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Pruebas de HipótesisMedidas de Asociación
Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Curso de nivelación Estadística y MatemáticaSexta clase: Pruebas de hipótesis, Mínimos Cuadrados Ordinarios
y Modelos ARIMA
Juan Diego Chavarría Mejía
Programa Técnico en Riesgo, 2016
Juan Diego Chavarría Mejía Regresión
Pruebas de HipótesisMedidas de Asociación
Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Agenda
1 Pruebas de Hipótesis2 Medidas de Asociación
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Juan Diego Chavarría Mejía Regresión
Pruebas de HipótesisMedidas de Asociación
Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Pasos para realizar una prueba de hipótesis
Prueba de hipotesisEnuncia la H0 y la H1, además del nivel de significancia (a).Seleccionar el estadístico de prueba apropiado y calcular elvalor del estadístico de prueba de los datos muestrales.Establecer la región crítica (cálcule los grados de libertad si esel caso).Tome la decisión.
Si el valor del estadístico de prueba cae en la región crítica o si
el P-value es menor que el nivel de significancia, rechazar la H0.
Concluya en términos del problema.
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Pruebas de HipótesisMedidas de Asociación
Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Agenda
1 Pruebas de Hipótesis2 Medidas de Asociación
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Asociación
¿Qué es la asociación?Es la relación entre dos variables. Existe una relación entre dosvariables si los valores de una variable tienden a ocurrir conmás frecuencia con ciertos valores de otra variable. Buscamedir la fuerza o intensidad de la relación.Para determinar la medida de asociación a calcular se debedeterminar primero el nivel de medición de las dos variables enestudio.
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Pruebas de HipótesisMedidas de Asociación
Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Ejemplos medidas de Asociación
Si tenemos variables nominales
Clasificación Urbana Rural Total Fila (total marginal)
Por encima del promedio
PromedioFrecuencia Conjunta
Por debajo del promedio
Total columna (total marginal)
Si tenemos variables de intervalo o razón
r =cov (X ,Y )
sX
sY
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Pruebas de HipótesisMedidas de Asociación
Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Agenda
1 Pruebas de Hipótesis2 Medidas de Asociación
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Asimetría de Pearson
PasosPrimero realizar un gráfico de dispersión.Para determinar la existencia o no de la relación entre lasvariables.Análizar la forma o patrón de la relación, aquí repasaremos larelación linealDirección de la relación.Luego se debe calcular el coeficiente de correlación de Pearson:
Cuantificar la relación lineal entre las variables
Si r = 1, existe una asoción lineal positiva.
Si r =�1, existe una asoción lineal negativa.
Si r = 0, no hay relación lineal pero puede existir una
asociación no lineal.
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AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Asimetría de Pearson
Pasos
rX ,Y =
Ân
x=1�Xi
�X��
Yi
�Y�
(n�1)sX
sY
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Agenda
1 Pruebas de Hipótesis2 Medidas de Asociación
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal simple
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal simple
El modelo de regresión se basa en métodos estadísticos paraestimar relaciones teoricas y poner a prueba estas teorías asícomo poner en práctica algunas conclusiones.Es importante determinar si la relación entre las variables sondeterministicas o estocásticas (aleatorias).
Serie estocástica una parte conocida (sistemática) susceptible
de predecir y de una parte totalmente desconocida (aleatoria).
Serie determinística el futuro se puede predecir sin error. Es
una variable que está determinada o fija y que no cambia de
una muestra a otra.
Ejemplo
Y = b0+b1x+ e
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal simple
Datos muestrales
Yi
= b0+ b1Xi
+ ei
Yi
= Yi
+ ei
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Agenda
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3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Míminos Cuadrados Ordinarios
¿Qué son los mínimos cuadrados ordinarios?Se basa en la idea de determinar una recta que se ajuste a losdatos muestrales mejor que cualquier otra recta.Por lo tanto, busca mínimizar el error al cuadrado de los datos.
MCOn
Âi=1
⇣Yi
� Yi
⌘= e
i
n
Âi=1
⇣Yi
� Yi
⌘2=)mınima
n
Âi=1
⇣Yi
� b0� b1Xi
⌘2=)mınima
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal simple
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Míminos Cuadrados Ordinarios
Modelo Simple
b0 = Y � b1X
b1 =Cov (X ,Y )
Var (X )
Modelo Múltiple
b =�X 0X
��1X 0Y
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal multiple
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Supuestos MCO
Supuestos de especificación y formaLa variable X (explicativa) está dada.No correlación entre el término de error y las variablesexplicativas.El modelo esta bien especificado.Lineal en los parámetros.
Supuestos sobre el residuoNo autocorrelación.Homocedasticidad.Normalidad.
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
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1 Pruebas de Hipótesis2 Medidas de Asociación
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Error estándar de la estimación
Error estándar de la estimaciónMedida del grado de dispersión de los valores de Y
i
alrededorde la recta de regresión
Fórmula
Se =
vuutÂ⇣Yi
� Yi
⌘2
n�k
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Coeficiente de Determinación
Coeficiente de DeterminaciónMide que parte de la variabilidad total de la variabledependiente es explicada por el modelo.
Fórmula
R2 =SCE
SCR
R2 = (correlaci on)2 =Cov (Y ,X )2
s2x
s2y
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Coeficiente de Determinación
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Limitaciones
Algunas limitacionesNo pueden determinar relaciones Causa-Efecto.Problema cuando dos variables no relacionadas parecenpresentar alguna relación (Correlación espurea).Restricción de linealidad de los parámetros.
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Agenda
1 Pruebas de Hipótesis2 Medidas de Asociación
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Series de tiempo
Qué es una serie de tiempo?Las series de tiempo son colecciones de observaciones sobre undeterminado fenómeno efectuadas en sucesivos momentos deltiempo, usualmente equiespaciados. Corresponde a unarealización de un proceso generador de datos.
Yt�k
, ...,Yt�2,Yt�1,Yt
,Yt+1,Yt+2, ...,Y
t+h
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoTendencia (T): Es un movimiento de larga duración que semantiene durante todo el período de observación.Movimientos cíclicos (C): Son oscilaciones alrededor de latendencia producidos por periodos alternativos de prosperidady depresión.Variación estacional (E): Son los movimientos que seproducen dentro del año y que se repiten de un año a otro. Seobserva en algunas series de periodicidad mayor al año(mensual, trimestral, semanal, etc).Movimientos irregulares (I): Son las oscilaciones erráticas oaccidentales que obedecen a variadas causas. No siguen ningúnpatrón (son impredecibles).
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Series de tiempo
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Agenda
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3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Estadísticos
AutocorrelaciónLa correlación entre Y
t
y Yt�k
se conoce como autocorrelación deorden k y se denota como r
k
. (rk
es el estimador muestral). Yt�k
se le conoce como rezagada k periodos.
rk
=Ân�k
t=1 (Yt
� Y )(Yt�k
� Y )
Ân
t=1(Yt
� Y )2
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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Estadísticos
Autocorrelación parcialLa correlación parcial mide el grado de asociación entre Y
t
y Yt�k
,cuando el efecto de otros rezagos es removido. La correlaciónparcial es calculada mediante una ecuación de regresión, donde loscoeficientes de los rezagos de Y representan la correlación parcial,del siguiente modo
Yt
= b0+ b1Yt�1+ b2Yt�2+ ...+ bk
Yt�k
+ ei
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Series de tiempo
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Qué es la estacionariedad?
EstacionariedadSe dice que el proceso está en equilibrio estadístico alrededorde un valor medio.La distribución de probabilidad es común e invariante en eltiempo:
La media es única (local y global) y representativa de todo el
período analizado.
La varianza es constante y finita.
La función de autocorrelación decae rápidamente en el tiempo.
Un shock en un momento dado tiene efecto en el corto plazo.
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Serie estacionaria
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Serie no estacionaria
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3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Qué tipos de modelos se pueden utilizar
Ar(p)
Yt
= c+f1Yt�1+f2Yt�2+ ...+fp
Yt�p
+ et
Ma(q)
Yt
= c+q1et�1+q2e
t�2+ ...+qq
et�q
+ et
Arma(p,q)
Yt
= c+f1Yt�1+ ...+fp
Yt�p
+q1et�1+ ...+q
q
et�q
+ et
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Pronóstico
Autoselección del modeloExisten diversos algorítmos que permiten determinar el orden másadecuado para un modelo ARIMA, en nuestro caso se utiliza elsiguiente cómando:
Ejemploauto.arima(x,d=NA,D=NA,max.p=5,max.q=5,max.P=2,max.Q=2,max.order=5,max.d=2,max.D=1,start.p=2,start.q=2,start.P=1,start.Q=1,stationary=FALSE,seasonal=TRUE)
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Pronóstico
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo
Bibliografía
Woodridge, J.Introducción a la Econometría. Thomson Learning, 2001.
Maddala, G.Introducción a la Econometría
Prentice Hall, 1996.
Woodridge, J.Econometric Analysis of Cross Section And Panel Data. MITpress, 2010.
Webster L., AllenEstadística aplicada a los negocios y la economía
Irwin McGraw-Hill, Tercera edición.
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