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Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Soluciones a Problemas de Fısica usandoProgramas Computacionales
David A. Espinoza
22 de noviembre de 2011
David A. Espinoza Soluciones a Problemas de Fısica
Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Tipos de Programas Matematicos
1 Estadısticos
S, S+
R-Project
2 Analisis numerico
Octave
MatLab
3 Sistema algebraico
Mathematica
Maxima
4 Geometricos
Origin
GnuPlot
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Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Tipos de Programas Matematicos
1 Estadısticos
S, S+
R-Project
2 Analisis numerico
Octave
MatLab
3 Sistema algebraico
Mathematica
Maxima
4 Geometricos
Origin
GnuPlot
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Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Tipos de Programas Matematicos
1 Estadısticos
S, S+
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2 Analisis numerico
Octave
MatLab
3 Sistema algebraico
Mathematica
Maxima
4 Geometricos
Origin
GnuPlot
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Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Tipos de Programas Matematicos
1 Estadısticos
S, S+
R-Project
2 Analisis numerico
Octave
MatLab
3 Sistema algebraico
Mathematica
Maxima
4 Geometricos
Origin
GnuPlot
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Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Tipos de Programas Matematicos
1 Estadısticos
S, S+
R-Project
2 Analisis numerico
Octave
MatLab
3 Sistema algebraico
Mathematica
Maxima
4 Geometricos
Origin
GnuPlot
David A. Espinoza Soluciones a Problemas de Fısica
Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Algunos programas matematicos
David A. Espinoza Soluciones a Problemas de Fısica
Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
¿Que programa debo usar?
El programa que se debe usar depende de varios factores:
El tipo de problema.
La manera en que se desea resolver el problema.
Los recursos con los que se cuenta.
Puede suceder que incluso estos programas no sean suficientes ynecesitemos usar un lenguaje de programacion como ForTran o C.
David A. Espinoza Soluciones a Problemas de Fısica
Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
¿Que programa debo usar?
El programa que se debe usar depende de varios factores:
El tipo de problema.
La manera en que se desea resolver el problema.
Los recursos con los que se cuenta.
Puede suceder que incluso estos programas no sean suficientes ynecesitemos usar un lenguaje de programacion como ForTran o C.
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Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
¿Que programa debo usar?
El programa que se debe usar depende de varios factores:
El tipo de problema.
La manera en que se desea resolver el problema.
Los recursos con los que se cuenta.
Puede suceder que incluso estos programas no sean suficientes ynecesitemos usar un lenguaje de programacion como ForTran o C.
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Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
¿Que programa debo usar?
El programa que se debe usar depende de varios factores:
El tipo de problema.
La manera en que se desea resolver el problema.
Los recursos con los que se cuenta.
Puede suceder que incluso estos programas no sean suficientes ynecesitemos usar un lenguaje de programacion como ForTran o C.
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Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
¿Que programa debo usar?
El programa que se debe usar depende de varios factores:
El tipo de problema.
La manera en que se desea resolver el problema.
Los recursos con los que se cuenta.
Puede suceder que incluso estos programas no sean suficientes ynecesitemos usar un lenguaje de programacion como ForTran o C.
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Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
¿Privativo, Codigo libre o lenguaje de programacion?
Privativos
Tienes que gastar re-cursos monetarios pa-ra obtenerlo.
Codigo Libre
Usas el recurso yacreado sin necesidadde tener que gastar di-nero.
Lenguaje deprogramacion
Tu estas creando elrecurso y es tuyo.
Ojo!!! recuerda que el tiempo que inviertes en tu problema es ungasto de recursos, entonces puede ocurrir que:
dinero ∝ soporte ∝ 1
tiempo⇒ dinero ∝ 1
tiempo
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Lineas de carga
¿Privativo, Codigo libre o lenguaje de programacion?
Privativos
Tienes que gastar re-cursos monetarios pa-ra obtenerlo.
Codigo Libre
Usas el recurso yacreado sin necesidadde tener que gastar di-nero.
Lenguaje deprogramacion
Tu estas creando elrecurso y es tuyo.
Ojo!!! recuerda que el tiempo que inviertes en tu problema es ungasto de recursos, entonces puede ocurrir que:
dinero ∝ soporte ∝ 1
tiempo⇒ dinero ∝ 1
tiempo
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¿Privativo, Codigo libre o lenguaje de programacion?
Privativos
Tienes que gastar re-cursos monetarios pa-ra obtenerlo.
Codigo Libre
Usas el recurso yacreado sin necesidadde tener que gastar di-nero.
Lenguaje deprogramacion
Tu estas creando elrecurso y es tuyo.
Ojo!!! recuerda que el tiempo que inviertes en tu problema es ungasto de recursos, entonces puede ocurrir que:
dinero ∝ soporte ∝ 1
tiempo⇒ dinero ∝ 1
tiempo
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Lineas de carga
¿Privativo, Codigo libre o lenguaje de programacion?
Privativos
Tienes que gastar re-cursos monetarios pa-ra obtenerlo.
Codigo Libre
Usas el recurso yacreado sin necesidadde tener que gastar di-nero.
Lenguaje deprogramacion
Tu estas creando elrecurso y es tuyo.
Ojo!!! recuerda que el tiempo que inviertes en tu problema es ungasto de recursos, entonces puede ocurrir que:
dinero ∝ soporte ∝ 1
tiempo⇒ dinero ∝ 1
tiempo
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Lineas de carga
¿Privativo, Codigo libre o lenguaje de programacion?
Privativos
Tienes que gastar re-cursos monetarios pa-ra obtenerlo.
Codigo Libre
Usas el recurso yacreado sin necesidadde tener que gastar di-nero.
Lenguaje deprogramacion
Tu estas creando elrecurso y es tuyo.
Ojo!!! recuerda que el tiempo que inviertes en tu problema es ungasto de recursos, entonces puede ocurrir que:
dinero ∝ soporte ∝ 1
tiempo⇒ dinero ∝ 1
tiempo
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Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Movimiento de proyectiles en 2DResolucion en MathematicaResolucion en MaximaResolucion con ForTran
Un ejercicio muy sencillo!!!
Todos conocemos las ecuaciones del lanzamiento de proyectiles
x(t) = v0 cos(θ0)t
y(t) = v0 sin(θ0)t − 1
2gt2
Casi todos.....
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Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Movimiento de proyectiles en 2DResolucion en MathematicaResolucion en MaximaResolucion con ForTran
Lista de comando en Mathetamica R©
g=9.8;v0=30;\[Theta]0 = \[Pi]/4;
Definimos las constantes
x[t_] := v0*Cos[\[Theta]0]*t;
Definimos las funciones
y[t_] := v0*Sin[\[Theta]0]*t - 0.5*g*t^2;
ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 5}]
Graficamos
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Movimiento de proyectiles en 2DResolucion en MathematicaResolucion en MaximaResolucion con ForTran
Lista de comando en Mathetamica R©
g=9.8;v0=30;\[Theta]0 = \[Pi]/4; Definimos las constantes
x[t_] := v0*Cos[\[Theta]0]*t;
Definimos las funciones
y[t_] := v0*Sin[\[Theta]0]*t - 0.5*g*t^2;
ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 5}]
Graficamos
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Lineas de carga
Movimiento de proyectiles en 2DResolucion en MathematicaResolucion en MaximaResolucion con ForTran
Lista de comando en Mathetamica R©
g=9.8;v0=30;\[Theta]0 = \[Pi]/4;
Definimos las constantes
x[t_] := v0*Cos[\[Theta]0]*t; Definimos las funcionesy[t_] := v0*Sin[\[Theta]0]*t - 0.5*g*t^2;
ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 5}]
Graficamos
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Movimiento de proyectiles en 2DResolucion en MathematicaResolucion en MaximaResolucion con ForTran
Lista de comando en Mathetamica R©
g=9.8;v0=30;\[Theta]0 = \[Pi]/4;
Definimos las constantes
x[t_] := v0*Cos[\[Theta]0]*t;
Definimos las funciones
y[t_] := v0*Sin[\[Theta]0]*t - 0.5*g*t^2;
ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 5}] Graficamos
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Lineas de carga
Movimiento de proyectiles en 2DResolucion en MathematicaResolucion en MaximaResolucion con ForTran
Lista de comando en wxMaxima
g:9.8 $v0:30 $ %theta:( %pi/4)$
Definimos las constantes
x(t):=v0*cos( %theta)*t $
Definimos las funciones
y(t):=v0*sin( %theta)*t-0.5*g*t^2 $
wxplot2d([parametric,x(t),y(t),[t,0,5],[nticks,30]])$
Graficamos
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Movimiento de proyectiles en 2DResolucion en MathematicaResolucion en MaximaResolucion con ForTran
Lista de comando en wxMaxima
g:9.8 $v0:30 $ %theta:( %pi/4)$ Definimos las constantes
x(t):=v0*cos( %theta)*t $
Definimos las funciones
y(t):=v0*sin( %theta)*t-0.5*g*t^2 $
wxplot2d([parametric,x(t),y(t),[t,0,5],[nticks,30]])$
Graficamos
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Lista de comando en wxMaxima
g:9.8 $v0:30 $ %theta:( %pi/4)$
Definimos las constantes
x(t):=v0*cos( %theta)*t $ Definimos las funcionesy(t):=v0*sin( %theta)*t-0.5*g*t^2 $
wxplot2d([parametric,x(t),y(t),[t,0,5],[nticks,30]])$
Graficamos
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Lista de comando en wxMaxima
g:9.8 $v0:30 $ %theta:( %pi/4)$
Definimos las constantes
x(t):=v0*cos( %theta)*t $
Definimos las funciones
y(t):=v0*sin( %theta)*t-0.5*g*t^2 $
wxplot2d([parametric,x(t),y(t),[t,0,5],[nticks,30]])$Graficamos
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Movimiento de proyectiles en 2DResolucion en MathematicaResolucion en MaximaResolucion con ForTran
Programa en ForTran
program proyectil
implicit none
integer :: t
real, dimension(50) :: x,y
Definimos las variables
real, parameter :: theta=0.785398
real, parameter :: G=9.8
real, parameter :: V=30
Definimos las constantes
open (100,file=’proyectil.dat’,status=’new’)
do t=1,50
x(t)=V*cos(theta)*t*0.1
y(t)=V*sin(theta)*t*0.1-0.5*G*(t*0.1)**2
write(100,’(2F10.3)’) x(t),y(t)
enddo
close(100)
Hacemos el trabajo
end program proyectil
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Programa en ForTran
program proyectil
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integer :: t
real, dimension(50) :: x,y
Definimos las variables
real, parameter :: theta=0.785398
real, parameter :: G=9.8
real, parameter :: V=30
Definimos las constantes
open (100,file=’proyectil.dat’,status=’new’)
do t=1,50
x(t)=V*cos(theta)*t*0.1
y(t)=V*sin(theta)*t*0.1-0.5*G*(t*0.1)**2
write(100,’(2F10.3)’) x(t),y(t)
enddo
close(100)
Hacemos el trabajo
end program proyectil
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Programa en ForTran
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integer :: t
real, dimension(50) :: x,y
Definimos las variables
real, parameter :: theta=0.785398
real, parameter :: G=9.8
real, parameter :: V=30
Definimos las constantes
open (100,file=’proyectil.dat’,status=’new’)
do t=1,50
x(t)=V*cos(theta)*t*0.1
y(t)=V*sin(theta)*t*0.1-0.5*G*(t*0.1)**2
write(100,’(2F10.3)’) x(t),y(t)
enddo
close(100)
Hacemos el trabajo
end program proyectil
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Programa en ForTran
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implicit none
integer :: t
real, dimension(50) :: x,y
Definimos las variables
real, parameter :: theta=0.785398
real, parameter :: G=9.8
real, parameter :: V=30
Definimos las constantes
open (100,file=’proyectil.dat’,status=’new’)
do t=1,50
x(t)=V*cos(theta)*t*0.1
y(t)=V*sin(theta)*t*0.1-0.5*G*(t*0.1)**2
write(100,’(2F10.3)’) x(t),y(t)
enddo
close(100) Hacemos el trabajo
end program proyectil
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Resolucion en MathetamicaResolucion en Maxima
Desintegracion de partıculas
Si P(t) es la probabilidad de que una partıcula sobreviva por untiempo t, y tiene una constante de probabilidad 1/tau, entonces:
1
P
dP
dt= − 1
tau
Graficar P(t) para diferentes valores de tau
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Resolucion en MathetamicaResolucion en Maxima
Comando en Mathetamica R©
DSolve[(1/P[t])*D[P[t], t] == -1/tao], P[t], t]
Encontramos las soluciones
Manipulate[Plot[Exp[-t/tao], t, 0, 4], tao, 0.1, 1, 0.25]
Creamos la animacion
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Lineas de carga
Resolucion en MathetamicaResolucion en Maxima
Comando en Mathetamica R©
DSolve[(1/P[t])*D[P[t], t] == -1/tao], P[t], t]Encontramos las soluciones
Manipulate[Plot[Exp[-t/tao], t, 0, 4], tao, 0.1, 1, 0.25]
Creamos la animacion
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Comando en Mathetamica R©
DSolve[(1/P[t])*D[P[t], t] == -1/tao], P[t], t]
Encontramos las soluciones
Manipulate[Plot[Exp[-t/tao], t, 0, 4], tao, 0.1, 1, 0.25]Creamos la animacion
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Lista de comando en wxMaxima
ode2((1/P)*’diff(P,t)=-1/tao, P, t)$
Encontramos las soluciones
with_slider(tao,[0.1,0.25,0.5,0.75,1],exp(-t/tao),[t,0,4])
Creamos la animacion
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Lineas de carga
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Lista de comando en wxMaxima
ode2((1/P)*’diff(P,t)=-1/tao, P, t)$Encontramos las soluciones
with_slider(tao,[0.1,0.25,0.5,0.75,1],exp(-t/tao),[t,0,4])
Creamos la animacion
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Lista de comando en wxMaxima
ode2((1/P)*’diff(P,t)=-1/tao, P, t)$
Encontramos las soluciones
with_slider(tao,[0.1,0.25,0.5,0.75,1],exp(-t/tao),[t,0,4])Creamos la animacion
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Ecuacion de Bessel de orden p
Una ecuacion diferencial muy recurrente en problemas de fısica esla ecuacion de Bessel dada por:
x2y ′′(x) + xy ′(x) + (x2 − n2)y(x) = 0
Encontrar las soluciones para n = 0, 1, 2, 3 · · ·
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Comando en Mathetamica R©
DSolve[ x^2 y’’[x] + x y’[x] + (x^2 - n^2) y[x] == 0, y[x], x]
Encontramos las soluciones
Manipulate[Plot[BesselJ[n, x] , x, 0, 30], n, 0, 20]
Creamos una animacion para una solucion particular
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Resolucion en MathetamicaResolucion en Maxima
Comando en Mathetamica R©
DSolve[ x^2 y’’[x] + x y’[x] + (x^2 - n^2) y[x] == 0, y[x], x]Encontramos las soluciones
Manipulate[Plot[BesselJ[n, x] , x, 0, 30], n, 0, 20]
Creamos una animacion para una solucion particular
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Comando en Mathetamica R©
DSolve[ x^2 y’’[x] + x y’[x] + (x^2 - n^2) y[x] == 0, y[x], x]
Encontramos las soluciones
Manipulate[Plot[BesselJ[n, x] , x, 0, 30], n, 0, 20]Creamos una animacion para una solucion particular
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Comando en Maxima
ode2((x^2)*’diff(y,x,2)+x*’diff(y,x)+(x^2-n^2)*y=0, y, x)$
Encontramos las soluciones
d:makelist(k,k,0,20)$
Hacemos una lista que sirva como contador
with_slider(n,d,bessel_j(n,x),[x,0,30],[y,-1,1])$
Creamos una animacion para una solucion particular
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Comando en Maxima
ode2((x^2)*’diff(y,x,2)+x*’diff(y,x)+(x^2-n^2)*y=0, y, x)$Encontramos las soluciones
d:makelist(k,k,0,20)$
Hacemos una lista que sirva como contador
with_slider(n,d,bessel_j(n,x),[x,0,30],[y,-1,1])$
Creamos una animacion para una solucion particular
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Comando en Maxima
ode2((x^2)*’diff(y,x,2)+x*’diff(y,x)+(x^2-n^2)*y=0, y, x)$
Encontramos las soluciones
d:makelist(k,k,0,20)$Hacemos una lista que sirva como contador
with_slider(n,d,bessel_j(n,x),[x,0,30],[y,-1,1])$
Creamos una animacion para una solucion particular
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Comando en Maxima
ode2((x^2)*’diff(y,x,2)+x*’diff(y,x)+(x^2-n^2)*y=0, y, x)$
Encontramos las soluciones
d:makelist(k,k,0,20)$
Hacemos una lista que sirva como contador
with_slider(n,d,bessel_j(n,x),[x,0,30],[y,-1,1])$Creamos una animacion para una solucion particular
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Resolucion en MathetamicaResolucion en MathematicaResolucion en Maxima
Potencial de lineas de cargas
Dadas dos distribuciones de carga:
Un anillo
f (t) = cos t, g(t) = sin t 0 ≤ t ≤ 2π
Una Espiral
f (t) = 0.5t cos t g(t) = 0.5t sin t
Encontrar el potencial electrico de ambas distribuciones.
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Lineas de carga
Resolucion en MathetamicaResolucion en MathematicaResolucion en Maxima
Anillo de Carga
Manipulate[Plot[BesselJ[n, x] , x, 0, 30], n, 0, 20]
Planteamos la integral del potencial
Plot3D[f[x, y], x, -2, 2, y, -2, 2, PlotPoints -> 40]
Graficamos las soluciones encontradas
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Anillo de Carga
Manipulate[Plot[BesselJ[n, x] , x, 0, 30], n, 0, 20]Planteamos la integral del potencial
Plot3D[f[x, y], x, -2, 2, y, -2, 2, PlotPoints -> 40]
Graficamos las soluciones encontradas
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Lineas de carga
Resolucion en MathetamicaResolucion en MathematicaResolucion en Maxima
Anillo de Carga
Manipulate[Plot[BesselJ[n, x] , x, 0, 30], n, 0, 20]
Planteamos la integral del potencial
Plot3D[f[x, y], x, -2, 2, y, -2, 2, PlotPoints -> 40]Graficamos las soluciones encontradas
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Lineas de carga
Resolucion en MathetamicaResolucion en MathematicaResolucion en Maxima
Comandos en Mathematica R©
f[x_, y_] := NIntegrate[Sqrt[1 + t^2]/Sqrt[(x -0.5 t Cos[t])^2 + (y - 0.5 t Sin[t])^2 + 0.25], t, 0, 20]
Planteamos la integral del potencial
Plot3D[f[x, y], x, -8, 8, y, -8, 8, PlotPoints -> 40]
Graficamos las soluciones encontradas
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Lineas de carga
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Comandos en Mathematica R©
f[x_, y_] := NIntegrate[Sqrt[1 + t^2]/Sqrt[(x -0.5 t Cos[t])^2 + (y - 0.5 t Sin[t])^2 + 0.25], t, 0, 20]Planteamos la integral del potencial
Plot3D[f[x, y], x, -8, 8, y, -8, 8, PlotPoints -> 40]
Graficamos las soluciones encontradas
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Lineas de carga
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Comandos en Mathematica R©
f[x_, y_] := NIntegrate[Sqrt[1 + t^2]/Sqrt[(x -0.5 t Cos[t])^2 + (y - 0.5 t Sin[t])^2 + 0.25], t, 0, 20]
Planteamos la integral del potencial
Plot3D[f[x, y], x, -8, 8, y, -8, 8, PlotPoints -> 40]Graficamos las soluciones encontradas
David A. Espinoza Soluciones a Problemas de Fısica
Programas MatematicosPrimer Problema
Decaimiento naturalEcuacion de Bessel
Lineas de carga
Resolucion en MathetamicaResolucion en MathematicaResolucion en Maxima
Anillo de carga
romberg(sqrt(1+t^2)/sqrt((x-0.5*t*cos(t))^2+(y-0.5*t*sin(t))^2), t, 0, 20);
Planteamos la integral del potencial
plot3d( %, [x,-8,8], [y,-8,8]);
Graficamos las soluciones encontradas
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Anillo de carga
romberg(sqrt(1+t^2)/sqrt((x-0.5*t*cos(t))^2+(y-0.5*t*sin(t))^2), t, 0, 20);Planteamos la integral del potencial
plot3d( %, [x,-8,8], [y,-8,8]);
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romberg(sqrt(1+t^2)/sqrt((x-0.5*t*cos(t))^2+(y-0.5*t*sin(t))^2), t, 0, 20);
Planteamos la integral del potencial
plot3d( %, [x,-8,8], [y,-8,8]);Graficamos las soluciones encontradas
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Espiral de carga de carga
romberg(1/sqrt((x - cos(t))^2 + (y - sin(t))^2), t, 0, 6.28);
Planteamos la integral del potencial
plot3d( %, [x,-2,2], [y,-2,2]);
Graficamos las soluciones encontradas
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romberg(1/sqrt((x - cos(t))^2 + (y - sin(t))^2), t, 0, 6.28);Planteamos la integral del potencial
plot3d( %, [x,-2,2], [y,-2,2]);
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romberg(1/sqrt((x - cos(t))^2 + (y - sin(t))^2), t, 0, 6.28);
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