Ejemplo Frobenius

Para la ecuacin diferencial :

Anlogamente x p(x) = 2 ( x - 1) , x2 q(x) = - 4x son analticas en x = 0 R1= R2 = . Existe por tanto solucin por el mtodo de Frobenius, vlida al menos para x 0.

Sustituyendo en la ecuacin diferencial :

+ 2 - 2 - 4 Coeficiente de xr-1 :

r (r - 3) = 0Difieren en entero: r1 - r2 = 3 = n0. Slo puede asegurarse en principio la existencia de una solucin y1 en serie de Frbenius. Para r = r2= 0, se anular el denominador de la relacin de recurrencia para . n = n0 = 3.

Coeficiente de xn+r-1 :

Se observa que el factor n + r 3 que anula al denominador cuando r = r2 = 0 y n = n0 = 3, est tambin en el numerador.

. Y tomando a0 = 1:. Es decir:

La relacin de recurrencia, antes de escribirla bajo la forma de cociente, es:

I (n+r) an + .Y para r = 0 : n(n-3) an= - 2(n-3) an-1

Podr escribirse bajo la forma de cociente: excepto para n=3, en cuyo caso ser: 3.0.a3 = - 2.0. a2 .

Se obtiene por tanto: a1 = - 2 a0 , a2 = - a1 = 2 a0 y a3 es libre. Cualquier valor que se asigne a a3 (y a a0 0 ) conduce a una solucin. La eleccin ms simple es a3 = 0 y a0 = 1. Entonces a4 = a5 =...=0. Y se obtiene una 2 solucin:

Otra forma: Como puede tomarse cualquier valor para a3 , podra asignrsele el deducido de la relacin de recurrencia , vlido en principio para n 3.

Entonces: e

Es por tanto otra solucin particular: es decir:

Nota: Se verifica: =

. Es decir:

La solucin general es: y = C1 y1(x) + C2 y2(x), x y = K1 y2(x) + K2 y2*(x), x

En ambos casos: