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Ecuaciones en Diferencias
Los procesos económicos se desarrollan en el tiempo. La vida cotidiana ofrece una
evidencia sencilla: depositar dinero en el banco. El cálculo de los intereses toma como
variable fundamental el tiempo. De allí por ejemplo, los depósitos a plazo fijo a 30, 60, 90 y
120 días. O bien, los intereses por mora en un crédito: mientras más días se tarde en cancelar
la cuota, los intereses crecen. Otro ejemplo se obtiene de la oferta de un producto en el
mercado y su respectiva demanda. Describir lo que ocurre con estas dos funciones lleva
implícita la consideración del tiempo.
Ahora bien. Los fenómenos económicos se describen con ecuaciones. Cuando se está
considerando cambios o tasas de variación, se piensa inmediatamente en las derivadas. Para
este tipo de funciones, se considera el cambio continuo del tiempo. Así, las expresiones
matemáticas utilizadas serán Al volver al ejemplo de los depósitos bancarios,
sin embargo no se puede tomar el cambio del tiempo de forma continua. Allí es preciso
considerar cambios discretos del tiempo. Esta nueva forma de trabajar los cambios de una
función en términos de variaciones discretas del tiempo introduce las ecuaciones en
diferencias finitas, o bien, ecuaciones en diferencias. Considerar el tiempo en forma discreta
sólo va a introducir cambios en la forma de escribir las expresiones matemáticas, porque en el
fondo, considerar continuo o discreto el tiempo no va a alterar el análisis dinámico.
Definición de diferencias
Sea y(x) una función definida en un dominio determinado y h una constante tal que
x + h pertenece al dominio de la función. Se llama diferencia de y(x) o primera
diferencia de y(x) a la función definida y(x) = y(x +h) – y(x).
El símbolo se denomina operador diferencia y la constante h, período o intervalo de
diferencia.
Se define segunda diferencia de y(x) a la función diferencia de la primera diferencia.
Esto es,
2y(x) = y(x)) = x + h) - y(x) = y(x + 2h) – y(x + h) – (y(x + h) – y(x))
= y(x + 2h) –2y(x + h) + y(x).
Generalizando se tiene que la n-ésima diferencia de y(x) será la función diferencia de la
(n –1)-ésima diferencia de y(x), la cual se denota
ny(x) = n-1y(x)) = n-1y(x + h) - n-1y(x) = .
Para hacer la notación más funcional, en lugar de escribir y(x) se usará y x, y, sin
pérdida de generalidad, la constante t se considerará igual a 1.
Notación usada habitualmente en economía
En el contexto económico, el problema dinámico consiste en encontrar una trayectoria
temporal a partir de un modelo de cambio dado de una variable y a través del tiempo. Este
modelo de cambio se plantea como un cociente de diferencias. Dado que t sólo puede tomar
valores enteros, al considerar los valores de y en dos períodos consecutivos, se tendrá que t =
1. Esto significa que el cociente se transforma en y, que corresponde a la primera
diferencia de y. Como se había dicho antes, el símbolo se denomina operador diferencia. En
este contexto entonces, la primera diferencia se escribe yt yt+1 - yt. Aquí yt representa
el valor de y en el t-ésimo período, yt+1 su valor en el período inmediatamente siguiente.
Definición de ecuación en diferencias
Una ecuación en diferencias finitas, relativa a un conjunto S de valores de una variable
independiente x, es una ecuación que relaciona la variable x, una función de dicha variable,
que es la incógnita, y diferencias sucesivas de esta función, para cada x S.
Se considerará S = {0}, lo cual no resta generalidad. Para el caso de economía, en
lugar de x se usará t.
Ejemplos.
a) 3yt - 5yt + 2yt = x2. Al desarrollar los operadores diferencias se tiene:
yt+3 – 3yt+2 –2yt+1 + 6yt = x2
b) yt = -0,1yt. Al desarrollar, queda lo siguiente: yt+1 – yt = -0,1yt. Simplificando
da yt+1 – 0,9yt = 0, o bien, yt+1 = 0,9yt
c) yt = 2. Al desarrollar queda yt+1 – yt = 2, que también se puede escribir
yt+1 = yt + 2
Definición de solución de una ecuación en diferencias
Dada una ecuación en diferencias finitas F(t, yt, yt+1,..., yt+n) = 0 relativa a un conjunto
S, se dice que una función es solución de la ecuación si al sustituirla en la misma la convierte
en una identidad en S.
El conjunto de todas las soluciones de una ecuación en diferencias finitas lineal de
orden n se le llama solución general, y en su expresión aparecen n constantes reales
arbitrarias. A cada una de esas soluciones se le llama solución particular.
Teorema de existencia y unicidad
Considérese la ecuación F(t, yt, yt+1,..., yt+n) = 0, una ecuación en diferencias finitas
lineal de orden n, donde F está definida para todos los valores de las variables. Si y0, y1,..., yn-1,
son números arbitrarios pero fijos, existe entonces una función unívocamente determinada yt
que es una solución de la ecuación y que vale y0 en t = 0.
Ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes
Sea la ecuación en diferencias lineal yt+1 = ayt + bt+1. Si se fija el valor y0, es posible
calcular algebraicamente yt para valores pequeños de t. Así,
y1 = ay0 + b1, (t = 0)
y2 = ay1 + b2 = a(ay0 + b1) + b2 = a2y0 + ab1 + b2 ,(t = 1)
y3 = ay2 + b3 = a(a2y0 + ab1 + b2) + b3 = a3y0 + a2b1 + ab2 + b3,
(t = 2)
Al generalizar las expresiones anteriores queda lo siguiente:
yt+1 = aty0 + , (t = 0,1,2,...), o bien,
yt = aty0 + , (t =, 1,2...)
El proceso de encontrar la solución de una ecuación en diferencias en esta manera, se
denomina método iterativo. Este método servirá para dar la forma general de la solución de
una ecuación en diferencias.
Método general de resolución
Resolver una ecuación en diferencias a través del método iterativo resulta engorroso.
Preciso es buscar una forma más directa.
Suponga que se tiene la ecuación yt+1 + ayt = c, donde a y c son constantes, a la cual se
le quiere dar solución. La solución tendrá dos componentes: una función particular o integral
particular yp, que será cualquier solución de la ecuación completa, no homogénea, y una
función complementaria yc. Puede verse en este momento que existe una semejanza con las
ecuaciones diferenciales en cuanto a los elementos de la solución.
La suma de la integral particular y la función complementaria origina la solución general de la
ecuación en diferencias.
Para hallar la función complementaria se hará de la siguiente manera. De acuerdo con
la solución encontrada por el método iterativo, se puede suponer la forma de la solución de
esta manera: yt = Abt (con Abt , para evitar que y sea una recta horizontal situada en el eje
t). Entonces yt+1 = Abt+1. Sustituyendo en la ecuación queda:
Abt+1 + a Abt = 0.
Al sacar como factor común Abt queda b + a = 0, por lo tanto, b = -a. Esto quiere
decir, al sustituir b por su valor, que yt = A(-a)t, que será la forma de la función
complementaria.
Para hallar la solución particular, se supondrá yt = k. Esto da que yt+1 = k. Sustituyendo
en la ecuación queda
k + ak = c, , con a . Esta forma de la solución particular indica que el
equilibrio es estacionario.
Si se da el caso que a = , entonces se toma como solución yt = kt. Entonces, al
escribir yt+1 = k(t + 1).Sustituyendo queda k(t + 1).+ akt = c. Se desarrolla y queda
kt + k + akt = c; k(t + 1 + at) = c. Como a = -1, al sustituir solo queda 1, y por tanto
k = c.
Al unir las dos soluciones queda:
y = A(-a)t + , con a , o bien, y = A(-a)t + c, con a = -1.
Significado de las componentes de la solución
Igual que en ecuaciones diferenciales, la integral particular yp representa el nivel de
equilibrio intertemporal de y, y la función complementaria yc representa la desviación de la
trayectoria temporal respecto al equilibrio.
Estabilidad dinámica del equilibrio
La estabilidad dinámica del equilibrio en ecuaciones en diferencias viene dada por el
término Abt.
Significado de b. Que el equilibrio sea dinámicamente estable depende de que la
función tienda o no a cero cuando t tiene a infinito. Esto significa que se debe analizar la
trayectoria temporal del término Abt cuando t aumenta indefinidamente. La base de este
exponente, b, es importante. Véase la figura 1:
Valor de b
Explosiva
oscilante
Oscilante Convergente
oscilante
Constante Convergente Constante
en uno
Divergente
-1 0 1
Figura 1. Comportamiento de la función según el valor de b
Resumiendo, si b > 0 será no oscilante, y si b< 0 será oscilante. Será divergente si b > 1,
y si b < 1 será convergente. En el caso de b = 1 será divergente.
Función de A. La función de A es de dos tipos. Dependiendo de la magnitud de A,
hará un efecto de escala, esto es, aumentar o disminuir los valores de bt. Dependiendo del
signo, generará un efecto de simetría, es decir, si A es negativo, cambiará la posición de la
trayectoria temporal.
Ecuaciones en diferencias de segundo orden
Una ecuación en diferencias de segundo orden es aquella que se expresa de la siguiente
manera: 2yt, que se denomina diferencia segunda de yt, y no contiene diferencias de orden
superior a dos. El símbolo 2 significa “tomar la diferencia segunda de”, en esta forma:
2yt, = yt) = (yt+1 – yt) = (yt+2 – yt+1) – (yt+1 – yt) = yt+2 – 2yt+1 + yt.
Una diferencia segundo orden significa que existe un retraso de dos períodos.
Método de resolución
Sea la ecuación yt+2 + a1yt+1 + a2yt = c. Igual que en el caso de la ecuación de primer
orden, hay dos términos en la solución: la solución particular yp y la función complementaria.
yc.
Función particular. Suponga yt = k. Entonces, yt+1 = k y yt+2 = k. Sustituyendo en la
ecuación queda: k + a1k + a2k = c. Sacando k factor común, queda: , con (1 + a1
+ a2) 0. Por lo que la integral particular yp será igual a con a1 + a2 -1.
Si se da el caso que a1 + a2 = -1 hay que suponer yt = kt. Entonces yt + 1 = k(t + 1),
yt + 2 = k(t + 2).Al sustituir en la ecuación queda k(t + 2) + a1 k(t + 1) + a2 kt = c. Al
hacer los cálculos y simplificar queda , con a1 + a2 = -1. Por lo que la solución
particular será entonces . Aquí se necesita que a1 -2.
Finalmente, si a1 + a2 = -1 y a1= -2, se tiene que suponer como solución particular
yt = kt2. Entonces yt + 1 = k(t + 1)2, yt + 2 = k(t + 2)2. Al sustituir en la ecuación y
resolver queda yp = kt2 = , con a1= -2 y a2 = 1.
Función complementaria
Para hallar la función complementaria, se resuelve la ecuación homogénea
yt+2 + a1yt+1 + a2yt = 0.
Para ello se supondrá una solución de la forma: yt = Abt. De aquí se tiene que
yt + 1 = Abt + 1, yt + 2 = Abt + 2.
Al sustituir en la ecuación queda lo siguiente:
Abt + 2 + a1 Abt + 1 + a2 Abt = 0.
Se extrae como factor común, el cual es distinto de cero, Abt, y calculando resulta la
ecuación cuadrática b2 + a1b + a2 = 0. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación
característica.
Al resolver esta ecuación característica, por ser cuadrática, tendrá tres posibles
resultados, dependiendo del comportamiento del discriminante. Sea entonces el planteamiento
de la solución: . Los casos son: raíces reales distintas, raíz real doble,
raíces complejas.
Caso raíces reales distintas. Cuando > 0, el discriminante es mayor que cero
y el resultado serán dos raíces reales distintas. Esto significa que bt1 y bt
2 son linealmente
independientes y la función complementaria se escribirá como una combinación lineal de esos
dos términos:
yc = A1 bt1 + A2 bt
2.
Caso raíz real doble. Si = 0, el discriminante es cero, por lo que queda como
raíz doble. La función complementaria quedará
yc = A1 bt1 + A2 bt
1 = (A1 + A2)bt A3bt.
Si bien esto es correcto, hace falta una componente en la función complementaria, dado
que es una ecuación de segundo orden. Se necesita una expresión que sea linealmente
independiente, y para hallarla, se multiplicará por t la expresión Abt, para que quede A4tbt, que
será el término faltante. Entonces, la solución complementaria adoptará la forma yc = A3bt +
A4tbt.
Caso raíces complejas. Si < 0, las raíces características serán conjugadas
complejas. La forma de las mismas será b1, b2 = h i. Aquí. La función complementaria
será entonces yc = A1 bt1 + A2 bt
2. = A1(h + I)t + A2(h - I)t.
Con el uso del teorema de Moivre, se hacen las transformaciones correspondientes para que
finalmente quede la forma de la función complementaria así:
yc =Rt(A5cost + A6sent), donde ,
, . Asimismo, A5 = A1 + A2, A6 =
(A1 – A2)i.
Convergencia de la solución
La convergencia de la solución yt, depende de su tendencia a cero cuando t tienda a
infinito. El comportamiento de b, visto en la Figura 1, se aplica al caso de las ecuaciones de
segundo orden, con el cuidado que ahora hay dos valores de b. Quiere decir que, si ambos
valores de b son mayores que uno, el comportamiento será explosivo; si ambos valores son
menores que uno, el comportamiento será convergente. Si uno de los valores es menor que
uno y el otro valor es mayor que uno, la trayectoria será explosiva.
Raíz dominante. Se define raíz dominante a la raíz con mayor valor absoluto. De
acuerdo con esta definición, se afirma que una trayectoria temporal será convergente,
independientemente de las condiciones iniciales, si y sólo si la raíz dominante es menor que
uno en valor absoluto.
En el caso de la raíz doble, se tiene una componente de la función complementaria que
está multiplicada por t. Lo que ocurrirá será lo siguiente: si b es mayor que uno en valor
absoluto, el efecto multiplicativo de t lo que hará será disparar la explosión de la función. Si b
es menor que uno en valor absoluto, el efecto de t será nivelar al término bt. Sin embargo, la
amortiguación de este último término será mayor que la explosión de t, y por tanto, la
trayectoria será convergente.
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