múltiplo común, que es *el resultado de esa operación.
Consideremos otros ejemplos de la operación m.c.m. en el universo de los números naturales:
a) Determinar el menor múltiplo común de los números 4 y 5.
Tenemos:
1. Divisores comunes.
¿Cuáles son los divisores de 8? Son 1; 2; 4; 8, esto es, los elementos del conjunto \ 1; 2; 4; 8
¿Cuáles son los divisores de 12? Son los elementos del conjunto \ 1; 2; 3; 4; 6; 12
¿Cuáles son los divisores comunes de 8 y 12? Son los que pertenecen al mismo tiempo a los dos conjuntos, esto es, los que forman el conjunto \ 1; 2; 4 \f denominado conjunto intersección de los dos conjuntos dados. Luego:■{ 1; 2; 4; 8 n ^ 1; 2; 3; 4; 6; 12 J- = *{1;2;4¡-
2. Operación: máximo común divisor.Resultado: mayor divisor común.
De los divisores comunes de dos o más números tiene mucha importancia el mayor de ellos. Así, en el ejemplo considerado de divisores comunes: -j 1; 2; 4 el mayor de ellos es 4 (elemento mayor del conjunto intersección).
La operación que permite determinar el mayor divisor común de dos (o más) números, se denomina máximo común divisor.
Notación: m.c.d. (8; 12) = 48 D 12 = 4
Comúnmente se comete el error de confundir máximo común divisor, que operación, con el resultado de ción.
Consideremos otros ejemplos de la operación m.c.d. en el conjunto universo de los números naturales.
a) Determinar el mayor divisor comón de los números 12 y 18.
Tenemos: divisores de 12 = \ 1;2;3;4;6;12 \
divisores de 18 = *¡l;2;3;6;9;18‘l divisores comunes:
;\h 2; 3; 4; 6; 12\ fl \l; 2; 3; 6; 9; 18^ = = -¡1; 2; 3; 6¡-
12 D 18 = 6i
■
Luego
b) Determinar el mayor divisor común de los números 4 y 5.
Tenemos: divisores de 4 = -jl; 2; 4J- divisores de 5 = -jl; 5}- divisores comunes:
ih 2; 4} n \1; 5} =4 D 5 - 1
!::¡'•
ros
i'i
!Múltiplos de 4 = *{4;S;12;16;20;24;...¡- Múltiplos de 5 — 5;10;15;20;25;... j- Múltiplos comunes:
•j 4;S;12;16;20;24;... }■ fl {5;10;15;20;25;... \ —
= <¡20; 40;... >20 es el menor múltiplo común.
Luego:
LuegoObservación: Otra manera de decir que
dos números son primos entre sí (4 y 5, por ejemplo)' es decir que su mayor divisor común (D) es 1.
Ic) Determinar el mayor divisor común de los números 18; 24 y 30.
Tenemos:divisores de 18 = -¡ 1;2;3;6;9;18¡- divisores de 24 = -j 1;2;3;4;6;S;12;24¡- divisores de 30 = -¡1;2;3;5;6;10;15;30¡-
Inicialmente se determina la intersección de los dos primeros conjuntos, esto es, el conjunto de divisores comunes de 18 y 24:
■{ 1;2;3;6;9;18 }• fl \ 1;2;3;4;6;8;12;24¡- «== -¡1; 2; 3; 6¡-
Se continúa hallando la intersección del conjunto obtenido con el tercer conjunto dado:
(4; 5) = 20m.c.m.4 M 5 = 20 '
• í Observación: Los números 4 y 5, primos entre sí, tienen por menor múltiplo común a su producto (4.5 = 20).
b) Determinar el menor múltiplo común entre 4; 6 y 8.
óTenemos:
múltiplos de 4 = 4;S;12;16;20;24;2S;... }- múltiplos de 6 = ■{ 6;12;1S;24;30;36;... }■ múltiplos de 8 = -{S;16;24;32;40;... }-Determinemos primero la intersección de
los múltiplos comunes de 4 y 6:■j4;S;12;16;20;.. . } fl ] 6;12;18;24;30;. ..} =
= *{12; 24;...¡-Continuemos hallando la intersección del
es una esa opera-
4. Operación: mínimo común múltiplo. Resultado: menor múltiplo coman.
El nombre ya lo está diciendo: el menoi de los múltiplos comunes de dos o masU;2;3;6;¡- fl {1;2;3;5;6;10;15;30¡- -
= *{1; 2; 3; 6} 3130
meros no altera el mayor divisor mún entre ellos.
Ej.: 4 D 6 = 6 D 4.3. ELEMENTO NEUTRO: Es 0
Ej.: 4 D 0 = 0 D 4 -= 4.4. ASOCIATIVA.
Ej.: (4 D 6) D 8 = 4 D (6 D 8).Observación: Cuando figura en una apli
cación el elemento neutro cero juntamente con otros números, se le puede despreciar en la operación m.c.d.
Ej.: m.c.d. (8;6;0;12) =b) Propiedades de la operación
1. CLAUSURA: El menor múltiplo comúnde dos números naturales cualesquiera es siempre un número natural.
Ej.: 4M6 = 12.2. CONMUTATIVA: El orden de los nú
meros no altera el menor múltiplo común entre ellos.
Ej.: 4 M 6 — 6 M 4.3. ELEMENTO NEUTRO: Es 1
Ej.: 4 M 1 = 1 M 4=4.1 es divisor de todos los números natu
rales y, por tanto, de 1.4. ASOCIATIVA.
Ej.: (4 M 6) M 8 = 4 M (6 M 8).Observación: Cuando figura en una apli
cación el elemento neutro 1 juntamente con otros números, se le puede despreciar en la operación
c) Propiedad, distributiva (pie relaciona las dos operaciones.
1. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE D CON RESPECTO A M.
Ej.: 8 D (4 M 3) = (8D4) M (8 D 3).2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE M
CON RESPECTO A D.Ej.: 8 M (4D3) = (SM4) D (8M3).Observación: Observe que la propiedad
distributiva vale tanto de D para M como de M para D.
conjunto obtenido con el tercer conjunto, se obtiene:
■j 12;24;...}fl ■J8;16;24;32;„. [■ = ^24;48;...¡- El menor múltiplo común es 24.Luego: m.c.m. (4; 6; S) = 24
4 M 6 8 — 24
Suma y resta de segmentosco-
pucs. DE CECCO (Buenos Aires)
0,0, llevando a A sobre 0, de manera queel A’B’ obtenido es una copia (calco) delAB. Se repite la operación con CD, pudien- do ocurrir que: 1) D’ esté entre A’ y B’; 2) D’ = B’; 3) B’ esté entre A* y D\ En el
, I—I - I—Isegundo caso, se dice que A’B’ = C’D\
Esto define la relación sobre segmentos cerrados.
Establecemos, además, que:<—i ^ i—!:—) ~ i—i (—)AB = AB; AB = AB; AB = ABAhora la congruencia está definida para
cada par de A y se comprueba que es relación de equivalencia. IndicaremosAB a uno cualquiera de los segmentos citados.
Podemos ahora hablar, sin temor de confusiones, de [AB] que es un elemento de
ó1. Una relación de equivalencia entre
elementos de un conjunto A es una relación simétrica, reflexiva y transitiva.
Dada una relajón de equivalencia en A, se puede determinar el conjunto de clases de equivalencia, la que resulta ser una participación, do A.
Si a £ A. indicaremos con [a] a la clase de equivalencia de a y llamaremos B al conjunto de tales ciases (que resultan ser subconjuntos de A).
Por tanto: a s [«],* [«] £ B;[a] CA; b & \a | b —- r/; .etc., indicando con ^ el símbolo de laequivalencia.
2. Sea A el conjunto de los segmentos delplano, abiertos, cerrados o semiabiertos; los
(--- )!—| ( 11----- )designaremos AB; AB; AB; AB, respectivamente.
En consecuencia, podemos escribir I—I «—)AB-M,B¡- = AB;AB=ABU <¡B¡-
==ab* U •{ A J-
=aFu^a,b¡-AB—¡A¡- = Ab'áB-W = AB
La relación de equivalencia que nos intrusa, en este caso, es la congruencia (=). Intuitivamente, inferimos que dos segmentos son congruentes cuando se puede transportar uno sobre otro de manera que coincidan sus extremos.
Observación: La operación mínimo común múltiplo es también asociativa, vale decir:
(4 M 6) M 8 = 4M(6M 8) Verifique esta igualdad.Nota: Vale la misma importante observa
ción hecha para la operación máximo común divisor.
m.c.d. (S;6;i2) m .c.m.
Se ha aprendido el concepto de la operación mínimo común múltiplo. Luego se verá la técnica de cálculo de esta ción.5. Propiedades estructurales de las opera
ciones m.c.d. y m.c.m.
I—iopera-j
unaconSe acaban de estudiar dos operaciones,
m.c.d.•;1y m.c.m., cuyos conceptos fue-
fijados mediante el lenguaje de intersección de conjuntos.ron
!Es natural —como acontece con las de
más operaciones estudiadas —pues.
que operando con números mayores que los presentados en los ejemplos se conozca una técnica de cálculo que facilite la obtención de los resultados de esas operaciones. En el de las operaciones m.c.d.
i—l1—]B igual a [ÁB], [ABJ, etc.
Se ve de inmediato que la definición no depende ni de la recta particular ni de lospuntos. __
3. A cada clase [ABJ se le puede hacer corresponder un número real no negativo y sólo uno.
Suponiendo conocida la recta numérica, consideremos el 0 (cero) como el origen0,, de la Fig. 1. Entonces, dado AB, el B’ obtenido mediante esa construcción, corresponde a un número real no negativo.
Si CD e [AB], entonces D* = B’ (porque i—Ul—ICD = AB, y ésta es precisamente la definición de congruencia).
Por razones de comodidad, podemos elegir el 0’ correspondiente del lado de los números positivos, elijámoslo, por ejemplo, co-
el punto correspondiente a 1 (Fig. 2).
casoy m.c.m., esas
técnicas, basadas en la descomposición en factores primos, conocidas desde la escuela primaria, serán estudiadas con posterioridad. Antes, cabe una pregunta: Las operaciones m.c.d. y m.c.m., definidas en el conjunto universo de los números naturales, ¿gozan de las mismas propiedades estructurales —clausura, conmutativa, elemento neutro,... — válidas para la adición y la multiplicación?
1—)
m.c.m.
i
La respuesta es SI; también gozan de las mismas propiedades estructurales. Obsérvese: dA
Pa) Propiedades de la operación m.c.d.1. CLAUSURA: El mayor divisor comón
de dos números naturales cualesquiera es siempre un número natural.
Ej.: 4 D 6 = 2.2. CONMUTATIVA: El orden de los nú-
<*/«íP'-O*q.A'oC* mo
_ __ (Fig. 1)Sean Ab' y CD dos segmentos cerrados,
fl una recta; 0t y 0'¡ puntos distintos ^ de esa recta (Fig. 1). Se transporta AB sobre
<hO ’ÍTbi ÍF
(Fig. 2)32 33
-
A LA EXPERIENCIA DEL AULAPHemos visto que a cada [ABJ le corresponde un número real positivo. Pero, si[AB] =<= [EF], entonces, a [AB] y [EF] les corresponden número distintos.
En efecto, si F’ = B’, considerando a EF
£
AV-A' Numeración binariaB'-C D' c$
(Fig. 4)Denominaremos [AB] + [CD]) al ele
mento [A’D’] YOLANDA MAZZANTINI DE GARCIA (Buenos Aires)
con símbolos la operación reaizada y, luego de algimas tentativas, se llegó a:
123 “$ 1” = 12 “$ 10” + 3 “$ 1”123 = 12 X 10 + 3
Se propusieron luego cambios con sumas mayores, trabajando ahora sólo con símbolos. Durante el cambio se hicieron las siguientes observaciones:1) Se necesitan 10 símbolos para represen
tar los números.2) 10 unidades de un orden forman 1 uni
dad del orden superior siguiente.Dado el nombre del sistema y ejercitados
los alumnos en la escritura de números y la descomposición en unidades de diversos órdenes, se propusieron ejercicios del siguiente tipo:
¿Cuántas unidades simples representa el símbolo 4 en las siguientes expresiones: 14; 249; 1452, 4738?
Se llegó así a la conclusión de que las unidades simples que representa un símbolo en el sistema decimal dependen de la posición que ocupa.
El sistema de numeración binaria se introdujo de manera análoga al decimal, trabajando con el sistema de monedas de un país imaginario, cuyas piezas se materializaron con figuras geométricas de cartulina, de las cuales cada alumno poseía un juego. Las monedas eran círculos, triángulos, cuadrados, rombos y estrellas, y la equivalencia fue establecida por la profesora de la siguiente manera:
como representante de [EF], tendremos:ET = ATB’; EF = A?B!; [EF] = [AB]
contrariamente a la hipótesis; luego, a clases distintas les corresponden números distintos.
Finalmente, es obvio que a todo número real positivo o nulo le corresponde una clase de B, pues dado un número real <x, sea Ooc el punto correspondiente en la recta numérica. Luego [00 a ] es una clase de B y, por tanto, le corresponde el número a. Se puede establecer así una biyección entre las clases de [AB] y los números reales positivos.
Obsérvese que a [AA] le corresponde 0 y, además, que:
Obsérvese que A’D’ =) [A’B’UC’D’J Podemos escribir, pues: En años anteriores se introdujo la
señanza del sistema de numeración binaria en el curso ele primer año presentando directamente símbolos y reglas. Se observó entonces que los alumnos no vinculaban este sistema con el decimal, limitándose a la aplicación mees nica de reglas. Durante el curso lectivo de 1966 se decidió intro- duciif el tema empleando material concreto, con la participación activa de los alumnos en el descubrimiento de los conocimientos.
Para ello, una vez alcanzado el concepto de número natural por equipotencia de conjuntos, se presentó la necesidad de representar los números naturales mediante símbolos y se introdujeron, con el romano, los sistemas de numeración. Aparecieron, entonces, dos características de todo sistema de numeración:1) Necesidadl de un conjunto de símbolos,2) Necesidad de un conjunto de reglas
para combinarlos.Una vez ejercitados los alumnos en la
escritura de números en este sistema, se propusieron ejercicios como los siguientes para algunos símbolos:
¿Cuántas unidades simples representa el símbolo X en las siguientes expresiones: LX - XL - XCIII?
Se llegó así a la conclusión de que en el sistema romano las unidades simples que representa un símbolo ño dependen de la posición que él ocupa.
El estudio del sistema de numeración decimal se encaró valiéndose del siguiente procedimiento: se presentó a los alumnos un conjunto de monedas de $ 1 y se anunció que se iba a cambiar esas monedas por otras de mayor valor, pero que en el cambio intervendrían sólo monedas de § 10 y billetes de $ 100, de $ 1.000, etc.
El conjunto de monedas presentado de $ 123. La profesora cambió el dineio y quedó con 12 monedas de $ 10, sobrando 3 de $ 1. Se propuso entonces representar
en-[AB] + [CD] = [Á’B’UC’D’J
cuando A’, B’ C’, D’ están dispuestos como en la Fig. 4.
Obsérvese que cuando se elige otra recta
■
i
a2 y otros puntos 02 y 0’2 y otros represen- i‘
tantes cerrados [AB], [CD], por ejemplo 1—1A2B« y C2D2, resulta fácil ver que:
I—I
I—I
I—I I—I I—IA 2B 2 U C’2D’2 = A’B’ U CD’ si A’o, B’2, C’2, D’o están dispuestos como en la Fig. 4.
A- -P. . . , !---- ) (---- 1 (---- )AA = <( A AA = AA = A A = 0 k t
Podemos convenir que [ 0 ] =0, lo que nos proporciona un método para compararlas clases [AB]. Diremos que:
[AB] ^ [CD] *=* [AB] - cc;[CD] -p y a
Nota sobre la recta numérica
(Fig. 5)Por tanto, la suma entre segmentos está
bien definida, pues los resultados sólo congruentes entre sí, esto es, sólo son iguales sus clases.
5. Resta de clases de segmentos.Se define de manera análoga.Si [CD],
—iOj.A’.C* i
son
Se trata de una recta arbitraria, fija, del plano, y se supone que existe una correspondencia biyectiva entre los números reales y los puntos de esa recta, de tal manera o ue si « 0 P 0„ entonces 0 está
a /3a la derecha de 0 « < P. Por comodi-apodemos llamar 0 al 0' (Fig. 3}.
[AB] e B, del jrárrafo 2 se
deduce que [AB] ^ [CD] o bien [CD]^[AB], (pues si [AB] ^ -+ « y [CD] -*■ p, entonces, o bien oc > P o bien p ^ ce.
Esto se puede hacer de la siguiente manera: Dados AB, CD, se toma a, (h, 0’, y se transporta AB sobre 0fi\.
Por la misma definición de [AB]^[CD], resulta que D* está entre A’, B\
f
'íiolot %cC_*Oec
(Fig. 3)4. Definiremos ahora la suma de segmen- '
!tos.Consideramos luego el segmento D’B’ y
escribimos: ySi [AB], [CD] eB, sean "a,0S,0*1, AB, CD representados en la Fig. 1.
[AB] - [CD] = [D’B]Claro es que: AB — CO = D’B’^ I—i ^ —Pero como D’B’ = D’B’, resulta que:
[AB] - [CD] = [iVB* - CD’]
Se transporta AB sobre 0X 0\ deque A’ = 0 y luego se transporta CD acontinuación de A* B* de manera que B’=C* (Fig. 4).
era Imanera7 i ■O
35(Continúa en le pág. 42)34
¿Cuántas unidades simples representa el símbolo 1 en las siguientes expresiones: 1; 10; 100; 1.000?
Se llegó a la conclusión de que el número de unidades simples que representa un símbolo depende de la posición que ocupa.
Por comparación con el trabajo anterior se concluyó que:
El sistema decimal y el sistema binario son posicionálcs.
El sistema romano no es posicional.Los conocimientos adquiridos sobre el
sistema binario no fueron abandonados durante el resto del curso. Se lo empleó en ejercicios como los siguientes:1) Recta numérica usando el sistema binario.2) Coloque uno de los signos >, <, =,
según corresponda, entre los siguientes pares de números: 11010dos y 26;
y lOlOldos3) Dados A = -Jx/x e N A 3 < x ^ S\;
B = -jx/x £ N A 10J(los ^ x < 1001Determinar A f) B y definirlo por extensión en ambos sistemas.
4) Calcular x en las siguientes expresiones: x-101(los = 1101„oa ; x: 100dos = 11
5) Definir por extensión:A = {x/x eN A x + 10doa < llldo8
6) Resolver la siguiente suma algebraica: 11(103 d" llldos — lOlOdos ~'r
n0do8 + íoi7) Aplicar la propiedad distributiva
solver:(HOdos + 1001dO8) ( - lldos) =
S) En divisibilidad se usó para hacer la observación de que los criterios que se
habitualmente sólo valen para números escritos en sistema decimal, presentando el siguiente ejercicio:a) Definir por extensión
A = -jx/x e N, x = 3 A x ^20}-b) ¿Cuál es el criterio para reconocer
si un número es divisible por 3?c) Defina por extensión A, pero es
criba sus elementos en el sistema binario.
d) El criterio enunciado en b) ¿le permite reconocer que estos números son divisibles por 3?
Comenzó entonces el juego del cambio, que los alumnos realizaron inclividualmen-
onee O-1O0Q1 Al OSe practicó con otros números y se ob
servó:1) En cada paso puede sobrar 1 pieza o
no sobrar ninguna; entonces, con sólo 2 símbolos, 0 y 1, se pueden representar todos los números.
2) Dos unidades de 1 orden forman 1 del orden inmediato superior.
Dado el nombre del sistema, se encontró la manera de escribir los números hasta veinte.
El procedimiento para transformar al binario un número escrito en el sistema decimal, resultó de la observación del mecanismo del juego: reemplazar una figura por la siguiente significa dividir por 2 y tomar el resto.
También resultó del juego del cambio el procedí miento inverso:
lllldos — ?Se observó que:
1) Los círculos permanecen;2) Cada triángulo permite obtener 2
círculos;3) Cada cuadrado permite obtener 4
círculos;4) Cada rombo permite obtener 8 círculos.
cuadrilátero?es unte:
Denis CRAWFORTH (Inglaterra)
tiene cuatro puntos y cuatro líneas”. De pronto, surgió Juan con un juicio perfectamente claro: "Debe dibujarlo sin levantar la tiza del pizarrón” Volví a dibujar mi figura obedeciendo su instrucción. Había tranquilidad, muchos de los alumnos estaban pensativos y sopesando lo que había ocurrido. Entonces, habló David: “Debe hacer lo que dijo Juan, pero también debe terminar donde comenzó. Nuevamente silencio. Desafié a cualquiera de la clase a que tomara una tiza y siguiera la instrucción de David.
Silvia se adelantó e hizo su dibujo.
1La clase consiste de unas tres docenas de niños y niñas del primer año de clase secundaria no seleccionada. No los conocía aún. Su profesora habitual me había invitado a trabajar con ellos durante una clase que ella presenció: Conversé con ellos y me dijeron que habían estado haciendo ‘cuadriláteros”. Les pregunté qué era un cuadrilátero, y algunos niños me dijeron que era una cosa con cuatro puntos, y otros que tenían cuatro lados. En medio de la confusión, resolvieron que tenían cuatro puntas y cuatro lados.
‘¿Necesitábamos saber tanto?”, pregunté. Señalé cuatro puntos en el pizarrón.
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*(i,--; Hay un relajamiento general de la aten
ción. Claramente, el dibujo de Silvia es generalmente aceptable. Ahora los desafío a representar diferentes cuadriláteros sobre los mismos cuatro puntos. Siguiendo la instrucción que condujo al diagrama aceptable anterior. Otro largo intervalo. Finalmente, se adelanta un muchacho, toma una
de color diferente y dibuja la figura 4.
Les pregunté si ahora conocían el cuadrilátero.
Había un ambiente general de confianza y tranquilidad en la clase; sí, sentían claramente que conocían el cuadrilátero y que estaba claramente definido. Invité a cualquiera de ellos a poner ahora los cuatro lados. Titubearon algo, probablemente porque no me conocían. Antes que se rompiera el hielo aproveché para dibujar ñus propias cuatro líneas. Dibujé las cuatro líneas como lo muestra la figura 2.
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ii usan
Con otros ejemplos, se logró obtener:!☆ 10 ID 1 A ÍO =
ÍO + 1 X 20 + 1 X40 + 1 X X 80 + 1 x 160 = 310 = 31Hecha la correspondiente ejercitación se
propuso:
violenta controversia. Es evidente que las opiniones están firmemente divididas. Están los que sostienen apasionadamente que el nuevo diagrama no re-
un cuadrilátero y los que sien- cuadrilátero puesto que se
Hay una¡
diez
Gran conmoción: ‘‘Eso no es un cuadrila tero.” Hubo mucha conversaron entre ellos; algunos muchachos decían:
presenta ten que es un
3736
i
han seguido las instrucciones dadas por David. No intento hacer de árbitro, simplemente trato de facilitar la exposición de puntos de vista y opiniones.
Uno o dos de los opositores corren al pizarrón y señalan con el dedo el diagrama ofensivo. “Mire, dice uno, no puede ser un cuadrilátero, hay un quinto punto’ — señalando el medio. Otro pasa sus dedos sobre las líneas. “Ve, dice, hay seis líneas en lugar de cuatro”. Otro objeta: ‘Son dos triángulos, no un cuadrilátero”. Un opositor más sofisticado vuelve a la
su dedo dos diagonales. “Pero este nuevo no puede tener diagonales”.
Mientras se conversa sobre estos tos, menos niños objetan el llamar cuadrilátero a la figura 4. Sin embargo, quedan unos pocos que sostienen vigorosamente su objeción y están dispuestos a desafiar la conformidad general de sus pares. Aún no intento hacer de árbitro, y extrañamente insisten mucho en solicitar un juicio autorizado. Siendo que se ha llegado a un punto en que, aunque no haya acuerdo general, ha habido cambios de opinión y ahora hay mayor comprensión entre la mayoría de los alumnos sobre los dos puntos de vista,
una especie de aceptación condicional de cada uno de ellos o aún de ambos, estando pendientes de las evidencias posteriores. Sin embargo, unos pocos permanecen inexorables en su objeción a la figura 4, y parece que es esta violencia la que despierta reacciones en los que sentir ya la necesidad de violentamente.
Invito a la clase a dibujar otro cuadrilátero diferente sobre los mismos ___puntos. Surgen proposiciones condicionales. “Si acepto la figura 4, entonces podría hacer otro” —esto, de un muchacho que se había opuesto violentamente. Se adelanta, toma una tiza de color diferente y dibuja la figura 5.
Para la clase, esto parece agotar las posibilidades, puesto que de ellos no surgen más ofrecimientos. Para llenar el hueco, los invito a dibujar las diagonales, pero como hasta ahora se ha usado un solo diagrama y las figuras han sido superpuestas unas sobre otras en diferentes colores, la clase decide que ahora deben dibujarse separadamente; varios de los alumnos dibujan entonces las diagonales. Termina la
LOS FUNDAMENTALES
Reflexiones *L. WITTGENSTEIN
hora de clase y despido a los alumnos.La profesora se me aproxima y de in
mediato objeto que yo haya despedido a los alumnos sin decirles quién tenía razón. Evidentemente, no se senía a gusto con las figuras 4 y 5, y dijo que a ella le habían enseñado que la figura 2 era el único euadrilátaero, pero no tenía suficiente confianza para descartar directamente las figuras 4 y 5, diciendo simplemente que ella no las había considerado antes como posibilidades. Me pidió que le dijera directamente si 3 ó 4 eran cuadriláteros o no. Me rehusé y sugerí que podría depender de lo cpie ella quisiera; esto es, sería mejor suspender el juicio y estar entonces en libertad para adoptar uno u otro según las exigencias especiales de la situación particular de la cual surgieran. Por ejemplo, consideramos dos posibilidades: la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero y la figura obtenida uniendo los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero.
1. Está naturalmente claro que el matemático en tanto considera que está realmente “jugando un juego”, no infiere. Porque aquí “jugando” debe significar actuando de acuerdo con ciertas reglas. Y, para él, ya sería algo fuera de mero juego inferir que podría actuar de esta manera, de do con la regla general.
2. ¿Calcula una máquina de calcular?Imagine que accidentalmente viniera al
mundo una máquina de calcular. Luego, que, también accidentalmente, alguien oprimiera sus perillas (o un animal caminara sobre ella) y calculara el producto de 25 por 20.
Deseo decirlo: es esencial para la matemática que sus signos sean también empleados como leyes.
El uso fuera de la matemática y, por tanto, el significado de los signos, es lo que hace que sea matemática el juego de los signos.
De la misma manera que tampoco es unaun cam-
csta criatura como perfectamente imbécil desde otros aspectos.
Llamamos prueba a algo que puede volverse a desarrollar, aunque también pueda ser copiado.
4. Si la matemática es un juego, entonces jugar algún juego es hacer matemática y, en este caso, ¿por qué bailar no es tam- bién matemática?
Imagine que las máquinas de calcular existen en la naturaleza, pero que la gente no puede romper sus cajas. Supongamos ahora que esa gente usa esos artefactos, digamos, como nosotros usamos el cálculo, aunque de eso ellos no sepan nada. Así, por ejemplo, harían predicciones con ayuda de las máquinas de calcular, pero, para ellos, manipular esos artefactos es experimentar.
(¡gura 3 y señala con
asun- acuer-
no
conEsa gente carece de conceptos que noso
tros tenemos, pero ¿qué es lo que toma en su lugar?
Piense en el mecanismo cuyo movimiento vemos como una prueba geométrica (cinemática): es claro que, normalmente, diría de alguien que está probando algo porque hace girar una rueda. ¿No ocurre lo mismo con alguien que hace y cambia arreglos de signos como si fuera un juego, aún cuando el resultado podría ser visto como úna prueba?
Decir que la matemática es un juego se supone que significa lo siguiente: al probar no necesitamos nunca recurrir al significado de los signos, es decir, a su aplicación extramatemática. Pero, entonces, ¿qué es lo que significa recurrir a esto? ¿Cómo puede ser tal cosa de alguna utili-
1. A pedido de la profesora, acepté tomar la clase siguiente. Y cuando entré en ella, Juan, sentado en su banco, levantó sus manos. Tenía un elástico sostenido por el índice y el pulgar de cada mano, y cuando estuvo seguro de mi atención, lentamente hizo girar su mano derecha de
que el cuadrilátero formado por el se transformó del tipo de la fi
gura 3, a través de una cantidad de cuadriláteros alargados, en el cuadrilátero de la figura 4. El resto de la clase apreció la demostración de Juan, pero el muchacho que se rehusó a incluir la figura 4 su noción de cuadrilátero objeción.
2. Durante la primera lección, yo había numerado los cuatro puntos de cada diagrama para facilitar la exposición verbal y los comentarios de los alumnos. Durante la segunda lección, se aprovechó este detalle en un intento de descubrir cómo las 24 permutaciones de 1, 2, 3 y 4 correspondían a los diversos cuadriláteros hechos.
inferencia lógica el que yo haga bio de una formación a otra (digamos, de un arreglo de sillas a otro) si estos arreglos no tienen una función lingüistica aparte de esa de la formación.
3. Pero ¿no es verdad que alguien sin ninguna idea del significado de los símbolos de Russell podría volver a desarrollar las pruebas de Russell? Y no podría asi, en un sentido importante, probar si eran correctas o no? , ,
Una máquina de calcular humana podría ser enhenada de manera que cuando se le mostraran las reglas de inferencia, acaso ejemplificadas, leyera las pruebas de un sistema matemático (digamos, el de Russell) y afirmara con la cabeza después e eada conclusión correctamente extraída, pero sacudiera su cabeza ante iui error y dejara de calcular. Uno podría imaginar a
no seno parecen expresarse tan
cuatro maneraelástico
enmantuvo su
=cir¿Significa salir de la matemática y volver
a ella nuevamente, o significa pasar de un método de inferencia matemática a otro?
¿Qué significa obtener un nuevo concepto de la superficie de una esfera? ¿Cómo es entonces un concepto de la superficie
* Ofrecemos estas reflexiones del notable filósofo traducción de Cristina Vordaguor do Banfi.38-
39
de una esfera? Sólo en tanto pueda ser aplicado a esferas reales.
¿Hasta dónde es necesario tener un concepto de “proposición” para comprender la lógica matemática de Russell?,
5. Si es esencial la aplicación que se intenta de al matemática, ¿qué decir de las partes de la matemática cuya aplicación —o, por lo menos, lo que los matemáticos toman como su aplicación— es bastante fantástica? Así, en la teoría de conjuntos, uno está trabajando en una rama de la matemática de cuya aplicación se forma una idea enteramente falsa. Sin embargo, ¿no se está haciendo matemática a pesar de todo?
Si las operaciones aritméticas sólo sirvieran para construir una cifra, su aplicación sería fundamentalmente diferente de la de nuestra aritmética. Pero entonces ¿serían matemáticas estas operaciones?
¿Puede decirse de alquien que aplica una regla de códigos que está realizando operaciones matemáticas? No obstante, ¡sus transformaciones pueden concebirse de manera. Seguramente, podría decirse que está calculando lo que debe resultar al descifrar los símbolos... con tal clave. Y la proposición: los signos... descifrados de acuerdo con esa regla dan..., es una proposición matemática. Como también lo es la proposición de que en ajedrez se puede llegar a tal posición partiendo de tal otra.
Imagine la geometría del espacio cuadri- dimensional construida con el objetivo de aprender algo sobre las condiciones de vida de los espíritus. ¿Significa esto que matemática? Y ¿puedo decir ahora que determina conceptos? ¿No sonaría raro decir que un niño podría hacer miles y miles de multiplicaciones —con lo que se supone que ya puede calcular en el dominio numérico ilimitado? Ciertamente, ésta podría manera extremadamente modesta de expresarlo, puesto que dice “miles y miles” en lugar de “infinitamente muchas”.
¿Puede imaginarse que exista gente que en su vida contidiana sólo calcule hasta 1000 y reserve los cálculos con números mayores para investigaciones matemáticas en el mundo de los espíritus?
“Sea esto aplicable o no a la superficie de una esfera real —lo es a la matemática”— esto hace que nos parezca como si la especial diferencia entre una proposición matemática y otra empírica resida en que mientras la verdad de una proposición em
pírica es aproximada y oscilante, la proposición matemática describe su objeto precisión y absolutamente. Como si, de hecho, la “esfera matemática” fuera fera y pudiera preguntarse, por ejemplo, si había o no una esfera tal o varias (una cuestión digna de Frege).
¿Constituye un malentendido sobre la posible aplicación una objeción al cálculo como parte de la matemática? Fuera de los malentendidos, ¿qué decir de la nieva falta de claridad?
Imagine alguien que crea que los matemáticos han descubierto una cosa extraña, V-l que al ser elevada al cuadrado da -i. ¿No puede, sin embargo, calcular perfectamente con números complejos y aplicar tales cálculos en física? ¿Son menos cálculo? per eso?
un objeto y que no representa a ningún objeto. Pero es interesante cuánto contribuye a este hecho la expresión “objeto ideal”.
6. En ciertas circunstancias podríamos hablar de una fila interminable de bolitas. Imaginemos que tal fila recta e interminable de bolitas equidistantes entre sí; calculamos la fuerza ejercida por todas esas bolitas sobre cierto cuerpo de acuerdo con cierta ley de atracción. Consideramos al número obtenido mediante este cálculo co-
el ideal de exactitud para ciertas mediciones.
La sensación de algo extraño proviene aquí de un malentendido. La clase de malentendido que es producido por un traspié del intelecto —algo a lo que quiero llamar una detención. La objeción de que “no puede aprehender lo infinito” está en realidad dirigida centra la idea de un acto psicológico de aprehensión o comprensión.
Ahora bien, imagine que decimos simplemente: “Esta fuerza corresponde a la atracción de una fila interminable de bolitas que hemos dispuesto de tal y tal manera y que atrae al cuerpo de acuerdo la ley de atracción tal y tal”. O también: Calcule la fuerza que una fila interminable de bolitas de tal y tal tipo ejerce sobre el cuerpo. Por cierto que tiene sentido dar una orden tal. Describe un cálculo particu-
¿Qué le parece la siguiente cuestión? Calcule el peso de una columna constituida por lajas dispuestas una sobre otra, tantas como números cardinales existen; la que está debajo pesa 1 kg. y cada una siguientes pesa la mitad de la anterior.
La dificultad no es que no podamos formarnos una imagen. Es bastante fácil, por ejemplo, formarse algún tipo de imagen de una fila interminable. La cuestión es para qué puede servirnos tal imagen.
Imagine los infinitos números empleados en un cuento de hadas. Los enanitos han apilado piezas de oro, tantas como núme- r°s cardinales hay —etc. Lo que puede
ocurrir en este cuento de hadas mente tiene sentido.
7. Imagine que un satírico hubiera inventado la teoría de conjuntos como un tipo de parodia de la matemática. (Puesto que si una persona puede verla como un paraíso para matemáticos, ¿por qué otra persona no puede verla como una broma?).
La cuestión es la siguiente: Aún como broma, ¿no es evidentemente matemática? ¿Acaso porque se trata de un juego con signos de acuerdo con reglas?
¿Pero no es evidente que aquí se forman conceptos —aunque no sea muy clara para nosotros su aplicación?
Pero, ¿cómo es posible tener un concepto y no ver con claridad su aplicación?
8. Tomemos la construcción del polígono de fuerzas. ¿No es un trozo de matemática aplicada? ¿Y dónde está la proposición de matemática pura que se invoca en relación con este cálculo gráfico? ¿No es este un caso como el de la tribu que tiene una técnica de cálculo para hacer ciertas predicciones, pero que carece de matemática pura?
Cálculo que pertenece a la realización de una ceremonia. Por ejemplo, supongamos que el número de palabras de una fórmula de bendición para ser impartida a una casa, se deduzca, mediante una técni- nica particular de las edades del padre y de la madre y del número de sus hijos. Podríamos imaginar procedimientos de cálculo como los descritos en leyes tales co
la mosaica. ¿Y no podríamos imaginar que una nación con tales prescripciones ceremoniales para el cálculo nunca haya realizado cálculos en la vida práctica?
Este sería, por cierto, un caso de cálculo aplicado, pero no serviría para efectuaruna predicción. . . .
¿Acaso sería extraordinario que la técnica del cálculo tuviera una familia de aph-
segura-con
una es-
ino
Naturalmente, en un aspecto, este acuerdo tiene una base débil, pero él extraerá sus conclusiones con seguridad y su cálculo tendrá sólida base.
¿No sería ridículo decir que ese hombre no está haciendo matemática?
Alguien hace una contribución a la matemática, da nuevas definiciones y descubre nuevos teoremas —y en cierto aspecto se puede decir que no sabe lo que está haciendo. Imagina vagamente haber descubierto algo así como un espacio (en este punto piensa en una habitación), haber descubierto un reino y cuando se le pregunta sobre él dice una sarta de tonterías.
Imaginemos el caso primitivo de alguien que efectúa multiplicaciones enormes con el fin, así dice él, de conquistar nuevas provincias gigantescas del reino de los números.
Imagine calcular con V-l inventado por un loco, el cual, meramente atraído por lo paradógico de la idea, hace el cálculo como una suerte de servicio o ritual del absurdo. Imagina que está escribiendo lo imposible y operando con él.
En otras palabras: si alguien cree en los objetos matemáticos y sus extrañas propiedades, ¿puede, sin embargo, hacer matemática? Ahora bien, ¿no está el también haciendo matemática?
“Objeto ideal”. “El símbolo V representa un objeto ideal”, se supone evidentemente que es un aserto sobre el significado y, por lo tanto, sobre el uso de *a\ Y naturalmente significa que este uso es, en cierto aspecto, semejante al de un signo que tiene
esa
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no es
mode las
ser una
eaciones? (Continuará)
40 41
;
bibliografía¿SABIA UD. QUE...M. P. DOLCIANI, S. L. BERMAN, W. WOOTON. Algebra moderna y trigonome tría. CULTURAL S.A., México, 1967.
Obviamente, no es un libro para nuestros estudiantes medios. Lo es, sí, para el pro- lesor que desee obtener ejercitación, no trillada sobre temas tradicionales y bien organizada para los temas modernos. La ejercitación consiste en ejercicios orales, ejercicios escritos y resúmenes de cada capitulo, y se refieren a estructura y método, vocabulario, examen y repaso de los temas; la sola mención de estos aspectos indica la profundidad del trabajo realizado, el que también incluye algunos temas selectos.
Los autores, naturalmente conscientes del déficit de pensamiento racional que aqueja a muchos alumnos de su país, efectúan las demostraciones paso a paso y con todo cuidado, indicando siempre con toda claridad la propiedad aplicada.
La presentación de este libro es muy cuidada y algunos de los gráficos, como los intercalados entre las páginas 102 y 103; 348 y 349; 476 y 477, son un verdadero alarde de imaginación y pericia puestas al servicio de la impresión.
Creemos que la lectura ha de ser muy provechosa.
no tangente sólo tiene un punto común con la esfera y es perpendicular al radio del punto de contacto; determinó el centro de la esfera; estudió la variación de las secciones planas según su distancia al centro y descubrió multitud de propiedades que salen del cuadro muy elemental de este libro.
1. GEOMETRIA DE LA ESFERA. De igual modo que la agrimensura dio origen a la geometría del plano, la astronomía dio la pauta para la esférica, o estudio geométrico de la esfera.
Se ignoran los conocimientos que sobre la esfera poseían los caldeos, pero se suponen bastante avanzados, sabiendo su elevada cultura astronómica. Corresponde a Grecia la investigación desinteresada y sistematización de estos conocimientos babilonios y egipcios.
El primer geómetra de la esfera es AUTO- LYKOS (año-330); él dio el nombre de círculos rnáximos, que ha subsistido, mientras fracasaron otros más modernos, como círculos fundamentales, grandes círculos, círculos magnos, etc. También introdujo la denominación de polos (de polein = girar) y descubrió que las secciones planas son circunsferencias, que dos círculos máximos se cortan en un diámetro, etcétera.
Poco después EUCLIDES (año - 300) definía la esfera por rotación de una semicircunferencia y completaba las oportaciones de Autolykos.
TEODOSIO de Trípoli (año-55) dio, tres siglos después, la definición de la superficie esférica como lugar de puntos equidistantes del centro; demostró que el pla-
Comenzamos este comentario reproduciendo textualmente el párrafo con que los autores encabezan el primer capítulo: "Los matemáticos combinan lo antiguo con lo moderno. En este capítulo estudiaremos algunas cosas que probablemente ya sabían nuestros abuelos, pero intercalaremos ideas que, hasta hace pe ro, sólo se estudiaban en los cursos do graduados de las universidades”. Esta posición debe ser cuidadosamente meditada; ni se puede ser tan conservador como para ignorar la fuerza de los temas medulares de la matemática moderna —conjuntos, relaciones, funciones, grupos, espacios vectoriales, probabilidades y estadística— ni tan modernista como para rechazar cualquier planteamiento tradicional.
Este denso libro fue escrito por prestigiosos educadores norteamericanos, los que contaron con el consejo del Dr. Alberto E. Meder, director de la Rutgers University y director de la Comisión de Matemática del College En trance Examination Board, vale decir, uno de los más conspicuos representantes de las tendencias actuales en el país del norte.
Los capítulos que integran el volumen se refieren a Conjuntos de números: axiomas; Proposiciones abiertas de una variable; Sistemas de proposiciones abiertas lineales; Polinomios y factorización; Números racionales y expresiones cuadráticas; Relaciones cuadráticas y sistemas; Funciones exponenciales y logaritmos; Funciones trigonométricas y números complejos; Identidades y fórmulas trigonométricas; Las funciones circulares y sus inversas; Progresiones y desarrollos binomiales; Funciones polinomiales; Matrices y determinantes; Permutaciones, combinaciones y probabilidad.
Este es, pues, un coherente programa desarrollado a lo largo de más de seiscientas páginas impresas en colores, con numero-
gráficos y páginas educativas, algunas de las cuales, con el título de “la educación humana” aportan muy interesantes datos de la historia de la matemática.
(De J. Rey Pastor, Geometría, 193S).2. SIMON STEVIN (1548-1620) publi
có en 1685 una obra intitulada UÁritb.rae- fique cíe Simón Stevin ele Bruges en i.-. que introduce sistemáticamente las fracciones decimales. Aunque no se lo pueda considerar su inventor, honor que corresponde a E. Bonfils de Tarascón (1350), Rcgío- montanus (1463), Rudolff (1525) y E. Miz- rachi (1532), corresponde a Stevin la idea de sustituir las fracciones comunes por fracciones decimales y de elaborar un sistema de notación para unificar el dominio de aplicación de las reglas matemáticas, aunque la notación, lenta e incómoda, no facilitara los cálculos.
4. Existe actualmente la tendencia de medir ángulos de la siguiente manera: la unidad es el grado sexagesimal y las subdivisiones menores que un grado —décimo, centesimos y milésimos de grado— en el sistema centesimal.
Julio R. Juan
A. C. G. de HOUSSAY, C. G. de ROMERO, L. V. VICENTE. Matemática Intuitiva’. (Un camino hacia la matemática). Editorial TROQUEL, Buenos Aires, marzo de 1967.i
He aquí uno de los frutos del ensayo de nuevos programas de matemática iniciado en 1963 v que aún continúa -no obstante las dificultades que deben superarse- con el esfuerzo ejemplar de un grupo de profesores entre los cuales se encuentran las
de este libro. Lo he visto hacer ysus cla-
(Viono do la póg. 34)
cuando A, B’, C’, D’ están en la posición que indica la Fig. 5.
Se observa que:(ABj+[CD]=®pfc [ÉF]-[AB]r=[CD]
es lo mismo que [EF] - [ABJ (Fig. 6).
te?—
long.(AB) =■= long.( AB) =
— long.(AB) = long.(AB)y la longitud se convierte así en la propiedad que caracteriza (atributo) a los segmentos congruentes, vale decir:
long. (AB) =long. (CD) <=s [AB ]=[ CD JDe la representación gráfica de la
de números reales en la recta numérica, surge inmediatamente que:
autoras ... . .crecer en las periódicas visitas a ses El fruto de la experiencia de los
Sintaló uno de los orientadores del proceso renovador en nuestro país. Sólo se omitió el último capítulo destinado a las transformaciones geométricas del plano,
su tratamiento no esta directamen-
tres
suma(Fig. 6)
Conviene entonces indicar que en la práctica, para simplificar lo visto anterior
mente, denominemos longitud de AB alnúmero que corresponde a la clase [AB1. Resulta así:
Si EF € [AB] -j- [CD], que es una clase de B, entonces:
long.[EF]=long.[AB] +long(CD) y análogamente para la recta.
sos
porque4342
noticiasSi los lectores de CONCEPTOS
un programa de geometría, con los rept que esto puede dar lugar, se proy -
introducción y fuente de ejemplos para el estudio de las estructuras.
El libro que comentamos va acompañado de una Guía para profesores donde se explica la forma en que se desarrollo la experiencia citada, los objetivos, organización del trabajo, el uso del material concreto, la conducción del aprendizaje y se dan orientaciones de carácter didáctico de gran utilidad para los docentes de la teria y para los maestros de los últimos grados de la enseñanza primaria.
Es precisamente en nuestra escuela primaria donde estimo que la influencia de esta Matemática Intuitiva puede ser profunda y renovadora. Como nuestra enseñanza elemental abarca siete grados, demasiado extensa por cierto, el nivel mental de los alumnos del último grado se adapta perfectamente a este enfoque informal desde el punto de vista matemático, basado en la experimentación, con un criterio constructivo relacional que permite preparar al educando para un tratamiento más moderno de la geometría. En este sentido el aporte de Houssay, Romero y Vicente debe ser justamente estimado. Es un modelo para todos aquellos que aspiran a un cambio de actitud en la conducción del aprendizaje, con un estímulo permanente a la actividad creadora del alumno, con una exposición accesible, directa, y una cuidadosa selección de situaciones matemáticas. No es corriente encontrar un texto concebido con ese criterio, con una presentación tan esmerada, con el uso oportuno del color en los dibujos y diagramas, en un esfuerzo editorial digno de encomio.
No obstante los merecidos elogios que acabo de formular, con el deseo de ubicar a este nuevo aporte dentro del panorama de la matemática moderna en el nivel secundario, debo señalar que difícilmente pueda encontrarse hoy quien no exija la existencia de una axiomática subyacente, simple y fuerte, basada en la estructura aditiva de la recta, el paralelismo y la simetría, para un enfoque actual de la geo- metna. Imposible descubrir en este libro el Camino Real de la Geometría, como llama Choquet a los espacios vectoriales dotados de un producto escalar.
recuerdan el artículo de Papy en el N<? 2, o consultan su último texto “Mathematique Mójeme 6” dedicado a Geometría Plana, para citar a un representante de la corriente más avanzada, encontrarán brados pocos puntos en común con el programa de primer año del Dr. Santaló, tan bien interpretado por el texto que es motivo de nuestro comentario.
1. El profesor Eusebio SASTRE, de Paso de los Libres, Corrientes, esforzado propulsor de ios conceptos de la matemática moderna, de quien recordamos los cursos de algebra de conjuntos y cálculo preposicional, dictados el año pasado en su ciudad y en Santo Tomé, continúa realizando su tarea de divulgación y, en estos momentos, está dictando curso de combinatoria, estadística y probabilidad en Paso de los Libres y en La Cruz, Corrientes.
2. El éxito alcanzado por el cursillo sobre probabilidades, dictado en el Liceo Nacional de Señoritas N° 2 de Buenos Aires, por el doctor César A. TREJO, con la organización de CONCEPTOS DE MATEMATICA, se ha repetido en el realizado en la ciudad de Córdoba, en la escuela Alejandro Carbó, aquí con la organización del Departamento de Enseñanza de las Ciencias del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Este éxito, que nos halaga, continuará, sin duda, en las lecciones que, por invitación de la Universidad de Cuyo, está dictando en las ciudades de Mendoza y San Luis.
3. Dirigido por el doctor Horacio BOSCPI y con la colaboración de destacados especialistas, ha comenzado a funcionar en la ciudad de Buenos Aires, con sede en la calle Laprida 1635, el Centro de Altos Estadios en Ciencias Exactas, cuya finalidad es la de preparar bachilleres superiores en ciencias exactas y análisis de valor, en el nivel básico; calculistas cientí-
ros a tó como una ficos y estadígrafos, en el nivel medio; in
vestigadores operativos, racionalizadores administrativos, licenciados y profesores de matemática y analistas de sistemas, en el nivel superior, e ingenieros de sistemas y de administración, profesores superiores y doctores en matemática, en el nivel máximo.
El análisis de los planes y programas indica la profundidad del esfuerzo que se ha de desplegar, que esperamos se vea coronado por el éxito.
4. A los cursos organizados por el Departamento de Enseñanza de las Ciencias del C.N.I.C.T. durante las vacaciones invernales, corresponde agregar a los indicados en nuestro número anterior el que dictó la profesora Elsa De Martino en la ciudad de Catamarca.
5. Organizado por el Centro de Estudios de Ciencias, Chile 1481, Buenos Aires, el profesor Gregorio Klimovsky dictará curso de 10 clases sobre fundamentación de la matemática, cuya iniciación se ha previsto para el día 12 de septiembre.
6. Entre las escuelas privadas que aprovecharon las vacaciones de invierno para realizar cursos especiales, citaremos a la "Escuela Argentina Modelo”. Los cursos destinados a la enseñanza primaria estuvieron a cargo del profesor Edgardo Dá- vila y los destinados a la enseñanza secundaria fueron dictados por el profesor Juan Carlos Dalmasso.
asom-
Es de desear que este auténtico exponente de los trabajos que en nuestro país se realizan por el mejoramiento de la enseñanza de la matemática, sea completado —por lo menos— con los restantes cursos del ciclo básico, no sólo porque confío plenamente en la capacidad de las autoras, sino también porque mostraría en forma más acabada e integral la seriedad e importancia del ensayo que se está realizando.
ma-
Inspector Atibo Piaña
Buenos Aires, 10 de agosto de 1967.
ANTONIO R. LOPEZ. Matemática moderna. Segundo curso. Editorial TA.P.AS. Córdoba, 1967.
La realización de cursos pilotos para en- ;ayar programas adaptados concepciones modernas de la matemática —y los de la Escuela Normal "Alejandro Carbó” de la ciudad de Córdoba pueden ser justicieramente considerados como de los más serios— ha originado la importante cuestión de la falta de literatura apropiada para dichas experiencias.
Ese es el problema principal que ha enfrentado el señor Antonio Roberto López, prestigioso docente de intensa actuación en las aulas cordobesas. Debe haberse planteado, sin duda, el siguiente dilema: escribir un texto para docentes o redactar un manual para alumnos. Se ha decidido por
tercera alternativa: presentar, modestamente impresa, una guía para "ordenar e ™aJ;erial disperso en una extensa bibliografía que pudiera ser usada por los alumnos de los cursos pilotos para reforzar los conocimientos ya adquiridos en el aula.
Tomemos, pues, a este libro como lo que nuevo texto piloto y, por tanto,
base necesaria para generalizar la reforma en nuestro país. Como tal, seguramente ha de ser muy útil para los docentes
pág. siguionta)
un
mente útil a los alumnos que estudian directamente en él, habría que adaptarlo a las exigencias de Ja pedagogía actual y motivar la aparición de los conceptos en lugar de definirlos directamente. En ese sentido, el capítulo sobre sistemas de numeración es el que, a nuestro juicio, cumple mejor con las exigencias de la didácticaactual.
El esfuerzo del autor merecerá, sin duda, la atención y la comprensión de suscolegas. Haydée Fernández
iVieno do la pág. anterior)
argentinos empeñados en la empresa. Seia una excelente guía, sobre todo para aquellos que, por razones de tiempo o de c ís- tancia, no tienen posibilidad de efectúa1 cursos de perfeccionamiento. Y lo sera poique tiene capítulos dedicados a Lógica matemática, Teoría de conjuntos, Operaciones con conjuntos, Par ordenado, Relacio nes, Funciones, Operaciones, Números naturales, Números enteros; Números racionales y Sistemas de numeración.
Pero, para que el libro pueda
una
es: un una
total-ser45
(Continúa en la
44
CORREOque agradecemos, ha de impulsar la difusión de la revista en esas localidades.
3. Cúmplenos informar también qúe el señor Julián B. Caparros Morata, Dr. Fleming, 10 (Escalentas), Las Palmas, que tiene a su cargo el Proyecto Matemático Canario, se ha hecho cargo de la corresponsalía de nuestra revista en las islas Canarias y nos ha enviado valioso material iremos publicando en la medida de tras posibilidades.
4. Varios lectores. Lamentamos informar que, pese a nuestra buena voluntad; no podemos asumir el compre.mi -o de adquirir libros anunciados en nuestra revista para enviar a los lectores qu?. ¡o solicitan.
5. Sr. Juan Pérez Loiie&ui, Capital. No hemos podido conseguir ios vemos que se incluirán el año próximo en los programas de quinto año, porque los misinos no han sido aprobados aun por la autoridad respectiva. Cuando así ocurra los publicaremos de inmediato.
1. Tenemos una grata noticia para nuestros lectores. El profesor Georges PAPY, director del Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, nos ha escrito a su regreso de Estados Unidos, para hacernos saber (jue tanto su esposa, Fréderique, como él mismo aceptaban gustosos ser asesores de CONCEPTOS DE MATEMATICA, revista a la que enviarán artículos en prioridad. Quede expresado nuestro agradecimiento ante tal generosidad.
Como consecuencia de ello, en este número se comienza a publicar su artículo sobre la Reforma Belga.
2. La nómina de nuestros corresponsales se va ampliando paulatinamente. Han ingresado al grupo otros destacados docentes argentinos, como los señores Juan Carlos De Diego, 12-263, Mercedes, Bs. As. Jorge Lardit, Corrientes 752, Villa María, Córdoba, y Juan Carlos Coronel, Chaco 250, Santiago del Estero, cuya colaboración,
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iVicnc do la pág. 20) A su vez, de la fórmula (A-*B) = (BV^ A) y de las leyes de De Morgan se deduce:
aplica (éstas dícense entonces hipótesis) Cuando, por ejemplo, escribimos 3 ^ ;r, queremos afirmar que 3 < jt o 3 = ^ es verdad; pero como ya sabemos que 3 < jt, parece inútil la disjunción. Lo mismo para el caso en que se escribe 3 <3.
'-'(A B) == A A — B esto es: Decir que A no implica B equivale a decir que A es verdadera y B es falsa.
Pero, existen además otras propiedades que relacionan la amplicación con la conjunción. Así, es fácil ver que:
COMPATIBLES
Las propiedades anteriores conducen a esta otra:
Decir que una proposición implica otra equivale a decir que, si la segunda es falsa, la primera también es falsa.
Esto es, simbólicamente:
I mecanizada de una empresa exige ficheros existentes.
El desarrollo progresivo de la gestión la compatibilidad con programas yEl concepto de compatihiiidad ha n^am^o ja^na ^tercera ge^STS?600yj^a ° «cü conversión * marca, y cremas.
1. A /\ B “*■ A2. Si PA y P -► B entonces P-+AAB.2 . Si A -*P y B -*■ P, entonces AVB P.Las propiedades 1 y T originan silogis
mos con una sola premisa, como, por ejemplo, éste: *7t es menor que 4, luego Jt es menos o igual que 4”.
Las propiedades 2 y 2’ originan silogismos tales como:
Si estudias, darás alegría a tus padres. Si estudias, serás recompensado. Luego, si estudias, darás alegría a tus padres y serásrecompensado”.
Si un ladrón sale por la xmerta, ser^ apresado. Si fuga por el tejado, será apresado. Luego ,si sale por la puerta o fuga por el tejado, será apresado”.
1\A V B
(A“*■ B) = (— B'-'A)En esta propiedad (que también se pue
de verificar directamente) se basa el tipo de silogismo llamado regla de conversión o modus tollens.
bullELECTRICGENERALa-b]
\premisas. Tal. 35 0021/5
. SANTA FE-BJ CERRITO 284
BUENOS AIRES - LA PLATA. MENDOZA. CORDOBA
^ A (conclusión) Ejemplo: “Si este animal es un pez, tie
ne branquias. Ahora bien, este animal tiene branquias. Luego, no
no es un pez”. (Continuará)
46
4
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