Dinámica de Un Sistema de Partículas

DINMICA DE UN SISTEMA DE PARTCULAS

1. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA:El centro de masa de un sistema de partculas de masa , que se encuentran en la posicin (, en el plano su C.M. es:=Segn la figura 01, donde M= = , M=en una dimensin.

Fig. 01, Masas Discretas en el plano

En el plano se agrega: M =

En el espacio se agrega: M =

En general; + + ()

Tal como se indica en la figura 02.Fig. 02, Masas discretas en el espacio.

El centro de masa (C.M.), depende de la mas de partculas y de las posiciones de las partculas con respecto a las otras.El C.M. es independiente del marco de referencia que se usa para localizarla de la expresin ():M = +++

Derivando con respecto al tiempo: = + + +

= + + + ()

Fig. 03. Masas discretas con velocidadEsta expresin dice:La masa total del sistema de partculas, multiplicada por la aceleracin del centro de masa es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas (externas) que actan sobre cada partcula

Daremos a continuacin algunas caractersticas relacionadas con el centro de masas

Fig. 04, Centro de masas con Fuerzas Externas

1) La velocidad del centro de masa es la misma antes y despus de la colisin.2) Si el momentum lineal es cero; de (), = 0, luego el centro el centro de masa permanece constante.3) Con relacin a su centro de masas, la cantidad de movimiento (momentum lineal) de un sistema es nula.Las fuerzas internas entre las partculas se anulan.

, y : Fuerzas Externas.,,,,, Fuerzas internas de accin y reaccin.

El centro de masa de un sistema de partculas se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en el centro de masas y las fuerzas externas actan en este punto

Fig. 05, Fuerzas Internas

2. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UNA PARTCULA O MOMENTUM LINEAL:Sea una particula de masa , que se encuentra en una posicin y tiene una velocidad , se define el momentum lineal de una partcula como el producto de la masa por la velocidad que tiene la partcula en el instante: , tal como se indica en la siguiente figura:

x

z

Luego el momentum depende del sistema de referencia.I. Newton expreso su segunda ley as: La rapidez con que cambia la cantidad de movimiento de una partcula es proporcional a la fuerza resultante que acta sobre el cuerpo y se halla en la direccin y sentido de esa fuerza.

Si la masa no vara =0, son equivalentes cuando

3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTCULAS:El momentum lineal de un sistema de partcula es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad del centro de masa, tal como se indica en la siguiente figura:

En este caso se tiene partculas y cada una de ellas tiene una velocidad luego cada partcula, tendr su momentum y la cantidad de movimiento de un sistema de partculas, con respecto a un sistema de referencia ser

De la ecuacin:

Se tiene que: Derivando esta ecuacin con respecto a t:

Luego se tiene:

Que viene a ser la segunda ley de Newton para un sistema de partculas.

PRINCIPIOS DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALDe la expresin . si entonces =0, luego es constante donde Es decir: Cuando la resultante de las fuerzas externas que sobre un sistema particulares cero, la cantidad movimiento lineal permanece constante cuando ext=0En tres dimensiones se obtiene 3 ecuaciones escalares y cuando se usa el principio de conservacin de la energa no da un ecuacin escalar.Como referencia diremos que en fsica se usan varios principios: Principio de conservacin de masa Energa de momentum lineal Momento angular Carga elctrica

4. CHOQUE Es la interaccin entre dos o ms cuerpos, en la cual actan una fuerza muy grande, en un tiempo muy pequeo. Razn por la cual, es difcil de estudiar el fenmeno de los choques, durante el choque mismo, para ello estudiaremos antes del choque y despus del choque.a) FASE DE COMPRENSION: Es el intervalo entre el contacto inicial y la formacin mxima b) FASE DE RESTITUCION: Es el intervalo de mxima deformacin hasta que las partculas se separan

Usando las leyes de conservacin de energa y de cantidad de movimiento no permitirconocer antes y despus del choque. 5. IMPULSO

El impulso de la fuerza es un vector, se define como la integral de la fuerza. Se puede calcular tambin el impulso como el producto de la fuerza media por el intervalo de tiempo. 6. PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DURANTE LOS CHOQUES:Se tienen las masas y que realizan un choque, en la interaccin actan fuerzas grandes internas. : Es la fuerza que ejerce la masa sobre . : Es la fuerza que ejerce la masa sobre .

Donde y son fuerzas de accin y reaccin, luego = -, tal como se indica en la figura.

Fig. 06, Principio de conservacin de momentumSi no hay fuerzas exteriores , luego:=- , = - , = - , = - , + = 0+ )=0, + = constante.

(+ inicial = + )final; entonces si no hay fuerzas externas la cantidad de movimiento total del sistema permanece constante o no cambia, como consecuencia del choque.7. CHOQUE UN UNA DIMENSIN:Cuando la energa cintica se conserva o permanece constante (antes y despus) se tiene un choque ELSTICO, en caso contrario, se llama INELSTICO.7.1. Choque elstico(frontal o directo) en una dimensin:Sea dos masas y , que tienen velocidades iniciales antes del choque para cada uno y , despus del choque:

Velocidad relativa de acercamiento: Velocidad relativa de separacin: Por ser choque elstico la energa cintica se conserva antes y despus. Como no existen fuerzas exteriores, se conserva la cantidad de movimiento. Son dos ecuaciones con dos incgnitas y De (2): De (1): Dividiendo (4) entre (3):, simplificando:

De (6) en (3):

Reemplazando en (6) se obtiene:

Casos especiales: Si , reemplazando en Choque de masas iguales

Hay un intercambio de velocidades, de la anterior figura (choque de masas iguales). Si

Choque central de masas diferentes

Si

Choque central de masas diferentes

En el choque elstico, los cuerpos se deforman y despus del choque recuperan su forma inicial y no hay desprendimiento de calor.7.2. Choque inelstico:En este caso la energa cintica no se conserva. Cuando la energa cintica inicial es mayor que la energa cintica final, la diferencia se convierte en calor o en energa potencial de deformacin. Cuando la energa cintica final es mayor que la energa cintica inicial, la diferencia se desprende como energa potencial en choque.En ambos casos se cumple el principio de conservacin de la cantidad de movimiento:

PPCCM: En este caso se debe dar otra condicin para resolver la ecuacin con dos incgnitas, ms adelante definiremos el coeficiente de restitucin: En este choque hay desprendimiento de calor.7.3. Choque completamente inelstico:Aqu tambin la energa cintica no se conserva. En este caso las dos partculas quedan unidas despus del choque, luego tienen una velocidad en comn

PPCCM: En este choque hay desprendimiento de calor.8. COEFICIENTE DE RESTITUCIN:Cuando el choque es inelstico, es necesario otra condicin para hallar las velocidades de las partculas despus del choque, por ello se define el coeficiente de restitucin: , que es un numero adimensional, que se define como la relacin de las velocidades relativas despus del choque y antes del choque.

El coeficiente nos da la medida de la cantidad de energa que se tiene durante la comprensin y que servir para separar los dos cuerpos. Tambin se dice que es una medida de la elasticidad de las partculas y sus lmites son: En funcin de se define:a) Choque elstico: b) Choque inelstico: c) Choque completamente inelstico: 9. PERDIDA DE ENERGIA DURANTE EL CHOQUE:Cuando la energa cintica final es igual que la energa cintica inicial, la diferencia de energa cintica se convierte en calor por la deformacin e histresis. Parte de la energa se convierte en sonido y vibraciones elsticas de alta frecuencia, luego:

Usando el coeficiente de restitucin e se puede hallar:

10. CHOQUE FRONTALSe llama as, cuando ambas partculas antes y despus de la colisin se mueve por una misma recta.

11. CHOQUE NO ELASTICOEn este caso la energa cintica no se conserva. Cuando la energa cintica del sistema despus del choque aumenta, esta colisin es exoenergtica (Q>0) y cuan la energa cintica del sistema despus de choque disminuye, esta colisin es endoenergtica (Q