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Dr. A. Ozols 1

REDES REDES CRISTALINASCRISTALINAS

Física del Estado Sólido

Facultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires

2009

Dr. Andrés Dr. Andrés OzolsOzols

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ÁTOMOS EN SÓLIDOSÁTOMOS EN SÓLIDOS

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René Just Hauy (1743-1822):

la morfología de un mineral es un reflejo de su orden interno

ORDEN CRISTALINO y FORMA

Bravais: ley de Bravais

la frecuencia con aparece la cara de un cristal es proporcional al números de átomos de cristal

Niels Stensen (1669): ley de Steno

Los ángulos entre las caras equivalentes de los cristales de un mismo mineral son constantes

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ORDEN ATOMICO

Estructura de alcance intermedio

Estructura de corto alcance(Orden local) estructura amorfa

Estructura de largo alcanceestructura cristalina

Rangos de ALCANCE

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TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico

AMORFOS:

orden atómico corto alcance

Superficie metálica solidificadarápidamente bombardeada con hazelectrónico

átomos o moléculas distribuidos al azar o aleatoriamente obtenidospor enfriamiento rápido del material fundido (103-107 ºK/s)

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TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico

MONOCRISTALINOS (de un solo cristal)

orden atómico o molecular alto en todo el material

Átomos o moléculas distribuidos regularmente en planos atómicos.

El sólido crece como cristal muy lento y en condiciones de

equilibrio termodinámico

Ej. Crecimiento de monocristales de Si para las obleas semiconductoras,

o superconductores.

Forma macroscópica típica de un crista provisto de elementos de simetría notorios

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POLICRISTALINOS: formado por granos o monocristales

TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico

borde de grano

orden atómico o molecular de largo alcance en cadagrano o monocristal

bordesbordes observado por microscopio

grano

Superficie pulida de acero

Ej. La mayor parte de losmateriales de uso cotidiano son policristalinos (cerámicos, metálicos)

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CRISTALES PERFECTOS ≡ libres de defectos

Defectos cristalinos:

•contaminación (átomos extraños)

•maclas (planos atómicos adicionales)

•vacancias (falta aleatoria de átomos)

•dislocaciones (variaciones locales de distancias interplanares)

•fallas de apilamiento (discontinuidades del orden entre planos)

Iones enlazados en una superficie metálica

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REDES de BRAVAISREDES de BRAVAIS

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a) Una red de Bravais es un arreglo infinito de puntos discretos con un ordenamiento y orientación, que parece exactamente la misma, desde cualquier punto de observación.

b) La red 3-D de Bravais consiste de todos los puntos con vectores posiciones de la forma:

RED CRISTALINAS: REDES de BRAVAIS

R= n1 a + n2 b + n3 c

n1, n2, n3: números enteros

a, b, c: vectores primitivos

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REDES de BRAVAIS en 2-D

Todos los puntos pueden escribirse como una combinación lineal de los vectores primitivos.

P = a1+ 2 a2

Q = -a1+ a2

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A BC

REDES de BRAVAIS en 2-DLos vértices del panal de abejas non forman una red de Bravais. Los puntos. La distribución de puntos tiene aspecto similar observada desde A o B. Sin embargo, es distinta desde C, que está rotada en 180º.

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a

bP

º º ºº º º

º º ºº º º

º º ºº º º

º º ºº º º

DPCelda Primitiva

1 átomo por celda

Primitiva doble

2 átomos por celda

Primitiva

Triple

3 átomos por celda

TP

REDES de BRAVAIS en 2-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos)

Existen varias elecciones de pares de vectores primitivos.

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CELDA PRIMITIVA en 2-D (Ejemplos)

Existen varias elecciones de celdas primitivos:

El volumen de espacio que trasladado a traveés de todos los vectores de la red de

Bravais cubre todo el espacio sin producir superposiciones ni dejar huecos.

Un punto de la red por celda

Dos elecciones de celdas primitivos

La elección debe representar mejor las simetrías de la red

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B B

BB

B

BBB

A

AA

AA

Sitios de la red de Bravais cúbica centrada en el cuerpo ≡ dos redes cúbicas simples superpuestas con sitios A y B como centros de red anterior

La red cúbica simple está generada por los vectores primitivos:

REDES de BRAVAIS en 3-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos)

ax czby

La red cúbica centrada en el cuerpo (BCC, body centered cubic) generada por los vectores primitivos:

1a ax= 3 ( )2aa x y z= + +2a by= 1a

2a

3a

BCC, body centered cubic)

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La red cúbica centrada en las caras (FCC, facecentered cubic) generada por los vectores primitivos:

( )1 2aa x z= + 3 ( )

2aa x y= +

REDES de BRAVAIS en 3-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos)

( )2 2aa x z= +

1a2a

3a

1 2 3P a a a= + + 12Q a= 2 3R a a= + 1 2 3S a a a= − + +

FCC, face centered cubic

La expresión de los puntos de la red en la base de los vectores primitivos:

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La elección de la celda primitiva recae en la celda de simetría completa:CELDA de WIGNER SEITZ

ELECCION de la CELDA PRIMITIVA

La región del espacio que es más próxima aun dado punto que a cualquier punto

La construcción de la celda de WIGNER SEITZ:

Los 6 lados de la celda bisectan las líneas que unen el punto central con los 6 vecinos más próximos

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REDES en 3-D

a1

a2

a3

Los 3 vectores primitivos ai se toman perpendiculares entre sí

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REDES de BRAVAIS en 3-D

Existen 14 formas de ordenar puntos en el espacio 3-D, manteniendo las mismas relaciones entre éstos ≡ sistemas de Bravais

Ángulos de referencia

a = b = c α = β = γ =90º

1. SISTEMA CUBICO

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REDES de BRAVAIS

2. SISTEMA HEXAGONAL

a = b = c α = β = γ ≠ 90º< 120º

a = b ≠ c α = β = 90º; γ =120º

3. SUB- SISTEMA ROMBOHÉDRICO (TRIGONAL)

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4. SISTEMA TETRAGONAL

REDES de BRAVAIS

a = b ≠ c α = β = γ = 90º

a ≠ b ≠ c α = β = γ =90º

5. SISTEMA ORTOROMBICO

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6. SISTEMA MONOCLINICO

REDES de BRAVAIS

7. SISTEMA TRICLINICO

a ≠ b ≠ c α = γ ≠ 90º ≠ β

a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ

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ELEMENTOS de SIMETRIAELEMENTOS de SIMETRIA

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ELEMENTOS de SIMETRIA

Las relaciones geométricas entre las caras planas de los cristales permitió su agrupación y su clasificación de acuerdo a elementos de simetría u operaciones de simetría.

Las operaciones de simetríason transformaciones matemáticas que llevan a un objeto en congruencia (en coincidencia) con sí mismo, manteniendo invariantes las dimensiones del objeto:

objeto simétrico ⇔ invariante por una transformación

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TIPO DE OPERACIÓN DE SIMETRÍA realizada por un operador

Básicas

Compuestas

No pueden descomponerse en más elementales

• Traslación

• Reflexión (simetría de espejo)

• Rotación

• Inversión

• rotación + inversión (Eje roto-inversión)

• rotación + traslación (Eje helicoidal del ADN)

• reflexión + traslación (Plano de deslizamiento en la deformación de un metal)

…. etc.

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OPERACIONES DE SIMETRÍA

TRASLACIÓN

R’=R+ aRa

vector desplazamiento coincidente con un punto de la red

xy

z

Celda primitiva

vector desplazamiento coincidente con un punto de la red

Situación inicial Situación finalSituación intermedia

R

x

z

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REFLEXIÓN (simetría de espejo)

OPERACIONES DE SIMETRÍA

Plano de simetria

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p

pINVERSIÓN produce un objeto invertido respecto al centro de inversión

El trazado de segmentos lineales desde puntos del objeto, pasando por el centro de inversión, hasta una extensión igual del otro lado del centro.

centro de inversión

OPERACIONES DE SIMETRÍA

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∞

6

4

3

2

1

..

.

..

.

Operación de simetría ≡ rotación que deja invariante al objeto por una rotación respecto al eje de simetría (único punto fijo de la transformación)

ROTACIÓN

ROTACIÓN EN 2-D

(el eje de rotación es perpendicular al plano)

Rotación de orden n

(n = número de rotaciones para completar 2π)

Cada rotación de 2π/n radianes conduce a una situación equivalente o indistinguible de la anterior

OPERACIONES DE SIMETRÍA

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Ejes de rotación de orden n

2º orden

rotación de 180º

rotación de 120º

3º orden

rotación de 90º

ROTACIÓN

OPERACIONES DE SIMETRÍA

4º orden

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OPERACIONES DE SIMETRÍA

ROTACIÓN EN 3-D

triclínico

monoclínico

rómbicocúbico

hexagonal

tetragonal

a

b

c

a b

c

3 ejes a, b, c ortogonales entre sí.

Estos pasan por el centro de la celda primitiva y son paralelos

a sus caras a b

c

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CRISTALESCRISTALES

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CRISTAL

BASE

+

RED CRISTALINA

arreglo periódico

de puntos

al que se le asocia la base

(abstracción matemática)

Átomos, iones o molécula

(sistema físico)

=

sólido con un arreglo periódico de átomos o

moléculas=+

ESTRUCTURA CRISTALINA

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ESTRUCTURAS CRISTALINAS (ejemplos)

ESTRUCTURA del DIAMANTE ≡ FCC + Base de 2 átomos

Átomos internos

Átomos compartidos

x

y

z

( )34a x y z+ +

( )34a x y z+ +

( )3 34a x y z+ +

( )34a x y z+ +

Base de 2 átomos ( )0, 34a x y z+ +

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ESTRUCTURA HAXAGONAL SIMPLE

x

y

z

y

1a

2a

3a az=

( ) ( )1

1

60 cos 60

1 32 2

a asen x a y

a a x y

= +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

0601a

060

Vectores primitivos

y

x

2a ay=

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APLILAMIENTO HEXAGONAL COMPACTO

(HCP, Hexagonal Compact Packing)

1a

3a

2a

Capa de átomos adicionales a la estructura

hexagonal simple

Vectores primitivos ( )1 2 313

a a a+ +

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ESTRUCTURA HEXAGONAL COMPACTA

Apilamiento por capas H.C.P.

Capas ABAB….

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CUBICO de CARAS CENTRADAS(F.C.C. Face Centered Cubic)

Capas ABCABC…..

CÚBICO de CUERPO CENTRADO (B.C.C. Body Centered Cubic)

Capas ABAB…..

EMPAQUETAMIENTOS CUBICOS

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METALES FCCCo, Fe, Ni, Cu, Ag, Au, Pt, Al,..

METALES HCPZn, Cd, Mg, ...

METALES BCCCr, Fe, V, K...

ESTRUCTURA de los METALES

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5.49Yb5.16Pr3.61Cu

6.20Xe3.89Pd3.55Co

5.08Th4.95Pb5.16Ce

6.08Sr3.52Ni5.58Ca

4.54Sc4.43Ne4.08Au

3.80Rh5.30La4.05Al

4.64Pu5.72Kr4.09Ag

3.92Pt3.81Ir5.26Ar

a (A)Elementoa (A)Elementoa (A)Elemento

ELEMENTOS con ESTRUCTURA CRISTALINA CUBICA DE CARAS CENTRADAS (Ejemplos)

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5.59Rb5.23K

3.16W3.30Nb2.87Fe

3.02V4.23Na6.05Cs

3.88Tl3.15Mo2.88Cr

3.31Ta3.49Li5.02Ba

a (A)Elementoa (A)Elementoa (A)Elemento

ELEMENTOS con ESTRUCTURA CRISTALINA CUBICA DE CUERPO CENTRADO (Ejemplos)